Издательство «Школьник»
Волгоград, 2003 год
А.П.Доморяд
ББК 22.1я2я72
Доморяд Александр Петрович
Математические игры и развлечения
Избранное
Редактор Копылова А.Н.
Техн. раедактор Мурашова Н.Я.
Корректор Сечейко Л.О.
Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 84х 108 ¼.Физ.печ.л. 8,375. Условн.печ.л. 13,74. Уч.-изд.л. 12,82. Тираж 200000 экз. Заказ №979. Цена книги 50 руб.
Доморяд А.П.
Математические игры и развлечения: Избранное.- Волгоград:ВГПУ,2003.-20 с.
В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения»,которая была издана в 1961 году государственным издательством физико-математической литературы г. Москвой.
ISBN
5-09-001292-Х ББК22.1я2я72
© Издательство «ВГПУ»,2003
Предисловие 6
Определение задуманного числа по трем таблицам 7
Солитер 8
Сложение и вычитание вместо умножения 11
Функция [x] (целая часть x) 12
Фигуры из кусочков квадрата 14
Магические квадраты 16
Приложение 17
Предисловие
Из разнообразного материала, объединяемого различными авторами под общим названием математических игр и развлечений, можно выделить несколько групп "классических развлечений", издавна привлекавших внимание математиков:
Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений; обычно интересуются установлением числа решений, разработкой методов, дающих большие группы решений или решения, удовлетворяющие каким-нибудь специальным требованиям.
Математические игры, т.е. игры, в которых двое играющих рядом "ходов", делаемых поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, причем оказывается возможным для любого исходного положения предопределить победителя и указать, как - при любых ходах противника - он может добиться победы.
"Игры одного лица", т.е. развлечения, в которых с помощью ряда операций, выполняемых одним игроком в соответствии с данными правилами, надо достигнуть определенной, заранее указанной цели ; здесь интересуются условиями, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее число ходов, необходимых для ее достижения.
Каждый может попытаться, проявив настойчивость и изобретательность, получить интересные (свои!) результаты.
Если такие классические развлечения, как, например, составление "магических квадратов" могут оказаться по душе сравнительно узкому кругу лиц, то составление, например, симметричных фигур из деталей разрезанного квадрата, поиски числовых курьезов и т.п., не требуя никакой математической подготовки, могут доставить удовольствие и любителям, и "не любителям" математики. То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в объеме 9-11 классов средней школы.
Многие развлечения и даже отдельные задачи могут подсказать любителям математики темы для самостоятельного исследования.
В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы - даже учащимся 5-8классов.
Многие параграфы могут быть использованы преподавателями математики для организации внеклассной работы.
Разные категории читателей могут по-разному использовать эту книгу: лица, не увлекающиеся математикой , могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, фигур и т.п., не вникая в обоснование игр и развлечений, принимая на веру отдельные утверждения; любителям математики советуем изучать отдельные места книги с карандашом и бумагой, решая предлагаемые задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления.
Определение задуманного числа по трем таблицам
Разместив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – в четырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см. рис. 1), легко быстро определить задуманное кем-нибудь число N (N≤60), если будет указаны номера α, β, γ столбцов, содержащих задуманное число в 1-й, 2-й и 3-й таблицах: N будет ровно остатку от деления числа 40α+45β+36γ на 60 или, другими словами, N будет ровно меньшему положительному числу, сравнимому с суммой (40α+45β+36γ) по модулю 60. Например, при α=3, β=2, γ=1:40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60),т.е. N=6.
| I | II | III | IV | V |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| I | II | III |
|||
| 1 | 2 | 3 |
|||
| 4 | 5 | 6 |
|||
| 7 | 8 | 9 |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| 55 | 56 | 57 |
|||
| 58 | 59 | 60 |
|||
| I | II | III | IV |
||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
||
| 5 | 6 | 7 | 8 |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| 53 | 54 | 55 | 56 |
||
| 57 | 58 | 59 | 60 |
||
Аналогичный вопрос может быть решен для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если - номера столбцов, в которых задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336γ+120δ на 420.
