Многие школьники к старшим классам забывают, как выполнять деление в столбик. Компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны и прочие устройства так плотно вошли в нашу жизнь, что элементарные математические действия иногда приводят в ступор. И как только люди обходились без всех этих благ еще несколько десятков лет назад? Для начала надо вспомнить главные математические понятия, которые нужны для деления. Так, делимым называют число, которое будут делить. Делитель – число, на которое будут делить. То, что в результате получится, называется частное. Для деления в строчку используется символ, похожий на двоеточие - «: », а при делении в столбик используют значок «∟», его еще по-другому называют уголок.
Стоит также напомнить, что любое деление можно проверить умножением. Чтобы проверить результат деления, достаточно умножить его на делитель, в итоге должно получиться число, которое соответствует делимому (а: b=с; значит, с*b=а) . Теперь о том, что такое десятичная дробь. Десятичная дробь получается после деления единицы на 0,0, 1000 и так далее частей. Запись этих чисел и математические действия с ними, точно такие же, как и с целыми числами. При делении десятичных дробей нет надобности помнить, где располагается знаменатель. Все становится итак понятным при записи числа. Сначала пишется целое число, а после запятой записываются ее десятые, сотые, тысячные части. Первая цифра после запятой соответствует десяткам, вторая - сотням, третья – тысячам и т. д.
Каждый школьник должен знать как делить десятичные дроби на десятичную дробь. Если и делимое, и делитель умножить на одинаковое число, то ответ, т. е. частное не изменится. Если десятичную дробь умножить на 0,0, 1000 и т. д. , то запятая, после целого числа изменит свое положение – она перенесется вправо на столько же цифр, сколько нулей в числе, на которое умножили. Например, при умножении десятичной дроби на 10, запятая сместится на одно число вправо. 2,9: 6,7 – умножаем и делитель, и делимое на 100, получаем 6,9: 3687. Лучше всего умножать так, чтобы при умножении на него хотя бы у одного числа (делителя или делимого) не осталось цифр после запятой, т. е. сделать хотя бы одно число целым. Еще несколько примеров переноса запятых после целого числа: 9,2: 1,5 = 2492: 2,5; 5,4: 4,8 = 5344: 74598.
Внимание, десятичная дробь не изменит своего значения, если справа к ней приписать нули, например 3,8 = 3,0. Также значение дроби не изменится, если у нее убрать справа нули, стоящие в самом конце числа: 3,0 = 3,3. Однако убирать нули, стоящие в середине числа нельзя – 3,3. Как делить десятичную дробь на натуральное число в столбик? Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число в столбик, нужно сделать соответствующую запись уголком, поделить. В частном запятую нужно поставить тогда, когда закончится деление целого числа. Например, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Если первая цифра числа в делимом меньше, чем делитель, то используются последующие цифры, то тех пор, пока не будет возможным произвести первое действие.
В данном случае, первая цифра делимого 1, ее поделить на 2 нельзя, поэтому для деления используется сразу две цифры 1 и 5: 15 на 2 делится с остатком, получается в частном 7, а в остатке остается 1. Затем используем следующую цифру делимого – 8. Ее спускаем вниз к 1 и делим 18 на 2. В частном записываем цифру 9. В остатке ничего не остается, поэтому записываем 0. Оставшуюся цифру 4 делимого спускаем вниз и производим деление на делитель, т. е. на 2. В частное записываем 2, а в остатке опять 0. Итогом такого деления получается число 7,2. Оно называется частным. Довольно просто решить вопрос о том, как делить десятичную дробь на десятичную дробь в столбик, если знать некоторые хитрости. Делить десятичные дроби в уме иногда довольно сложно, поэтому для облегчения процесса используется деление в столбик.
При таком делении действуют все те же правила, что и при делении десятичной дроби на целое число или при делении в строку. Слева в строке записывают делимое, затем ставят символ «уголка» и затем пишут делитель и начинают деление. Для облегчения деления и переноса в удобное место запятой после целого числа можно произвести умножение на десятки, сотни или тысячи. Например, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Внимание, на 0,0, 1000 умножаются обе дроби. Если делимое было умножено на 10, то и делитель также умножается на 10. В данном примере было произведено умножение и делимого и делителя на 100. Далее выполняют расчет так же, как показано в примере деления десятичной дроби на натуральное число. Для того чтобы произвести деление на 0,1; 0,1; 0,1 и т. д. необходимо умножить и делитель, и делимое на 0,0, 1000.
