] Перевод В.Ф. Газе. Комментарии и редакция Д.И. Каргина. Под общей редакцией Т.П. Кравца.
(Издательство Академии Наук СССР, 1947. - Серия «Классики науки»)
Скан, обработка, формат Djv: ???, добавления и исправления: AAW, mor, 2010
- ОГЛАВЛЕНИЕ:
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Программа (9).
Раздел первый
1. Предмет начертательной геометрии (13).
2-9. Соображения, по которым определяется положение точки в пространстве. О методе проекций (фиг.1-3) (13).
10. Сравнение начертательной геометрии с алгеброй (27).
11-13. Основное положение представления формы и положения поверхностей. Применение и плоскости (28).
14-22. Решение некоторых элементарных задач на прямую линию и плоскость (фиг.4-11) (33).
Раздел второй
23-26. О касательных плоскостях и нормалях к кривым поверхностям (45).
27-31. Способ построения касательных плоскостей в данных точках кривых поверхностей (фиг.12-15) (48).
32. Условия, определяющие положение плоскости, касательной к любой кривой поверхности; замечания о развертываемых поверхностях (59).
33-34. О плоскостях, касательных к поверхностям в проходящих через точки, заданные вне этих поверхностей (62).
35-44. О плоскости, касательной к поверхности одного или нескольких шаров. Замечательные свойства круга, шара, конических сечений и кривых поверхностей второго порядка (фиг.16-22) (65).
45-47. О плоскости, касательной к поверхностям цилиндрической, конической и поверхности вращения, проведенной через точки, заданные вне этих поверхностей (фиг.23-25) (81).
Раздел третий
48. О пересечении кривых поверхностей. Определение кривых двоякой кривизны (89).
49-50. Соответствие между операциями в начертательной геометрии и исключением неизвестных в алгебре (90).
51-56. Общий способ определения проекций линий пересечения поверхностей. Видоизменения этого способа для некоторых частных случаев (фиг.26) (92).
57-58. Касательные к линиям пересечения поверхностей (98).
59-83. Пересечения поверхностей: цилиндрической, конической и т.д. Развертки этих пересечении в тех случаях, когда одна на поверхностей, к которым они принадлежат, развертываемая (фиг.27-35) (100).
84-87. Способ Роберваля построения касательной к кривой, заданной законом движения образующей точки. Применение этого способа к эллипсу и к линии пересечения двух эллипсоидов вращения, имеющих общий фокус (фиг.36-37) (128).
Раздел четвертый
88-102. Применение пересечений поверхностей к решению различных задач (фиг.38-42) (132).
Раздел пятый
103-109. О кривых плоских и двоякой кривизны, об их эволютах, эвольвентах и радиусах кривизны (фнг.43-45) (156).
110-112. О поверхности, являющейся геометрическим местом эволют кривой двоякой кривизны; замечательное свойство эволют, рассмотренных на этой поверхности. Образование любой кривой двоякой кривизны непрерывным движением (163).
113-124. О кривых поверхностях. Доказательство теоремы: «Каждая поверхность имеет в любой своей точке только две кривизны; каждая кривизна имеет свое собственное направление, свой собственный радиус, а две дуги, по которым эти кривизны измеряются, перпендикулярны друг другу на поверхности (фиг.46-48) (166).
125-129. О линиях кривизны любой поверхности, о ее центрах кривизны и о поверхности, являющейся их геометрическим местом. Применение к делению сводов на клинчатые камни и к искусству гравирования (фиг.49) (176).
130-131. Разрезка камней сводов (180).
ТЕОРИЯ ТЕНЕЙ
132. О пользе теней, нанесенных на эпюрах (187).
133-135. О построении теней (фиг.50-52) (189).
ТЕОРИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ
136-139 Способы изображения предметов в перспективе (фиг.53) (212).
140-142. Об определении оттенков в изображении предметов и о воздушной перспективе (223).
143. Об изменениях цветов при некоторых обстоятельствах (233).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Д.И. Картин. Гаспар Монж и его «Начертательная геометрия» (245).
А.М. Лукомская. Перечень трудов и литературы о жизни и деятельности Гаспара Монжа (258).
Примечания (271).
МОНЖ, ГАСПАР
(Monge, Gaspard) (1746-1818), французский математик, создатель начертательной геометрии. Родился 9 мая 1746 в Боне. Учился в коллежах Боне и Лиона, в последнем с 16 лет преподавал математику. С 1764 работал в Мезьерской военно-инженерной школе, где занимался задачей расчета рельефа крепостных сооружений. Решая эту задачу, он создал новую область проективной геометрии, названную впоследствии начертательной геометрией. В 1769 Монж получил в инженерной школе пост профессора математики, в 1770 - профессора физики. В 1780 Парижская академия наук избрала его своим действительным членом. В 1794 он стал директором только что основанной Политехнической школы, в которой читал лекции более десяти лет. Монж в течение 8 месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798-1801). Наполеон присвоил ему титул графа, даровал поместья, удостоил многих других отличий. Во время "Ста дней" Монж решительно встал на сторону Наполеона. В период Реставрации был лишен всех званий и наград и изгнан из Политехнической школы и Академии наук. Умер Монж в Париже 28 июля 1818.
