Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата , равновеликого по площади данному кругу . Наряду с трисекцией угла и удвоением куба , является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить $R$ радиус заданного круга, $x$ - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: $x^2\; =\; \backslash pi\; R^2,$ откуда получаем: $x\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; R\; \backslash approx\; 1\{,\}77245\; R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

История

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга . В древнем Египте уже знали, что эта площадь ($S$) пропорциональна квадрату диаметра круга $d$, и для вычислений использовали формулу :

$S\; =\; \backslash left(\backslash frac\{8\}\{9\}d\backslash right)^2$

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра $d$ считалась равной площади квадрата со стороной $\backslash frac\{8\}\{9\}d.$ В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение $\backslash pi$ равным $\backslash left(\backslash frac\{16\}\{9\}\backslash right)^2\; \backslash approx\; 3\{,\}16.$

Неразрешимость

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: $x^2=\backslash pi$, откуда: $x=\backslash sqrt\{\backslash pi\}$. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня ; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины $\backslash pi$. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа $\backslash pi$ , которая была доказана в 1882 году Линдеманом .

Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки . Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи . Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $\backslash frac\; \{R\}\; \{2\}$, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью $\backslash pi\; R^2$. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Приближённое решение

Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата .

Метафора «Квадратура круга»

См. также

Напишите отзыв о статье "Квадратура круга"

Примечания

Литература

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. - Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. - 320 с.
• Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. , М., Физматгиз, 1963. - 568 с.
• Перельман Я. И. . Л.: Дом занимательной науки, 1941.
• М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Рудио Ф. О квадратуре, круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр), с приложением истории вопроса. Издание третье. М.-Л.: Огиз, 1936. Серия: Классики естествознания.
• Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов - Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. - М .: «Диалектика» , 2007. - 320 с. - ISBN 0-471-35066-4 .
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. - М .: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. - 96 с. .
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. - 2008. - № 4 (48) . - С. 3-15 .

Математики Анаксагор · Анфимий · Архит · Аристей · Аристарх · Аполлоний · Архимед · Автолик · Бион · Боэций · Брисон Гераклейский · Каллипп · Карп · Хрисипп · Клеомед · Конон · Ктезибий · Демокрит · Дикеарх · Диокл · Диофант · Динострат · Дионисодор · Домнин · Эратосфен · Евдем · Евклид · Евдокс · Евтокий · Гемин · Герон · Гиппарх · Гиппас · Гиппий · Гиппократ · Гипатия · Гипсикл · Исидор · Лев Математик · Марин · Менехм · Менелай · Метродор · Никомах · Никомед · Энопид · Папп · Персей · Филолай · Порфирий · Посидоний · Прокл · Птолемей · Пифагор · Серен · Симпликий · Созиген · Фалес · Теэтет · Феано · Феодор · Феодосий · Теон Александрийский · Теон Смирнский · Ксенократ · Зенон Элейский ·