Достаточно часто при делении в частном, т. е. в ответе, получаются бесконечные дроби. В таком случае необходимо округлить число до десятых, сотых или тысячных. При этом действует правило, если после числа до которого нужно округлить ответ меньше или равняется 5, то ответ округляется в меньшую сторону, если же больше 5 – в большую. Например, требуется округлить результат 5,5 до тысячных. Значит, ответ после запятой должен заканчиваться на цифре 6. После 6 стоит 9, значит, ответ округляем в большую сторону и получаем 5,7. Но если бы нужно было ответ 5,5 округлить не до тысячных, а до десятых, то ответ бы выглядел так – 5,2. В данном случае 2 не округлили в большую сторону, потому что после нее идет 3, а она меньше 5.
В этой статье мы разберем такое важное действие с десятичными дробями, как деление. Сначала сформулируем общие принципы, затем разберем, как правильно выполнять деление десятичных дробей столбиком как на другие дроби, так и на натуральные числа. Далее мы разберем деление обыкновенных дробей на десятичные и наоборот, а в конце посмотрим, как правильно выполнять деление дробей, заканчивающихся на 0 , 1 , 0 , 01 , 100 , 10 и др.
Здесь мы возьмем только случаи с положительными дробями. Если же перед дробью стоит минус, то для действия с ней нужно изучить материал о делении рациональных и действительных чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Все десятичные дроби, как конечные, так и периодические, представляют из себя всего лишь особую форму записи обыкновенных дробей. Следовательно, на них распространяются те же принципы, что и на соответствующие им обыкновенные дроби. Таким образом, весь процесс деления десятичных дробей мы сводим к замене их на обыкновенные с последующим вычислением уже известными нам способами. Возьмем конкретный пример.
Пример 1
Разделите 1 , 2 на 0 , 48 .
Решение
Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных. У нас получится:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Таким образом, нам надо разделить 6 5 на 12 25 . Считаем:
1 , 2: 0 , 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 · 25 12 = 6 · 25 5 · 12 = 5 2
Из получившейся в итоге неправильной дроби можно выделить целую часть и получить смешанное число 2 1 2 , а можно представить ее в виде десятичной дроби, чтобы она соответствовала исходным цифрам: 5 2 = 2 , 5 . О том, как это сделать, мы уже писали ранее.
Ответ: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Пример 2
Посчитайте, сколько будет 0 , (504) 0 , 56 .
Решение
Для начала нам нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
После этого конечную десятичную дробь также переведем в другой вид: 0 , 56 = 56 100 . Теперь у нас есть два числа, с которыми нам будет легко провести необходимые вычисления:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 · 100 56 = 100 111
У нас получился результат, который мы также можем перевести в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель, используя метод столбика:
Ответ: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Если же в примере на деление нам встретились непериодические десятичные дроби, то мы будем действовать немного иначе. Мы не можем их привести к привычным обыкновенным дробям, поэтому при делении приходится предварительно округлять их до определенного разряда. Это действие должно быть выполнено как с делимым, так и с делителем: имеющуюся конечную или периодическую дробь в интересах точности мы тоже будем округлять.
Пример 3
Найдите, сколько будет 0 , 779 … / 1 , 5602 .
Решение
Первым делом мы округляем обе дроби до сотых. Так мы переходим от бесконечных непериодических дробей к конечным десятичным:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Можем продолжить подсчеты и получить примерный результат: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 78: 1 , 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 · 100 156 = 78 156 = 1 2 = 0 , 5 .
Точность результата будет зависеть от степени округления.
Ответ: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Как разделить натуральное число на десятичную дробь и наоборот
Подход к делению в этом случае практически аналогичен: конечные и периодические дроби заменяем обыкновенными, а бесконечные непериодические округляем. Возьмем для начала пример деления с натуральным числом и десятичной дробью.
Пример 4
Разделите 2 , 5 на 45 .
Решение
Приведем 2 , 5 к виду обыкновенной дроби: 255 10 = 51 2 . Далее нам надо просто разделить ее на натуральное число. Делать это мы уже умеем:
25 , 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 · 1 45 = 17 30
Если перевести результат в десятичную запись, то мы получим 0 , 5 (6) .
