Геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

Многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 восьмигранник (2) … Словарь синонимов

октаэдр - а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия

- (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь

ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии

- [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. {111}. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия

октаэдр - — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика

Октаэдр - (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

• Волшебные грани № 8. Большой кубо-кубо-октаэдр , . "Волшебные грани"-журнал для взрослых и детей о моделях бумажных многогранников. Создание моделей многогранников из картона очень увлекательное и доступное занятие, это" магия превращения"…
• Волшебные грани № 15. Звездчатый октаэдр. Звездчатый многогранник , . Набор для сборки многогранника "Звёздчатый октаэдр" . Размеры готового многогранника, собранного из набора: 170x180x200 мм. Уровень сложности -"Старт" (не требует опыта и дополнительных…

Пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки ин-те-ре-со-ва-ли мно-гих ве-ли-ких учё-ных. И этот ин-те-рес вы-хо-дил да-ле-ко за пре-де-лы ма-те-ма-ти-ки. Пла-тон (427 до н.э. - 347 до н.э.) рас-смат-ри-вал их как ос-но-ву стро-е-ния Все-лен-ной, Кеплер (1571-1630) пы-тал-ся свя-зать пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки с дви-же-ни-ем планет Сол-неч-ной си-сте-мы (ко-то-рых в его вре-мя бы-ло из-вест-но пять). Воз-мож-но, имен-но кра-со-та и гар-мо-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков за-став-ля-ла ве-ли-ких учё-ных про-шло-го пред-по-ла-гать ка-кое-то бо-лее глу-бо-кое их на-зна-че-ние, чем про-сто гео-мет-ри-че-ских объ-ек-тов.

Пра-виль-ным мно-го-гран-ни-ком на-зы-ва-ет-ся мно-го-гран-ник, все гра-ни ко-то-ро-го суть пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки, все плос-кие уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой и дву-гран-ные уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой. (Плос-ки-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы мно-го-уголь-ни-ков-гра-ней, дву-гран-ны-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы меж-ду гра-ня-ми, име-ю-щи-ми об-щее реб-ро.)

За-ме-тим, что из это-го опре-де-ле-ния ав-то-ма-ти-че-ски сле-ду-ет вы-пук-лость пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка, ко-то-рая в неко-то-рых кни-гах вклю-ча-ет-ся в опре-де-ле-ние.

В трёх-мер-ном про-стран-стве су-ще-ству-ет ров-но пять пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков: тет-ра-эдр, ок-та-эдр, куб (гек-са-эдр), ико-са-эдр, до-де-ка-эдр. То, что дру-гих пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет, бы-ло до-ка-за-но Ев-кли-дом (око-ло 300 г. до н.э.) в его ве-ли-ких На-ча-лах.

Ана-ло-гич-ное по-стро-е-ние при-ме-ни-мо и в бо-лее об-щем слу-чае. Рас-смот-рим про-из-воль-ный вы-пук-лый мно-го-гран-ник и возь-мём точ-ки в се-ре-ди-нах его гра-ней. Со-еди-ним меж-ду со-бой точ-ки со-сед-них гра-ней от-рез-ка-ми. То-гда точ-ки яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми, от-рез-ки - рёб-ра-ми, а мно-го-уголь-ни-ки, ко-то-рые огра-ни-чи-ва-ют эти от-рез-ки, гра-ня-ми ещё од-но-го вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка. Этот мно-го-гран-ник на-зы-ва-ет-ся двой-ствен-ны-ми к ис-ход-но-му.

Как бы-ло по-ка-за-но вы-ше, двой-ствен-ным к тет-ра-эд-ру яв-ля-ет-ся тет-ра-эдр.

Уве-ли-чим раз-мер тет-ра-эд-ра, вер-ши-на-ми ко-то-ро-го яв-ля-ют-ся се-ре-ди-ны гра-ней ис-ход-но-го тет-ра-эд-ра, до раз-ме-ров по-след-не-го. Во-семь вер-шин так рас-по-ло-жен-ных тет-ра-эд-ров яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ку-ба .

Пе-ре-се-че-ни-ем этих тет-ра-эд-ров яв-ля-ет-ся ещё один пра-виль-ный мно-го-гран-ник - ок-та-эдр (от греч. οκτώ - во-семь). Ок-та-эдр име-ет 8 тре-уголь-ных гра-ней, 6 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ок-та-эд-ра рав-ны $\pi/3$, по-сколь-ку его гра-ни яв-ля-ют-ся пра-виль-ны-ми тре-уголь-ни-ка-ми, дву-гран-ные уг-лы рав-ны $\arccos(–1/3) ≈ 109{,}47^\circ$.

