ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:
где - колеблющаяся величина, - циклическая частота.
- решение этого уравнения. Здесь - амплитуда , - начальная фаза.
Фаза колебаний.
Амплитуда - максимальное значение колеблющейся величины.
Период колебаний - промежуток времени, через который происходит повторение движения тела. Фаза колебания за период получает приращение . . , - число колебаний.
Частота колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. . . Измеряется в герцах (Гц).
Циклическая частота - число колебаний, совершаемых за секунд. 
. Единица измерения .
Фаза колебаний - величина, стоящая под знаком косинуса и характеризующая состояние колебательной системы в любой момент времени.
Начальная фаза - фаза колебаний в начальный момент времени. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах ().
Свободные затухающие колебания - колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
- логарифмическим декрементом затухания
.
Величина N e - это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная величина для данной колебательной системы.
Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q , которая при малых значениях логарифмического декремента равна
.
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА
Теоретическое обоснование методики определения коэффициентатрения
Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на наклонной плоскости.
Если шар отвести из положения равновесия (ось OO 1) на угол a, а затем отпустить, то возникнут колебания маятника. При этом шар будет кататься по наклонной плоскости около положения равновесия (рис. 1, а). Между шаром и наклонной плоскостью будет действовать сила трения качения. В результате колебания маятника будут постепенно затухать, то есть будет наблюдаться уменьшение во времени амплитуды колебаний.
Можно предположить, что по величине затухания колебаний могут быть определены сила трения и коэффициент трения качения.
Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения качения m.При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия равны нулю.
Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.
Пусть А - точка поворота (рис. 1, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO 1 .Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N , а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В .Это и будет новая точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO 1 будет равен . За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из точки А в точку В .
Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки A и B на ось OO 1 (см. рис. 1, а). Это будут точки A 1 и B 1 соответственно. Очевидно, что длина отрезка А 1 В 1
где - длина нити.
Так как ось OO 1 наклонена под углом к вертикали, проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты (рис. 1, б):
При этом изменение потенциальной энергии маятника при переходе его из положения A в положение В равно:
, (3)
где m - масса шара;
g - ускорение свободного падения.
Вычислим работу силы трения.
Сила трения определяется по формуле:
Путь , пройденный шаром за половину периода колебаний маятника, равен длине дуги AB :
.
Работа силы трения на пути :
Но , поэтому с учетом уравнений (2), (3), (4) получается
. (6)
Выражение (6) существенно упрощается с учетом того, что угол очень мал (порядка 10 -2 радиан). Итак, . Но . Поэтому .
Таким образом, формула (6) приобретает вид:
,
. (7)
Из формулы (7) видно, что потеря угла за половину периода определяется коэффициентом трения m и углом a. Однако можно найти такие условия, при которых от угла a не зависит. Учтем, что коэффициент трения качения мал (порядка 10 -3). Если рассматривать достаточно большие амплитуды колебаний маятника a, такие, при которых 
, то слагаемым в знаменателе формулы (7) можно пренебречь и тогда:
.
С другой стороны, пусть угол a будет малым настолько, чтобы можно было считать, что . Тогда потеря угла за половину периода колебаний будет определяться формулой:
. (8)
Формула (8) справедлива, если:
. (9)
Из-за того, что m имеет порядок 10 -2 , неравенству (9) удовлетворяют углы a порядка 10 -2 -10 -1 радиан.
Итак, за время одного полного колебания потеря угла составит:
,
а за n
колебаний - 
.
Формула (10) дает удобный способ определения коэффициента трения качения. Необходимо измерить уменьшение угла Da n за 10-15 ко-лебаний, а затем по формуле (10) вычислить m.
В формуле (10) величина Da выражена в радианах. Чтобы использовать значения Da в градусах, формулу (10) необходимо видоизменить:
. (11)
Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции I c относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 2).
Рис. 2
К центру масс C приложена сила , направленная вдоль оси ox и являющаяся функцией координаты x . Со стороны поверхности на тело действует сила трения F ТР. Пусть момент силы трения относительно оси, проходящей через центр C шара, равен M ТР.
Уравнения движения шара в этом случае имеют вид:
; (12)
, (13)
где - скорость центpa масс;
w - угловая скорость.
