Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

Модуль вектора обозначается так:

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

2.2. Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

2.2.1 Сравнение векторов

Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:

равные модули,

одинаковые направления.

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

равные модули,

противоположные направления.

2.2.2 Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора и(см. рис.). Найдем сумму этих векторов+=. Величиныи- это составляющие векторы, вектор- это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1. Нарисуем вектор.

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора; угол между векторами равен(см. рисунок).

3. Через конец вектора .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору.

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и.

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора.

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

начало вектора совпадает с началом вектораи началом вектора(направление векторапоказано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы итак, что начало векторасовпадает с концом вектора. При этом угол между векторами равен.

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора, а конец совпадает с концом вектора.

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

2.2.3 Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора- это тоже самое, что найти сумму вектораи вектора
, противоположного вектору. Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Правило параллелограмма.

Стороны параллелограмма - вектор и вектор -; диагональ параллелограмма - вектор разности
.

Правило треугольника.

Вектор разности соединяет конец вектораи конец вектора(начало векторасовпадает с концом вектора).

2.2.4 Умножение вектора на скаляр

Пусть заданы вектор и скалярn. Найдем произведение вектора и скалярного вектораn.

В результате умножения вектора на скаляр мы получаем новый вектор :

Направление вектора такое же, как направление векторапри
.

Направление вектора противоположно направлению векторапри
.

Модуль вектора вn раз больше модуля вектора, если
.

2.3. Скалярное и векторное произведения

2.3.1 Скалярное произведение

Из двух векторов иможно образовать скаляр по правилу:

Это выражение называется скалярным произведением векторов и
, или
.

Следовательно, . =
.

По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Векторное произведение

Из двух векторов
и
можно образовать новый вектор:

, где

Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:

.

Эта операция называется векторным произведением векторов ии обозначается одним из символов
или
.

Также общеизвестна формула

,

где - угол между векторамии.

Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называетсяправилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).

В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.

Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

Модуль вектора обозначается так:

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

2.2. Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

2.2.1 Сравнение векторов

Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:

равные модули,

одинаковые направления.

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

равные модули,

противоположные направления.

2.2.2 Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора и(см. рис.). Найдем сумму этих векторов+=. Величиныи- это составляющие векторы, вектор- это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1. Нарисуем вектор.

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора; угол между векторами равен(см. рисунок).

3. Через конец вектора .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору.

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и.

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора.

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

начало вектора совпадает с началом вектораи началом вектора(направление векторапоказано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы итак, что начало векторасовпадает с концом вектора. При этом угол между векторами равен.

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора, а конец совпадает с концом вектора.

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

2.2.3 Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора- это тоже самое, что найти сумму вектораи вектора
, противоположного вектору. Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Правило параллелограмма.

Стороны параллелограмма - вектор и вектор -; диагональ параллелограмма - вектор разности
.

Правило треугольника.

Вектор разности соединяет конец вектораи конец вектора(начало векторасовпадает с концом вектора).

2.2.4 Умножение вектора на скаляр

Пусть заданы вектор и скалярn. Найдем произведение вектора и скалярного вектораn.

В результате умножения вектора на скаляр мы получаем новый вектор :

Направление вектора такое же, как направление векторапри
.

Направление вектора противоположно направлению векторапри
.

Модуль вектора вn раз больше модуля вектора, если
.

2.3. Скалярное и векторное произведения

2.3.1 Скалярное произведение

Из двух векторов иможно образовать скаляр по правилу:

Это выражение называется скалярным произведением векторов и
, или
.

Следовательно, . =
.

По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Векторное произведение

Из двух векторов
и
можно образовать новый вектор:

, где

Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:

.

Эта операция называется векторным произведением векторов ии обозначается одним из символов
или
.

Также общеизвестна формула

,

где - угол между векторамии.

Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называетсяправилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).

В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.

Вектор - направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом .

Вектор с началом в точке A {\displaystyle A} и концом в точке B {\displaystyle B} принято обозначать как . Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например . Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a {\displaystyle \mathbf {a} } .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A {\displaystyle A} перейдет в точку B {\displaystyle B} , также и обратно, параллельный перенос, при котором A {\displaystyle A} переходит в B {\displaystyle B} , определяет собой единственный направленный отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный - если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и - то есть рассматривать их как ; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … {\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {A_{3}B_{3}}}=\dots } ).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию - как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая концом.

Координаты вектора определяются как разность координат точек его начала и конца. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: T 1 = (x 1 , y 1) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} и T 2 = (x 2 , y 2) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} , то координаты вектора будут: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) {\displaystyle {\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})} .