Основные труды Монжа относятся к области начертательной геометрии и ее применениям к решению инженерных задач. Исходя из идеи проецирования предметов на две взаимно перпендикулярных плоскости, Монж создал общий метод изображения пространственных фигур на плоскости. Эта работа была выполнена им еще в Мезьерской школе, но опубликована только в 1799 под названием Начертательная геометрия (Gomtrie descriptive). Еще один важный труд Монжа - Приложение анализа к геометрии (L"application de l"analyse la gometrie, 1795), где помимо открытий по дифференциальной геометрии дано геометрическое истолкование уравнений в частных производных. Это направление было продолжено в трудах таких математиков, как К.Гаусс, Я.Штейнер и Ю.Плюккер. Немалое значение имели также работы Монжа по интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных и их представлению на языке геометрии. Известны его исследования в области физики, химии, оптики, метрологии и практической механики.
Кольер. Словарь Кольера. 2012
Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое МОНЖ, ГАСПАР в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:
- МОНЖ ГАСПАР
(Monge) Гаспар (10.5.1746, Бон, Кот-д"Ор, - 28.7.1818, Париж), французский математик и общественный деятель, член Парижской АН (1780). Профессор Мезьерской военно-инженерной … - МОНЖ ГАСПАР
(1746—1818) — франц. геометр. Первоначальное образование получил в городском училище г. Бона. Преподавание в этом училище сосредоточивалось почти исключительно на … - МОНЖ ГАСПАР
(1746?1818) ? франц. геометр. Первоначальное образование получил в городском училище г. Бона. Преподавание в этом училище сосредоточивалось почти исключительно на … - ГАСПАР в Словаре значений Армянских имен:
(муж.) "Идущий … - МОНЖ в Большом энциклопедическом словаре:
(Monge) Гаспар (1746-1818) французский математик и инженер. Один из основателей Высшей нормальной и Политехнической школ в Париже (1794). Создал начертательную … - МОНЖ в Большом российском энциклопедическом словаре:
(Monge) Гаспар (1746-1818), франц. математик и инженер. Один из основателей Высш. нормальной и Политехн. школ в Париже (1794). Создал начертат. … - МОНЖ в Современном толковом словаре, БСЭ:
(Monge) Гаспар (1746-1818) , французский математик и инженер. Один из основателей Высшей нормальной и Политехнической школ в Париже (1794). Создал … - РАВЕССОН-МОЛЬЕН (НАСТ. ФАМИЛИЯ ЛА-ШЕ), ЖАН ГАСПАР ФЕЛИКС в Датах рождения и смерти известных людей:
(1813 - 1900) - французский философ, археолог, … - ШОМЕТТ ПЬЕР ГАСПАР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Chaumette) Пьер Гаспар (во время революции принял имя Анаксагор) (24.5.1763, Невер, - 13.4.1794, Париж), деятель Великой французской революции, левый якобинец. … - ХОВЕЛЬЯНОС-И-РАМИРЕС ГАСПАР МЕЛЬЧОР ДЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Jovellanos у Ramirez) Гаспар Мельчор де (5.1.1744, Хихон, - 27.11.1811, Вега, Астурия), испанский просветитель, государственный и политический деятель; поэт, драматург, … - ФРАНСИА ХОСЕ ГАСПАР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
Родригес Франсиа (Rodriguez Francia) Хосе Гаспар (6.1.1766, Асунсьон, - 20.9.1840, там же), государственный деятель Парагвая. Родился в семье среднего чиновника-землевладельца. … - ОЛИВАРЕС ГАСПАР ДЕ ГУСМАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Olivares) Гаспар де Гусман (Guzman) (6.1.1587, Рим, - 22.7.1645, Торо), граф, испанский государственный деятель. Фаворит Филиппа IV. Герцог (с 1621). … - НАДАР ГАСПАР ФЕЛИКС в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Nadar; настоящая фамилия - Турнашон, Tournachon) Гаспар Феликс (5.4.1820, Париж, - 20.3.1910, там же), французский мастер фотоискусства, график-карикатурист, журналист. С … - КОРИОЛИС ГЮСТАВ ГАСПАР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Coriolis) Гюстав Гаспар (21.5.1792, Париж, - 19.9.1843, там же), французский механик, член Парижской АН (1836). С 1838 руководил занятиями в … - КОЛИНЬИ ГАСПАР ДЕ ШАТИЙОН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Coligny) Гаспар де Шатийон (16. 2 . 1519, Шатийон-сюр-Луэн,-24.8.1572, Париж), один из вождей гугенотов во Франции. Участвовал в Итальянских войнах … - КАСАДО ГАСПАР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Cassado) Гаспар (30.9.1897, Барселона, - 24.12.1966, Мадрид), испанский виолончелист и композитор. Начальное музыкальное образование получил у отца - Хоакина К., … - ДЕБЮРО ЖАН БАТИСТ ГАСПАР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Deburau) Жан Батист Гаспар (31.7.1796, Колин, Австро-Венгрия, ныне Чехословакия, - 17.6.1846, Париж), французский актёр-мим. Родился в семье бродячих артистов-акробатов. С … - ПУССЕН, ГАСПАР в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