В уравнениях (12) и (13) четыре неизвестных: , w, F ТР, M ТР. В общем случае задача не определена.
Допустим, что:
1) тело катится без проскальзывания. Тогда:
где R - радиус шара;
2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т.е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь:
. (15)
С учетом формул (14) и (15) из уравнений (12) и (13) получаем выражение для силы трения:
. (16)
Выражение (16) не содержит коэффициента трения m, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материалов, из которых изготовлены шар и плоскость. Этот результат - прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (14) и (15). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (12) на , а уравнение (13) — на w. Учитывая, что
и 
и складывая выражения (12) и (13), получаем
где W (x ) - потенциальная энергия шара в поле силы F (x ). Следует учесть, что
Если принять во внимание формулы (14) и (15), то правая часть равенства (17) обращается в нуль. В левой части равенства (17) стоит производная по времени от полной энергии системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения шара , кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х ). Это значит, что полная энергия системы - постоянная величина, т.е. сила трения не совершает работы.
Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это свидетельствует о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движении шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (14) и (15) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.
Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель - определить по изменению энергии маятника коэффициент трения. Поэтому будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (15). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим, что имеет место слабое проскальзывание.
Пусть скорость точек касания (на рис. 2 точка О) шара (скорость проскальзывания):
. (19)
Тогда, подставляя в уравнение (17) 
и учитывая условия (15) и (20), приходим к уравнению:
, (21)
из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, т.к. тело скользит по поверхности со скоростью и, нанего действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.
Выполняя в уравнении (21) дифференцирование и учитывая соотношение (18), получаем уравнение движения центра масс шара:
. (22)
Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой:
, (23)
под действием внешней силы F и силы трения качения:
.
Причем, F ТР - обычная сила трения скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. На практике часто наблюдается случай, когда сила трения качения не зависит от скорости тела.
Видимо, в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:
В реальной действительности свободные колебания происходят в условиях действия сил сопротивления. Диссипативные силы ведут к уменьшению амплитуды колебаний. Колебания, амплитуда которых с течением времени становится меньше в результате потерь энергии, называются затухающими.
Затухающие механические колебания
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Физическую величину, которая характеризует скорость затухания колебаний, называют коэффициентом затухания . Коэффициент затухания могут обозначать по-разному: и т.д. При условии пропорциональности сил трения скорости движения тела:
где — является обобщенным коэффициентом трения, коэффициент затухания считают равным:
где — масса тела, совершающего колебания.
Дифференциальное уравнение колебаний при наличии затухания будет иметь вид:
— циклическая частота свободных колебаний системы при отсутствии трения.Уравнение затухающих колебаний:
где 
— частота затухающих колебаний, — амплитуда затухающих колебаний. — постоянная величина, которая зависит от выбора начала отсчета времени.
Коэффициент затухания можно определить как величину обратную времени () за которое амплитуд (A) уменьшается в e раз:
где — время релаксации. То есть можно записать:
Период затухающих колебаний равен:
при несущественном сопротивлении среды, если выполняется неравенство: период колебаний можно вычислять при помощи формулы:
При увеличении коэффициента затухания период колебаний растет. Надо заметить, что понятие период затухающих колебаний не совпадает с понятием незатухающих колебаний, так как система при наличии затухания никогда не возвращается в исходное состояние. Период затухающих колебаний — это минимальный промежуток времени в течение которого, система два раза проходит положение равновесия в одном направлении.
С увеличением коэффициента затухания колебаний частота колебаний уменьшается. Если , то частота затухающих колебаний станет равна нулю, при этом период увеличивается до бесконечности. Такие колебания теряют периодичность и называются апериодическими. При равенстве коэффициента затухания собственной частоте колебаний параметры системы называют критическими.
Коэффициент затухания колебаний связан с логарифмическим декрементом затухания () выражением:
Затухающие электрические колебания
Любой электрический контур, существующий в реальной действительности, имеет активное сопротивление, следовательно, энергия, запасённая в нем с течением времени расходуется на этом сопротивлении, так как происходит его нагревание.
При этом коэффициент затухания для электрического контура вычисляют как:
где R — сопротивление, L- индуктивность контура.