Солитер
| 737773 | 747774 | 757775 | ||||
| 636663 | 642264 | 656665 | ||||
| 515551 | 555252 | 535553 | 544554 | 554455 | 555556 | 555557 |
| 414441 | 424442 | 434443 | 444444 | 454445 | 464446 | 474447 |
| 313331 | 323332 | 333333 | 343334 | 353335 | 363336 | 373337 |
| 232223 | 242224 | 252225 | ||||
| 131113 | 141114 | 111115 |
Игра под названием солитер проводится на доске с тридцатью тремя клетками. Такую доску легко получить, прикрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.
К числу полезных и увлекательных развлечений относится составление фигур из семи кусочков квадрата, разрезанного в соответствии с рис.3, (а), причем при составлении заданных фигур должны быть использованы все семь кусочков, и они должны налегать, даже частично, друг на друга.
На рис. 4 приведены симметричные фигуры 1 . Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).
(а) (b)
Рис.3
Рис. 4
Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).
Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).
Магические квадраты
Магические квадрат « n 2 -квадратом» назовем квадрат, разделенный на n 2 клеток, заполненных первыми n 2 натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числуЕсли одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.
Функция [x ] равна наибольшему целому числу, превосходящемуx (x – любое действительное число). Например:
Функция [x ] имеет «точки разрыва»: при целых значениях x она «изменяется скачком».
На рис.2 дан график этой функции, причем левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.
Попробуйте
доказать,
что если каноническое разложение числа
n
!
есть
,
то
Аналогичные формулы имеют место для
Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100! Действительно, пусть . Тогда
и
.
Следовательно, 100! Делится на , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.
Фигуры из кусочков квадрата
К числу полезных и увлекательных развлечений относится составление фигур из семи кусочков квадрата, разрезанного в соответствии с рис.3, (а), причем при составлении заданных фигур должны быть использованы все семь кусочков, и они должны налегать, даже частично, друг на друга.
На рис. 4 приведены симметричные фигуры 1 . Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).
Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).
Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).
Магические квадраты
Магические квадрат « n 2 -квадратом» назовем квадрат, разделенный на n 2 клеток, заполненных первыми n 2 натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу
Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.
Магический 4 2 –квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVIвека, изображавшего квадрат на известной картине «Меланхолия».
Кстати, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514-дату создания картины.
Существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращение их вокруг центра на 90°, 180°, 270°
2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3
Действительно,S 3 = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата.
Изучая алгебру 10 класса по учебнику А.Г.Мордковича и П.В. Семёнова, ученики впервые встретились с функцией целой части числа у = [х]. Некоторых она заинтересовала, но теоретических сведений, да и заданий, содержащих целую часть числа, оказалось очень мало. Чтобы поддержать интерес детей к предмету и возникла идея создания данного пособия.
Реализация программы курса рассчитана на 1 полугодие 10 класса для обучающихся физико – математического профиля.
Цель курса: расширить знания обучающихся о математических функциях и формировать умение использовать знания о функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. В представленном учебном пособии содержатся теоретические сведения справочного характера. Это сведения о функции целой части числа у = [х] и функции дробной части числа у = {х}, их графиках. Объясняются преобразования графиков, содержащих целую часть числа. Рассмотрены решения простейших уравнений и неравенств, содержащих целую или дробную частъ числа. А также методы решения квадратных, дробно – рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений, содержащих целую или дробную часть числа.
В пособии приведены задания для самостоятельного решения.
Пособие включает в себя следующие пункты:
Введение.
§1. Знакомство с функциями у = [х] и у ={х}.
§2. Уравнения, содержащие дробную или целую часть числа.
2.1 Простейшие уравнения.
2.2 Решение уравнений вида = g (х).
2.3 Графический способ решения уравнений.
2.4 Решение уравнений введением новой переменной.
2.5 Системы уравнений.
§3. Преобразование графиков функций, содержащих целую часть числа.
3.1 Построение графиков функций вида у =
3.2 Построение графиков функций вида у = f ([х]).
§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа.
§5. Целая и дробная часть числа в олимпиадных заданиях.
Ответы на задания для самостоятельного решения.
Пособие обеспечивает развитие представлений о функции и формирование прикладных навыков.
Адресовано учителям, решающим задачи профильного обучения.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Розина Т.А
Задачи, содержащие целую
или дробную часть числа
Междуреченск 2011
Дорогие старшеклассники!