Ответ: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Метод деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии мы можем использовать его и для дробей. Ниже мы укажем последовательность действий, которую нужно для этого осуществить.
Определение 1
Для деления столбиком десятичных дробей на натуральные числа необходимо:
1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).
2. Разделить столбиком десятичную дробь на натуральное число, используя алгоритм. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.
Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться, то ответом будет периодическая дробь.
Возьмем для примера несколько задач и попробуем выполнить эти шаги уже с конкретными числами.
Пример 5
Вычислите, сколько будет 65 , 14 4 .
Решение
Используем метод столбика. Для этого допишем к дроби два нуля и получим десятичную дробь 65 , 1400 , которая будет равна исходной. Теперь пишем столбик для деления на 4:
Полученное число и будет нужным нам результатом деления целой части. Ставим запятую, отделяя ее, и продолжаем:
Мы добрались до нулевого остатка, следовательно, процесс деления завершен.
Ответ: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Пример 6
Разделите 164 , 5 на 27 .
Решение
Делим сначала дробную часть и получаем:
Отделяем полученную цифру запятой и продолжаем делить:
Мы видим, что остатки стали периодически повторяться, и в частном стали чередоваться цифры девять, два и пять. На этом мы остановимся и запишем ответ в виде периодической дроби 6 , 0 (925) .
Ответ: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Такое деление можно свести к уже описанному выше процессу нахождения частного десятичной дроби и натурального числа. Для этого нам потребуется умножить делимое и делитель на 10 , 100 и др. так, чтобы делитель превратился в натуральное число. Дальше выполняем описанную выше последовательность действий. Такой подход возможен благодаря свойствам деления и умножения. В буквенном виде мы записывали их так:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) и так далее.
Сформулируем правило:
Определение 2
Для деления одной конечной десятичной дроби на другую необходимо:
1. Перенести запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, допишем в него нули с правой стороны.
2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.
Разберем конкретную задачу.
Пример 7
Разделите 7 , 287 на 2 , 1 .
Решение: Чтобы делитель стал натуральным числом, нам надо перенести запятую на один знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 72 , 87 на 21 . Запишем полученные числа столбиком и вычислим
Ответ: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Пример 8
Вычислите 16 , 3 0 , 021 .
Решение
Нам придется переносить запятую на три знака. В делителе для этого не хватит цифр, значит, нужно воспользоваться дополнительными нулями. Считаем, что получится в итоге:
Видим периодическое повторение остатков 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . В частном повторяются 1 , 9 , 0 , 4 , 7 и 5 . Тогда наш результат является периодической десятичной дробью 776 , (190476) .
Ответ: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Описанный нами метод позволяет делать и наоборот, то есть делить натуральное число на конечную десятичную дробь. Посмотрим, как это делается.
Пример 9
Подсчитайте, сколько будет 3 5 , 4 .
Решение
Очевидно, что нам придется перенести запятую вправо на один знак. После этого мы можем приступить к делению 30 , 0 на 54 . Запишем данные столбиком и вычислим результат:
Повторение остатка дает нам в итоге число 0 , (5) , которое является периодической десятичной дробью.
Ответ: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и др.
Согласно уже изученным правилам деления обыкновенных дробей, деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1 / 1000 , 1 / 100 , 1 / 10 и др. Получается, чтобы выполнить деление, в данном случае достаточно просто перенести запятую на нужное количество цифр. Если значений в числе не хватит для переноса, нужно дописать нужное количество нулей.
Пример 10
Так, 56 , 21: 10 = 5 , 621 , а 0 , 32: 100 000 = 0 , 0000032 .
В случае с бесконечными десятичными дробями мы поступаем таким же образом.
Пример 11
Например, 3 , (56) : 1 000 = 0 , 003 (56) и 593 , 374 … : 100 = 5 , 93374 … .
Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и др.
Воспользовавшись тем же правилом, мы можем так же разделить дроби на указанные значения. Это действие будет аналогично умножению на 1000 , 100 , 10 соответственно. Для этого мы переносим запятую на одну, две или три цифры в зависимости от условий задачи и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.
Пример 12
К примеру, 5 , 739: 0 , 1 = 57 , 39 и 0 , 21: 0 , 00001 = 21 000 .
Это правило действует и в случае с бесконечными десятичными дробями. Советуем только быть внимательными с периодом дроби, которая получается в ответе.