Частота в электромагнитном контуре представлена формулой:
Для RLC контура критическим сопротивлением () при котором колебания становятся апериодическими является сопротивление, равное:
Единицы измерения коэффициента затухания колебаний
Основной единицей измерения коэффициента затухания в системе СИ является:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний маятника за время t=10 c. уменьшается в 4 раза? |
| Решение | Запишем уравнение затухающих колебаний маятника:
По одному из определений коэффициента затухания: Проведем вычисления:
|
| Ответ |  |
ПРИМЕР 2
| Задание | Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R (рис.1). Через какое число полных колебаний (N) амплитуда тока в контуре уменьшится в e -раз?
|
| Решение | Введем следующие обозначения: — начальное значение амплитуды силы тока, — амплитуда силы тока через N колебаний, тогда можно записать:
|
1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический дек ремент затухания. Добротность колеба тельной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.
Механические затухающие колебания.
Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.
Силы, действующие на маятник :
Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:
ma = F упр. + F сопр.
Учитывая,
что
и
,
запишем второй закон Ньютона в виде:
. (21.1)
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.
В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
(21.2)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:
.
Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:
,
.
Подставим выражения в дифференциальное уравнение:
Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:
.
Обозначим
величину
.
Решением
уравнения
являются
функции
,
.
Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:
Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):
Частота затухающих колебаний :
(физический
смысл имеет только вещественный корень,
поэтому
).
Период затухающих колебаний :
(21.5)
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Для механической системы пружинного маятника имеем:
,
.
Амплитуда затухающих колебаний :
Для пружинного маятника .
Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.
Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.
Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний
Характеристики затухающих колебаний.
1. Коэффициент затухания β .
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
Пусть за
время τ
амплитуда колебаний уменьшится в “e
” раз (“е” – основание натурального
логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны,
,
а с другой стороны, расписав амплитуды
А зат. (t)
и А зат. (t+τ),
имеем
.
Из этих соотношений следует βτ
= 1, отсюда
.
Промежуток времени τ , за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.
Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.
2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.
Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:
,
где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).
3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:
.
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то
При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна
,
где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.
Так, добротность пружинного маятника - .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.
4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.
При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:
.
Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени
Вынужденные колебания.
Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой
Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными .
Общие признаки вынужденных механических колебаний.
1. Рассмотрим
вынужденные механические колебаний
пружинного маятника, на который действует
внешняя (вынуждающая
)
периодическая сила
.
Силы, которые действуют на маятник,
однажды выведенный из положения
равновесия, развиваются в самой
колебательной системе. Это сила упругости
и
сила сопротивления
.
Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
(21.6)
Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:
(21.7)
Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений
.
– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:
Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.
Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .
Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:
где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 –сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0) и от частоты вынуждающей силы Ω.
Период вынужденных колебаний равен (21.9)
График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.
Рис.21.3. График вынужденных колебаний
Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.
Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.
1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:
,
.
Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.
Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .
Рисунок 21.4.
, (21.10)
. (21.11)
Учитывая значение , ,, получим формулы для φ 0 и А ампл. механической системы:
,
.
2. Исследуем
зависимость амплитуды вынужденных
колебаний от частоты вынуждающей силы
и величины силы сопротивления в
колеблющейся механической системе, по
этим данным построим график
.
Результаты исследования отражены в
Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой
частоте вынуждающей силы
амплитуда
колебаний резко возрастает. И это
возрастание тем больше, чем меньше
коэффициент затухания β.
При
амплитуда
колебаний становится бесконечно большой
.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.
(21.12)
Кривые
на Рисунке 21.5 отражают зависимость
и
называются амплитудными
резонансными кривыми
.
Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Амплитуда резогансных колебаний примет вид:
Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями .
В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.
|
|
|
Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником. |
Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.
Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
Уменьшение энергии колебательной системы приводит к постепенному уменьшению амплитуды колебаний, ибо
В этом случае говорят, что колебания затухают .
Аналогичная ситуация складывается в колебательном контуре. Реальная катушка, входящая в состав контура, всегда обладает активным сопротивлением . При протекании тока на активном сопротивлении катушки будет выделяться джоулево тепло . Энергия контура при этом будет уменьшаться, что будет приводить к уменьшению амплитуды колебаний заряда, напряжения и силы тока.
