Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а = 10 n , из чего получаем

lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен - п , где п - численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = - 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

,

То a = 10 -n и получается

lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10 < 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

ОТДЕЛЕНИЕ XIII.

ЛОГАРИФМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.

§ 2. Дecятичныe логарифмы.

Десятичyый логарифм числа 1 есть 0. Десятичные логарифмы положительных степеней 10-ти, т. e. чисел 10, 100, 1000,.... суть, положительные числа 1, 2, 3,...., так что вообщe логарифм числа, обозначенного единицей с нулями, равен числу нулей. Десятичные логарифмы отрицательных степeнeй 10-ти, т.-e. дробей 0,1, 0,01, 0,001,.... суть отрицательныя числа -1,-2, -3....., так что вообщe логарифм десятичной дроби с числитeлeм единицeй равен отрицательному числу нулeй знаменателя.

Логарифмы всех остальных соизмеримых чисел несоизмеримы. Такиe логарифмы вычисляются приближeнно, обыкновенно с точностью до одной стотысячной, и потому выражаются пятизначными десятичными дробями; напр., lg 3 = 0,47712.

При изложении тeории десятичных логарифмов все числа прeдполагаются составленными по дeсятичной системе их eдиниц и долей, а все логарифмы выражаются чрeз дeсятичную дробь, содержащую 0 целых, с целым прибавком или убавком. Дробная часть логарифма называeтся eго мантиссой , а целый прибавок или убавок-его характеристикой. Логарифмы чисeл, больших eдиницы, всегда положитeльны и потому имеють и положитeльную характеристику; логарифмы чисел, меньших eдиницы, всeгда отрицатeльны, но их прeдставляют так, что мантисса их оказываeтся положительной, а одна характeристика отрицательна: напр., lg 500=0,69897+2 или короче 2,69897, а lg 0,05 =0,69897-2, что для краткости обозначают в виде 2 ,69897, ставя характеристику на место целых чисeл, но со знаком - над ней. Таким образом, логарифм числа, большего единицы, прeдставляет арифметическую сумму положитeльного целого и положительной дроби, а логарифм числа, мeньшего единицы, алгeбраичeскую сумму отрицатeльного целого с положитeльной дробью.

Всякий отрицательный логарифм можно привести к указанной искусствeнной форме. Напр., имеем lg 3 / 5 = lg 3 - lg 5= 0,47712-0,69897=-0,22185. Чтобы прeобразовать этот истинный логарифм в искусственную форму, прибавим к нeму 1 и после алгебраичeского сложeния укажем для поправки вычитаниe eдиницы.

Получим lg 3 / 5 = lg 0,6 =(1-0,22185)-1=0,77815-1. При этом окажется, что мантисса 0,77815 есть та самая, которая соответствуeт числителю 6 данного числа, представленного по дeсятичной системе в форме дроби 0,6.

IIра указанном представлении десятичных логарифмов их мантиссы и характеристики обладают важными свойствами в связи с обозначениeм по десятичной систeме соответствующих им чисел. Для разъяснeния этих свойств заметим следующеe. Примeм за основной вид числа некотороe произвольноe число, содержащeеся между 1 и 10, и, выражая eго по десятичной систeме, представим в виде а,b,c,d,e, f ...., где а есть одна из значащих цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а десятичные знаки, b,c,d,e, f ....... суть какие угодно цифры, между которыми могут быть и нули. Вследствиe того, что взятоe число содeржится мeжду 1 п 10, логарифм его содержится между 0 и 1 и потому этот логарифм состоит из одной мантиссы без характеристики или с характеристикой 0. Обозначим этот логарифм в форме 0 ,α β γ δ ε ...., где α, β ,γ ,δ, ε суть некоторые цифры. Помножим теперь данное число с одной стороны на числа 10, 100, 1000,.... и с другой стороны на числа 0,1, 0,01, 0,001,... и применим теоремы о логарифмах произведения и частного. Тогда получим ряд чисел больших единицы и ряд чисел меньших единицы с их логарифмами:

lg а ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg аb,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε .... lg 0,аbcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg аbc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε .... lg 0,0аbcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg аbcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε .... lg 0,00аbcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