Отрывок, характеризующий Квадратура круга

Это был не бал, и не сказано было, что будут танцевать; но все знали, что Катерина Петровна будет играть на клавикордах вальсы и экосезы и что будут танцевать, и все, рассчитывая на это, съехались по бальному.
Губернская жизнь в 1812 году была точно такая же, как и всегда, только с тою разницею, что в городе было оживленнее по случаю прибытия многих богатых семей из Москвы и что, как и во всем, что происходило в то время в России, была заметна какая то особенная размашистость – море по колено, трын трава в жизни, да еще в том, что тот пошлый разговор, который необходим между людьми и который прежде велся о погоде и об общих знакомых, теперь велся о Москве, о войске и Наполеоне.
Общество, собранное у губернатора, было лучшее общество Воронежа.
Дам было очень много, было несколько московских знакомых Николая; но мужчин не было никого, кто бы сколько нибудь мог соперничать с георгиевским кавалером, ремонтером гусаром и вместе с тем добродушным и благовоспитанным графом Ростовым. В числе мужчин был один пленный итальянец – офицер французской армии, и Николай чувствовал, что присутствие этого пленного еще более возвышало значение его – русского героя. Это был как будто трофей. Николай чувствовал это, и ему казалось, что все так же смотрели на итальянца, и Николай обласкал этого офицера с достоинством и воздержностью.
Как только вошел Николай в своей гусарской форме, распространяя вокруг себя запах духов и вина, и сам сказал и слышал несколько раз сказанные ему слова: vaut mieux tard que jamais, его обступили; все взгляды обратились на него, и он сразу почувствовал, что вступил в подобающее ему в губернии и всегда приятное, но теперь, после долгого лишения, опьянившее его удовольствием положение всеобщего любимца. Не только на станциях, постоялых дворах и в коверной помещика были льстившиеся его вниманием служанки; но здесь, на вечере губернатора, было (как показалось Николаю) неисчерпаемое количество молоденьких дам и хорошеньких девиц, которые с нетерпением только ждали того, чтобы Николай обратил на них внимание. Дамы и девицы кокетничали с ним, и старушки с первого дня уже захлопотали о том, как бы женить и остепенить этого молодца повесу гусара. В числе этих последних была сама жена губернатора, которая приняла Ростова, как близкого родственника, и называла его «Nicolas» и «ты».
Катерина Петровна действительно стала играть вальсы и экосезы, и начались танцы, в которых Николай еще более пленил своей ловкостью все губернское общество. Он удивил даже всех своей особенной, развязной манерой в танцах. Николай сам был несколько удивлен своей манерой танцевать в этот вечер. Он никогда так не танцевал в Москве и счел бы даже неприличным и mauvais genre [дурным тоном] такую слишком развязную манеру танца; но здесь он чувствовал потребность удивить их всех чем нибудь необыкновенным, чем нибудь таким, что они должны были принять за обыкновенное в столицах, но неизвестное еще им в провинции.
Во весь вечер Николай обращал больше всего внимания на голубоглазую, полную и миловидную блондинку, жену одного из губернских чиновников. С тем наивным убеждением развеселившихся молодых людей, что чужие жены сотворены для них, Ростов не отходил от этой дамы и дружески, несколько заговорщически, обращался с ее мужем, как будто они хотя и не говорили этого, но знали, как славно они сойдутся – то есть Николай с женой этого мужа. Муж, однако, казалось, не разделял этого убеждения и старался мрачно обращаться с Ростовым. Но добродушная наивность Николая была так безгранична, что иногда муж невольно поддавался веселому настроению духа Николая. К концу вечера, однако, по мере того как лицо жены становилось все румянее и оживленнее, лицо ее мужа становилось все грустнее и бледнее, как будто доля оживления была одна на обоих, и по мере того как она увеличивалась в жене, она уменьшалась в муже.