Вы приступаете к углубленному изучению темы «Целая и дробная части числа». Данное пособие позволит вам расширить свои знания о математических функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. В представленном пособии содержатся теоретические сведения справочного характера, объясняются преобразования графиков, содержащих целую или дробную часть числа, рассмотрены решения простейших уравнений. А также методы решения квадратных, дробно – рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений. В пособии приведены задания для самостоятельного решения. Учебное пособие поможет вам систематизировать и обобщить полученные знания по теме «Целая и дробная части числа».
Успехов!
§1. Знакомство с функциями у = [х] и у={х}………………………4
§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа…...7
- Простейшие уравнения……………………………………7
- Решение уравнений вида = g(х)……………………..8.
2.3 Графический способ решения уравнений………………10
- Решение уравнений введением новой переменной……11
- Системы уравнений……………………………………….12
§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую
Часть числа……………………………………………………....13
- 3.1 Построение графиков функций вида у = ……………13
- 3.2 Построение графиков функций вида у = f([х])……………15
§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа...17
……
§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях…...20
Ответы на задания для самостоятельного решения……………...23
Список литературы………………………………………………...25
§1. Знакомство с функциями у = [x]
и у = {x}
История и определение целой и дробной части числа
Понятие целой части числа было введено немецким математиком Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом(1771-1855), автором "Трудов по теории чисел". Также Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы, решение задач математической физики, создал математическую теорию потенциала.
Обозначается целая часть действительного числа x символом [x] или E(x).
Символ [x] был введён К.Гауссом в 1808 г.
Функция же целой части числа была введена Адриеном Мари Лежандром (1752-1833). - французским математиком. Его работа "Опыт теории чисел", которая вышла в свет в 1798 году, является фундаментальным трудом, итогом арифметических достижений XVIII века. Именно в честь него функцию y = [x] называют французским словом "Антье" (фр. «entier» -целый) обозначают E(x).
Определение: целой частью числа х называется наибольшее целое число с, не превышающее х, т.е. если [х] = с, c ≤ x
Например: = 2;
[-1,5] = -2.
По некоторым значениям функции можно построить её график. Он выглядит следующим образом:
Свойства функции y = [x]:
1. Область определения функции y = [x] есть множество всех действительных чисел R.
2. Область значений функции y = [x] есть множество всех целых чисел Z.
3. Функция y = [x] кусочно-постоянная, неубывающая.
4. Функция общего вида.
5. Функция не периодична.
6. Функция не ограничена.
7. Функция имеет точку разрыва.
8. y=0, при x .
Например: {3,7} = 0,7
{-2,4} = 0,6.
Построим график функции у = {х}. Он выглядит следующим образом:
Простейшие свойства функции y = {x}:
1. Область определения функции y = {x} есть множество всех действительных чисел R.
2. Область значений функции y = {x} есть полуинтервал и у = {х} поможет выполнить и некоторые задания.
ЗАДАНИЯДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1) Построить графики функций:
А) y = [х] + 5;
Б) у = {х} - 2;
В) у = |[x]|.
2) Какими могут быть числа х и у, если:
А) [х + у] = у;
Б) [х - у] = х;
В) {х - у} = х;
Г) {х + у} = у.
3) Что можно сказать о величине разности х - у, если:
А) [х] = [у];
Б) {х} = {у}.
4) Что больше: [а] или {а}?
§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа
2.1. Простейшие уравнения
К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.
Уравнения такого вида решаются по определению:
а ≤ х
Если а - дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.
Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:
[х + 1,3] = - 5. По определению такое уравнение преобразуется в неравенство:
5 ≤ х + 1,3
Это и будет являться решением уравнения.
Ответ: х[-6,3;-5,3).
Рассмотрим ещё одно уравнение, относящееся к разряду простейших:
[х+1] + [х-2]-[х+3] = 2
Для решения уравнений такого вида необходимо использовать свойство функции целого числа: Если р - целое число, то справедливо равенство
[х ± р] = [х] ± р
Доказательство: х = [х] + {х}
[ [х] + {х} ± р] = [ [х] + {х}] ± р
х = k + а, где k = [х], а = {х}
[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p = [х] ±p.
Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получим [х] + 1 + [х] - 2 - [х] - 3 = 2. Приведём подобные слагаемые и получим простейшее уравнение [х] = 6. Его решением является полуинтервал х = 1
Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ х 2 -5х+6
х 2 - 5х + 6
х 2 - 5х + 6 ≥ 1 и решим её;
х 2 - 5х + 4
х 2 - 5х + 5>0
Получаем х(1;4)
Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),
Х(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Ответ: х(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Решите уравнения:
1) = 1
2) = 0,487
3) – = 2
4) [х 2 ] = 4
5) [x] 2 = 4
6) = - 5
7) [х 2 – x + 4] = 2
8) = - 1
9) = 4,2
10) {x} – [x] + x = 0
11) x + {x} + [x] = 0
12) [ 4x – 5] = 7
2.2 Решение уравнений вида =g(x)
Уравнение вида =g(x) можно решить путем сведения их к уравнению
[x] = a.
Рассмотрим пример 1 .
Решить уравнение
Заменим правую часть уравнения на новою переменную a и выразим отсюда x
11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,
Тогда = =
Теперь решим уравнение относительно переменной а .
Раскроем знак целой части по определению и запишем с помощью системы неравенств:
Из промежутка выберем все целые значения a: 3;4;5;6;7 и проведем обратную замену:
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение:
Разделим каждое слагаемое числителя в скобке на знаменатель:
Из определения целой части числа следует, что (а+1) должно быть целым, значит и а – целое. Числа а, (а+1), (а+2) - три последовательных числа, значит одно из них обязательно делится на 2, а одно - на 3. Следовательно, произведение чисел делится нацело на 6.
То есть целое число. Значит
Решим это уравнение.
а(а+1)(а+2) - 6(а+1) = 0
(а+1)(а(а+2) - 6) = 0
а + 1 = 0 или а 2 + 2а – 6 = 0
а = -1 D = 28
A = -1 ± (не являются целыми).
Ответ: -1.
Решите уравнение:
2.3. Графический способ решения уравнений
Пример 1. [х] = 2{х}
Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций у = [х] и у = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения.
Ответ: х = 0; х = 1,5.
В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения графически:
- {х} = 1 – х;
- {х} + 1 = [х];
- = 3х;
- 3{х} = х;
- {х} = 5х + 2;
- [|х|] = х;
- [|х|] = х + 4;
- [|х|] = 3|х| - 1;
- 2{х} – 1 = [х] + 2;
10) Сколько решений имеет уравнение 2{х} = 1 - .
2.4. Решение уравнений введением новой переменной.
Рассмотрим первый пример:
{х} 2 -8{х}+7 = 0
Заменим {х} на а, 0 а
а 2 - 8а + 7 = 0, которое решим по теореме, обратной теореме Виета: Полученные корни а = 7 и а = 1 . Проведем обратную замену и получим два новых уравнения: {х} = 7 и {х} = 1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Рассмотрим ещё один случай решения уравнения введением новой
переменной:
3[х] 3 + 2[х] 2 + 5[х]-10 = 0
Проведём замену [х] = а, аz. и получим новое кубическое уравнение За
3
+2а
2
+5а-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: а=1 - корень уравнения. Делим наше уравнение на (а-1). Получаем квадратное уравнение 3а
2
+ 5а +10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений. То есть, а=1 - единственный корень уравнения. Проводим обратную замену: [х]=а=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа: х
2
+ 8[х]-9 = 0
10) 10[х]
3
-11[х]
2
-31[х]-10 = 0
2.5. Системы уравнений.
Рассмотрим систему уравнений:
2[x] + 3[y] = 8,
3[x] – [y] = 1.
Ее можно решить либо методом сложения, либо подстановкой. Остановимся на первом способе.
2[x] + 3[y] = 8,
9[x] – 3[y] = 3.
После сложения двух уравнений получаем 11[x] = 11. Отсюда
[x] = 1. Подставим это значение в первое уравнение системы и получаем
[y] = 2.
[x] = 1 и [y] = 2 – решения системы. То есть x
18-x-y
3) 3[x] – 2{y} = 6
[x] 2 – 4{y} = 4
4) 3{x} – 4{y} = -6
6{x} – {y} 2 = 3.