Наша задача – выяснить по какому закону происходит уменьшение амплитуды колебаний, по какому закону изменяется сама колеблющаяся величина, с какой частотой происходят затухающие колебания, как долго колебания «затухают».
§1 Затухание колебаний в системах с вязким трением
Рассмотрим колебательную систему, в которой действует сила вязкого трения. Примером такой колебательной системы может служить математический маятник, совершающий колебания в воздушной среде.
В этом случае при выведении системы из положения равновесия на
маятник будут действовать две силы: квазиупругая сила и сила сопротивления (сила вязкого трения).
Второй закон Ньютона запишется следующим образом:
Мы знаем, что при малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:
Учтем, что проекция скорости есть первая производная от координаты тела, а проекция ускорения – вторая производная от координаты:
Тогда уравнение (2) примет вид:
получим уравнение движения в следующем виде:
где d - коэффициент затухания, он зависит от коэффициента трения r,
w 0 - циклическая частота идеальных колебаний (в отсутствие трения).
Прежде чем решать уравнение (3), рассмотрим колебательный контур. Активное сопротивление катушки включено последовательно с емкостью С и индуктивностью L.
Запишем второй закон Кирхгофа
Учтем, что , , .
Тогда второй закон Кирхгофа примет вид:
Разделим обе части уравнения на :
Введем обозначения
Окончательно получаем
Обратите внимание на математическую тождественность дифференциальных уравнений (3) и (3’). В этом нет ничего удивительного. Мы уже показывали абсолютную математическую тождественность процесса колебания маятника и электромагнитных колебаний в контуре. Очевидно, процессы затухания колебаний в контуре и в системах с вязким трением тоже происходят одинаково.
Решив уравнение (3), мы получим ответы на все поставленные выше вопросы.
Решение этого уравнения нам известно
Тогда для искомого уравнения (3) получаем окончательный результат
Нетрудно видеть, что заряд конденсатора в реальном колебательном контуре будет изменяться по закону
Анализ полученного результата:
1 В результате совместного действия квазиупругой силы и силы сопротивления система может совершать колебательное движение. Для этого должно выполняться условие w 0 2 - d 2 > 0. Иными словами, трение в системе должно быть невелико.
2 Частота затухающих колебаний w не совпадает с частотой колебаний системы в отсутствие трения w 2 = w 0 2 - d 2 < w 0 2 . С течение времени частота затухающих колебаний остается неизменной.
Если коэффициент затухания d мал, то частота затухающих колебаний близка к собственной частоте w 0 .
Это убывание амплитуды происходит по экспоненциальному закону.
4 Если w 0 2 - d 2 < 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция (4) действительно является решением уравнения (3). Очевидно, что сумма двух экспоненциальных функций не является периодической функцией. С физической точки зрения это означает, что колебания в системе не возникнут. После выведения системы из положения равновесия она будет медленно в него возвращаться. Такой процесс называется апериодическим .
§2 Как быстро затухают колебания в системах с вязким трением?
Декремент затухания
значение величины . Видно, что величина d характеризует быстроту затухания колебаний. По этой причине d называют коэффициентом затухания.
Для электрических колебаний в контуре коэффициент затухания зависит от параметров катушки: чем больше активное сопротивление катушки, тем быстрее убывают амплитуды заряда на конденсаторе, напряжения, силы тока.
Функция является произведением убывающей показательной функции и гармонической функции , поэтому функция не является гармонической. Но обладает определенной степенью «повторяемости», заключающейся в том, что максимумы, минимумы, нули функции наступают через равные промежутки времени. График функции представляет собой синусоиду, ограниченную двумя экспонентами.
Найдем отношение двух последовательных амплитуд, разделенных промежутком времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания
Обратите внимание, что результат не зависит от того, какие два последовательных периода вы рассматриваете – в начале колебательного движения или по прошествии какого-то времени. За каждый период амплитуда колебаний меняется не на одинаковую величину, а в одинаковое количество раз !!
Нетрудно видеть, что за любые разные промежутки времени амплитуда затухающих колебаний уменьшается в одинаковое количество раз.