Николай, с несходящей улыбкой на лице, несколько изогнувшись на кресле, сидел, близко наклоняясь над блондинкой и говоря ей мифологические комплименты.
Переменяя бойко положение ног в натянутых рейтузах, распространяя от себя запах духов и любуясь и своей дамой, и собою, и красивыми формами своих ног под натянутыми кичкирами, Николай говорил блондинке, что он хочет здесь, в Воронеже, похитить одну даму.
– Какую же?
– Прелестную, божественную. Глаза у ней (Николай посмотрел на собеседницу) голубые, рот – кораллы, белизна… – он глядел на плечи, – стан – Дианы…
Муж подошел к ним и мрачно спросил у жены, о чем она говорит.
– А! Никита Иваныч, – сказал Николай, учтиво вставая. И, как бы желая, чтобы Никита Иваныч принял участие в его шутках, он начал и ему сообщать свое намерение похитить одну блондинку.
Муж улыбался угрюмо, жена весело. Добрая губернаторша с неодобрительным видом подошла к ним.
– Анна Игнатьевна хочет тебя видеть, Nicolas, – сказала она, таким голосом выговаривая слова: Анна Игнатьевна, что Ростову сейчас стало понятно, что Анна Игнатьевна очень важная дама. – Пойдем, Nicolas. Ведь ты позволил мне так называть тебя?
– О да, ma tante. Кто же это?
– Анна Игнатьевна Мальвинцева. Она слышала о тебе от своей племянницы, как ты спас ее… Угадаешь?..
– Мало ли я их там спасал! – сказал Николай.
– Ее племянницу, княжну Болконскую. Она здесь, в Воронеже, с теткой. Ого! как покраснел! Что, или?..
– И не думал, полноте, ma tante.
– Ну хорошо, хорошо. О! какой ты!
Губернаторша подводила его к высокой и очень толстой старухе в голубом токе, только что кончившей свою карточную партию с самыми важными лицами в городе. Это была Мальвинцева, тетка княжны Марьи по матери, богатая бездетная вдова, жившая всегда в Воронеже. Она стояла, рассчитываясь за карты, когда Ростов подошел к ней. Она строго и важно прищурилась, взглянула на него и продолжала бранить генерала, выигравшего у нее.
– Очень рада, мой милый, – сказала она, протянув ему руку. – Милости прошу ко мне.
Поговорив о княжне Марье и покойнике ее отце, которого, видимо, не любила Мальвинцева, и расспросив о том, что Николай знал о князе Андрее, который тоже, видимо, не пользовался ее милостями, важная старуха отпустила его, повторив приглашение быть у нее.
Николай обещал и опять покраснел, когда откланивался Мальвинцевой. При упоминании о княжне Марье Ростов испытывал непонятное для него самого чувство застенчивости, даже страха.
Отходя от Мальвинцевой, Ростов хотел вернуться к танцам, но маленькая губернаторша положила свою пухленькую ручку на рукав Николая и, сказав, что ей нужно поговорить с ним, повела его в диванную, из которой бывшие в ней вышли тотчас же, чтобы не мешать губернаторше.
– Знаешь, mon cher, – сказала губернаторша с серьезным выражением маленького доброго лица, – вот это тебе точно партия; хочешь, я тебя сосватаю?
– Кого, ma tante? – спросил Николай.
– Княжну сосватаю. Катерина Петровна говорит, что Лили, а по моему, нет, – княжна. Хочешь? Я уверена, твоя maman благодарить будет. Право, какая девушка, прелесть! И она совсем не так дурна.
– Совсем нет, – как бы обидевшись, сказал Николай. – Я, ma tante, как следует солдату, никуда не напрашиваюсь и ни от чего не отказываюсь, – сказал Ростов прежде, чем он успел подумать о том, что он говорит.
– Так помни же: это не шутка.
– Какая шутка!
– Да, да, – как бы сама с собою говоря, сказала губернаторша. – А вот что еще, mon cher, entre autres. Vous etes trop assidu aupres de l"autre, la blonde. [мой друг. Ты слишком ухаживаешь за той, за белокурой.] Муж уж жалок, право…
– Ах нет, мы с ним друзья, – в простоте душевной сказал Николай: ему и в голову не приходило, чтобы такое веселое для него препровождение времени могло бы быть для кого нибудь не весело.

Это выражение – квадратура круга , наверняка вам где-то встречалось. А вот что оно означает, и с чем его едят, вряд ли кто скажет сразу. В первом приближении кажется. Что это аналог выражения «площадь круга». Однако это совсем не так.

Известно, что геометрия одна из самых древних наук, ибо выросла она из жизненной необходимости. Гео-метрия в буквальном переводе – землемерие. Испокон веку была у людей необходимость мерить землю. А как ее измерять и сравнивать участки между собой, если они не ровные? Всякие там треугольные, трапециевидные и тп. Вобщем, появилась необходимость – появилась наука. При этом у древних математиков были самые примитивные инструменты, циркуль и линейка. И задумали они при помощи только этих инструментов построить квадрат, равный по площади соответствующему кругу.