§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую часть числа
3.1. Построение графиков функции вида y =
Пусть имеется график функции у = f(х). Чтобы построить график функции у = , поступаем следующим образом:
- Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком функции у = f(х). Эти точки принадлежат графику функции у = , так как их ординаты целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D).
Построим график функции у = [х]. Для этого
- Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.
- Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком
Функции у = [х]. Эти точки принадлежат графику функции у = [х],
Так как их координаты целые числа.
- Для получения остальных точек графика функции у = [х] в указанной полосе часть графика у = х, попавшую в полосу, проецируем параллельно оси О у на прямую у = n, у = n + 1. Поскольку любая точка М этой части графика функции y = x, имеет такую ординату y 0 , что n 0 0 ] = n
- В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = х, построение проводится аналогично.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Постройте графики функций:
3.2. Построение графиков функции вида y = f([x])
Пусть дан график некоторой функции у = f(х). Построение графика функции у = f([х]) осуществляется следующим образом:
- Проводим прямые х = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; …
- Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми у = n и у = n + 1. Точки А и В пересечения графика функции у = f(х) с этими прямыми принадлежат графику функции у = f([х]), так как их абсциссы – целые числа.
- Для получения остальных точек графика функции у = f([х]) в указанной полосе часть графика функции у = f(х), попавшую в эту полосу, проектируем параллельно оси О у на прямую у = f(n).
- В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f(х), построение ведётся аналогично.
Рассмотрим построение графика функции у = . Для этого пунктиром построим график функции у = . Далее
числа.
3. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = , построение ведётся аналогично.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Постройте графики функций:
§4. Неравенства, содержащие целую или дробную части числа
Назовём основными неравенствами с [х] и {х} следующие соотношения: [х] > b и {х} > b. Удобным методом их решения является графический метод. Поясним его на двух примерах.
Пример 1. [х] ≥ b
Решение. Введём в рассмотрение две функции у = [х] и у = b и начертим их графики на одном и том же чертеже. Ясно, что тогда следует различать два случая: b – целое и b – нецелое.
Случай 1. b – целое
Из рисунка видно, что графики совпадают на .
Следовательно, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ b.
Случай 2. b – нецелое.
В этом случае графики функций у = [х] и у = b не пересекаются. Но часть графика у = [х], лежащая выше прямой, начинается в точке с координатами ([b] + 1; [b] + 1). Таким образом, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ [b] + 1.
Остальные виды основных неравенств исследуются точно так же. Результаты этих исследований сведены ниже в таблицу.
[х] |
{х} ≥ b, {х} > b, b ≥1 | Решений нет |
{х} ≥ b, {х} > b, b | (-∞; +∞) |
{х} ≥ b, {х} > b, 0 ≤ b | n + b ≤ x n + b |
{х} ≤ b, {х} | (-∞; +∞) |
{х} ≤ b, {х} | Решений нет |
{х} ≤ b, {х} | n≤x≤b+n |
Рассмотрим пример решения неравенства:
Заменим [x] на переменную а, где а – целое.
>1; >0; >0; >0.
Используя метод интервалов, находим a > -4 [x] > -4
Для решения полученных неравенств воспользуемся составленной таблицей:
х ≥ -3,
Ответ: [-3;1).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
1) [х]
2) [х] ≤ 2
3) [х] > 2,3
4) [х] 2
5) [х]
2
-5[х]-6
6) [х] 2 - 7[х] + 6 0
7) 30[х] 2 -121[х] + 80
8) [х] 2 + 3[х]-4 0
9) 3{х} 2 -8{х}-4
10) 110[х] 2 -167[х] + 163 0
11) > 2
12) > 1
13) 0
14) 0
§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях
Пример 1.
Доказать, что число делится на 5 при любом натуральном n.
Доказательство: Пусть n – четное число, т.е. n=2m, где m N,
поэтому.
Тогда данное выражение имеет вид: ,
т.е. оно делится на 5 при любом четном n.
Если, n = 2m -1, то
тогда данное выражение имеет вид:
Это число при любом нечетном n делится на 5.
Итак, данное выражение при любом натуральном n делится на 5.
Пример 2.
Найти все простые числа вида, где n N .