Так, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , поскольку после того, как мы перенесли запятую в записи десятичной дроби 7 , 5716716716 … на два знака вправо, у нас получилось 757 , 167167 … .
Если же у нас в примере непериодические дроби, то все обстоит проще: 394 , 38283 … : 0 , 001 = 394382 , 83 … .
Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот
Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями. Для этого надо заменить десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число записать в виде неправильной дроби.
Если мы делим непериодическую дробь на обыкновенную либо на смешанное число, нужно поступить наоборот, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей им десятичной дробью.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.
Как разделить простую дробь на натуральное число?Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.
Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:
Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.
Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь - это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.
Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.
Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:- для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
- запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
Сложение десятичных дробей выполняется так же, как и сложение целых чисел. Убедимся в этом на примерах.
1) 0,132 + 2,354. Подпишем слагаемые одно под другим.
Здесь от сложения 2 тысячных с 4 тысячными получилось 6 тысячных;
от сложения 3 сотых с 5 сотыми получилось 8 сотых;
от сложения 1 десятой с 3 десятыми -4 десятых и
от сложения 0 целых с 2 целыми - 2 целых.
2) 5,065 + 7,83.
Во втором слагаемом нет тысячных долей, поэтому важно не допускать ошибки при подписывании слагаемых друг под другом.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Здесь при сложении тысячных долей получилась 21 тысячная; мы написали 1 под тысячными, а 2 прибавили к сотым, таким образом, в разряде сотых у нас получились следующие слагаемые: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; в сумме они дают 19 сотых, мы подписали 9 под сотыми, а 1 присчитали к десятым и т. д.
Таким образом, при сложении десятичных дробей надо соблюдать следующий порядок: дроби подписывать одна под другой так, чтобы во всех слагаемых одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа от десятичных знаков некоторых слагаемых приписывают, хотя бы мысленно, такое число нулей, чтобы все слагаемые после запятой имели одинаковое число цифр. Затем выполняют сложение по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной сумме ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в данных слагаемых.
§ 108. Вычитание десятичных дробей.
Вычитание десятичных дробей выполняется так же, как и вычитание целых чисел. Покажем это на примерах.
1) 9,87 - 7,32. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы единицы одного разряда находились друг под другом:
2) 16,29 - 4,75. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым, как в первом примере:
Чтобы сделать вычитание десятых, надо было занять одну целую единицу от 6 и раздробить её в десятые доли.
3) 14,0213- 5,350712. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым:
Вычитание было выполнено следующим образом: так как мы не можем вычесть 2 миллионных из 0, то следует обратиться к ближайшему разряду, стоящему слева, т. е. к стотысячным, но на месте стотысячных тоже стоит нуль, поэтому берём из 3 десятитысячных 1 десятитысячную и раздробляем её в стотысячные, получаем 10 стотысячных, из них 9 стотысячных оставляем в разряде стотысячных, а 1 стотысячную раздробляем в миллионные, получаем 10 миллионных. Таким образом, в трёх последних разрядах у нас получилось: миллионных 10, стотысячных 9, десятитысячных 2. Эти числа для большей ясности и удобства (чтобы не позабыть) записаны сверху над соответствующими дробными разрядами уменьшаемого. Теперь можно приступить к вычитанию. Из 10 миллионных вычитаем 2 миллионных, получаем 8 миллионных; из 9 стотысячных вычитаем 1 стотысячную, получаем 8 стотысячных и т. д.
Таким образом, при вычитании десятичных дробей соблюдается следующий порядок: подписывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа приписывают, хотя бы мысленно, в уменьшаемом или вычитаемом столько нулей, чтобы они имели одинаковое число цифр, затем выполняют вычитание по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной разности ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в уменьшаемом и вычитаемом.
§ 109. Умножение десятичных дробей.
Рассмотрим несколько примеров умножения десятичных дробей.