Но, «сколь ни билась ты, Яга, а не вышло ни фига» - не смогли построить с помощью циркуля и линейки круг и квадрат, равные друг другу по площади.

Вот что по этому поводу написано в Википедии:

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня, отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства …

Другие интересные выражения из русской речи:

Фимиам – это общее название благовоний, которые курили не только перед алтарями

Интересное выражение – козел отпущения . Фраза недосказана, но все ее прекрасно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Соловей – самая приятная певчая птица, живущая на просторах России. Почему из всех

Кузькина мать (или показать кузькину мать) – устойчивое словосочетание непрямого

Выражение круговая порука – это выражение прямого значения, то есть означает то,

С древнейших времен у многих народов существует поверье, что крокодил плачет, когда

Крепкий орешек – это выражение принято связывать со взятием Петром Первым шведской

выражение красной нитью не имеет к идеологии никакого отношения. А имеет отношение

Квасной патриотизм – короткое, бьющее точно в цель ироничное определение для

Великая Китайская Стена – самое большое архитектурно-строительное произведение

Выражение кесарю-кесарево библейского происхождения, как и многие другие

Пусть вас не смущает эта идиотская формулировка, составленная специально для

Китайские церемонии – этот фразеологизм мы нередко используем в разговоре. Как

По выражению лить колокола совершенно невозможно догадаться, какое еще значение

Верста – русская мера длины, существовавшая в России до введения метрической

Колосс на глиняных ногах – это своего рода характеристика или оценка чего-то

Про происхождение выражения колумбово яйцо разные источники сообщают примерно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Если это выражение пустить красного петуха прочитает иностранец, изучающий

Выражение костей не собрать для нашего российского уха достаточно привычное. Его

Издревле, еще до появления геометрии, люди привязывали меры длины к частям своего

Казалось, известное всем выражение, на кривой козе не подъедешь . Означает оно тот

Оказывается, возникновение этого фразеологизма напрямую связано с религией, точнее с

Попал как кур во щи говорят тогда, когда неожиданно попадают в крайне неприятную

Сирота казанская – очень интересное выражение. Сирота – понятно, но почему именно

Как от козла молока (получить) – говорят о человеке, от которого нет никакой пользы,

Калиф на час говорят про руководителей или начальников, которые оказались у власти

Канитель слово иностранного происхождения, означает оно тонкую металлическую

Выражение кануть в лету знакомо и понятно всем. Означает оно – исчезнуть из памяти,

Название города-государства Карфаген известно нам еще из учебников истории

Таскать каштаны из огня – это выражение обретет полную ясность, если добавить к

Как в воду глядел – выражение понятное по значению, но не сразу понятное по

Выражение во всю ивановскую, точнее, орать во всю ивановскую, известно очень

Выражение, или словесный оборот и на солнце есть пятна подчеркивает, что в мире

Выражение и на старуху бывает проруха говорит само за себя. Согласно словарю

И ты, Брут! – выражение знакомое практически каждому образованному человеку, даже

Иван, не помнящий родства – чисто русское выражение, уходящее корнями в нашу

Слово свечи в русском языке имеет несколько значений: прежде всего это свечи для

Выражение делать из мухи слона совершенно понятно, не содержит каких-то

Прописать ижицу - выражение из разряда ушедших из нашего обихода в прошлое. Но

На букву Г

На букву Д

1. 1 Сергей Дениченко :

   КВАДРАТУРА КРУГА

   «Квадратура круга», как я это понимаю – философия, затрагивающая историческую тему, выполненная на математическом материале. Решением Квадратуры круга показано, что нет неразрешимых проблем, а следовательно, не нужно рубить (Гордиев) узел, все решается мирным путем, в том числе и международные конфликты, и проблема с терроризмом.