Решение. Пусть. Если n=3k, то p=3k 2 . Это число будет простым и равным 3, при k=1.
Если n=3k+1, k0, то
То
Это число будет простым и равным 5 при k=1.
Если n = 3k + 2, k 0, то
Составное число при любом kN.
Ответ: 3;5
Пример 3.
В ряд выписаны числа кратны двум, трем, шести. Найти число, которое в этом ряду будет стоять на тысячном месте.
Решение:
Пусть х – искомое число, тогда ряд чисел, кратных двум в этом ряду - , кратны трем - , кратны шести - . Но числа кратны шести, кратны двум и трем, т.е. будут подсчитаны трижды. Поэтому из суммы чисел. Кратных двум, трем, шести надо вычесть удвоенное количество чисел кратных шести. Тогда уравнение для решения той задачи имеет вид:
Введем обозначения:
Тогда а+b-c=1000 (*) и по определению целой части числа имеем:
Домножив каждое неравенство почленно на 6, получим:
6a3x
6b2x
Складывая первые два неравенства, и вычитая из них суммы третье неравенство, получим:
6(a+b+c) 4x
Воспользуемся равенством (*), тогда: 60004x
1500x
Решениями уравнения будут числа: 1500 и 1501, но по условию задачи подходит только число 1500.
Ответ: 1500
Пример 4.
Известно, что младшему брату не более 8, но не менее 7 лет. Если количество полных лет младшего брата увеличить в 2 раза, а количество неполных лет (т.е. месяцев) его возраста утроить, то в сумме получится возраст старшего брата. Указать возраст каждого из братьев с точностью до месяцев, если известно, что суммарный их возраст равен 21 году и 8 месяцам.
Решение:
Пусть х (лет) – возраст младшего брата, тогда (месяцев) его возраста. По условию задачи (лет) – возраст старшего брата. Суммарный возраст обоих братьев равен:
(года).
3( , 3х + ,
Так как {x}=х - [x], то . (Уравнение вида = bx + c , где a,b,c R)
N=6, n=7.
При n=6, х = - не удовлетворяет условию задачи.
При n=7, х = .
Возраст младшего брата - 7лет и 2 месяца.
Возраст старшего брата – 14 лет и 6 месяцев.
Ответ: возраст младшего брата - 7лет и 2 месяца,
возраст старшего брата - 14 лет и 6 месяцев.
Задания для самостоятельного решения.
1. Решите уравнения: а) x+2[x] = 3,2; б) x 3 –[x] =3
2. Натуральные числа m и n взаимно просты и n
Или
3. Дано число x, больше 1. Обязательно ли имеет место равенство
Решите систему уравнений: x+[y]+{z} = 1,1
Y+[z]+{x}=2,2
Z+[x]+{y}=3,3.
4. Известно, что количество полных метров в ленте в 4 раза больше количества неполных метров (т.е. сантиметров). Определить максимально возможную длину ленты.
Ответы на задания для самостоятельного решения.
§1 2. а) хЄ г) х Є Z; у Є >{a}, если а ≥ 1, {a} ≥ [a], если а
§2. 2.1 1) , nЄ Z
3) , n Z
6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z
§5. 1. а) х = 1,2
Если {х} - дробная часть числа х, то [х] + {х} = х.
Тогда [х] + {х} + 2[х] = 3,2. 3[х] + {х} = 3,2. Так как 3[х] – целое а 0 ≤ {х}
Б) х =.
Указание. [х] = х- {х}, где 0 ≤ {х}
Х 3 - х + {х} = 3, откуда 2 2 - 1) ≤ 3.
- Первая сумма больше второй на m – n .
- Обязательно.
Указание. Если [√] = n, то n 4 ≤ х 4 . Теперь легко
Доказать, что [√ ] = n.
- (1; 0,2; 2,1)
- 3м 75 см.
Список литературы
- Алексеева В., Ускова Н. Задачи, содержащие целую и дробную части числа// Математика. 1997. №17. С.59-63.
- Воронова А.Н. Уравнение с переменной под знаком целой или дробной части// Математика в школе. 2002.№4. С. 58-60.
- Воронова А.Н. Неравенства с переменной под знаком целой части// Математика в школе. 2002. №2. С.56-59.
- Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. Челябинск: «Взгляд», 2004.
- Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий: Пособие для учащихся/ Сост. З.А. Скопец. М.: Просвещение, 1979.
- Еровенко В.А., О.В.Михаськова О.В. Методологический принцип Оккама на примере функций целой и дробной частей числа// Математика в школе. 2003. №3 . С.58-66.
7. Кирзимов В. Решение уравнений и неравенств, содержащих целую и
Дробную часть числа// Математика. 2002 .№30. С. 26-28.
8. Шрайнер А.А. «Задачи районных математических олимпиад
Новосибирской области». Новосибирск 2000.
9. Справочник «Математика», Москва «АСТ-ПРЕСС» 1997.
10. Райхмист Р.Б. «Графики функций. Задачи и упражнения». Москва.
«Школа – пресс» 1997.
11. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. и др. «Алгебра и начала анализа. 10
Класс. Часть 2. Задачник. Профильный уровень» Смоленск
«Мнемозина» 2007.
y=b (bZ)
y=b (bZ)
Иоганн Гаусс
Адриен Лежандр
Математические игры и развлечения
Избранное
Редактор Копылова А.Н.
Техн. Редактор Мурашова Н.Я.
Корректор Сечейко Л.О.
Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 34×103¼. Физ. печ. л. 8,375. Услов. печ. л. 13,74. Уч. изд. л. 12,88. Тираж 200 000 экз. Заказ № 279. Цена книги 50 руб.
Доморяд А.П.
Математические игры и развлечения. Избранное. – Волгоград: ВГПУ, 2003, - 20 с.
В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения», которая была издана в 1961 году Государственным издательством физико-математической литературы г. Москвы.
ISBN 5-09-001292-X ББК 22.1я2я72
©Издательство «ВГПУ», 2003
Определение задуманного числа по трем таблицам
Размастив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – вчетырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – в пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см.рис.1), легко быстро определить задуманное кем-нибкдь число N (N≤), если будут указаны номера α, β, γ столбцов, содержащие задуманное число в 1-й, во 2-й и в 3-й таблицах: N будет равно остатку от деления чила 40α+45β+36γ на 60 или, суммой(40α+45β+36γ)по модулю 60.Например, при α=3, β=2, γ=1:
40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), т.е.N=6
| Ι | II | III |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| I | II | III | IV |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| I | II | III | IV | V |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
Рис.1
Аналогичный вопрос может быть для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя,пятью и семью столбцами:если α, β, γ- номера стоблцов, в которых стоит задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336+120δ на 420.
Солитер
Игра под названием солитер проводится на доске с традцатью тремя клетками.
Такую доску легко получить прикрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.
На рисунке каждая клетка обозначена парой чисел, указывающих номера горизонтального и вертикального рядов, на пересечении которых находится клетка. В начале игры все клетки, за исключением какой-нибудь одной, заняты шашками.
Требуется снять 31 шашку, причем задаются пустая “начальная“ клетка (a,b ) и “конечная” (c,d ), на которой должна уцелевшая в конце игры шашка. Правила игры та-
ковы: любая шашка может быть снята с доски, если рядом с ней (в горизонтальном или вертикальном направелнии) находится с одной стороны какая-нибудь шашка (”снимающая”), а с противопложный стороны – пустая клетка, на которую ”снимаю-щая” шашка дожлна быть при этом переведена.
Из теории игры следует, что решение будет в том и только в том случаи,когда а с(mod3) и b d(mod3).
Приведем для примера задачи, в которой клетка(44) является и начальной, и конечной.
- 64-44
- 56-54
- 44-64
- 52-54
- 73-53
- 75-73
- 43-63
- 73-53
- 54-52
- 35-55
- 65-45
- 15-35
- 45-25
- 37-35
- 57-37
- 34-36
- 37-35
- 25-45
- 46-44
- 23-43
- 31-33
- 43-23
- 51-31
- 52-32
- 31-33
- 14-34
- 34-32
- 13-33
- 32-34
- 34-54
- 64-44
Здесь в записи каждого хода указаны для ”снимающей” шашки номера исходной
Клетки и номер клетки, на которую она ставится (при этом с доски снимается шашка,
стоящая на промежуточной клетке)
Попробуйте снять 31 шашку:
a) Приначальной клетке(5,7) и конечной (2,4);
b) Приначальной клетке(5,5) и конечной (5,2).