Чтобы найти произведение этих чисел, мы можем рассуждать следующим образом: если множитель увеличить в 10 раз, то оба сомножителя будут целыми числами и мы можем их тогда перемножить по правилам умножения целых чисел. Но мы знаем, что при увеличении одного из сомножителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Значит, число, которое получится от умножения целых сомножителей, т. е. 28 на 23, в 10 раз больше истинного произведения, а чтобы получить истинное произведение, нужно найденное произведение уменьшить в 10 раз. Следовательно, здесь придётся выполнить один раз умножение на 10 и один раз деление на 10, но умножение и деление на 10 выполняется путём перенесения запятой вправо и влево на один знак. Поэтому нужно поступить так: во множителе перенести запятую вправо на один знак, от этого он будет равен 23, затем нужно перемножить полученные целые числа:
Это произведение в 10 раз больше истинного. Следовательно, его надо уменьшить в 10 раз, для чего перенесём запятую на один знак влево. Таким образом, получим
28 2,3 = 64,4.
В целях проверки можно десятичную дробь написать со знаменателем и выполнить действие по правилу умножения обыкновенных дробей, т. е.
2) 12,27 0,021.
Отличие этого примера от предыдущего состоит в том, что здесь оба сомножителя представлены десятичными дробями. Но мы и здесь в процессе умножения не будем обращать внимания на запятые, т. е. временно увеличим множимое в 100 раз, а множитель в 1 000 раз, отчего произведение увеличится в 100 000 раз. Таким образом, умножая 1 227 на 21, получим:
1 227 21 = 25 767.
Принимая во внимание, что полученное произведение в 100 000 раз больше истинного, мы должны теперь уменьшить его в 100 000 раз путём надлежащей постановки в нём запятой, тогда получим:
32,27 0,021 = 0,25767.
Проверим:
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и во множителе вместе.
В последнем примере получилось произведение с пятью десятичными знаками. Если такая большая точность не требуется, то делается округление десятичной дроби. При округлении следует пользоваться тем правилом, какое было указано для целых чисел .
§ 110. Умножение при помощи таблиц.
Умножение десятичных дробей можно иногда выполнять при помощи таблиц. Для этой цели можно, например, воспользоваться теми таблицами умножения двузначных чисел, описание которых было дано раньше .
1) Умножим 53 на 1,5.
Будем перемножать 53 на 15. В таблице это произведение равно 795. Мы нашли произведение 53 на 15, но у нас второй множитель был в 10 раз меньше, значит, и произведение нужно уменьшить в 10 раз, т. е.
53 1,5 = 79,5.
2) Умножим 5,3 на 4,7.
Сначала найдём в таблице произведение 53 на 47, это будет 2 491. Но так как мы увеличили множимое и множитель в общей сложности в 100 раз, то и полученное произведение в 100 раз больше, чем следует; поэтому мы должны уменьшить это произведение в 100 раз:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Умножим 0,53 на 7,4.
Сначала найдём в таблице произведение 53 на 74; это будет 3 922. Но так как мы увеличили множимое в 100 раз, а множитель в 10 раз, то произведение увеличилось в 1 000 раз; поэтому мы теперь должны его уменьшить в 1 000 раз:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Деление десятичных дребей.
Деление десятичных дробей мы рассмотрим в таком порядке:
1. Деление десятичной дроби на целое число,
1. Деление десятичной дроби на целое число.
1) Разделим 2,46 на 2.
Мы разделили на 2 сначала целые, потом десятые доли и, наконец, сотые доли.
2) Разделим 32,46 на 3.
32,46: 3 = 10,82.
Мы разделили 3 десятка на 3, затем стали делить 2 единицы на 3; так как число единиц делимого (2) меньше делителя (3), то пришлось в частном поставить 0; далее, к остатку мы снесли 4 десятых и разделили 24 десятых на 3; получили в частном 8 десятых и, наконец, разделили 6 сотых.
3) Разделим 1,2345 на 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Здесь в частном на первом месте получился нуль целых, так как одна целая не делится на 5.
4) Разделим 13,58 на 4.
Особенность этого примера заключается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружился остаток, равный 2 сотым, мы раздробили зтот остаток в тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.
Правило. Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел, причём получающиеся остатки обращают в десятичные доли, всё более и более мелкие; деление продолжают до тех пор, пока в остатке не получится нуль.
2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь.
1) Разделим 2,46 на 0,2.
Мы уже умеем делить десятичную дробь на целое число. Подумаем, нельзя ли и этот новый случай деления свести к предыдущему? В своё время мы рассматривали замечательное свойство частного, состоящее в том, что оно остаётся без изменения при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое число раз. Мы без труда выполнили бы деление предложенных нам чисел, если бы делитель был целым числом. Для этого достаточно увеличить его в 10 раз, а для получения правильного частного необходимо во столько же раз, т. е. в 10 раз, увеличить и делимое. Тогда деление данных чисел заменится делением таких чисел:
причём никаких поправок в частном делать уже не придётся.