Длиной вектора V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} называется расстояние между двумя точками T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} , её обычно обозначают | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}

Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}} ; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления .

Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе - знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.

Применения

Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций - например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление площадей фигур . В компьютерной графике векторы-нормали используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов может быть положено в основу метода координат .

Виды векторов

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех направленных отрезков (рассматривая как различные все направленные отрезки, начала и концы которых не совпадают), берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество), то есть, некоторые направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть направленные отрезки одинаковой длины и направления считаются представляющими один и тот же вектор; таким образом, каждому вектору оказывается соответствующим целый класс направленных отрезков, одинаковых по длине и направлению, но различающихся началом (и концом).

Так, говорят о «свободных» , «скользящих» и «фиксированных» векторах . Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов.

• Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину;
• говоря о скользящих векторах - добавляют, что начала равных скользящих векторов должны совпадать или лежать на одной прямой, на которой лежат изображающие эти векторы направленные отрезки (так что один может быть совмещен с другим перемещением в направлении, им же самим задаваемом);
• говоря о фиксированных векторах - говорят, что равными считаются только векторы, у которых совпадают и направления, и начала (то есть в этом случае факторизации нет: нет двух фиксированных векторов с различными началами, которые считались бы равными).

Формально:

Говорят, что свободные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и равны, если найдутся точки E {\displaystyle E} и F {\displaystyle F} такие, что четырёхугольники A B F E {\displaystyle ABFE} и C D F E {\displaystyle CDFE} - параллелограммы .

Говорят, что скользящие векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если

Скользящие векторы особо употребимы в механике . Простейший пример скользящего вектора в механике - сила , действующая на твердое тело. Перенос начала вектора силы вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому при вычислении момента нельзя рассматривать силу как свободный вектор, то есть, нельзя её считать приложенной к произвольной точке твердого тела.

Говорят, что фиксированные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если попарно совпадают точки A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} , B {\displaystyle B} и D {\displaystyle D} .

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы - это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности . Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено - или лишено смысла - сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена - или имеет смысл - она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Отношения между векторами

Координатное представление

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})}

За базис часто выбирают координатные орты , обозначаемые i → , j → , k → {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}} , соответственно осям x , y , z {\displaystyle x,y,z} . Тогда вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} можно записать как

a → = a x i → + a y j → + a z k → {\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}

Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, не совсем верно: обычно принято говорить , что «геометрическое истолкование» имеют лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные ).

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} называется число, равное длине отрезка A B {\displaystyle AB} . Обозначается, как | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} . Через координаты вычисляется, как:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}

Для геометрического построения вектора суммы c → = a → + b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}} используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса , соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

Правило трёх точек

Если отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} изображает вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} , а отрезок B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} изображает вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} , то отрезок A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}} изображает вектор a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} .

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же n {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n {\displaystyle n} -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов :

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})} , где a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} .

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.

Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}})+2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).}

Вычитание векторов

Два вектора a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}

Для получения вектора разности c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора c → {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец b → {\displaystyle {\vec {b}}} , а концом - конец a → {\displaystyle {\vec {a}}} . Если записать, используя точки векторов, то A C → − A B → = B C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}} .

Модуль разности векторов

Три вектора a → , b → , a → − b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}} , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , {\displaystyle |{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),}

где cos ⁡ (a → , b →) {\displaystyle \cos({\vec {a}},{\vec {b}})} - косинус угла между векторами a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → . {\displaystyle {\vec {b}}.}

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} переносится к концу вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} , когда же ищется модуль разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

Как происходит сложение векторов, не всегда понятно ученикам. Дети не представляют того, что за ними скрывается. Приходится просто запоминать правила, а не вдумываться в суть. Поэтому именно о принципах сложения и вычитания векторных величин требуется много знаний.

В результате сложения двух и более векторов всегда получается еще один. Причем он всегда обязательно будет одинаковым, независимо от приема его нахождения.

Чаще всего в школьном курсе геометрии рассматривается сложение двух векторов. Оно может быть выполнено по правилу треугольника или параллелограмма. Эти рисунки выглядят по-разному, но результат от действия один.

Как происходит сложение по правилу треугольника?

Оно применяется тогда, когда векторы неколлинеарные. То есть не лежат на одной прямой или на параллельных.

В этом случае от некоторой произвольной точки нужно отложить первый вектор. Из его конца требуется провести параллельный и равный второму. Результатом станет вектор, исходящий из начала первого и завершающийся в конце второго. Рисунок напоминает треугольник. Отсюда и название правила.