Сложение и вычитание вместо умножения
До изобретения таблиц логорифмов для облегчения умножения многозначных чисел применялись так называемыепростаферические таблицы (от греческих слов «афайрезис» – отнятие),представляющие собой таблицы значений функции
При натуральных значениях Z . Так как при а и b целых (числа a+b и a-b либо оба честные, либо оба нечетные; в последнем случае дробные части у и одинаковые), то умножение а на b сводятся определение a+b и a-b и, наконец разности чисел 
,взятых таблиц.
Для перемножение трех чисел можно восполдьзоваться тождеством
из которого следует, что при наличии таблицы значения функции вычесление произведения abc можно свести к определению чисел a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a и помним – при помощи таблицы – правой части равенства (*).
Приведем в качестве примера такую таблицу для .
В таблице даны: крупными цифрами – значения а мелкими – значение k , где при
| ЕДЕНИЦЫ | |||||||||||
| ДЕСЯТКИ | 1 3 | 2 16 | 5 5 | 9 0 | 14 7 | 21 8 | 30 9 | ||||
| 55 11 | 72 0 | 91 13 | 114 8 | 140 15 | 170 16 | 204 17 | 243 0 | 285 19 | |||
| 333 8 | 385 21 | 443 16 | 506 23 | 576 0 | 651 1 | 732 8 | 820 3 | 914 16 | 1016 5 |
Нетрудно, пользуясь формулой (*) и таблицей, получить:
9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,
17·8·4 = 1016 5 –385 21 – 91 13 + 5 5 = 544(Проверте!!)
Функция [x] (целая часть x)
Функция [x] равна наибольшему целому числу, не превосходящему x (x – любое действительное число).Например:
| |
На рис.2 дан график этой функции, причём левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.
из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу 
Если одинаковы лишь суммы числ, стоящих в любом горизонтальном и вертикальному то квадрат называется полумагическим.
Магический 4-квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVI вака,изобразившего квадрат на известной картине «Меланхолия».
Кстати,два нижних средних чисел этого квадрата образуют число 1514 - дату создания картины.
Существует восемь девятиклеточных магических квадратов.Два из них,являющиеся зеркальным изображением друг друга,приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращением их вокруг центра на 90 ,180 ,270 .
ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛОЙ ЧАСТЬЮ ЧИСЛА)
Ле Тхань Дат
класс 10 ф/м, ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», г. Пенза
Цепкова Наталья Михайловна
научный руководитель, учитель математики высшей категории ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», соискатель кафедры педагогики и психологии профессионального обучения ПГПУ им. В.Г. Белинского г. Пензы
В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике (С6) встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.
В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки .
Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.
Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.
Свойства целой части:
1. [x]=x, если x€Z.
2. [x]≤x<[x]+1.
3. =[x]+m, если m€Z.
Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.
Например, ++=6.
Заменим x+2,6 = y, тогда
[y]++=6,
[y]+[y]+1+[y]+2=6,
Возврат к замене: y= x+2,6, тогда
1 x+2,6<2,
1,6 x<-0,6.
Ответ: [-1,6; -0,6).
Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011-2012 года , которое тоже решается с помощью замены:
Заменим =k.
. (2)
Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда
K 40k-39 10k<40k+1, 1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1, K 1,3, k> . Из 1) и 2) => k=0; k=1. При k=0 x= ; При k=1 x=0,8. Ответ: ; 0,8. Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить? Рассмотрим уравнение: +-=5. Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x. Пусть x=0,4, тогда =1; =1; =4, а при x=0,8 =1; =2; =5. Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками
и рассмотрим конкретный пример. X=t+a, t - целая часть числа, a - дробная часть числа. T+t-t+4-3-3++-=5, T++-=7, А=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки. 1) a€=a € N, 0≤t<1,
(2с-3) 2 =3a 2 -12c+46, 4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0, 4c 2 -37-3a 2 =0, 4c 2 -37-3[c] 2 =0, 4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,
(a+t) 2 = , T=- -a - не подходит по условию задачи,