8 июня 2011

Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения.

При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то ошибка (разница) делится опять пополам на глаз и прибавляется (или отнимается, смотря по надобности) ко взятой циркулем половине.

Так же поступают при делении на 3, 5 и т. д. равных частей. При делении на 4 равные части сначала делят прямую пополам, а потом — обе ее половины. При делении на 6 равных частей сначала делят прямую на 3 равные части, а затем каждую часть пополам.

Угол делят на равные части таким же образом, с той разницей, что делится на части дуга, проведенная любым радиусом из вершины данного угла и заключенная между сторонами угла. Точки деления соединяются с вершиной угла прямыми линиями.

Деление на глаз прямых линий и углов (дуг) сберегает время. Поэтому надо постоянно упражняться в таком делении.

Деление прямой линии построением производится так. Предположим, что данный отрезок AN требуется разделить на 5 равных-частей. Из конца прямой АВ под произвольным углом проводим прямую АС и на ней от точки А откладываем пять произвольных частей так, чтобы AD = DE = EF = FG = GH; соединяем Н с N и через точки D, Е, F и G проводим прямые, параллельные NH, которые пересекут AN в точках I, К, L, М так, что AL = IK = KL = LM = MN.

Деление углов на равные части построением выполняется тремя основными способами.

1. Данный угол ВАС разделить на 2, 4, 8 и т. д. равных частей.

Из точек D и как из центров, одинаковыми радиусами проводим дуги, которые пересекутся в F. Прямая FA разделит угол ВАС (а точка G — дугу DF) пополам.

Чтобы разделить угол или дугу на 4 равные части, надо повторить то же построение для каждой половины и т. д. Построение годится для любых углов: прямых, тупых и острых.

2. Прямой угол ВАС разделить на 3, 6, 12 и т. д. равных частей.

Радиусом AD из точек D и Е описываем дуги, которые пересекут дугу в точках F и G; проводим AF и AG, которые делят угол ВАС и дугу DF на 3 равные части.

Чтобы разделить угол на 6 равных частей, надо каждую треть разделить пополам и т. д. 

Всякий яругой угол, кроме прямого, может быть разделен на 3 равные части только на глаз или по транспортиру.

3. Угол, образуемый прямыми ЛВ и CD, разделить пополам при условии, что вершина угла недоступна.

Через произвольную точку Е на прямой CD проводим прямую EG, параллельную ЛВ из этой же точки произвольным радиусом описываем дугу GH;соединяем G и H прямой линией и проводим ее до пересечения с ЛВ в точке I; далее делим прямую HI пополам в точке М и через эту точку проводим к прямой HI перпендикуляр KL, этот перпендикуляр разделит угол, вершина которого недоступна, на 2 равные части. Иногда надо выполнить построение перехода двух полос неодинаковой ширины это надо делать с помощью закругления по дуге круга, как показано на рисунке.

Продолжаем отрезки а, с и b, d до взаимного пересечения в точках A и В и образовавшиеся углы делим пополам. Если продолжить перпендикуляр DC до пересечения с биссектрисами углов ЕАС и FBD, то полученные точки М и М 1 будут центрами искомых закруглений.

Угол делят на равные части и с помощью транспортира. Если требуется, например, данный угол разделить на 7 равных частей, то находят, чему равен угол, и полученное число градусов делят на 7; результат обычно бывает неточный, так как на обыкновенные транспортиры минуты и секунды не наносятся. Необходимое исправление делается на глаз.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…

Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…

Деление угла пополам (рисунок 26, а). Из вершиныВ углаABC произвольным радиусом R 1 проводят дугу до пересечения ее со сторонами угла в точках М и N . Затем из точек M и N проводят дуги радиусом > R 1 до взаимного пересечения их в точке D . Прямая BD разделит данный угол пополам.

Деление угла на 4, 8 и т. д. равных частей осуществляется последовательным делением пополам каждой части угла (рисунок 26, б).