Время релаксации
Временем релаксации называется время , за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:
Отсюда нетрудно установить физический смысл коэффициента затухания:
Таким образом, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации . Пусть, например, в колебательном контуре коэффициент затухания равен . Это значит, что через время с амплитуда колебаний уменьшится в е раз.
Логарифмический декремент затухания
Часто быстроту затухания колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания. Для этого берут натуральный логарифм от отношения амплитуд, разделенных промежутком времени в период.
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
Пусть N – число колебаний, совершаемых системой за время релаксации, то есть число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Очевидно, .
Видно, что логарифмический декремент затухания - есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшается в е раз.
Допустим, , это значит, что по прошествии 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность колебательной системы
Кроме логарифмического декремента затухания и времени релаксации, быстроту затухания колебаний можно характеризовать такой величиной, как добротность колебательной системы . Под добротностью
Можно показать, что для слабо затухающих колебаний
Энергия колебательной системы в произвольный момент времени равна . Потери энергии за период можно найти как разность энергии в момент времени и энергии через время, равное периоду:
Показательную функцию можно разложить в ряд при << 1. после подстановки получаем .
При выводе нами было наложено ограничение << 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.
Формулы, полученные нами для добротности системы, пока ни о чем не говорят. Допустим, расчеты дают значение добротности Q = 10. Что это означает? Как быстро затухают колебания? Это хорошо или плохо?
Обычно условно считают, что колебания практически прекратились, если их энергия уменьшилась в 100 раз (амплитуда – в 10). Выясним, какое количество колебаний совершила система к этому моменту:
Можем ответить на поставленный ранее вопрос: N = 8.
Какая колебательная система лучше – с большой или малой добротностью? Ответ на этот вопрос зависит от того, что вы хотите получить от колебательной системы.
Если вы желаете, чтобы система совершила как можно больше колебаний до остановки, добротность системы нужно увеличивать. Как? Поскольку добротность определяется параметрами самой колебательной системы, то необходимо правильно эти параметры подобрать.
Например, маятник Фуко, установленный в Исаакиевском соборе, должен был совершать слабо затухающие колебания. Тогда
Самый простой способ увеличить добротность маятника – сделать его тяжелее.
В практике нередко возникают и обратные задачи: необходимо по возможности быстрее погасить возникшие колебания (например, колебание стрелки измерительного прибора, колебания кузова автомобиля, колебания судна и т.д.) приспособления, позволяющие увеличить затухание в системе, называются демпферами (или амортизаторами). Например, амортизатор автомобиля в первом приближении представляет собой цилиндр, заполненный маслом (вязкой жидкостью), в котором может двигаться поршень, имеющий ряд мелких отверстий. Шток поршня соединен с кузовом, а цилиндр – с осью колеса. Возникшие колебания кузова быстро затухают, так как движущийся поршень встречает на своем пути большое сопротивление со стороны вязкой жидкости, заполняющей цилиндр.
§ 3 Затухание колебаний в системах с сухим трением
Принципиально иначе происходит затухание колебаний, если в системе действует сила трения скольжения. Именно она является причиной остановки пружинного маятника, совершающего колебания вдоль какой-либо поверхности.
Допустим, пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебательное движение, сжав пружину и отпустив груз, то есть из крайнего положения. В процессе движения груза из одного крайнего положения в другое на него действуют сила тяжести и сила реакции опоры (по вертикали), сила упругости и сила трения скольжения (вдоль поверхности).
Заметим, что в процессе движения слева направо сила трения неизменна по направлению и модулю.
Этот позволяет утверждать, что в течение первой половины периода пружинный маятник находится в постоянном силовом поле.
Смещение положения равновесия можно рассчитать из условия равенства равнодействующей нулю в положении равновесия:
Важно, что в течение первой половины периода колебания маятника гармонические !
При движении в обратном направлении – справа налево- сила трения изменит направление, но в течение всего перехода будет оставаться постоянной по модулю и направлению. Эта ситуация опять таки соответствует колебаниям маятника в постоянном силовом поле. Только теперь это поле другое! Оно изменило направление. Следовательно, положение равновесия при движении справа налево тоже изменилось. Теперь оно сместилось вправо на величину Dl 0 .