Если векторы коллинеарные, то это правило тоже можно применять. Только рисунок будет расположен вдоль одной линии.

Как выполняется сложение по правилу параллелограмма?

Опять же? применяется только для неколлинеарных векторов. Построение выполняется по другому принципу. Хотя начало такое же. Нужно отложить первый вектор. И от его начала - второй. На их основе достроить параллелограмм и провести диагональ из начала обоих векторов. Она и будет результатом. Так выполняется сложение векторов по правилу параллелограмма.

До сих пор их было два. А как быть, если их 3 или 10? Использовать следующий прием.

Как и когда применяется правило многоугольника?

Если требуется выполнить сложение векторов, число которых — больше двух, пугаться не стоит. Достаточно последовательно отложить их все и соединить начало цепочки с ее концом. Этот вектор и будет искомой суммой.

Какие свойства действительны для действий с векторами?

О нулевом векторе. Которое утверждает, что при сложении с ним получается исходный.

О противоположном векторе. То есть о таком, который имеет противоположное направление и равное по модулю значение. Их сумма будет равна нулю.

О коммутативности сложения. То, что известно еще с начальной школы. Смена мест слагаемых не приводит к изменению результата. Другими словами, неважно какой вектор откладывать сначала. Ответ все равно будет верным и единственным.

Об ассоциативности сложения. Этот закон позволяет складывать попарно любые векторы из тройки и к ним прибавлять третий. Если записать это с помощью знаков, то получится следующее:

первый + (второй + третий) = второй + (первый + третий) = третий + (первый + второй).

Что известно о разности векторов?

Отдельной операции вычитания не существует. Это связано с тем, что оно, по сути, является сложением. Только второму из них задается противоположное направление. А потом все выполняется так, как если бы рассматривалось сложение векторов. Поэтому об их разности практически не говорят.

Для того чтобы упростить работу с их вычитанием, видоизменено правило треугольника. Теперь (при вычитании) второй вектор нужно отложить из начала первого. Ответом будет тот, что соединяет конечную точку уменьшаемого с ней же вычитаемого. Хотя можно и откладывать так, как было описано ранее, просто изменив направление второго.

Как найти сумму и разность векторов в координатах?

В задаче даны координаты векторов и требуется узнать их значения для итогового. При этом построений выполнять не нужно. То есть можно воспользоваться несложными формулами, которые описывают правило сложения векторов. Они выглядят так:

а (х, у, z) + в (k, l, m) = с (х+k, y+l, z+m);

а (х, у, z) -в (k, l, m) = с (х-k, y-l, z-m).

Легко заметить, что координаты нужно просто сложить или вычесть в зависимости от конкретного задания.

Первый пример с решением

Условие. Дан прямоугольник АВСД. Его стороны равны 6 и 8 см. Точка пересечения диагоналей обозначена буквой О. Требуется вычислить разность векторов АО и ВО.

Решение. Сначала нужно изобразить эти векторы. Они направлены от вершин прямоугольника к точке пересечения диагоналей.

Если внимательно посмотреть на чертеж, то можно увидеть, что векторы уже совмещены так, чтобы второй из них соприкасался с концом первого. Вот только его направление неверное. Он должен из этой точки начинаться. Это если векторы складываются, а в задаче — вычитание. Стоп. Это действие означает, что нужно прибавить противоположно направленный вектор. Значит, ВО нужно заменить на ОВ. И получится, что два вектора уже образовали пару сторон из правила треугольника. Поэтому результат от их сложения, то есть искомая разность, — вектор АВ.

А он совпадает со стороной прямоугольника. Для того чтобы записать числовой ответ, потребуется следующее. Начертить прямоугольник вдоль так, чтобы большая сторона шла горизонтально. Нумерацию вершин начинать с левой нижней и идти против часовой стрелки. Тогда длина вектора АВ будет равна 8 см.

Ответ. Разность АО и ВО равна 8 см.

Второй пример и его подробное решение

Условие. У ромба АВСД диагонали равны 12 и 16 см. Точка их пересечения обозначена буквой О. Вычислите длину вектора, образованного разностью векторов АО и ВО.

Решение. Пусть обозначение вершин ромба будет таким же, как в предыдущей задаче. Аналогично решению первого примера получается, что искомая разность равна вектору АВ. А его длина неизвестна. Решение задачи свелось к тому, чтобы вычислить одну из сторон ромба.

Для этой цели потребуется рассмотреть треугольник АВО. Он прямоугольный, потому что диагонали ромба пересекаются под углом в 90 градусов. А его катеты равны половинам диагоналей. То есть 6 и 8 см. Искомая в задаче сторона совпадает с гипотенузой в этом треугольнике.