(Poussin) — прозвище, под которым известен французский пейзажист Г. Дюге (Dughet, 1613 — 1675), шурин, ученик и подражатель Никола П. … - ФЮРСТЕНАУ, ГАСПАР в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
(F u rstenau, 1772?1819) ? известный флейтист-виртуоз; учился игре на гобое у своего отца и Антона Ромберга, затем стал изучать … - ТАВАНН, ГАСПАР в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
(де Со Tavannes) ? маршал Франции (1509?1573). Участвовал в войнах Франциска I с Карлом V, при Франциске II приобрел известность … - ПУССЕН, ГАСПАР в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
(Poussin) ? прозвище, под которым известен французский пейзажист Г. Дюге (Dughet, 1613 ? 1675), шурин, ученик и подражатель Никола П. … - ДЮГЕ, ГАСПАР в Словаре Кольера:
(Dughet, Gaspard) (1615-1675), французский живописец, родился в Риме 6 июня 1615. Иногда его называли Гаспар Пуссен, по имени его знаменитого … - ПРАКТИКА в Новейшем философском словаре:
категория, которая может быть отнесена ко всей сфере человеческой деятельности и мышления, но обычно ее употребление конкретизируется через категориальные оппозиции: … - РОЖДЕСТВЕНСКИЙ ПОСТ в Словаре Обрядов и таинств:
(28 ноября - 6 января) Начинается на следующий день после дня памяти св. апостола Филиппа (27 ноября) и называется в … - ЛАНГРСКАЯ ЕПАРХИЯ в Православной энциклопедии Древо:
Открытая православная энциклопедия "ДРЕВО". Лангрская епархия Римско-католической церкви. История Лангрской епархии восходит ко II веку. Она была одной из … - ВОЛХВЫ в Православной энциклопедии Древо.
- БЕРТРАН ЛУИ в Справочнике Персонажей и культовых объектов греческой мифологии:
(20.04.1807-), французский писатель («Гаспар ночи», «Патриот Золотого … - 1769.08.02
Гаспар де ПОРТОЛА и Хуан КРЕСПИ - капитан испанской армии и священник-францисканец - делают остановку по пути в Сан-Диего. Понравившееся … - 1769.07.16 в Страницах истории Что, где, когда:
Испанский исследователь Гаспар де ПОРТОЛА основывает базу Сан-Диего для исследования … - ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Euler) Леонард , математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование … - ФРАНЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ.
- НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
геометрия, раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных … - МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
система мер, десятичная система мер, совокупность единиц физических величин, в основу которой положена единица длины - метр. Первоначально в … - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ И ИГРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
развлечения и игры. Математическими развлечениями называют обычно разнообразные задачи и упражнения занимательного характера, требующие проявления находчивости, смекалки, оригинальности мышления, … - МАТЕМАТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука), наука о … - ЛАВУАЗЬЕ АНТУАН ЛОРАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(Lavoisier) Антуан Лоран (26.8.1743, Париж, - 8.5.1794, там же), французский химик, член Парижской АН (1772; адъюнкт 1768). Окончил юридический факультет … - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
геометрия, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые … - ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие … - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
геометрия, раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными … - ШИЛЛЕР, ИОГАНН ФРИДРИХ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
(Schiller) — великий немецкий поэт; род. 10 ноября 1759 г. в Марбахе в Вюртемберге. Отец его, Иоганн Гаспар, начал карьеру … - ХИЛЬ-ПОЛО в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
(Гаспар) — испан. поэт и юрист (1516—71) — см. Поло … - ФЛАМАНДСКАЯ ЖИВОПИСЬ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
После того, как в начале XVII стол. ожесточенная, продолжительная борьба нидерландцев за свою политическую и религиозную свободу завершилась распадением их … - ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
I один из видов специального образования, для распространения которого существуют школы низшие, средние и высшие: первые два разряда дают необходимые …
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Инженерная графика» 1 семестр
для студентов заочной формы обучения
полная и сокращенная программы
Волгодонск 2013
1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ... 3
2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.. 7
3. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.. 16
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА.. 29
5. ПОВЕРХНОСТИ.. 33
6. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 50
1. Методы ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Введение. Цель и задачи курса
В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».
Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.
Гаспар Монж , граф де Пелюз (фр. Gaspard Monge, comte de Pluse; 1746, Бон, Бургундия, Франция - 28 июля 1818, Париж) - французский математик, геометр, государственный деятель, морской министр Франции.
Биография
От ученика до академика
Гаспар Монж родился 10 мая 1746 года в небольшом городке Боне на востоке Франции (в пределах современного департамента Кот-д’Ор) в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший - Жан - также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики.
Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и черчения линий были изобретены самим составителем. Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.
В 1770 году в возрасте 24 лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам - математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке - начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года (стенографическая запись лекций была сделана в 1795 году).
В 1777 году Монж женился на молодой вдове владельца литейной мастерской Мари-Катрин Юар, по первому мужу Орбони (Marie-Catherine Huart, 1747–1846). Брак был счастливым и продлился до конца жизни Монжа, у них родились две дочери (третья умерла во младенчестве). Оказавшись владельцем мастерской, Монж осваивает литейное дело, увлекается металлургией, серьёзно занимается физикой и химией.
В Мезьерской школе Монж преподавал 20 лет. Там обучали геометрии, физике, фортификации, строительному делу с упором на практические занятия. Эта школа стала прообразом знаменитой в будущем Политехнической школы. Кроме основ начертательной геометрии, Монж разрабатывал и другие математические методы, в том числе, теорию развёрток, вариационное исчисление и другие. Несколько докладов, с большим успехом сделанных им на заседаниях Парижской академии наук, и рекомендации академиков Даламбера, Кондорсе и Боссю обеспечили Монжу в 1772 году избрание в число двадцати «associs» членов Академии («присоединённых», то есть членов-корреспондентов Академии), а в 1780 году он уже избран академиком. Монж переезжает в Париж, сохраняя за собой должность в Мезьерской школе. Кроме этого, он преподаёт гидродинамику и гидрографию в Парижской Морской школе, а впоследствии занимает должность экзаменатора морских школ. Однако, чередование работы и проживания по полгода в Париже и Мезьере со временем стало для него весьма утомительным и не устраивало руководство Мезьерской школы. В 1783 году Монж прекращает преподавание в школе и в 1784 году окончательно переселяется в Париж.
Метод Монжа, или метод проекций является методом параллельного проецирования, причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Плоскость, расположенная горизонтально называется горизонтальной плоскостью проекций (обозначаем П1), а плоскость, расположенная вертикально, называется фронтальной плоскостью проекций (обозначаем П2).
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей П1 и П2 на полуплоскости. Для этой оси применяется обозначение X (рисунок 3). На рисунке 4 показано построение проекций некоторой точки А в системе П1, П2.
Рисунок 3 Рисунок 4
Проекцию точки А на горизонтальную плоскость проекций получают с помощью проецирующего луча, который проводят через точку А перпендикулярно П1 до пересечения с ней. Точка пересечения называется горизонтальной проекцией точки А и обозначается А1.
Фронтальная проекция точки А получается при пересечении проецирующего луча, проведенного через точку А перпендикулярно П2 и обозначается А2.
Очень часто рассматриваются и профильные проекции точек и прямых. Профильная плоскость проекций (П3) располагается перпендикулярно к обеим плоскостям проекций (рисунок 5).
Линии пересечения плоскостей проекций называют осями проекций. Всего осей - три: ось ОХ, ось ОУ и ось ОZ.
Рисунок 5 Рисунок 6
Если точку А спроецировать на все три плоскости проекций, то получим три проекции точки А – горизонтальную А1, фронтальную А2 и профильную А3 (рисунок 6). Если нужно построить комплексный чертеж или эпюр Монжа (это одно и то же) для точки А, то пространственное или наглядное изображение нужно преобразовать в плоскостное. На рисунке 7, показано, как при разворачиваются плоскости проекций: фронтальная плоскость остается на месте, горизонтальная преобразуется поворотом на 90 градусов вокруг оси ОХ до совмещения с фронтальной плоскостью, а профильная поворачивается на 90 градусов вправо вокруг оси ОZ до совмещения с фронтальной. При этом ось проекций ОУ как бы раздваивается - она участвует в образовании горизонтальной плоскости проекций и необходима для профильной плоскости проекций.
Рисунок 7 Рисунок 8
Таким образом, эпюр точки будет выглядеть как на рисунке 8. Причем, надо обратить внимание на то, что расстояние от точки А до плоскости П1 будет выражаться координатой Z, расстояние от точки А до плоскости П2 будет выражаться координатой У, а до плоскости П3 - координатой Х.