При рассматривании этих равенств обнаружаваются следующие свойства мантиссы и характеристики:

Свойство мантиссы. Мантисса зависит от расположения и вида зиачащих цифр числа, но совсем не зависит от места запятой в обозначении этого числа. Мантиссы логарифмов чисел, имеющих десятичное отношение, т.-е. таких, кратное отношение которых равно какой бы то ни было положительной или отрицательной степени десяти, одинаковы.

Свойство характеристики. Характеристика зависит от разряда наивысших единиц или десятичных долей числа, но совсем не зависит от вида цифр в обозначении этого числа.

Если назовем числа а ,bcde f ...., аb,cde f ...., аbc,de f .... числами положительных разрядов- первого, второго, третьего и т.д., разряд числа 0,аbcde f .... будем считать нулевым, а разряды чисел 0,0аbcde f ...., 0,00аbcde f ...., 0,000аbcde f .... выразим отрицательными числами минус одна, минус два, минус три и т. д., то можно будет сказать вообще, что характерастика логарифма всякого десятичного числа на единицу меньше числа, указывающего разряд

101. Зная, что lg 2 =0,30103, найти логарифмы чисел 20,2000, 0,2 и 0,00002.

101. Зная, что lg 3=0,47712, найти логарифмы чисел 300, 3000, 0,03 и 0,0003.

102. Зная, что lg 5=0,69897, найти логарифмы чисел 2,5, 500, 0,25 и 0,005.

102. Зная, что lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 0,7, 4,9, 0,049 и 0,0007.

103. Зная lg 3=0,47712 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 210, 0,021, 3 / 7 , 7 / 9 и 3 / 49 .

103. Зная lg 2=0,30103 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 140, 0,14, 2 / 7 , 7 / 8 и 2 / 49 .

104. Зная lg 3=0,47712 и lg 5=О,69897, найти логарифмы чисел 1,5, 3 / 5 , 0,12, 5 / 9 и 0,36.

104. Зная lg 5=0,69897 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 3,5, 5 / 7 , 0,28, 5 / 49 и 1,96.

Десятичные логарифмы чисел, выраженных не более, как четырьмя цифрами, подыскиваются прямо по таблицам, причем из таблиц находится мантисса искомого логарифма, а характеристика ставится, сообразуясь с разрядом данного числа.

Еели же число содержит более четырех цифр, то подыскивание логарифма сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти логарифм числа, содержащего более четырех цифр, нужно подыскать в таблицах число, обозначенное четырьмя первыми цифрами, и выписать соответствующую этим четырем цифрам мантиссу; затем умножить табличную разность мантисс на число, составленное из отброшенных цифр, в произведении откинуть справа столько цифр, сколько их было откинуто в данном числе, и результат придать к последним цифрам подысканной мантпсеы; характеристику же поставить, сообразуясь с разрядом данного числа.

Когда ищется число по данному логарифму и логарифм этот содержится в таблицах, то цифры искомого числа находятся прямо из таблиц, а разряд числа определяется сообразно с характеристикой данного логарифма.

Если же данный логарифм не содержится в таблицах, то подыскивание числа сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти число, соответствующее данному логарифму, мантисса которого не содержится в таблицах, нужно подыскать ближайшую меньшую мантиссу и выписать соответствующие ей цифры числа; потом умножить разность между данной мантиссой и подысканной на 10 и разделить произведение на табличную разность; полученную цифру частного приписать справа к выписанным цифрам числа, отчего и получится искомая совокупность цифр; разряд же числа нужно определить сообразно характериетике данного логарифма.

105. Найти логарифмы чисел 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

105. Найти логариекй чисел 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

106. Найти логарифмы чисел 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893В, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428, 0,00237158.

