ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Реферат по дисциплине

«Техническая оптика»

тема: «Абсолютно черное тело»

Выполнил: студент гр. ОБДзс-07

Кобаснян Степан Сергеевич Проверил: преподаватель дисциплины

Сидорова Анастасия Эдуардовна

г.Тюмень 2009г.

Абсолютно чёрное тело - физическая абстракция, применяемая в термодинамике, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.

Модель абсолютно черного тела

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Классический подход

Изучение законов излучения абсолютно чёрного тела явилось одной из предпосылок появления квантовой механики.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, исходя из представлений классической термодинамики, вывел следующую формулу:

Из первой формулы Вина можно вывести закон смещения Вина (закон максимума) и закон Стефана-Больцмана, но нельзя найти значения постоянных, входящих в эти законы.

Исторически именно первый закон Вина назывался законом смещения, но в настоящее время термином "закон смещения Вина" называют закон максимума.

Второй закон излучения Вина

Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Позже Макс Планк показал, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов, а также нашёл постоянные C 1 и C 2 . С учётом этого, второй закон Вина можно записать в виде:

Закон Релея - Джинса

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излучения в зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Тем не менее закон излучения Рэлея - Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка, которая будет совпадать с формулой Рэлея - Джинса при .

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия, согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка :

где I (ν)d ν - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне частот от ν до ν + d ν.

Эквивалентно,

,

где u (λ)d λ - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне длин волн от λ до λ + d λ.

Закон Стефана - Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана - Больцмана :

где j - мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

Вт/(м²·К 4) - постоянная Стефана - Больцмана .

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T = 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 К мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина :

где T - температура в кельвинах, а λ max - длина волны с максимальной интенсивностью в метрах.

Видимый цвет абсолютно чёрных тел с разной температурой представлен на диаграмме.

Чернотельное излучение

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению). Объёмная плотность энергии чернотельного излучения равна , его давление равно . Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон - заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 К.

Цветность чернотельного излучения

Примечание: Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D 65). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения.

Абсолютно чёрное тело - физическая абстракция, применяемая в термодинамике, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.

Наиболее чёрные реальные вещества, например, сажа, поглощают до 99 % падающего излучения (т. е. имеют альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Термин был введён Густавом Кирхгофом в 1862.

****** нарисовать модель тела.******

Модель абсолютно черного тела

Абсолютно чёрных тел в природе не существует, поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет из себя замкнутую полость с небольшим отверстием. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин.

Первая формула Вина справедлива для всех частот. Любая более конкретная формула (например, закон Планка) должна удовлетворять первой формуле Вина.

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Закон Релея - Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамики и электродинамики приводит к закону Релея - Джинса:

На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Закон Планка определяет Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты

Закон Стефана - Больцмана определяет общую энергию теплового излучения определяется законом

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

Так, если считать в первом приближении, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36°C (309 К) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области спектра).

Абсолютно черное тело

Излучение нагретого чёрного тела в видимом диапазоне

Абсолютно чёрное тело - физическая абстракция, применяемая в термодинамике , тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь . Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой .

Наиболее чёрные реальные вещества, например, сажа , поглощают до 99 % падающего излучения (т. е. имеют альбедо , равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце . Термин был введён Густавом Кирхгофом в .

Практическая модель

Модель абсолютно черного тела

Абсолютно чёрных тел в природе не существует, поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет из себя замкнутую полость с небольшим отверстием. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Классический подход

Изучение законов излучения абсолютно чёрного тела явилось одной из предпосылок появления квантовой механики .

Первый закон излучения Вина

Тем не менее закон излучения Рэлея - Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка , которая будет совпадать с формулой Рэлея - Джинса при .

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия , согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка :

где I (ν)d ν - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне частот от ν до ν + d ν .

Эквивалентно,

,

где u (λ)d λ - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне длин волн от λ до λ + d λ .

Закон Стефана - Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана - Больцмана :

,

где j - мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

Вт/(м²·К 4) - постоянная Стефана - Больцмана .

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T = 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 К мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина :

Так, если считать в первом приближении, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36°C (309 К) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области спектра).

Видимый цвет абсолютно чёрных тел с разной температурой представлен на диаграмме.

Чернотельное излучение

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению). Объёмная плотность энергии чернотельного излучения равна , его давление равно . Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение , или космический микроволновой фон - заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 К.