   Решение Квадратуры круга – не открытие чего то нового, я не решил задачу, а показал, как она могла решаться в древности. Это переворачивает сознание человека, в восприятии себя умнее, своих предков. Рушится канон:- «Не учите меня жить, я самый умный.» Человечество должно задуматься:- « А так ли я живу? Куда катится цивилизация?»
   Иначе, пустая трата времени на разработку темы по переселению человечества на другие планеты. Прежде чем потухнет Солнце, человек погубит себя на нашей грешной Земле, не успев нагрешить на чужой планете.

   “Квадратура круга” – синоним проблемы не имеющей решения. А может нужно изменить подход к стоящей перед Вами задачи. Так “Квадратура круга” – необходимо с помощью циркуля и односторонней линейки (рейки), построить квадрат равновеликий по площади заданному кругу. А если изменить подход к решению. Ход решения: “Равновеликость квадрата и шестеренки” – “Кругатура квадрата” (в этом нет поиска трансцендентного числа Pi) А далее решение “Кругатуры квадрата” позволяет выразить геометрически сторону квадрата равновеликого по площади заданному кругу (решить “Квадратуру круга”) и выразить длину окружности прямым отрезком. Во всяком случае числа 1,7724538968686925718887244115238… и 3,1415928165250138836954861078059… не трансцендентны.
   Кому интересна данная тема, можно познакомиться с решением на сайте по адресу:

2. 2 Анатолий:

   РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАДРАТУРЕ КРУГА

   Задача о КВАДРАТУРЕ КРУГА: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

   РОСТОВЩИКОВ АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ 3604 364780
   Необходимость в построении обусловлена невозможностью высокоточного расчёта площади круга и длины окружности без привязки к параметрам соразмерного квадрата.
   Квадрат – единственная геометрическая фигура, площадь и периметр которой вычисляются минимальным количеством арифметических действий при абсолютной точности результата.
   Таким образом, финалом решения задачи становится не столько само построение квадрата, (ради квадрата), сколько вычисление площади круга и длины окружности с максимальной точностью по отношению к квадрату.
   Результаты расчётов названных параметров традиционным способом выражаются с погрешностью, заложенной в число Pi, т.к. значение этого показателя обусловлено вычислением сторон и площадей бесконечного множества треугольников.
   Точность результатов вычисления площади круга и длины окружности в приведённых ниже расчётах не превышает погрешность результата при извлечении квадратного корня. Более высокая точность расчёта невозможна, как невозможно ещё точнее вычислить параметры самого квадрата.

   ПРИМЕЧАНИЕ:
   Некоторые значения, определения и ссылки в соответствии с законами математических и геометрических пропорций представлены без комментариев.

   ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ:
   D – диаметр окружности, (Для удобства восприятия вычислений принято значение D = 7)
   R – радиус окружности
   S – площадь круга, S = Sвк + 4Sс
   L – длина окружности
   O – центр окружности
   Sок – площадь Описанного Квадрата ABCE, Sок = D2
   Pок – периметр Описанного Квадрата ABCE, Pок = 4D
   Sвк – площадь Вписанного Квадрата A’B"C’E", Sвк = Sок / 2 = D2 / 2
   Sс – площадь одного Сегмента
   Nок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (Nок/с = Sок / Sс = 14)
   КК – Квадратура Круга

   ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПРОВЕРОЧНОМ ВАРИАНТЕ:
   N’ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N’ок/с = 14,1)
   N”ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N”ок/с = 13,9)
   S’с – площадь одного Сегмента; (при N’ок/с = 14,1)
   S”с – площадь одного Сегмента; (при N”ок/с = 13,9)
   S’- площадь круга; (при N’ок/с = 14,1)
   S”- площадь круга; (при N”ок/с = 13,9)
   РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
   Посредством дискретного замещения значений соотношения Sок и Sс установлено:
   (1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const

   ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
   (2) Sс = Sок / 14
   (3) Sс = Sвк / 7
   (4) Sс = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5

   ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
   (5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14

   ПЛОЩАДЬ КРУГА:
   (6) S = Sвк + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
   (7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
   (8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5

   ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ:
   (9) Sок / S = Pок / L
   (10) L = SPок / Sок
   (11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
   (12) L = 22D / 7

   ПРОВЕРКА

   Вариант 1: N’ок/с = Sок / S’с = 14,1 Вариант 2: N”ок/с = Sок / S”с = 13,9

   ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА: ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
   S’с = Sок / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475… S”с = Sок / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525…

   ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ: ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
   4S’с = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S”с = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1

   ПЛОЩАДЬ КРУГА: ПЛОЩАДЬ КРУГА:
   S’= Sвк + 4S’с = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Sвк + 4S”с = 24,5 + 14,1 = 38,6

   ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S’кк) ПО ФОРМУЛЕ (8): ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S”кк) ПО ФОРМУЛЕ (8):
   S’кк = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”кк = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777

   РЕЗЮМЕ: РЕЗЮМЕ:
   S’≠ S’кк, (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”кк, (38,525 ≠ 38,777)

   СЛЕДОВАТЕЛЬНО:
   (1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const
   (8) S = 11D2 / 14

   СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ:
   В таблице приведены сравнительные результаты вычислений S и L, с произвольно выбранными значениями D по приведённой технологии, (КК) и с применением числа Pi, (Pi):

   D S L
   KK Pi KK Pi
   5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
   6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
   7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
   8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
   56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,379630870783

3. 4 Геннадий Кудрявцев:

   На одной вертикальной оси постройте одну под другой две одинаковые окружности. Из верхней точки верхней окружности проведите касательные к нижней окружности. Они пересекут верхнюю окружность в двух точках. Соедините их прямой. Верхняя часть диаметра верхней окружности, отсечённая этой прямой,будет равна (точность очень велика, предлагаю вычислить самим)) стороне искомого квадрата.
   Кто-нибудь знает метод получения более точного результата?

4. 5 Геннадий Кудрявцев:

   Извините. Забыл уточнить, что окружности должны касаться друг друга.

5. 6 vasil stryzhak:

   
   На рисунке изображен метод построения с лучшим показателем точности относительно предыдущего комментария.

6. 7 vasil stryzhak:

   
   Второй вариант построения с более оптимальным решением квадратуры круга. Пунктирными линиями изображены описанный и вписанный квадраты в окружность с центром О и радиусом R = 1. Окружности с центрами в точках О₁, О₂, О₃, О₄ описаны радиусом r = 0,5. Точки пересечения окружностей служат для построения квадрата равновеликого исходной окружности.

7. 9 vasil stryzhak:

   Уважаемый Геннадий! Специально для Вас более подробно остановлюсь на вычислении погрешности метода по поз. 6. Обозначим верхнюю точку пересечения окружностей буквой А. Тогда согласно построения О₁А=1, О₁О₂=2,25, О₂А=2. Высота hₐ треугольника О₁АО₂ равна половине стороны искомого квадрата. Ее можно вычислить по формуле Герона
   hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, где p = (a + b + c)/2.
   Определим абсолютную погрешность метода: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, что соответствует 0,29%. Следовательно, Вы допустили явную ошибку в вычислениях. Погрешность метода по поз. 7 составляет 0,27%. Обычно я подвергаю методы построения анализу в системе прямоугольных координат. Тогда проще рассчитать координаты точек пересечения прямых и окружностей, как между собой, так и друг с другом. Два предложенных ранее варианта квадратуры круга наиболее простые. В качестве примера рассмотрим еще один более точный метод построения с абсолютной погрешностью 0,00018,а относительной 0,01%.

   Впишем в квадрат ABCD окружность. Не изменяя раствора циркуля, из середины стороны квадрата (точки О₁) как из центра делаем первую засечку на окружности в точке L. Далее уже из построенной точки как из центра тем же растворам циркуля проводим вторую засечку на другой стороне квадрата и получаем точку G, которую соединяем с серединой противоположной стороны квадрата. Отрезок О₄G пресекает окружность в точке Н. Проведем дуги из точек О₁, О₂, О₃, О₄ (середин сторон квадрата) как из центров кривизны радиусом r = НО₂ до пересечения с окружностью. Полученные таким образом точки служат для построения квадрата A₁B₁C₁D₁ равновеликого кругу.

