Нод решение. Нод и нок чисел - наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример : НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример:

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа - результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.
2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций, умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно, если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

16 = 2*2*2*2
120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел, а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем: Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Делимое	Делитель	Частное	Остаток
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника, старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий, как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

Позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

Повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

Позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

Развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

Создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя (НОД) натуральных чисел.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное - ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X - это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 - это 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратное целого X - это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 - 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем - 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
разложение чисел на неделимые множители;
алгоритм Евклида;
бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК - поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК - ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ - 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения - это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.