Выполним это деление:
Значит, 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Разделим 1,25 на 1,6.
Увеличиваем делитель (1,6) в 10 раз; чтобы частное не изменилось, увеличиваем в 10 раз и делимое; 12 целых не делится на 16, поэтому пишем в частном 0 и делим 125 десятых на 16, получаем в частном 7 десятых и в остатке 13. Раздробляем 13 десятых в сотые путём приписывания нуля и делим 130 сотых на 16 и т. д. Обращаем внимание на следующее:
а) когда в частном не получается целых, то на их месте пишется нуль целых;
б) когда после снесения к остатку цифры делимого получается число, которое не делится на делитель, то в частном пишется нуль;
в) когда после снесения последней цифры делимого деление не оканчивается, то, приписывая к остаткам нули, продолжают деление;
г) если делимое - целое число, то при делении его на десятичную дробь увеличение его осуществляется посредством приписывания к нему нулей.
Таким образом, чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель при отбрасывании в нём запятой, после чего выполнить деление по правилу деления десятичной дроби на целое число.
§ 112. Приближённое частное.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели деление десятичных дробей, причём во всех решённых нами примерах деление доводилось до конца, т. е. получалось точное частное. Однако в большинстве случаев точное частное не может быть получено, как бы далеко мы ни продолжали деление. Вот один из таких случаев: разделим 53 на 101.
Мы уже получили пять цифр в частном, а деление ещё не окончилось и нет надежды, что оно когда-либо окончится, так как в остатках у нас начинают появляться цифры, которые встречались уже ранее. В частном также будут повторяться числа: очевидно, что вслед за цифрой 7 появится цифра 5, затем 2 и т. д. без конца. В таких случаях прерывают деление и ограничиваются несколькими первыми цифрами частного. Такое частное называется приближённым. Как при этом нужно выполнять деление, мы покажем на примерах.
Пусть требуется 25 разделить на 3. Очевидно, что точного частного, выраженного целым числом или десятичной дробью, от такого деления получиться не может. Поэтому мы будем искать приближённое частное:
25: 3 = 8 и остаток 1
Приближённое частное равно 8; оно, конечно, меньше точного частного, потому что имеется остаток 1. Чтобы получить точное частное, нужно к найденному приближённому частному, т. е. к 8, прибавить дробь, которая получится от деления остатка, равного 1, на 3; это будет дробь 1 / 3 . Значит, точное частное выразится смешанным числом 8 1 / 3 . Так как 1 / 3 представляет собой правильную дробь, т. е. дробь, меньшую единицы , то, отбрасывая её, мы допустим погрешность , которая меньше единицы . Частное 8 будет приближённым частным с точностью до единицы с недостатком. Если мы вместо 8 возьмём в частном 9, то тоже допустим погрешность, которая меньше единицы, так как мы прибавим не целую единицу, a 2 / 3 . Такое частное будет приближённым частным с точностью до единицы с избытком.
Возьмём теперь другой пример. Пусть требуется 27 разделить на 8. Так как и здесь не получится точного частного, выраженного целым числом, то мы будем искать приближённое частное:
27: 8 = 3 и остаток 3.
Здесь погрешность равна 3 / 8 , она меньше единицы, значит, приближённое частное (3) найдено с точностью до единицы с недостатком. Продолжим деление: раздробим остаток 3 в десятые доли, получим 30 десятых; разделим их на 8.
Мы получили в частном на месте десятых 3 и в остатке б десятых. Если мы в частном ограничимся числом 3,3, а остаток 6 отбросим, то мы допустим погрешность, меньшую одной десятой. Почему? Потому что точное частное получилось бы тогда, когда мы прибавили бы к 3,3 ещё результат деления 6 десятых на 8; от этого деления получилось бы 6 / 80 , что составляет меньше одной десятой. (Проверьте!) Таким образом, если в частном мы ограничимся десятыми долями, то можно будет сказать, что мы нашли частное с точностью до одной десятой (с недостатком).
Продолжим деление, чтобы найти ещё один десятичный знак. Для этого раздробим 6 десятых в сотые доли и получим 60 сотых; разделим их на 8.