Цветность чернотельного излучения

Примечание: Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (

Тепловым называют электромагнитное излучение, которое испускают нагретые тела за счет своей внутренней энергии. Тепловое излучение уменьшает внутреннюю энергию тела, и, следовательно, его температуру. Спектральной характеристикой теплового излучения является спектральная плотность энергетической светимости.

2. Какое тело называют абсолютно черным? Приведите примеры абсолютно черных тел.

Абсолютно черное тело - это тело, которое поглощает всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре (черная дыра).

3. Что такое ультрафиолетовая катастрофа? Сформулируйте квантовую гипотезу Планка.

Ультрафиолетовой катастрофой называют расхождение результатов эксперимента с классической волновой теорией. Квантовая гипотеза Планка: энергия и частота излучения связаны друг с другом. Излучение молекулами и атомами вещества происходит отдельными порциями - квантами.

4. Какую микрочастицу называют фотоном? Перечислите основные физические характеристики фотона.

Фотон - квант электромагнитного излучения.

1) его энергия пропорциональна частоте электромагнитного излучения.

3) его скорость во всех системах отсчета равна скорости света в вакууме.

4) его масса покоя равна 0.

5) импульс фотона равен:

6) Давление электромагнитного излучения:

5. Сформулируйте законы излучения черного тела: законы Вина и Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана: интегральная светимость абсолютно черного тела зависит только от его температуры

Абсолютно черное тело, полностью поглощающее электромагнитное излучение любой частоты, при нагревании излучает энергию в виде волн, равномерно распределенных по всему спектру частот

К концу XIX века ученые, исследуя взаимодействие электромагнитного излучения (в частности, света) с атомами вещества, столкнулись с серьезными проблемами, решить которые удалось только в рамках квантовой механики, которая, во многом, и зародилась благодаря тому, что эти проблемы возникли. Чтобы понять первую и, пожалуй, самую серьезную из этих проблем, представьте себе большой черный ящик с зеркальной внутренней поверхностью, в одной из стенок которого проделана маленькая дырочка. Луч света, проникающий в ящик через микроскопическое отверстие, навсегда остается внутри, бесконечно отражаясь от стенок. Объект, не отражающий света, а полностью поглощающий его, выглядит черным, поэтому его и принято называть черным телом. (Абсолютно чёрное тело - подобно многим другим концептуальным физическим явлениям - объект чисто гипотетический, хотя, например, полая, равномерно разогревающаяся зеркальная изнутри сфера, свет в которую проникает через единственное крохотное отверстие, является хорошим приближением.)

Абсолютно чёрных тел в природе не существует, поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет собой непрозрачную замкнутую полость с небольшим отверстием, стенки которой имеют одинаковую температуру. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде, чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, отверстие для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение).

Вам, однако, наверняка доводилось и в реальности видеть достаточно близкие аналоги черного тела. В очаге, например, случается, что несколько поленьев сложатся практически вплотную, а внутри них выгорит довольно большая полость. Снаружи поленья остаются темными и не светятся, в то время как внутри выгоревшей полости накапливаются жар (инфракрасное излучение) и свет, и, прежде чем вырваться наружу, эти лучи многократно отражаются от стен полости. Если заглянуть в щель между такими поленьями, вы увидите яркое желто-оранжевое высокотемпературное свечение и, оттуда на вас буквально полыхнет жаром. Просто лучи на какое-то время оказались пойманными в ловушку между поленьями подобно тому, как свет полностью улавливается и поглощается вышеописанным черным ящиком.

Модель такого черного ящика помогает нам понять, как ведет себя поглощенный черным телом свет, взаимодействуя с атомами его вещества. Тут важно понять, что свет поглощается атомом, тут же испускается им и поглощается другим атомом, снова испускается и поглощается, и так будет происходить до момента достижения состояния равновесного насыщения. При нагревании черного тела до равновесного состояния интенсивность испускания и поглощения лучей внутри черного тела уравниваются: при поглощении некоего количества света определенной частоты одним атомом другой атом где-то внутри одновременно испускает такое же количество света той же частоты. Таким образом, количество поглощенного света каждой частоты внутри черного тела остается неизменной, хотя поглощают и испускают его разные атомы тела.

До этого момента поведение черного тела остается достаточно понятным. Проблемы в рамках классической физики (под «классической» здесь имеется в виду физика до появления квантовой механики) начались при попытках подсчитать энергию излучения, сохраняемую внутри абсолютно черного тела в равновесном состоянии. И скоро выяснились две вещи:

1. чем выше волновая частота лучей, тем больше их накапливается внутри черного тела (то есть, чем короче длины волн исследуемой части спектра волн излучения, тем больше лучей этой части спектра внутри черного тела предсказывает классическая теория);
2. чем выше частота волны, тем большую энергию она несет и, соответственно, тем больше ее сохраняется внутри черного тела.

По совокупности два этих заключения привели к немыслимому результату: энергия излучения внутри черного тела должна быть бесконечной! Эта злая насмешка над законами классической физики была окрещена ультрафиолетовой катастрофой, поскольку высокочастотное излучение лежит в ультрафиолетовой части спектра.

Порядок удалось восстановить немецкому физику Максу Планку (см. Постоянная Планка) - он показал, что проблема снимается, если допустить, что атомы могут поглощать и излучать свет только порциями и только на определенных частотах. (Позже Альберт Эйнштейн обобщил эту идею, введя понятие фотонов - строго определенных порций светового излучения.) По такой схеме многие частоты излучения, предсказываемые классической физикой, просто не могут существовать внутри черного тела, поскольку атомы не способны ни поглощать, ни испускать их; соответственно, эти частоты выпадают из рассмотрения при расчете равновесного излучения внутри черного тела. Оставив только допустимые частоты, Планк предотвратил ультрафиолетовую катастрофу и направил науку по пути верного понимания устройства мира на субатомном уровне. Кроме того, он рассчитал характерное распределение равновесного излучения черного тела по частотам.

Это распределение получило всемирную известность через многие десятилетия после его публикации самим Планком, когда ученые-космологи выяснили, что открытое ими реликтовое микроволновое излучение в точности подчиняется распределению Планка по своим спектральным характеристикам и соответствует излучению абсолютно черного тела при температуре около трех градусов выше абсолютного нуля.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Комментарии: 0

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты - такие как электроны или фотоны - совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств. Одно дело - это заявить, и совсем другое - связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно. Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны.

Имеется целый ряд типов электромагнитного излучения, начиная с радиоволн и заканчивая гамма-лучами. Электромагнитные лучи всех типов распространяются в вакууме со скоростью света и отличаются друг от друга только длинами волн.

Макс Планк - один из основоположников квантовой механики - пришел к идеям квантования энергии, пытаясь теоретически объяснить процесс взаимодействия между недавно открытыми электромагнитными волнами и атомами и, тем самым, разрешить проблему излучения черного тела. Он понял, что для объяснения наблюдаемого спектра излучения атомов нужно принять за данность, что атомы излучают и поглощают энергию порциями (которые ученый назвал квантами) и лишь на отдельных волновых частотах.

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк для описания взаимодействия света с атомами.

Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под «игрой в кости». Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики - результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.

Свет - основа жизни на нашей планете. Отвечая на вопросы «Почему небо голубое?» и «Почему трава зеленая?» можно давать однозначный ответ - «Благодаря свету». Эта неотъемлемая часть нашей жизни, но мы все еще стараемся понять феномен света…

Волны - один из двух путей переноса энергии в пространстве (другой путь - корпускулярный, при помощи частиц). Волны обычно распространяются в какой-то среде (например, волны на поверхности озера распространяются в воде), однако направление движения самой среды не совпадает с направлением движения волн. Представьте себе поплавок, покачивающийся на волнах. Поднимаясь и опускаясь, поплавок повторяет движения воды, в то время как волны проходят мимо него. Явление интерференции происходит при взаимодействии двух и более волн одинаковой частоты, распространяющихся в различных направлениях.

Основы явления дифракции можно понять, если обратиться к принципу Гюйгенса, согласно которому каждая точка на пути распространения светового луча может рассматриваться как новый независимый источник вторичных волн, и дальнейшая дифракционная картина оказывается обусловленной интерференцией этих вторичных волн. При взаимодействии световой волны с препятствием часть вторичных волн Гюйгенса блокируется.

Состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок , - поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Элементарные частицы | абсолютно чёрное тело

✪ Савельев-Трофимов А. Б. - Введение в квантовую физику - Абсолютно чёрное тело (Лекция 2)

✪ Физика для чайников. Урок 59. Абсолютно чёрное тело

✪ Физика для чайников. Лекция 59. Абсолютно чёрное тело

✪ Авакянц Л. П. - Введение в квантовую физику. Абсолютно чёрное тело (Лекция 1)

Субтитры

Практическая модель

Изучение законов излучения абсолютно чёрного тела явилось одной из предпосылок появления квантовой механики .

Первый закон излучения Вина

k - постоянная Больцмана , c - скорость света в вакууме.

Закон Рэлея - Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамики и электродинамики приводит к закону Рэлея - Джинса:

u (ω , T) = k T ω 2 π 2 c 3 {\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излучения в зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением , поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой .

Тем не менее закон излучения Рэлея - Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка , которая будет совпадать с формулой Рэлея - Джинса при ℏ ω / k T ≪ 1 {\displaystyle \hbar \omega /kT\ll 1} .

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия , согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка :

R (ν , T) = 2 π h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 , {\displaystyle R(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},}

где R (ν , T) {\displaystyle R(\nu ,T)} - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в единичном интервале частот (размерность в СИ: Дж·с −1 ·м −2 ·Гц −1), что эквивалентно

R (λ , T) = 2 π h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 , {\displaystyle R(\lambda ,T)={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1},}

где R (λ , T) {\displaystyle R(\lambda ,T)} - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в единичном интервале длин волн (размерность в СИ: Дж·с −1 ·м −2 ·м −1).

Закон Стефана - Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана - Больцмана, который гласит:

j = σ T 4 , {\displaystyle j=\sigma T^{4},}

где j {\displaystyle j} - мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 = π 2 k 4 60 ℏ 3 c 2 ≃ 5,670 400 (40) ⋅ 10 − 8 {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\simeq 5{,}670400(40)\cdot 10^{-8}} Вт/(м²·К 4) - постоянная Стефана - Больцмана .

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T {\displaystyle T} = 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Для нечёрных тел можно приближённо записать:

j = ϵ σ T 4 , {\displaystyle j=\epsilon \sigma T^{4},\ }

где ϵ {\displaystyle \epsilon } - степень черноты. Для всех веществ ϵ < 1 {\displaystyle \epsilon <1} , для абсолютно чёрного тела ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} , для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения : ϵ = α = 1 − ρ − τ {\displaystyle \epsilon =\alpha =1-\rho -\tau } , где α {\displaystyle \alpha } - коэффициент поглощения, ρ {\displaystyle \rho } - коэффициент отражения, а τ {\displaystyle \tau } - коэффициент пропускания. Именно поэтому для уменьшения тепловой радиации поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения - затемняют.

Константу Стефана - Больцмана σ {\displaystyle \sigma } можно теоретически вычислить только из квантовых соображений, воспользовавшись формулой Планка. В то же время общий вид формулы может быть получен из классических соображений (что не снимает проблемы ультрафиолетовой катастрофы).

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина :

λ max = 0,002 8999 T {\displaystyle \lambda _{\max }={\frac {0{,}0028999}{T}}}

где T {\displaystyle T} - температура в кельвинах , а λ max {\displaystyle \lambda _{\max }} - длина волны с максимальной интенсивностью в метрах .

Так, если считать в первом приближении, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области спектра).

P = a 3 T 4 , {\displaystyle P={\frac {a}{3}}T^{4},}

(Термическое уравнение состояния)

U = a V T 4 , {\displaystyle U=aVT^{4},}

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

U = a V (3 S 4 a V) 4 3 , {\displaystyle U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{\mathsf {\frac {4}{3}}},}

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

H = (3 P a) 1 4 S , {\displaystyle H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{\mathsf {\frac {1}{4}}}S,}

энтальпии)

F = − 1 3 a V T 4 , {\displaystyle F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},}

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

Ω = − 1 3 α V T 4 , {\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},}

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

S = 4 a 3 V T 3 , {\displaystyle S={\frac {4a}{3}}VT^{3},}

(Энтропия)

C V = 4 a V T 3 , {\displaystyle C_{V}=4aVT^{3},}

(Теплоёмкость при постоянном объёме)

γ = ∞ , {\displaystyle \gamma =\infty ,}

(