Изобразим зависимость координаты тела от времени. Поскольку за каждую половину периода движение представляет собой гармоническое колебание, то график будет представлять собой половинки синусоид, каждая из которых построена относительно своего положения равновесия. Мы будем производить операцию «сшивания решений».
Покажем, как это делается на конкретном примере.
Пусть масса груза, прикрепленного к пружине, равна 200 г, жесткость пружины 20 Н/м, коэффициент трения между грузом и поверхностью стола 0,1. Маятник привели в колебательное движение, растянув пружину на
6,5 см.
В отличие от колебательных систем с вязким трением в системах с сухим трением амплитуда колебаний убывает с течением времени по линейному закону – за каждый период она уменьшается на две ширины зоны застоя.
Другая отличительная особенность - колебания в системах с сухим трением даже теоретически не могут происходить бесконечно долго. Они прекращаются, как только тело останавливается в «зоне застоя».
§4 Примеры решения задач
Задача 1 Характер изменения амплитуды затухающих колебаний в системах с вязким трением
Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t 1 = 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время t 2 амплитуда колебаний уменьшится в 8 раз? Через какое время t 3 можно считать, что колебания маятника прекратились?
Решение:
Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением време-
ни уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.
1 Запишем закон изменения амплитуда два раза
2 Решаем уравнения совместно. Логарифмируем каждое уравнение и получаем
Делим второе уравнение не первое и находим время t 2
После преобразований получаем
Делим последнее уравнение на уравнение (*)
Задача 2 Период затухающих колебаний в системах с вязким трением
Определите период затухающих колебаний системы Т, если период собственных колебаний Т 0 = 1 с, а логарифмический декремент затухания . Сколько колебаний совершит эта система до полной остановки?
Решение:
1 Период затухающих колебаний в системе с вязким трением больше периода собственных колебаний (при отсутствии трения в системе). Частота затухающих колебаний, наоборот, меньше частоты собственных и равна , где - коэффициент затухания.
2 Выразим циклическую частоту через период. и учтем, что логарифмический декремент затухания равен :
3 После преобразований получаем .
Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника
После преобразований получаем
5 Выражаем коэффициент затухания через логарифмический декремент , получаем
Число колебаний, которое совершит система до остановки, равно
Задача 3 Число колебаний, совершаемых маятником до уменьшения амплитуды в два раза
Логарифмический декремент затухания маятника равен q = 3×10 -3 . Определите число полных колебаний, которое должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в 2 раза.
Решение:
3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем
Находим число колебаний
Задача 4 Добротность колебательной системы
Определите добротность маятника, если за время, в течение которого было совершено 10 колебаний, амплитуда уменьшилась в 2 раза. Через какое время маятник остановится?
Решение:
1 Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением времени уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.
Поскольку амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, получаем
2 Время колебаний можно представить как произведение периода колебаний на их количество :
Подставляем полученное значение времени в выражение (*)
3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем Логарифмический декремент затухания равен
4 Добротность колебательной системы
Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника
После преобразований получаем
Находим время, через которое колебания прекратятся .
Задача 5 Колебания магнита
Вася Лисичкин, известный на всю школу экспериментатор, решил заставить колебаться магнитную фигурку любимого литературного героя Колобка по стенке холодильника. Он прикрепил фигурку к пружине жесткостью k = 10 H/м, растянул ее на 10 см и отпустил. Сколько колебаний совершит Колобок, если масса фигурки m = 10 г, коэффициент трения между фигуркой и стенкой равен μ = 0,4 , а оторвать ее от стенки можно силой F = 0,5 Н.
Решение:
1 При движении из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение, когда скорость груза направлена вверх, сила трения скольжения направлена вниз и численно равна . Таким образом, пружинный маятник находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:
где - растяжение пружины в новом «положении равновесия».
2 При движении из крайнего верхнего в крайнее нижнее положение, когда скорость груза направлена вниз, сила трения скольжения направлена вверх и численно равна . Таким образом, пружинный маятник опять-таки находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:
где - деформация пружины в новом «положении равновесия», знак «-» говорит, что в этом положении пружина сжата.