В частном на третьем месте получилось 7 и в остатке 4 сотых; если мы их отбросим, то допустим погрешность, меньшую одной сотой, потому что 4 сотых, делённые на 8, составляют меньше одной сотой. В таких случаях говорят, что частное найдено с точностью до одной сотой (с недостатком).
В примере, который мы сейчас рассматриваем, можно получить точное частное, выраженное десятичной дробью. Для этого достаточно последний остаток, 4 сотых, раздробить в тысячные и выполнить деление на 8.
Однако в огромном большинстве случаев получить точное частное невозможно и приходится ограничиваться его приближёнными значениями. Такой пример мы сейчас и рассмотрим:
40: 7 = 5,71428571...
Точки, поставленные в конце числа, обозначают, что деление не закончено, т. е. равенство приближённое. Обычно приближённое равенство записывают так:
40: 7 = 5,71428571.
Мы взяли частное с восемью десятичными знаками. Но если такая большая точность не требуется, можно ограничиться лишь целой частью частного, т. е. числом 5 (точнее 6); для большей точности можно было бы учесть десятые доли и взять частное равным 5,7; если и эта точность почему-либо недостаточна, то можно остановиться на сотых и взять 5,71, и т. д. Выпишем отдельные частные и назовём их.
Первое приближённое частное с точностью до единицы 6.
Второе » » » до одной десятой 5,7.
Третье » » » до одной сотой 5,71.
Четвёртое » » » до одной тысячной 5,714.
Таким образом, чтобы найти приближённое частное с точностью до какого-нибудь, например, 3-го десятичного знака (т. е. до одной тысячной), прекращают деление, как только находят этот знак. При этом нужно помнить правило, изложенное в § 40 .
§ 113. Простейшие задачи на проценты.
После изучения десятичных дробей мы решим ещё несколько задач на проценты.
Эти задачи подобны тем, какие мы решали в отделе обыкновенных дробей; но теперь сотые доли мы будем записывать в форме десятичных дробей, т. е. без явно обозначенного знаменателя.
Прежде всего нужно уметь легко переходить от обыкновенной дроби к десятичной со знаменателем 100. Для этого надо числитель разделить на знаменатель:
В приводимой ниже таблице показано, каким образом число со значком % (процент) заменяется десятичной дробью со знаменателем 100:
Рассмотрим теперь несколько задач.
1. Нахождение процентов данного числа.
Задача 1. В одном селе проживает всего 1 600 человек. Число детей школьного возраста составляет 25% от общего числа жителей. Сколько детей школьного возраста в этом селе?
В этой задаче нужно найти 25%, или 0,25, от 1 600. Задача решается умножением:
1 600 0,25 = 400 (детей).
Следовательно, 25% от 1 600 составляют 400.
Для ясного понимания этой задачи полезно напомнить, что на каждую сотню населения приходится 25 детей школьного возраста. Следовательно, чтобы найти число всех детей школьного возраста, можно сначала узнать, сколько сотен в числе 1 600 (16), а затем 25 умножить на число сотен (25 х 16 = 400). Этим путём можно проверить справедливость решения.
Задача 2. Сберегательные кассы дают вкладчикам ежегодно 2% дохода. Сколько дохода за год получит вкладчик, положивший в кассу: а) 200 руб.? б) 500 руб.? в) 750 руб.? г)1000руб.?
Во всех четырёх случаях для решения задачи нужно будет вычислить 0,02 от указанных сумм, т. е. каждое из данных чисел придётся умножить на 0,02. Сделаем это:
а) 200 0,02 = 4 (руб.),
б) 500 0,02 = 10 (руб.),
в) 750 0,02 = 15 (руб.),
г) 1 000 0,02 = 20 (руб.).
Каждый из этих случаев может быть проверен следующими соображениями. Сберегательные кассы дают вкладчикам 2% дохода, т. е. 0,02 от положенной на сбережение суммы. Если бы сумма равнялась 100 руб., то 0,02 от неё составляли бы 2 руб. Значит, каждая сотня приносит вкладчику 2 руб. дохода. Поэтому в каждом из рассмотренных случаев достаточно сообразить, сколько в данном числе сотен, и на это число сотен умножать 2 руб. В примере а) сотен 2, значит,
2 2 = 4 (руб.).
В примере г) сотен 10, значит,
2 10 = 20 (руб.).
2. Нахождение числа по его процентам.