Рисунок 26

В том случае, когда угол задан сторонами, не пересекающимися в пределах чертежа, например AB иCD на рисунке 26, в, деление угла пополам выполняют так. На произвольном, но одинаковом расстоянииl от сторон угла проводят прямыеKL || AB иMN || CD и продолжают их до пересечения в точкеО . Полученный уголL ON делят пополам прямойOF . ПрямаяOF разделит пополам также и заданный угол.

Деление прямого угла на три равные части (рисунок 27). Из вершины прямого угла – точкиВ проводят дугу произвольным радиусомR до пересечения ее с обеими сторонами угла в точкахA иC . Тем же радиусомR из точекA иС проводят дуги до пересечения с дугойAC в точкахМ иN . Прямые, проведенные через вершину углаВ и точкиМ иN , разделят прямой угол на три равные части.

Рисунок 27

2.4 Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников

2.4.1 Деление окружности на равные части и построение правильных вписанных многоугольников

Для деления окружности пополам достаточно провести любой ее диаметр. Два взаимно перпендикулярных диаметра разделят окружность на четыре равные части (рисунок 28, а). Разделив каждую четвертую часть пополам, получают восьмые части, а при дальнейшем делении – шестнадцатые, тридцать вторые части и т. д. (рисунок 28, б). Если соединить прямыми точки деления, то можно получить стороны правильного вписанного квадрата (а 4 ), восьмиугольника (а 8 ) и т. д. (рисунок 28, в).

Рисунок 28

Деление окружности на 3, 6, 12 и т, д. равных частей, а также построение соответствующих правильных вписанных многоугольников осуществляют следующим образом. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра1–2 и3–4 (рисунок 29 а). Из точек1 и2 как из центров описывают дуги радиусом окружностиR до пересечения с ней в точкахА, В, С иD . ТочкиA ,B ,1, С, D и2 делят окружность на шесть равных частей. Эти же точки, взятые через одну, разделят окружность на три равные части (рисунок 29, б). Для деления окружности на 12 равных частей описывают еще две дуги радиусом окружности из точек3 и4 (рисунок 29, в).

Рисунок 29

Построить правильные вписанные треугольник, шестиугольник и т. д. можно также с помощью линейки и угольника в 30 и 60°. На рисунке 30 приведено подобное построение для вписанного треугольника.

Рисунок 30

Деление окружности на семь равных частей и построение правильного вписанного семиугольника (рисунок 31) выполняют с помощью половины стороны вписанного треугольника, приблизительно равной стороне вписанного семиугольника.

Рисунок 31

Для деления окружности на пять или десять равных частей проводят два взаимно перпендикулярных диаметра (рисунок 32, а). РадиусOA делят пополам и, получив точкуВ , описывают из нее дугу радиусомR = BC до пересечения ее в точкеD с горизонтальным диаметром. Расстояние между точкамиC иD равно длине стороны правильного вписанного пятиугольника (а 5 ), а отрезокOD равен длине стороны правильного вписанного десятиугольника (а 10 ). Деление окружности на пять и десять равных частей, а также построение вписанных правильных пятиугольника и десятиугольника показаны на рисунке 32, б. Примером использования деления окружности на пять частей является пятиконечная звезда (рисунок 32, в).

Рисунок 32

На рисунке 33 приведен общий способ приближенного деления окружности на равные части . Пусть требуется разделить окружность на девять равных частей. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра и вертикальный диаметрAB делят на девять равных частей с помощью вспомогательной прямой (рисунок 33, а). Из точкиB описывают дугу радиусомR =AB , и на пересечении ее с продолжением горизонтального диаметра получают точкиС иD . Из точекC иD через четные или нечетные точки деления диаметраAB проводят лучи. Точки пересечения лучей с окружностью разделят ее на девять равных частей (рисунок 33, б).

Рисунок 33

При построении необходимо учитывать, что такой способ деления окружности на равные части требует особенно большой точности выполнения всех операций.

Академик Российской АН Н. ДОЛЛЕЖАЛЬ.

Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный специалист в области энергетики. В свободное время Николай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности, известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга (см. "Наука и жизнь" № 7, 1993 г.; №№ 3, 8, 1994 г.; № 9, 1995 г.). Сложность всех этих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов, чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используя именно этот классический метод, Н. А. Доллежаль сумел найти очень изящное решение задачи о делении на три равные части произвольного угла.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Суть этой геометрической задачи заключается в отыскании графического метода деления произвольного угла на три равные части с помощью циркуля и обыкновенной линейки. Ниже приводим описание метода, решающего эту задачу независимо от размера и типа (острый, тупой) угла, предлагаемого для разделения. Ограничений на формы геометрических фигур нет, численных измерений или вычислений не делается. Для примера взят случайный угол.

Геометрические элементы комбинируются геометрической фигурой, состоящей из равнобедренного треугольника АВС с нижним углом В, подлежащим разделению на три равных угла, и равносторонней трапеции АDFC, все четыре угла которой находятся на равном расстоянии от вершины угла В. Треугольник и трапеция сомкнуты своими основаниями АС. Предлагаемый метод решения задачи состоит в следующем:

1) Основанием для построения упомянутой геометрической фигуры служат уравнения, связывающие основные ее элементы:

где S - основание треугольника и трапеции; а - сторона трапеции; t - высота треугольника; h - высота трапеции.

Главные элементы фигуры находятся во взаимной зависимости: отношения основания к стороне трапеции и высот трапеции треугольника связаны уравнением (2).

У отношений S/а и h/t есть пределы применимости: отношение основания трапеции к ее стороне находится в пределах 2 ... 3, а отношения высот трапеции и треугольника изменяются при этом от бесконечности до 0. За пределами этих ограничений построение фигуры треугольник плюс трапеция невозможно.

В таблице для примера и выбора основных показателей для построения треугольника и трапеции приведены некоторые численные значения переменных, входящих в уравнения. С ее помощью можно задать отношение S/а и получить отношение h/t.

На рис. 1 представлено решение задачи предлагаемым методом. В качестве примера, не имеющего принципиального значения, взято равенство высот треугольника и трапеции. Для большей наглядности на рисунке приведены дополнительные геометрические построения: деление угла надвое, проведение параллельных линий и нанесение равномерных делений.

Решение задачи начинается с деления заданного угла АВС пополам линией ВЕ и проведения под прямым углом к ней через точку В горизонтальной линии XY. На линии ХY в обе стороны от точки В наносятся деления, отвечающие отношению основания трапеции к ее стороне, в данном случае 5 и 2. Это соотношение получено из уравнения (2) при условии равенства высот - см. таблицу.

Из точек, отвечающих делению 5, проводятся параллели биссектрисе ВЕ до пересечения со сторонами угла в точках А и С. Линия АС служит общим основанием треугольника и трапеции, отрезки АВ и ВС равны. Из точек, отвечающих отметке 2 на отрезке XY, проводятся линии, также параллельные биссектрисе угла АВС, и на них отрезками BD и BF, равными сторонам треугольника ВА = ВС, отмечаются точки D и F - вершины углов трапеции АDFC. Точки D и F определяют высоту ВЕ, равную сумме высот треугольника и трапеции.

Для проверки и доказательства проводятся диагонали AF и DC трапеции АDFC, пересекающиеся в точке Z на средней линии треугольника АВС. Образовавшиеся два треугольника АDF и DFC равнобедренные, поскольку их основания, т. е. диагонали трапеции, разделены в точках Т надвое, пересекаясь в них с радиусами ВD и ВF и средней линией РР трапеции. Сторона DF принадлежит обоим треугольникам, поэтому треугольники АВD, DВF и FВС равны. Все три их угла с вершинами в точке В равны между собой и в сумме составляют заданный угол АВС.

Отрезки прямых DM и FN образуют стороны ромбов ADFN и DFCM, своими геометрическими свойствами подтверждающих правильность построения.

На рис. 2 показано соотношение образовавшихся углов. Характерно, что нижние углы трапеции DАС = FСА равны одной трети разделяемого угла АВС.

При построении геометрической фигуры на рис. 1 было принято отношение величины основания трапеции к ее стороне 5:2 для простоты построений: этому соотношению отвечает равенство высот трапеции и треугольника.