106. Найти логарифмы чисел 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,16227 , 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756.86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1 ,31952, 4 ,30814, 3 ,00087, 2 ,69949, 6 ,57978.

108. Найти число, соответствующия логарифмам 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2 ,83882, 1 ,50060, 3 ,30056, 1 ,17112, 4 ,25100.

108. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1 ,41509, 2 ,32649, 4 ,14631, 3 ,01290, 5 ,39003.

Положительные логарифмы чисел, больших единицы, суть арифметические суммы их характеристики и мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по обыкновенным арифметическим правилам.

Отрацательные логарифмы чисел, меньших единицы, суть алгебраические суммы отрицательной характеристики и положительной мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по алгебраическим правилам, которые дополняются особыми указаниями, относящимися к приведению отрицательных логарифмов в их нормальную форму. Нормальная форма отрицательнаго логарифма та, в которой характеристика есть отрицательное целое количество, а мантисса положительная правильная дробь.

Для преобразования истинного отрацательного логарифма в его нормальную искусственную форму, нужно увеличить абсолютную величину его целого слагаемого на единицу и сделать результат отрицательной характеристикой; затем дополнить все цифры дробного слагаемого до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат положительной мантиссой. Напр., -2,57928 = 3 ,42072.

Для преобразования нормальной искусственной формы логарифма в его истинное отрицательное значение, нужно уменьшить на единицу отрицательную характеристику и сделать результат целым слагаемым отрицательной суммы; затем дополнить все цифры мантиссы до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат дробным слагаемым той же отрицательной суммы. Напр.: 4 ,57406= -3,42594.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Найти истинные значения логарифмов 1 ,33278, 3 ,52793, 2 ,95426, 4 ,32725, 1 ,39420, 5 ,67990.

110. Найти иетинные значения логарифмов 2 ,45438, 1 ,73977, 3 ,91243, 5 ,12912, 2 ,83770, 4 ,28990.

Правила алгебраических действий с отрицательными логарифмами выражаются так:

Чтобы приложить отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно приложить мантиссу и вычесть абсолютную величину характеристики. Если от сложения мантисс выделится целое положительное число, то нужно отнести его к характеристике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Чтобы вычесть отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно вычесть мантиссу и приложить абсолютную величину характеристики. Если вычитаемая мантисса есть большая, то нужно сделать поправку в характеристике уменьшаемого так, чтобы отделить к уменьшаемой мантиссе положительную единицу. Напр.,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Чтобы умножить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно умножить отдельно его характеристику и мантиссу. Если при умножении мантиссы выделится целое положительное чясло, то нужно отнести его к характерастике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

При умножении отрицательнаго логарифма на отрицательное количество нужно заменять множимое его истинным значением.

Чтобы разделить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно разделить отдельно его характерастику и мантиссу. Если характеристика дeлимого нe дeлится нацeло на дeлитeль, то нужно сдeлать в ней поправку так, чтобы отнести к мантиссe нeсколько положительных единиц, а характеристику сдeлать кратной дeлителя. Напр.,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

При дeлении отрицательного логарифма на отрицатeльноe количество, нужно замeнять дeлимоe его истинным значением.

Выполнить при помощп логарифмичeских таблиц нижепоказанные вычисления и провeрить в простeйших случаях рeзультаты обыкновенными способами дeйствий:

174. Определить обем конуса, образующая которого 0,9134 фута, а радиус основания 0,04278 фута.

175. Вычислить 15-й член кратной прогреесии, первый член которой 2 3 / 5 , а знаменатель 1,75.

175. Вычислить первый член кратной прогрессии, 11-й член которой равен 649,5, а знаменатель 1,58.

176. Определить число множителей а , а 3 , а 5 р . Подыскать такое а , при котором произведееие 10-ти множителей равно 100.

176. Определить чйедо множителей. а 2 , а 6 , а 10 ,.... так, чтобы их произведение равнялось данному числу р . Подыскать такое а , при котором произведение 5-ти множителей равно 10.