Задача 1. Весной школа выпустила 54 ученика, что составляет 6% от общего числа учащихся. Сколько всего учащихся было в школе в истекшем учебном году?
Уясним сначала смысл этой задачи. Школа выпустила 54 ученика, что составляет 6% от общего числа обучавшихся, или, иными словами, 6 сотых (0,06) от всех учеников школы. Значит, нам известна часть учащихся, выраженная числом (54) и дробью (0,06), а по этой дроби мы должны найти всё число. Таким образом, перед нами обыкновенная задача на нахождение числа по его дроби (§90 п.6). Задачи такого типа решаются делением:
Значит, в школе всего было 900 учащихся.
Такие задачи полезно проверять решением обратной задачи, т. е. после решения задачи следует, хотя бы в уме, решить задачу первого типа (нахождение процентов данного числа): принять найденное число (900) за данное и найти от него указанный в решённой задаче процент, а именно:
900 0,06 = 54.
Задача 2. Семья расходует на питание в течение месяца 780 руб., что составляет 65% месячного заработка отца. Определить его месячный заработок.
Эта задача имеет такой же смысл, что и предыдущая. В ней даётся часть месячного заработка, выраженная в рублях (780 руб.), и указывается, что эта часть составляет 65%, или 0,65, от всего заработка. А искомым является весь заработок:
780: 0,65 = 1 200.
Следовательно, искомый заработок составляет 1200 руб.
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Задача 1. В школьной библиотеке всего 6 000 книг. Среди них 1 200 книг по математике. Сколько процентов математические книги составляют от числа всех книг, имеющихся в библиотеке?
Мы уже рассматривали (§97) такого рода задачи и пришли к выводу, что для вычисления процентного отношения двух чисел нужно найти отношение этих чисел и умножить его на 100.
В нашей задаче нужно найти процентное отношение чисел 1 200 и 6 000.
Найдём сначала их отношение, а затем умножим его на 100:
Таким образом, процентное отношение чисел 1 200 и 6 000 равно 20. Иными словами, математические книги составляют 20% от общего числа всех книг.
Для проверки решим обратную задачу: найти 20% от 6 000:
6 000 0,2 = 1 200.
Задача 2. Завод должен получить 200 т угля. Уже привезли 80 т. Сколько процентов угля доставлено на завод?
В этой задаче спрашивается, сколько процентов одно число (80) составляет от другого (200). Отношение этих чисел будет 80 / 200 . Умножим его на 100:
Значит, доставлено 40% угля.
37. Деление на десятичную дробь
Задача. Площадь прямоугольника равна 2,88 дм 2 , а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?
Р е ш е н и е. Так как 2,88 дм 2 = 288 см 2 , а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288: 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6, что 3,6 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.
Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим: .
Чтобы разделить число на десятичную дробь
, надо:
1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число.
Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.
Так как , то и .
Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125.
Так как , то и .
Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: , а .
Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7: 1, то есть 246,7. Значит, и 2,467: 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).
Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.
Например, .
1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:
а) 0,8: 0,5; б) 3,51: 2,7; в) 14,335: 0,61.
1444. Найдите частное и выполните проверку делением:
а) 0,096: 0,12; 6)0,126:0,9; в) 42,105: 3,5.
1445. Выполните деление:
1446. Запишите выражения:
а) частное от деления суммы а и 2,6 на разность b и 8,5;
б) сумму частного х и 3,7 и частного 3,1 и у.
1447. Прочитайте выражение:
а) m: 12,8 - n: 4,9; б) (х + 0,7) : (у + 3,4); в) (а: b) (8: с).
1448. Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов надо ему сделать, чтобы пройти расстояние 100 м?
1449. Алёша проехал на поезде 162,5 км за 2,6 ч. С какой скоростью шёл поезд?
1450. Найдите массу 1 см 3 льда, если масса 3,5 см 3 льда равна 3,08 г.
1451. Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,25 м, а длина другой части в 1,3 раза меньше первой. Какова была длина верёвки?
1452. В первый пакет вошло 6,72 кг муки, что в 2,4 раза больше, чем во второй пакет. Сколько килограммов муки вошло в оба пакета?
1453. На приготовление уроков Боря затратил в 3,5 раза меньше времени, чем на прогулку. Сколько времени ушло у Бори на прогулку и на приготовление уроков, если прогулка заняла 2,8 ч?