Для ее нахождения потребуется теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы будет равен сумме чисел 6 2 и 8 2 . После возведения в квадрат получатся значения: 36 и 64. Их сумма — 100. Отсюда следует, что гипотенуза равна 10 см.

Ответ. Разность векторов АО и ВО составляет 10 см.

Третий пример с детальным решением

Условие. Вычислить разность и сумму двух векторов. Известны их координаты: у первого — 1 и 2, у второго — 4 и 8.

Решение. Для нахождения суммы потребуется сложить попарно первые и вторые координаты. Результатом будут числа 5 и 10. Ответом будет вектор с координатами (5; 10).

Для разности нужно выполнить вычитание координат. После выполнения этого действия получатся числа -3 и -6. Они и будут координатами искомого вектора.

Ответ. Сумма векторов — (5; 10), их разность — (-3; -6).

Четвертый пример

Условие. Длина вектора АВ равна 6 см, ВС — 8 см. Второй отложен от конца первого под углом в 90 градусов. Вычислить: а) разность модулей векторов ВА и ВС и модуль разности ВА и ВС; б) сумму этих же модулей и модуль суммы.

Решение: а) Длины векторов уже даны в задаче. Поэтому вычислить их разность не составит труда. 6 - 8 = -2. Несколько сложнее обстоит дело с модулем разности. Сначала нужно узнать, какой вектор будет являться результатом вычитания. Для этой цели следует отложить вектор ВА, который направлен в противоположную сторону АВ. Потом от его конца провести вектор ВС, направив его в сторону, противоположную исходному. Результатом вычитания получится вектор СА. Его модуль можно вычислить по теореме Пифагора. Несложные вычисления приводят к значению 10 см.

б) Сумма модулей векторов получается равной 14 см. Для поиска второго ответа потребуется некоторое преобразование. Вектор ВА противоположно направлен тому, который дан — АВ. Оба вектора направлены из одной точки. В этой ситуации можно использовать правило параллелограмма. Результатом сложения будет диагональ, причем не просто параллелограмма, а прямоугольника. Его диагонали равны, значит, модуль суммы такой же, как в предыдущем пункте.

Ответ: а) -2 и 10 см; б) 14 и 10 см.

Сложение сил производят, используя правило сложения векторов. Или так называемое правило параллелограмма. Так как сила изображается в виде вектора, то есть это отрезок, длинна которого показывает числовое значение силы, а направление указывает направление действия силы. То складывают силы, то есть вектора, с помощью геометрического суммирования векторов.

С другой стороны сложение сил это нахождение равнодействующей нескольких сил. То есть когда на тело действует несколько разных сил. Разных как по величине, так и по направлению. Необходимо найти результирующую силу, которая буде действовать на тело в целом. В этом случае можно силы складывать попарно использую правило параллелограмма. Сначала складываем две силы. К их равнодействующей прибавляем еще одну. И так до тех пор, пока не сложатся все силы.

Рисунок 1 - Правило параллелограмма.

Правило параллелограмма можно описать так. Для двух сил выходящих из одной точки, и имеющих между собой угол отличный от нуля или 180 градусов. Можно построить параллелограмм. Путем переноса начала одного вектора в конец другого. Диагональ этого параллелограмма и будет равнодействующей этих сил.

Но также можно использовать и правило многоугольника сил. В этом случае выбирается начальная точка. Из этой точки выходит первый вектор силы действующей на тело, далее к его концу добавляется следующий вектор, методом параллельного переноса. И так далее до тех пор, пока не будет получен многоугольник сил. В конце концов, равнодействующей всех сил в такой системе будет вектор, проведенный из начальной точки в конец последнего вектора.

Рисунок 2 - Многоугольник сил.

В случае если тело движется под действием нескольких сил приложенных к разным точкам тела. Можно считать, что оно движется под действием равнодействующей силы приложенной к центру масс данного тела.

Наряду со сложением сил, для упрощения расчетов движения, применяется и метод разложения сил. Как видно из названия, суть метода заключается в том, что одну силу, действующую на тело, раскладывают на составляющие силы. В этом случае составляющие силы оказывают на тело такое же воздействие, как и изначальная сила.

Разложение сил также производится по правилу параллелограмма. Они должны выходить из одной точки. Из той же точки, из которой выходит разлагаемая сила. Как правило, разлагаемую силу представляют в виде проекций на перпендикулярные оси. К примеру, как сила тяжести и сила трения, действующие на брусок, лежащий на наклонной плоскости.

Рисунок 3 - Брусок на наклонной плоскости.