Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Определение 1
Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.
Рисунок 1.
$a$ - основание степени.
$n$ - показатель степени.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
Определение 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$.
Свойства степенной функции с натуральным четным показателем
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.
Область значения -- $ \
Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]
График (рис. 2).
Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$
Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- все действительные числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция возрастает на всей области определения.
$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$
\ \
Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.
График (рис. 3).
Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$
Степенная функция с целым показателем
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Определение 3
Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:
Рисунок 4.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения:
Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения