Гармонический анализ периодических сигналов. Спектральный (гармонический) анализ сигналов Гармонический анализ периодических сигналов

Транскрипт

1 Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики простейших сигналов Свойства преобразования Фурье Распределение энергии в спектре непериодического сигнала 3 Преобразование Фурье Гармонический анализ можно распространить и на непериодические сигналы Рассмотрим сигнал, который определен некоторой функцией (t) на интервале [ t, t ] и равен нулю за пределами этого интервала (этот сигнал показан на рис3 сплошной линией) Будем полагать, что эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема Рис3 Периодическая функция, образованная повторением (t) Возьмем произвольный отрезок времени длительностью T, целиком включающий интервал [ t, t ], и образуем периодическую функцию п (t) (t k T) k в которой функция (t) повторяется через интервал T (фрагмент этой функции показан на рис 3) Очевидно, что (t) lm (t) (3) T Периодическую функцию п (t) можно записать в виде ряда Фурье в комплексной форме где п п () j t t c e, (3) T j t (33) c (t) e d t Подставив (33) в (3) и заменив T, получим T T t j j t п () [ [ () ] (34) t e d e t 8

2 Чтобы получить спектральное представление сигнала (t), подставим (34) в (3) и устремим T к бесконечности При T угловая частота T превращается в бесконечно малое приращение частоты d, частота -ой составляющей ряда в текущую частоту, а операция суммирования может быть заменена на операцию интегрирования В результате получим t (t) j t e [ () j e d ] d (35) t С учетом, что значения t и t не определены, для внутреннего интеграла в (35) введем обозначение X (j) (t) e d t j t (36) Функцию X (j) называют спектральной характеристикой сигнала () Выражение (35) с учетом (36) принимает вид (t) j t X (j) e d 9 t (37) Формулы (36) и (37) образуют пару преобразований Фурье и устанавливают однозначное соответствие между представлением (t) сигнала во временной области и его представлением X (j) в области частот Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье, а функцию X (j) спектральной характеристикой сигнала (t) Формула (37) позволяет осуществить обратное преобразование и вычислить мгновенное значение сигнала (t), если известна его спектральная характеристика X (j) Символически эти преобразования записываются в виде X (j) [ (t)], (t) [ X (j)] Спектральная характеристика X (j) сигнала (t) в общем случае является комплексной функцией частоты Применив известную формулу Эйлера, ее можно записать в следующем виде j t X (j) (t) e d t (t) c o s t d t j (t) s t d t Действительная часть a () j b () X () e j () a () (t) c o s t d t спектральной характеристики есть четная функция частоты, а мнимая часть b () (t) s t d t (38) нечетная функция частоты Отсюда следует, что модуль спектральной характеристики X () X (j) a () b ()

3 есть четная функция частоты, а аргумент спектральной характеристики () a rg X (j) нечетная функция частоты Графически спектральную характеристику X (j) сигнала (t) в общем случае можно представить в виде годографа на комплексной плоскости (рис 3, а) Однако чаще строят амплитудно-частотную X () и фазо-частотную () спектральные характеристики (рис 3, б, в) Учитывая симметричность спектральных характеристик при положительных и отрицательных значениях частоты, их, как правило, строят только при положительных значениях частоты Рис3 Спектральные характеристики сигнала: а годограф, б амплитудная, в фазовая Формулу (37) обратного преобразования Фурье при помощи формулы Эйлера и выражения (38) можно преобразовать к следующему виду: (t) [ a () c o s t b () s t ] d (39) 3 Спектральные характеристики простейших непериодических сигналов Спектральная характеристика одиночного прямоугольного импульса Прямоугольный импульс с началом отсчета, совмещенным с его серединой (рис 33, а), описывается выражением t D п р и t, (t) D re c t п р и t и t Применяя формулу (36), находим j j j t D s () (3) j X (j) D e d t (e e) D Спектральная характеристика прямоугольного импульса при выбранном начале отсчета является вещественной функцией (рис 33, б) Максимальное значение X (j) достигается при Его можно вычислить по правилу Лопиталя: X () D Спектральная характеристика обращается в нуль при значениях аргумента (где любое (положительное или отрицательное) целое число 3),

4 Рис33 Спектральные характеристики прямоугольного импульса (а): б общая; в амплитудная; г фазовая При увеличении длительности импульса расстояние между нулями функции X (j) уменьшается, то есть спектр сужается Значение X () при этом возрастает При уменьшении длительности импульса, наоборот, расстояние между нулями функции X (j) увеличивается, что свидетельствует о расширении спектра, а значение X () уменьшается Амплитудная спектральная характеристика X () прямоугольного импульса показана на рис 33, в При построении фазовой спектральной характеристики () (рис 33, г) каждая перемена знака функции X (j) учитывается приращением фазы на Спектральная характеристика дельта-функции Дельта-функция (функция Дирака) определяется следующим образом: п р и t, (t) п р и t Функция удовлетворяет условию (t) d t, которое означает, что площадь импульса равна единице Получить на практике сигнал, описываемый такой функцией, нельзя Однако дельта-функция является очень удобной математической моделью На рис 34, а приведено графическое представление дельта-функции в виде вертикального отрезка, заканчивающегося стрелкой Длина этого отрезка, принимается пропорциональной площади дельта-импульса Найдем спектральную характеристику дельта функции Для этого возьмем прямоугольный импульс, описываемый функцией v(t) (рис 34, б) Длительность импульса равна, а амплитуда Поэтому площадь импульса равна единице Будем уменьшать длительность импульса до нуля, при этом его амплитуда будет стремиться к бесконечности Следовательно, (t) lm v (t) 3

5 Рис34 К определению спектральной характеристики дельта-функции: а дельта-функция; б прямоугольный импульс; в спектральная характеристика Спектральная характеристика прямоугольного импульса определяется выражением (3) Отсюда с учетом, что A, получим спектральную характеристику дельтафункции s () X (j) lm Таким образом, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах (рис 34, в) Спектральная характеристика экспоненциального сигнала Рассмотрим сигнал, описываемый функцией t (t) A e (t) при положительном вещественном значении параметра (рис 35, а) Спектральная характеристика экспоненциального сигнала равна A X (j) A e e d t e j j t j t A (j) t Годограф спектральной характеристики приведен на рис 35, б Амплитудный и фазовый спектры определяются соответственно выражениями: X () X (j) A () arg X (j) arctg (), Рис35 К определению спектральной характеристики экспоненциального импульса: а экспоненциальный импульс; б спектральная характеристика Спектральная характеристика ступенчатого сигнала Рассмотрим сигнал, описываемый ступенчатой функцией (t) A (t) (3) 3

6 Ступенчатая функция (t) не является абсолютно интегрируемой функцией, поэтому формулу прямого преобразования Фурье использовать нельзя Однако функцию (3) можно представить как предел экспоненциальной функции: (t) A lm e t В этом случае спектральную характеристику X (j) можно определить как предел спектральной характеристики экспоненциального сигнала при: A X (j) lm A lm ja lm j При первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на всех частотах, кроме, где оно обращается в бесконечность Найдем площадь d d a rc tg () Предел второго слагае- Следовательно, предел первого слагаемого равен () мого очевиден Поэтому окончательно получим X (j) () j 33 Основные свойства преобразования Фурье Между сигналом (t) и его спектром X (j) существует однозначное соответствие Для решения практических задач необходимо знать связь между изменениями сигнала и соответствующими изменениями спектральной характеристики Рассмотрим наиболее важные преобразования сигналов и соответствующие им изменения спектральной характеристики Линейность преобразования Фурье Если сигналы (t), (t) преобразуемы по Фурье и их спектральными характеристиками являются соответственно функции X (j), X (j) и если, величины, не зависящие от t и, то справедливы следующие равенства: (t) X (j), X (j) (t) Таким образом, линейной комбинации сигналов соответствует линейная комбинация спектральных характеристик этих сигналов Спектральная характеристика производной Если функция (t), описывающая сигнал, и ее производная y (t) d d t преобразуемы по Фурье и (t) имеет спектральную характеристику X (j), то спектральная характеристика производной d (t) Y (j) j X (j) dt (3) 33

7 Таким образом, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной характеристики на множитель j Поэтому принято говорить, что мнимое число j является оператором дифференцирования, действующим в частотной области Формула (3) обобщается на случай спектра производной -го порядка Легко показать, что если производная y (t) d (t) d t абсолютно интегрируема в интервале (,), то Y (j) (j) X (j) Спектральная характеристика интеграла Если функция (t), описывающая сигнал, преобразуема по Фурье, имеет спектральную характеристику () t, то спектральная характеристика интеграла y (t) () d равна X j и (t) d t t X (j) Y (j) () d j Таким образом, множитель (j) является оператором интегрирования в частотной области Это свойство распространяется и на интегралы кратности Спектральная характеристика смещенного сигнала Пусть имеется сигнал (t) (рис 36, а) произвольной формы, существующий на интервале [ t, t ] и обладающий спектральной характеристикой X (j) Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на время позднее и поэтому описываемый функцией (t) (t) Эта функция определена на интервале [ t, t ] (рис 36, б) Рис36 Исходный (а) и «запаздывающий» (б) сигналы Если сигнал (t) преобразуем по Фурье и имеет спектральную характеристику X (j), то спектральная характеристика «запаздывающего» сигнала (t) равна j X (j) (t) e X (j) В случае «опережающего» сигнала (t) (t) будем иметь 34

8 j X (j) (t e X (j) Смещение спектральной характеристики Если функция (t) преобразуема по Фурье и имеет спектральную характеристику X (j), то j a t e (t) X [ j (a)], где a любое вещественное неотрицательное число Сжатие и растяжение сигналов Пусть задан сигнал (t) и ее спектральная характеристика X (j) Подвергнем эту функцию изменению масштаба времени, образовав новую функцию (t) (k t), где k некоторое вещественное число На рис 37 приведены, например, графики сигнала, описываемого функцией для значений Ф k 5 ; ; 5 kt, (33) (t) e c o s k t Рис37 Графики сигнала (33): а k ; б k ; в k 5 Легко заметить, что при k происходит «сжатие» сигнала (рис 37, б), а при k «растяжение» сигнала (рис 37, в) Можно показать, что спектральная характеристика сигнала (t) определяется выражением X (j) (k t) X (j) k k Из этого выражения следует, что при сжатии сигнала на временной оси в k раз во столько же раз расширяется его спектр на оси частот Модуль спектральной характеристики при этом уменьшается в k раз При растяжении сигнала во времени, то есть при k, имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной характеристики Спектральная характеристика произведения сигналов Пусть имеются два сигнала, которые описываются функциями (t) и (t) Образуем сигнал Если сигналы () t и () t преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики есть соответственно () y(t) определяется выражением y (t) (t) (t) X j и () X j, то спектральная характеристика сигнала 35

9 Теорема Парсеваля Если функции () Y (j) F (t) (t) X [ j ()] X (j) d t и () t преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики соответственно равны () X j и () сходятся абсолютно, то справедливо равенство X j, причем интегралы X (j) d, X (j) d (t) (t) d t X (j) X (j) d (34) Формула (34) позволяет найти интеграл в бесконечных пределах от произведения двух функций, произведя соответствующие операции со спектральными характеристиками функций После несложных преобразований формулу (34) можно записать в вещественной форме (t) (t) d t X (j) X (j) c o s[ () ()] d Если (t) (t) (t), то X (j) X (j) X (j) и из (34) получим равенство, которое называют ф о рм улой Парсева л я: (t) d t X (j) d X (j) d Обратимость преобразования Фурье Нетрудно заметить, что формулы прямого преобразования и обратного преобразования Фурье j t X (j) (t) e d t j t (t) X (j) e d очень похожи друг на друга По этой причине все «пары» преобразований имеют близкие зеркальные образы Покажем это на примере Как показано выше, прямоугольный импульс, описываемый функцией (t) имеет спектральную характеристику D п р и t, п р и t и t s () X (j) D С другой стороны, если подвергнуть прямому преобразованию Фурье сигнал 36

10 получим D s (t) y(t) t D п р и, Y (j) п р и и 34 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала Практическая ширина спектра Величина E (t) d t носит название эн ер гии сигн ала Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением Ом, если к его зажимам приложено напряжение (t) С помощью формулы Парсеваля энергию сигнала можно выразить через его спектральную характеристику: (35) E (t) d t X (j) d X (j) d Соотношение (35) позволяет определить энергию сигнала путем интегрирования квадрата модуля спектральной характеристики по всему диапазону частот Кроме того, это соотношение показывает, каким образом распределена энергия сигнала по различным частотным составляющим Из него видно, что на бесконечно малый промежуток частот приходится энергия Поэтому функцию d E 37 X (j) d N () X (j) можно назвать спектральной характеристикой энергии сигнала (t) Она характеризует распределение энергии сигнала по его гармоническим составляющим В процессе решения практических задач анализа и синтеза сигналов с помощью преобразования Фурье приходится ограничивать интервал частот, в котором строится спектральная характеристика Этот интервал частот [, ], называемый практическ ой ширин ой спек тра, содержит существенные для данного исследования составляющие При определении практической ширины спектра сигнала по заданной интенсивности гармонических составляющих используют амплитудную спектральную характеристику Значение амплитуды гармониче- пр выбирают из условия, что при пр ских составляющих не превышают заданной величины С энергетической точки зрения практическая ширина спектра непериодического сигнала оценивается по области частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала В соответствии с формулой (35) энергия сигнала, сосредоточенная в полосе частот от до пр, будет пр

11 пр E X j d () В зависимости от требований к доле полезно используемой энергии сигнал и выбирается практическая ширина спектра Пример Дан прямоугольный импульс, описываемый функцией Энергия сигнала равна (t) D п р и t, п р и t и t E (t) d t D d t D Спектральная характеристика прямоугольного импульса найдена выше: s () X (j) D (36) Пусть D, Тогда согласно (36) E Интегрирование квадрата модуля спектральной характеристики в интервале частот [, ] дает оценку энергии импульса E Контрольные вопросы Укажите основное принципиальное отличие спектров периодического и непериодического сигналов Поясните физический смысл амплитудного и фазового спектров непериодического сигнала 3 Поясните, что произойдет со спектром непериодического сигнала при изменении полярности последнего на противоположный 4 Как связаны между собой спектры одиночного импульса и периодической последовательности таких же импульсов? 5 Как изменятся амплитудный и фазовый спектры сигнала при его дифференцировании (интегрировании)? 6 Поясните, какова связь между амплитудным и фазовым спектрами данного сигнала и сигнала, запаздывающего на величину 7 Поясните, как изменится спектральная характеристика (39) прямоугольного импульса, если длительность импульса 8 Покажите, что для преобразования Фурье справедлив принцип суперпозиции 9 В чем состоит физический смысл равенства Парсеваля? Что означает и для чего вводится понятие практической ширины спектра? 38

Осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры

54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье 2 Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

43 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Ястребов НИ Каф ТОР, РТФ, КПИ Спектральный анализ непериодических сигналов () Т Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: () jω C& e, где C & jω () e Поскольку интеграл

Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается, что периодическую функцию () с периодом Т, удовлетворяющую определенным требованиям, можно представить рядом Фурье: a a cos n b sn n, где / n, a

43 Лекция 4 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Тригонометрическая форма ряда Фурье Комплексная форма ряда Фурье 3 Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции 4 Заключение

4. Анализ цепей при негармонических воздействиях. Практически любое реальное колебание может быть разложено в совокупность гармонических колебаний. По принципу суперпозиции действие каждой гармонической

Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается что любую периодическую функцию () с периодом Т можно представить рядом Фурье: a a cos b s где / a cos d b s d / / a и b - коэффициенты ряда Фурье

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

64 Лекция 6 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 3 Операторный метод анализа электрических цепей 4 Определение оригинала по известному

43 Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Тригонометрическая форма ряда Фурье Комплексная форма ряда Фурье 3 Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции 4 Заключение

3 Лекция 4 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Комплексная форма ряда Фурье 3 Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции 4 Выводы

Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,

Тема ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Базисная система гармонических функций Тригонометрический ряд Фурье Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала Историческая справка Комплексный

Лабораторная работа 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 4 Тригонометрическая форма ряда Фурье Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле,

Сигналов. Задание. Анализ временных и частотных характеристик импульсных Пример.. С помощью свойств преобразования Фурье найти аналитическое выражение спектра аналогового импульсного сигнала (), изображенного

Тема 5 ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Свойства линейных стационарных систем: линейность, стационарность, физическая реализуемость Дифференциальное уравнение Передаточная функция Частотная передаточная функция

ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 4. ДИНАМИЧЕКИЕ ЗВЕНЬЯ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЧАСТОТНАЯ

Переходные процессы - операторный подход. Метод Фурье Искажающая передающая система - например B Q{ A } - пусть один вход один выход Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности т.е.

Лекция 8 33 ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 33 Описание сигналов и систем Описание сигналов Для описания детерминированных сигналов используется преобразование Фурье: it

Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

7. Некоторые базисные системы из l В системах с дискретным временем важное место занимают дискретные сигналы, определенные на конечных интервалах. Такие сигналы являются -мерными векторами в пространстве

97 Лекция 0 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) План Метод комплексных амплитуд Комплексные сопротивление и проводимость 3 Расчет установившегося синусоидального

Тема 0 Тригонометрические ряды Фурье Ряд Фурье для периодической функции с периодом T 0) s cos) d N d d)s)cos) 0 Тригонометрические ряды Фурье Ряд Фурье для функции с периодом T 0 s cos) d d d)s,

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Рассмотрим электрические колебания, возникающие в том случае, когда в цепи имеется генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически.

Спектральное представление сигналов к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Спектральное представление сигналов Лекция 4 Москва,

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g(), g(),..., g (),... ортогональна и

6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Задача 1. Определим исходные данные: Интервал разложения равен [-τ/2;τ/2]. Число спектральных коэффициентов n=5. Амплитуда сигнала: Входной сигнал: Рис. 1. Временной график сигнала. 1 1. Запишем формулы

Задание. Анализ временных и частотных характеристик периодических сигналов. Пример.. α По известному спектру импульсного сигнала () u() спектр периодического сигнала Т () показанного на рис..: () ()

1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Основы теории управления д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна Динамические характеристики объектов регулирования 1. Временные характеристики. Кривая разгона. Импульсно переходная функция. 2. Решение дифференциальных

Вариант N 4 N mod(N 0) 5 N mod NN 9 4 N 3 mod N N 0 0. Выполнить анализ установившегося режима схемы методом комплексных амплитуд. Амплитуду А и начальную фазу гармонического сигнала U вх (t) взять в

4.11. Свойства преобразования Лапласа. 1) Взаимно-однозначное соответствие: s(S ˆ(2) Линейность преобразования Лапласа: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, а также 3) Аналитичность S ˆ() : если s(удовлетворяет

Вариант N 3 N mod(N) 4 N mod NN 9 3 N 3 mod N N 8. Выполнить анализ установившегося режима схемы методом комплексных амплитуд. Амплитуду А и начальную фазу гармонического сигнала U вх (t) взять в строке

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

4 Лекция 3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Комплексные передаточные функции Логарифмические частотные характеристики 3 Заключение Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики)

Wwwsa-confrncru Математические основы современной радиоэлектроники Аржанов Валерий Андреевич, кандидат технических наук, профессор Одинец Александр Ильич, кандидат технических наук, доцент Багаева Тамара

4.4. Спектральный анализ простейших колебаний. Прямоугольный импульс / / d, / s, / sin sin Спектральная плотность одиночного импульса совпадает с огибающей спектральных линий периодической последовательности

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Тема 8 ДИСКРЕТНЫЕ САУ Лекция 7 Общие понятия и определения теории дискретных САУ. Основные сведения о математическом аппарате теории линейных дискретных стационарных систем. Математическое описание процессов

Экзамен Ряды Фурье для светового поля Обычно мы не знаем величину электрического поля на бесконечном интервале времени Допустим, нам известно поле E() на промежутке времени T В таком случае за пределами

Лекция Тема игналы. Определение и классификация сигналов В радиотехнических устройствах протекают электрические процессы, имеющие специфический характер. Для понимания этой специфики следует предварительно

8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где (a k) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Непрерывно-детерминированные модели Непрерывно-детерминированные модели используются для анализа и проектирования динамических систем с непрерывным временем, процесс функционирования которых описывается

Гармонические колебания Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющийся во времени. механические колебания электромагнитные электромеханические

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4.1 Временные характеристики динамической системы Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия,

2.2. Операторный метод расчета переходных процессов. Теоретические сведения. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.

ЛЕКЦИЯ 13 СПЕКТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Если воздействовать на колебательный контур гармоническим сигналом, то на выходе будет тоже гармонический сигнал. Подавая на вход какой-либо сигнал, его можно разложить

Тема: Законы переменного тока Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц или макроскопических тел Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину

Приложение 4 Вынужденные электрические колебания Переменный ток Приведенные ниже теоретические сведения могут быть полезны при подготовке к лабораторным работам 6, 7, 8 в лаборатории "Электричество и магнетизм"

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Математические схемы: D-схемы Непрерывно-детерминированные модели используются для анализа и проектирования динамических систем с непрерывным временем, процесс функционирования которых описывается детерминированными

Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

4.3. Сложение колебаний. 4.3.. Векторная диаграмма. Сложение колебаний одинаковой частоты. Удобно использовать наглядное изображение колебаний с помощью векторных диаграмм. Введем ось и отложим вектор,

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Лекция Малые колебания склерономной системы Вынужденные колебания Частотные характеристики Рассмотрим малые колебания консервативной системы при наличии R диссипативных сил Q где R b - функция Релея Уравнения

Математическая запись гармонических колебаний. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты. Спектры непериодических сигналов.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Контрольная работа

Вариант №4

Спектральный (гармонический) анализ сигналов

Литература

спектральный гармонический сигнал колебание

Гармонический анализ - это раздел математики, который изучает возможности представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов. Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание, которое математически можно записать следующим образом:

где Um, f0, 0, и 0 - соответственно амплитуда, частота, угловая частота и начальная фаза колебания.

В гармоническом анализе вводится понятие n-й гармоники периодического колебания частоты щ0, под которой понимают опять же гармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей частоту основного гармонического колебания.

Следующим важным понятием является спектр сигнала. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих. Введение понятия спектра сигнала обусловило использование в технических приложениях название спектрального анализа для гармонического анализа сигналов.

1. Спектральный анализ периодических сигналов

Как известно, любой сигнал S(t), описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

где - среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;

Коэффициенты ряда Фурье;

Основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…

Совокупность значений An и n (или при разложении по синусоидальным функциям n) называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоник An характеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы n (или "n) - фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

Размещено на http://www.allbest.ru

На рис. 1. приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала. Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезки, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым.

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье комплексную форму его записи, коэффициенты которой объединяют коэффициенты An и n:

Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.

Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты и тригонометрической формы записи ряд Фурье.

2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Прежде чем рассмотреть спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, рассмотрим параметры этих импульсов.

Параметрами одиночного импульса являются амплитуда, длительность импульса, длительность фронта, длительность спада, спад (скол) плоской вершины.

Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.

Длительность импульса измеряется по основанию, на уровнях 0,1Um или 0,5Um. В последнем случае длительность импульса называется активной. Измеряется длительность импульса в единицах времени.

Длительность фронта tф и спада tс измеряется либо на уровне 0 - Um, либо на уровне (0,1-0,9)Um. В последнем случае длительность фронта и спада называют активными.

Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола? = ?u/Um,

где?u - значение скола; Um - амплитуда импульса.

Параметрами серии импульсов являются период повторения T, частота следования f, скважность Q, коэффициент заполнения, средние значения напряжения Uср и среднее значение мощности Pср.

Период повторения T = tи +tп, где T - период, tи - длительность импульса,
tп - длительность паузы. Измеряются T, tи, и tп в единицах времени.

Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.

Скважность Q = T/tи - величина безразмерная.

Коэффициент заполнения = tи/T - величина безразмерная.

Среднее значение напряжения

Перейдем к рассмотрению амплитудного и фазового спектров сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой Um, следующих с периодом T (рис. 2).

Рассмотрим случай, когда середина импульса является началом отсчета времени. Тогда на периоде сигнал описывается выражением

Комплексные амплитуды гармонических составляющих.

Функция является знакопеременной и меняет свой знак на обратный при изменении аргумента n1 на величину?щ = 2р/ф, что соответствует приращению фазы на.

где k - порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.

Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:

а фазы - выражением =1, 2,3,…

Функция характеризует изменение амплитудного спектра сигнала в зависимости от частоты. Она обращается в нуль, при значениях её аргумента, кратных. Отсюда следует, что гармоники с номером n = , где
= 1,2,3,…будут иметь нулевые амплитуды, т.е. отсутствовать в спектре.

Как известно, отношение называется скважностью последовательности импульсов. Таким образом, в спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники, номера которой кратны скважности.

Если начало отсчета времени связать с началом импульса, то амплитудный спектр останется без изменений, а фазы гармоник в соответствии со свойством преобразования Фурье получат дополнительный фазовый сдвиг nщ1ф/2. В результате

Выражения для тригонометрической формы записи ряда Фурье при отсчете времени от середины и начала импульса соответственно имеют вид:

На рис. 3. приведены амплитудные и фазовые спектры рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов при скважности, равной двум.

Размещено на http://www.allbest.ru

Фазовые спектры показаны соответственно при отсчете времени от середины и начала импульса. Пунктирные линии на амплитудных спектрах характеризуют поведение модуля спектральной плотности одиночного импульса.

Выражение для значений амплитуд и фаз гармоник легко получить в виде, удобном для расчетов. Так при отсчете времени от середины импульса для скважности, равной двум, имеем

N = 1,3,5,7, …,

3. Спектры некоторых периодических сигналов

В таблице 1 приведены амплитудные и фазовые спектры, а также тригонометрические формы записи рядов Фурье некоторых наиболее часто встречаемых в практике периодических сигналов.

Сигналы №1 и №2 представляют собой последовательности прямоугольных импульсов со скважностью 2 и нулевой постоянной составляющей и отличаются только началом отсчета времени. Обратите внимание на то, что амплитудные спектры этих сигналов совпадают, а фазовые отличаются.

Размещено на http://www.allbest.ru

Сигналы №3 и №4 - последовательности прямоугольных импульсов со

скважностью соответственно 3 и 3/2 и нулевой постоянной составляющей. Амплитудные спектры этих сигналов одинаковы. Обратите внимание на то, что для сигнала №3 в каждом из интервалов Дщ = 2р/ф содержатся две гармоники, а для сигнала №4 в каждом из интервалов Дщ1 = 2р/2ф - только одна гармоника. Вывод о совпадении амплитудных спектров этих сигналов можно сделать также на основании того, что при смещении сигнала №3 на T/2 он является инверсным (т.е. имеющим обратный знак) по отношению к сигналу 4.

Размещено на http://www.allbest.ru

Сигнал №5 - последовательность симметричных импульсов треугольной формы с нулевой постоянной составляющей. При выборе начала отсчета времени, как показано на рисунке в таблице 3.1, все гармоники имеют нулевые начальные фазы.

Сигнал №6 - последовательность так называемых пилообразных импульсов с нулевой постоянной составляющей.

Сигналы №7 и №8 - последовательности импульсов, которые с хорошей точностью аппроксимируют соответственно сигналы, получающиеся при двухполупериодном и однополупериодном выпрямлении синусоидальных сигналов.

Пунктирными линиями на амплитудных спектрах сигналов №1 - №8 изображены спектральные плотности, характеризующие поведение модуля спектральной плотности одиночных импульсов, образующих последовательности.

Сигнал №9 представляет собой колебание частотой щ0, промодулированное по амплитуде колебанием частотой Щ. Такой сигнал называют амплитудно-модулированным колебанием. Коэффициент m носит название коэффициента амплитудной модуляции:

где ДU - амплитуда изменения огибающей амплитудно-модулированного колебания.

4. Спектры непериодических сигналов

Пусть непериодический сигнал описывается функцией S(t), заданной на конечном интервале времени t1 < t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.

Последнее физически означает, что сигнал имеет конечную энергию.

Предположим, что сигнал S(t) превращен путем повторения его с произвольным периодом T > t2-t1 в периодический сигнал S1(t). Для этого сигнала применимо разложение в ряд Фурье:

Коэффициенты An в этом случае будут тем меньше, чем больше интервал T, выбранный в качестве периода. Устремляя T к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих. Количество входящих в ряд Фурье гармонических составляющих при этом будет бесконечно большим, так как при T, стремящемся к бесконечности, основная частота сигнала щ = 2р/Т стремится к нулю. Другими словами, расстояние между гармониками, равное основной частоте, становится бесконечно малым, а спектр - сплошным.

В результате при T сигнал S1(t) переходит в сигнал S(t), частота 1 уменьшается до d, a n1 превращается в текущую частоту. Заменяя суммирование интегрированием, получим

Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты, называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой () сигнала S(t):

В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены

Таким образом, временное и частотное представления непериодических сигналов связаны между собой парой преобразований Фурье.

Комплексная спектральная плотность может быть представлена в следующих видах:

() = S()e-j()=A() + jB(),

где A() = B() =

() = arctg .

Функцию S() называют спектральной плотностью амплитуд непериодического сигнала, а функцию () - спектральной плотностью фаз.

В отличие от спектра периодического сигнала, спектр непериодического сигнала является сплошным (непрерывным). Размерность S() - амплитуда/частота, () - фаза/частота. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Поэтому можно говорить только об амплитудных гармонических составляющих, частоты которых заключены в малом, но конечном интервале частот, + d.

Подчеркнем, что связь между временным и частотным представлением сигнала, даваемая преобразованиями Фурье, существует только для спектральной плотности.

Литература

Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 11-е изд., стер. ; Гриф МО. - М. : Академия, 2007. - 539 с.

Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 9-е изд., стер. ; Гриф МО. - М. : Academia, 2005. - 639 с.

Немцов М.В. Электротехника: учеб. пособие для сред. учеб. заведений / М.В. Немцов, И.И. Светлакова. - Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2004. - 572 с.

Москаленко В.В. «Автоматизированный электропривод». Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986.

«Электротехника», под ред. В.С. Пантюшина, М.: Высшая школа, 1976.

«Общая электротехника» под ред. А.Т. Блажкина, Л.: Энергия, 1979.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Расчет спектральной плотности непериодических сигналов. Спектральный анализ непериодических сигналов. Определение ширины спектра по заданному уровню энергии. Расчет автокорреляционной функции сигнала и корреляционных функций импульсных видеосигналов.

контрольная работа , добавлен 29.06.2010

Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов. Особенности поинтервального описания входного сигнала. Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого и второго порядков.

контрольная работа , добавлен 07.03.2010

Спектры сигналов, модулируемых по амплитуде и фазе. Сопоставление их между собой, исходя из зависимости удельной скорости передачи. Искажение формы сигнала при ограничении спектра. Главные особенности и назначение аналоговой и дискретной информации.

контрольная работа , добавлен 01.11.2011

Векторное представление сигнала. Структурная схема универсального квадратурного модулятора. Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровой. Наложение и спектры дискретных сигналов. Фильтр защиты от наложения спектров. Расчет частоты дискретизации.

курсовая работа , добавлен 19.04.2015

Исследование спектральных характеристик электроэнцефалограммы. Гармонический анализ периодических и непериодических сигналов, их фильтрация и прохождение через нелинейные цепи. Расчёт сигнала на выходе цепи с использованием метода интеграла Дюамеля.

курсовая работа , добавлен 13.12.2013

Исследование информационных возможностей импульсных систем. Критерии оценки качества формирования и воспроизведения сигналов с импульсной модуляцией. Амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов.

контрольная работа , добавлен 24.08.2015

Сигнал - материальный носитель информации и физический процесс в природе. Уровень, значение и время как основные параметры сигналов. Связь между сигналом и их спектром посредством преобразования Фурье. Радиочастотные и цифровые анализаторы сигналов.

реферат , добавлен 24.04.2011

Определение спектральной плотности заданного непериодического сигнала, спектра периодической последовательности заданных видеоимпульсов. Определение функции корреляции заданного видеосигнала. Спектральный метод анализа процессов в линейных цепях.

курсовая работа , добавлен 23.02.2012

Изучение свойств спектрального анализа периодических сигналов в системе компьютерного моделирования. Проведение научных исследований и использование измерительных приборов. Изучение последовательности импульсов при прохождении через интегрирующую RC-цепь.

лабораторная работа , добавлен 31.01.2015

Использование в системах последовательности одиночных сигналов. Последовательности одиночных сигналов. Корреляционная функция закона модуляции последовательности одиночных сигналов. Монохроматический сигнал. Энергетический спектр принятого сигнала.

При разложении периодического сигнала s (t ) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида (3.22):

1, cos w 1 t ,sinw 1 t , cos2w 1 t , sin2w 1 t ,...

..., cos n w 1 t, sin n w 1 t ,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2p/w 1 функции s (t ).

Система функций (3.22) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (3.23) - к комплексной форме . Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник (3.23), тогда ряд Фурье будет иметь вид:

Совокупность коэффициентов C n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала , а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (3.24) легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы (3.15) следует, что квадрат нормы равен:

Таким образом, независимо от n , норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье (3.16) получим:

В (3.25) и (3.26) учтено, что для e jn w 1t комплексно-сопряженной является функция e -jn w 1t .

Коэффициенты C n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e ±jx = cos x ± j sin x ,

Получим:

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C n :

а мнимая - синусная часть :

Коэффициенты С n часто бывает удобно записывать в форме:

Модуль C n является четной функцией относительно n , а аргумент Y n - нечетной (это следует из (3.28) и (3.29)). Используя модуль и аргумент, ряд (3.24) может быть записан:

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (3.32) пару слагаемых, соответствующих ±n (например, n =2) и учитывая что Y -2 =-Y 2 ,
а ½C -2 ½=½C 2 ½, получим для суммы:

Окончательно ряд (3.32) в тригонометрической форме записывается:

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C n в тригонометрическом ряде при n ³1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векторы вращаются с одинаковой скоростью n w 1 , но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

Сравнивая (3.35) и (3.34) между собой, можно увидеть, что амплитуда n -й гармоники A n связана с коэффициентом ½C n ½ ряда (3.32):

A n = 2½C n ½; a n = 2C n cos ; b n = 2C n sin

Таким образом, для всех положительных n , включая и n= 0:

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s (t )= s (-t ), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b n в соответствии с (3.36) обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s (t ), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая , то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным , так как состоит из отдельных линий , соответствующих дискретным частотам 0, w 1 , 2w 1 , 3w 1 ... и так далее.

При разложении периодического сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом функции s(t).

Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (2.19) - к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь.

Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме

Совокупность коэффициентов ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала. Коэффициенты ряда (2.20) легко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе.

Из формулы (2.6) следует, что

Таким образом, независимо от норма . Используя формулу (2.9), получаем

В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции соответствует комплексно-сопряженная функция .

Коэффициенты в общем случае являются комплексными величинами. Подставив в (2.22) , получим

Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента определяются формулами

Коэффициенты часто бывает удобно записывать в форме

Модуль является функцией, четной относительно , а аргумент нечетной (последнее вытекает непосредственно из выражений (2.24), показывающих, что является четной, нечетной функциями ).

Общее выражение (2.20) можно привести к виду

Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо заданному значению например , и, учтя соотношения , получим для суммы этих слагаемых

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (2.28) необходимо записать следующим образом:

Смысл удвоения коэффициентов Фурье в тригонометрическом ряду при становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при . Вещественная функция получается как сумма проекций на горизонтальную ось ОВ двух векторов длиной вращающихся с угловой частотой во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, - отрицательной. После перехода к тригонометрической форме понятие отрицательная частота» теряет смысл. Коэффициент не удваивается, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».

Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литературе часто встречается следующая форма записи:

Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда гармоники связана с коэффициентом ряда (2.28) соотношением

Таким образом, для всех положительных значений (включая и

Если сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т. е. в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты в соответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции , наоборот, в нуль обращаются коэффициенты и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов , а на рис. 2.2, б - спектр амплитуд для одного и того же периодического колебания.

Рис. 2.1. Представление гармонического колебания в виде двух комплексных составляющих: с положительной и отрицательной частотами

Рис. 2.2. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье периодической функции времени

Для исчерпывающей характеристики спектра подобные роения должны быть дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам и т. д.

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник.

Математическая запись гармонических колебаний. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты. Спектры непериодических сигналов.

Контрольная работа

Вариант №4

Спектральный (гармонический) анализ сигналов

Литература

спектральный гармонический сигнал колебание

где Um, f0, 0, и 0 - соответственно амплитуда, частота, угловая частота и начальная фаза колебания.

1. Спектральный анализ периодических сигналов

где - среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;

Коэффициенты ряда Фурье;

Основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…

Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.

2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.

Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола? = ?u/Um,

где?u - значение скола; Um - амплитуда импульса.

Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.

Скважность Q = T/tи - величина безразмерная.

Коэффициент заполнения = tи/T - величина безразмерная.

Среднее значение напряжения

Комплексные амплитуды гармонических составляющих.

где k - порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.

Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:

а фазы - выражением =1, 2,3,…

N = 1,3,5,7, …,

3. Спектры некоторых периодических сигналов

Сигналы №3 и №4 - последовательности прямоугольных импульсов со

Сигнал №6 - последовательность так называемых пилообразных импульсов с нулевой постоянной составляющей.

где ДU - амплитуда изменения огибающей амплитудно-модулированного колебания.

4. Спектры непериодических сигналов

Последнее физически означает, что сигнал имеет конечную энергию.

В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены

Комплексная спектральная плотность может быть представлена в следующих видах:

() = S()e-j()=A() + jB(),

где A() = B() =

() = arctg .

Литература

Москаленко В.В. «Автоматизированный электропривод». Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986.

«Электротехника», под ред. В.С. Пантюшина, М.: Высшая школа, 1976.

«Общая электротехника» под ред. А.Т. Блажкина, Л.: Энергия, 1979.

Подобные документы

контрольная работа , добавлен 29.06.2010

контрольная работа , добавлен 07.03.2010

контрольная работа , добавлен 01.11.2011

курсовая работа , добавлен 19.04.2015

курсовая работа , добавлен 13.12.2013

контрольная работа , добавлен 24.08.2015

реферат , добавлен 24.04.2011

курсовая работа , добавлен 23.02.2012

лабораторная работа , добавлен 31.01.2015