\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.

Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности \Delta x_k=x_{k+1}-x_k меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл.

Так как при a=b все \Delta x_k обращаются в нуль, то положим

\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.

Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату:

Теорема 2. Если функция y=f(x) ограничена на отрезке и имеет на нем первообразную y=F(x) , причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно F(b)-F(a) .

Доказательство. Мы доказали выше, что число F(a)-F(b) разделяет множества \{s_P\} и \{S_P\} . Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с F(b)-F(a) .

Начиная с этого момента мы будем применять обозначение \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx} лишь для единственного числа, разделяющего множества \{s_P\} и \{S_P\} . Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше.

Свойства нижних и верхних сумм Дарбу

Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу.

Лемма 1. Для каждого разбиения P соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, s_P\leqslant S_P .

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение P отрезка :

a=x_0"

Очевидно, что для любого k и для любого выбранного разбиения P выполняется неравенство s_P\leqslant S_P . Следовательно, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k , и потому

s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения P . Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.

Доказательство. Выберем некоторое разбиение P отрезка и добавим к нему новую точку деления {x^{\ast}} . Обозначим новое разбиение P^{\ast} . Разбиение P^{\ast} является измельчением разбиения P , т.е. каждая точка разбиения P является, одновременно и точкой разбиения P^{\ast} .

Пусть точка {x^{\ast}} попала на отрезок \colon\, x_k. Рассмотрим два образовавшихся отрезка и и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через m_{k}^{\ast} и m_{k}^{\ast\ast} , а точные верхние границы через M_{k}^{\ast} и M_{k}^{\ast\ast} .

Слагаемому m_k(x_{k+1}-m_{k}) первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых:

m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).

При этом m_k\leqslant m_{k}^{\ast} и m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast} , так как m_k - точная нижняя граница значений функции f(x) на всем отрезке , а m_{k}^{\ast} и m_{k}^{\ast\ast} лишь на его частях и соответственно.

Оценим снизу сумму полученных слагаемых:

\begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}

Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, s_P\leqslant S_P .

Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению P .

Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P} .

Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений.

Лемма 3. Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка ).

Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения P_1 и P_2 отрезка и образуем третье разбиение P_3 , состоящее из всех точек разбиений P_1 и P_2 . Таким образом, разбиение P_3 является измельчением как разбиения P_1 , так и разбиения P_2 (рис. 7).

Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно s_1,~S_1.~s_2,~S_2 и докажем, что s_1\leqslant S_2 .

Так как P_3 - измельчение разбиения P_1 , то s_1\leqslant s_3 . Далее, s_3\leqslant S_3 , поскольку суммы s_3 и S_3 соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, S_3\leqslant S_2 , так как P_3 является измельчением разбиения P_2 .

Таким образом, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2 , т.е. s_1\leqslant S_2 , что и требовалось доказать.

Из леммы 3 следует, что числовое множество X=\{s_P\} нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества Y=\{S_P\} верхних сумм Дарбу.

В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества X и Y , т.е. такое, что для любого разбиения отрезка выполняется двойное неравенство:

s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Если это число единственно, то \textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx} .

Приведем пример, показывающий, что такое число I , вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию y=D(x) на отрезке , определяемую равенствами:

D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}

Какой бы отрезок мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где D(x)=0 , и точки, где D(x)=1 . Поэтому для любого разбиения отрезка все значения m_k равны нулю, а все значения M_k равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)} равны нулю, а все верхние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)} равны единице,

Теорема . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], где a < b , и для всех x ∈ выполняется неравенство

С помощью неравенств из теоремы можно оценить определенный интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение. Эти неравенства выражают оценку определенного интеграла.

Теорема [Теорема о среднем] . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ] и для всех x ∈ выполняются неравенства m ≤ f(x) ≤ M , то

где m ≤ μ ≤ M .

Замечание . В случае, когда функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ], равенство из теоремы принимает вид

где c ∈ . Число μ=f(c) , определяемое данной формулой, называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b ]. Это равенство имеет следующий геометрический смысл : площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (f(x) ≤ 0 ), равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате некоторой точки этой линии.

Существование первообразной для непрерывной функции

Сначала введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Тогда, каково бы ни было число x из [a, b ], функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Поэтому на отрезке [a, b ] определена функция

которую называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема . Если подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a, b ], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть

Следствие . Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Замечание 1 . Отметим, что если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на этом отрезке функцию от верхнего предела. Действительно, из св.2 и теоремы о среднем имеем

Замечание 2 . Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих новых функций, например, . Эти функции не являются элементарными; как уже отмечалось, первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.