На рис. 3 построена фигура "треугольник - трапеция" для сравнительно острого угла АВС. Исходным принимается отношение высоты треугольника к сумме высот треугольника и трапеции, равное 5:6, которому, согласно уравнению (1), отвечает значение S/а = 17/6. Как и в первом случае, это значение поровну, т. е. 8 1/2 к 3, откладывается на линии XY в обе стороны от точки В, и производятся аналогичные построения.

Вообще, нет необходимости предварительно принимать численные значения S/а. Достаточно на линиях ВХ и ВY из точки В отложить по три равных отрезка, отметив их концы, и из любой точки между второй и третьей отметками построить перпендикуляры до пересечения со сторонами угла В в точках А и С. Затем из первой отметки также восстановить перпендикуляры и на них отложить точки D и F на расстоянии от точки В, равном стороне треугольника АВС.

Если из точек А и С на линиях ВD и ВF отложить по две равноотстоящие точки N и М, получим отрезок NM, равный S-2а. Отношение этой длины к а определяет отношение высот трапеции и треугольника согласно формуле (2).

В остальном поступают, как и в первом случае. Правильность построения можно проверить по формуле

следующей из (2). Сумма t+h никогда не превышает сторону ВА(ВD) треугольника.

Графически равенство (4) проверяется так (рис. 4). Берется произвольный угол PQN, разделенный биссектрисой QQ?. На левой стороне угла от точки Q циркулем откладываются отрезки S-а и а, образующие точки Р и L. Далее точка Р соединяется с точкой Q? и из точки L проводится параллельная РQ? линия LQ???. Это означает, что на биссектрисе угла возникла отметка Q, причем а/(S-а)= = QQ??/QQ?. На правой стороне угла откладываем циркулем отрезки 2t+h и t+h из построенного чертежа. Конец отрезка 2t+h - точку N - также соединяем с точкой Q?, а из точки М - конца отрезка t+h - проводим линию, параллельную NQ?. На средней линии угла отмечается отношение (t+h)/(2t+h)=QQ??? /QQ?. Если линии LQ?? и МQ??? пересекаются на средней линии угла, это означает, что левая и правая части в формуле равны. Что и требуется.

Можно ли путем измерения соответствующих отрезков, в частности оснований треугольников, определить их длину? Нельзя, так как каждый служит хордой соответствующей воображаемой дуги окружности, содержащей долю, не поддающуюся измерению. Для определения точности решения задачи может быть использован только графический метод.

Таким образом, нами предложено доказательство возможности графического деления угла на три с помощью циркуля и линейки. Остается графически не выясненной связь элементов трапеции и треугольников, иными словами, зависимость между стороной трапеции а и высотой треугольника t. Эта задача может иметь самостоятельный характер для принципа построения трапеции.

Приношу благодарность профессору МГТУ В. И. Солонину за благожелательную критику.

Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла

Россия. г. Пенза

Е. И. Терёшкин.

Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е.

Чертеж 1.

Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.

По теореме Пифагора находим. Из точки радиусом опишем окружность. Из точки через точку проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку. , .

Диаметры большого круга. Проводим линию, она пересекает малый круг в точке. Из точки, через точку проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку. Соединяем точки и.

По теореме Пифагора Из точки проводим линию. подобен, значит

Рассмотрим, т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя линия, а значит По теореме косинусов, значит но, значит линия проходит через точку, т.е. через центр квадрата.

Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки. Из точек любым радиусом описываем окружность.

Чертеж 3. Чертеж 4.

Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого (чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (чертеж 3) и острых углов (чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки и. Из точек радиусом описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки. Соединяем точки М с точками. В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.

Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку. Треугольники АМ и АN равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.

Чертеж 5.

На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.

Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,

Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.

Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.

Треугольники АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах, а и фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.

Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. а значит или

В обоих чертежах равны фигурам АЕND.

В результате получается:

Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.

следовательно

или Но где находятся точки Е и F пока не известно.

Чертеж 6.

На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.

Так как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а, значит точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих линий. Иными словами и, если таковые углы существуют, то эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот если больше то меньше на 2

На чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.

На чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.

Получится, что

Но и могут быть равны каким-либо углам, если.

Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и.

Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.