8. 10 Геннадий Кудрявцев:

   УВАЖАЕМЫЙМ VASIL!
   Вы правы. Поздравляю!. Успехов Вам в новом году. И в последующих тоже.

9. 11 Геннадий Кудрявцев:

   Решение задачи о квадратуре круга наталкивает на мысль о решении другой, сходной задачи: квадратура эллипса.
   Формулу площади эллипса можно преобразовать так:
   S = √∏R͗͗² х √∏r.²
   Корни квадратные из окружностей – это те самые стороны квадратов, равновеликих по площадям этих окружностей, которые запросто определяет уважаемый Vasil. Значит, имеем две стороны прямоугольника. А, уж, построить равновеликий ему по площади квадрат – не проблема.

10. 12 vasil stryzhak:

    Уважаемый Геннадий! Спасибо за пожелания. Вам тоже взаимно успехов по жизни. Идея квадратуры эллипса для меня нова, предложенное решение довольно интересное и самое главное верное. Если принять малую полуось эллипса равной единичному отрезку α =1, тогда сторона равновеликого эллипсу квадрата определиться как c=√(πb), где b – большая полуось. Построить отрезок равный π теоретически возможно с любой степенью точности. Свой вариант как это сделать изложу, возможно, позже, когда выкрою время и придет вдохновение.

11. 13 Геннадий Кудрявцев:

    Уточню вторую позицию:
    – метод рассечения конуса для получения коников с наперёд заданными параметрами.

12. 14 vasil stryzhak:

    Если принять радиус окружности за единицу, то длина полуокружности - это число . Прямоугольник со сторонами и равен площади круга, тогда среднее геометрическое этих сторон и есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу. Рассмотрим вариант построения отрезка равного длине полуокружности, тем самым решение задачи квадратуры круга.

    На горизонтальной прямой из точки , как из центра, проведем окружность произвольным радиусом . Опишем вокруг окружности и впишем в нее по три стороны от правильного шестиугольника, охватывающих полуокружность, необходимых для разъяснения материала. В построении участвует одна сторона от вписанного шестиугольника, перпендикулярная горизонтальной прямой. Проведем два луча через точки и из центра окружности . Далее из точки , как из центра, опишем дугу радиусом , пересекающую лучи в точках и , а горизонтальную прямую в точке . Построение может осуществляется от любого вписанного правильного многоугольника, тогда радиус дуги определяется делением количества его сторон на два . Соединим между собой точки и . Полученный таким образом отрезок, равен сумме изображенных на рисунке сторон от вписанного в окружность шестиугольника

    С недостатком относительно длинны полуокружности. Затем, параллельно проведем через точку прямую до пересечения с лучами. В результате имеем отрезок, равный сумме сторон от описанного шестиугольника

    С избытком относительно длинны полуокружности. Следовательно, отрезок равный , т.е. длине полуокружности, находится между построенными отрезками и .
    Определим местоположение искомого отрезка следующим образом. Соединим концы отрезков и крест накрест, а точку (середину ) с точками и . В местах скрещивания новых отрезков получим точки и . Проведем прямую проходящую через эти точки до пересечения с лучами в точках и . Насколько построенный отрезок соответствует длине полуокружности, можно проверить вычислением в два этапа следующими формулами:
    , ( – равно высоте треугольника ),

квадратура круга

знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т.к. задача сводится к построению отрезка длины, что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.

Квадратура круга

задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (см., например, Гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число (). Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число ≈ корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Т. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой ≈ так называемые квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа p см. в ст. Пи.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М. ≈ Л., 1936; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.

Википедия

Квадратура круга

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R радиус заданного круга, x - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x  = π R ,  откуда получаем: $x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.