Основные правила интегрирования

Формула Ньютона--Лейбница

Поскольку любые две первообразные функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно предыдущей теореме можно утверждать, что любая первообразная Φ(x) непрерывной на сегменте [a, b ] функции f(x) имеет вид

где C - некоторая постоянная.

Полагая в этой формуле x=a и x=b , используя св.1 определенных интегралов, найдем

Из этих равенств вытекает соотношение

которое называется формулой Ньютона-Лейбница .

Таким образом доказали следующую теорему:

Теорема . Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.

Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема . Если

• функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ];
• отрезок [a, b ] является множеством значений функции φ(t) , определенной на отрезке α ≤ t ≤ β и имеющей на нем непрерывную производную;
• φ(α)=a , φ(β)=b

то справедлива формула

Формула интегрирования по частям

Теорема . Если функции u=u(x) , v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b ], то справедлива формула

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Теорема о среднем . Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке , то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке . Раз она интегрируема на , то она также интегрируема на ∀x ∈ . Тогда при каждом x ∈ имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.

Таким образом, каждому x ∈ поставлено в соответствие некоторое число ,

т.е. на задана функция:

(3.1)

Определение:

Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется

интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке

интегрируемости функции f (x).

Условие: f (t) непрерывна на , а функция F (x) задана формулой (3.1).

Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на , причем F (x) = f (x).

(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)

Доказательство:

Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность

Таким образом,

при этом точка ξ лежит на отрезке (или если ∆x < 0).

Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:

,

Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой

Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:

Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ (ξ ∈ ), а

∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:

F’(x) = f (x).

Следствие:

Условие: f (x) непрерывна на .

Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид

где C ∈ R – некоторая константа.

Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)

равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.

8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

Теорема:

Условие: f(t) непрерывна на , а F(x) ее любая первообразная.

Утверждение:

Доказательство: Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию из Теоремы «О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом» (см. предыдущий вопрос) она имеет вид . Отсюда

=> c = F (a ) , и

Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:

Определенный интеграл. Примеры решений

И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений .

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования .

Нижний предел интегрирования
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования .

Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое faq по определенному интегралу.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница :

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется . Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования .

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования . По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Что за фигня?! Изначальная невнимательность.

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл , коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла .

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак :

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования , правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям :

Пример 1

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

. Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Немного усложняем задачу:

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная находится в одной скобке.

Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.

Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла .

Пример 4

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения. Попробуйте решить его коротким и подробным способом.

Замена переменной в определенном интеграле

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле .

В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене .

В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые пределы интегрирования .

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Готово. И всего-то лишь…

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования .

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо .

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно.

Пример 6

Вычислить определенный интеграл

Пример 7

Вычислить определенный интеграл

Это примеры для самостоятельного решения. Решения и ответы в конце урока.

И в заключение параграфа пара важных моментов, разбор которых появился благодаря посетителям сайта. Первый из них касается правомерности замены . В некоторых случаях её проводить нельзя! Так, Пример 6, казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки , однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена» должна быть непрерывна во всех точках отрезка интегрирования .

В другом электронном письме поступил следующий вопрос: «А нужно ли менять пределы интегрирования, когда мы подводим функцию под знак дифференциала?». Сначала я хотел «отмахнуться от ерунды» и автоматически ответить «конечно, нет», но затем задумался о причине появления такого вопроса и вдруг обнаружил, что информации-то не хватает. А ведь она, пусть и очевидна, но очень важнА:

Если мы подводим функцию под знак дифференциала, то менять пределы интегрирования не нужно ! Почему? Потому что в этом случае нет фактического перехода к новой переменной . Например:

И здесь подведение гораздо удобнее академичной замены с последующей «росписью» новых пределов интегрирования. Таким образом, если определённый интеграл не очень сложен, то всегда старайтесь подвести функцию под знак дифференциала ! Это быстрее, это компактнее, и это обыденно – в чём вы убедитесь ещё десятки раз!

Большое спасибо за ваши письма!

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения и, после того, как мы возьмем интеграл .

Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.

Пример 8

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций , там он подробно разобран.

(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Если честно, я недолюбливаю формулу и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.

Вычислить определенный интеграл

На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл :

Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. Константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.

Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница :

И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.

Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла .

Уважаемый студент, распечатай и сохрани:

Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов .

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием . Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания.

И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9

Вычислить определенный интеграл

Решение и ответ где-то рядом.

Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла?
Интегрируем по частям:

Вы точно их прорешали и получили такие ответы? ;-) И на старуху бывает порнуха.