3 Зона застоя ограничена деформациями пружины от - 1 см до 3 см и составляет 4 см. Середина зоны застоя, в которой деформация пружины равна 1 см, соответствует положению груза, в котором сила трения отсутствует. В зоне застоя сила упругости пружины по модулю меньше равнодействующей максимальной силы трения покоя и силы тяжести. Если маятник останавливается в зоне застоя, колебания прекращаются.
4 За каждый период деформация пружины уменьшается на две ширины зоны застоя, т.е. на 8 см. После одного колебания деформация пружины станет равной 10 см – 8 см = 2 см. Это означает, что после одного колебания фигурка Колобка попадает в зону застоя и ее колебания прекращаются.
§5 Задания для самостоятельного решения
Тест «Затухающие колебания»
1 Под затуханием колебаний понимают…
А) уменьшение частоты колебаний; Б) уменьшение периода колебаний;
В) уменьшение амплитуды колебаний; Г) уменьшение фазы колебаний.
2 Причина затухания свободных колебаний –
А) действие на систему случайных факторов, тормозящих колебания;
Б) действие периодически изменяющейся внешней силы;
В) наличие в системе силы трения;
Г) постепенное уменьшение квазиупругой силы, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия.
?А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см;
Г) Ответ дать не возможно, поскольку неизвестно время .
6 Два одинаковых маятника, находясь в разных вязких средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. В какой среде трение больше?
7 Два маятника, находясь в одинаковых средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. Какой маятник имеет большую массу?
В) Ответ дать невозможно, поскольку по осям координат не проставлен масштаб и выполнить расчеты нельзя.
8 На каком рисунке правильно показана зависимость координаты затухающих колебаний в системе с вязким трением от времени?
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) Все графики верные.
9 Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими затухание колебаний в системах с вязким трением, и их определением и физическим смыслом. Заполните таблицу
А) Это отношение амплитуд колебаний через время, равное периоду;
Б) Это натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний через время, равное периоду;
В) Это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз;
Ж) Эта величина обратна числу колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз;
З) Эта величина показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний.
10 Составьте правильное утверждение.
Под добротностью понимают…
А) увеличенное в 2p раз отношение полной энергии системы E к энергии W , рассеянной за период;
Б) отношение амплитуд через промежуток времени, равный периоду;
В) количество колебаний, которое совершает система к тому моменту, когда амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность рассчитывают по формуле…
Добротность колебательной системы зависит от…
А) энергии системы;
Б) потерь энергии за период;
В) параметров колебательной системы и трения в ней.
Чем больше добротность колебательной системы, тем …
А) медленнее затухают колебания;
Б) быстрее затухают колебания.
11 Математический маятник приводят в колебательное движение, отклонив подвес от положения равновесия в первом случае на 15°, во втором – на 10°. В каком случае маятник совершит больше колебаний до остановки?
А) Когда подвес отклонили на 15°;
Б) Когда подвес отклонили на 10°;
В) В обоих случаях маятник совершит одинаковое число колебаний.
12 К двум нитям одинаковой длины прикрепили шарики одинакового радиуса – алюминиевый и медный. Маятники приводят в колебательное движение, отклонив их на одинаковые углы. Какой из маятников совершит большее количество колебаний до остановки?
А) Алюминиевый; Б) Медный;
В) Оба маятника совершат одинаковое количество колебаний.
13 Пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебания, растянув пружину на 9 см. После совершения трех полных колебаний маятник оказался на расстоянии 6 см от положения недеформированной пружины. На каком расстоянии от положения недеформированной пружины окажется маятник после следующих трех колебаний?
А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см.
§6 Затухающие колебания
Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими .
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F C направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона
где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Уравнение затухающих колебаний.
ω - частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово-рить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А 0 и φ 0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ - время релаксации.
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень-шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
§7 Вынужденные колебания.
Резонанс
В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.
Пусть
Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.
По второму закону Ньютона:
(1)
Дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний.
Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде:
Тогда
Подставим в (2):
т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,
Это комплексное число удобно представить в виде
где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид
Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:
где
(3)
(4)
Слагаемое Х о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи-ческой системы, называется резонансом .
Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).
Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой . Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то
ω рез = ω 0 .
При ω→0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.
Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.
Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.