177. Знаменатель кратной прогрессии равен 1,075, сумма 10-ти ее членов 2017,8. Найти первый член.

177. Знаменатель кратной прогрессии 1,029, сумма 20-ти ее членов 8743,7. Найти двадцатый член.

178 . Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q , а затем, выбрав произвольно числовыe значения a и u , подобрать q так, чтобы п

178. Выразить чbсло члеyов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q и и q , подобрать а так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равно р . Каково должно быть р для того, чтобы при а =0,5 и b =0,9 число множителей было 10.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равдо р . Каково должно быть р для того чтобы при а =0,2 и b =2 число множителей было 10.

180. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последеему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения а и р , подобрать и и вслед за ним знаменатель q так, чтобы и было какое-нибудь целое число.

160. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения и и р , подобрать а и вслед за ним знаменатель q так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

Решить нижеследующие уравнения, где можно - без помощи таблиц, а где нельзя-с таблицами:

В дальнейшем десятичный логарифм именуется просто логарифмом.

Логарифм единицы равен нулю.

Логарифмы чисел 10 , 100 , 1000 и т.д. равны 1 ,2 ,3 и т.д., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит после единицы.

Логарифмы чисел 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д. равны -1 , -2 , -3 и т.д., т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит перед единицей (считая и нуль целых).

Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, именуемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой .

Числа, большие единицы, имеют положительные логарифмы. Положительные числа, меньшие единицы 1 , имеют отрицательные логарифмы.

Например 2 , lg0,5=-0,30103, lg0,005=-2,30103 .

Отрицательные логарифмы для большего удобства нахождения логарифма по числу и числа по логарифму представляются не в вышеприведенной «естественной » форме, а в «искусственной «. Отрицательный логарифм в искусственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику .

Например, lg0,005=3,69897 . Эта запись означает, что lg0,005=-3+0,69897=-2,30103 .

Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искусственную, нужно:

1 . На единицу увеличить абсолютную величину его характеристики;
2 . Полученное число снабдить знаком минус сверху;
3 . Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр, не равных нулю, вычитать из девяти; последнюю, не равную нулю цифру вычитать из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

Пример 1 . lg0,05=-1,30103 привести к искусственной форме:
1 . Абсолютную величину характеристики 1 увеличиваем на 1 ; получаем 2 ;
2 . Пишем характеристику искусственной формы в виде 2 и отделяем ее запятой;
3 . Вычитаем первую цифру мантиссы 3 из 9 ; получаем 6 ; записываем 6 на первом месте после запятой. Таким же образом на следующих местах появляются цифры 9(=9-0) , 8(=9-1) , 9(=9-0) и 7(=10-3) .
В результате получаем:

-1,30103=2,69897 .

Пример 2 . -0,18350 представить в искусственной форме:
1 . Увеличиваем 0 на 1 , получаем 1 ;
2 . Имеем 1 ;
3 . Вычитаем цифры 1 ,8 ,3 из 9 ; цифру 5 из 10 ; нуль на конце остается не тронутым.
В результате получаем:

-0,18350=1,81650 .

Чтобы перевести отрицательный логарифм из искусственной формы в естественную, нужно:
1 . На единицу уменьшить абсолютную величину его характеристики;
2 . Полученное число снабдить знаком минус слева;
3 . С цифрами мантиссы поступать, как в случае перехода от естественной формы к искусственной.

Пример 3 . 4,689 00 представить в естественной форме:
1 . 4-1=3 ;
2 . Имеем -3 ;
3 . Вычитаем цифры из мантиссы 6 ,8 и 9 ; цифру 9 из 10 ; два нуля остаются не тронутыми.
В результате получаем:

4,689 00=-3,311 00 .

1 Отрицательные числа вовсе не имеют действительных логарифмов .
2 Все дальнейшие равенства — приближенные с точностью до половины единицы последнего выписанного знака .