От-ме-тим се-ре-ди-ны гра-ней ок-та-эд-ра и пе-рей-дём к двой-ствен-но-му к ок-та-эд-ру мно-го-гран-ни-ку. Это - куб или гек-са-эдр (от греч. εξά - шесть). У ку-ба гра-ни яв-ля-ют-ся квад-ра-та-ми. Он име-ет 6 гра-ней, 8 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ку-ба рав-ны $\pi/2$, дву-гран-ные уг-лы так-же рав-ны $\pi/2$.

Ес-ли взять точ-ки на се-ре-ди-нах гра-ней ку-ба и рас-смот-реть двой-ствен-ный к нему мно-го-гран-ник, то мож-но убе-дить-ся, что им сно-ва бу-дет ок-та-эдр. Вер-но и бо-лее об-щее утвер-жде-ние: ес-ли для вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка по-стро-ить двой-ствен-ный, а за-тем двой-ствен-ный к двой-ствен-но-му, то им бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник (с точ-но-стью до по-до-бия).

Возь-мём на рёб-рах ок-та-эд-ра по точ-ке , с тем усло-ви-ем, чтобы каж-дая де-ли-ла реб-ро в со-от-но-ше-нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо-ло-тое се-че-ние) и при этом точ-ки, при-над-ле-жа-щие од-ной гра-ни, яв-ля-лись вер-ши-на-ми пра-виль-но-го тре-уголь-ни-ка. По-лу-чен-ные 12 то-чек яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - ико-са-эд-ра (от греч. είκοσι - два-дцать). Ико-са-эдр - это пра-виль-ный мно-го-гран-ник, у ко-то-ро-го 20 тре-уголь-ных гра-ней. Он име-ет 12 вер-шин, 30 рё-бер. Плос-кие уг-лы ико-са-эд-ра рав-ны $\pi/3$, дву-гран-ные рав-ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138{,}19^\circ$.

Ико-са-эдр мож-но впи-сать в куб. На каж-дой гра-ни ку-ба при этом ока-жет-ся по две вер-ши-ны ико-са-эд-ра.

По-вер-нём ико-са-эдр, «по-ста-вив» его на вер-ши-ну, и по-лу-чив его бо-лее при-выч-ный вид : две шап-ки из пя-ти тре-уголь-ни-ков у юж-но-го и се-вер-но-го по-лю-сов и сред-ний слой, со-сто-я-щий из де-ся-ти тре-уголь-ни-ков.

Се-ре-ди-ны гра-ней ико-са-эд-ра яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - до-де-ка-эд-ра (от греч. δώδεκα - две-на-дцать). Гра-ни до-де-ка-эд-ра суть пра-виль-ные пя-ти-уголь-ни-ки. Та-ким об-ра-зом, его плос-кие уг-лы рав-ны $3\pi/5$. У до-де-ка-эд-ра 12 гра-ней, 20 вер-шин, 30 рё-бер. Дву-гран-ные уг-лы до-де-ка-эд-ра рав-ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116{,}57^\circ$.

Взяв се-ре-ди-ны гра-ней до-де-ка-эд-ра, и пе-рей-дя к двой-ствен-но-му ему мно-го-гран-ни-ку, по-лу-чим сно-ва ико-са-эдр. Итак, ико-са-эдр и до-де-ка-эдр двой-ствен-ны друг дру-гу. Это ещё раз ил-лю-стри-ру-ет тот факт, что двой-ствен-ным к двой-ствен-но-му бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник.

За-ме-тим, что при пе-ре-хо-де к двой-ствен-но-му мно-го-гран-ни-ку, вер-ши-ны ис-ход-но-го мно-го-гран-ни-ка со-от-вет-ству-ют гра-ням двой-ствен-но-го, рёб-ра - рёб-рам двой-ствен-но-го, а гра-ни - вер-ши-нам двой-ствен-но-го мно-го-гран-ни-ка. Ес-ли у ико-са-эд-ра 20 гра-ней, зна-чит у двой-ствен-но-го ему до-де-ка-эд-ра 20 вер-шин и у них оди-на-ко-вое чис-ло рё-бер, ес-ли у ку-ба 8 вер-шин, то у двой-ствен-но-го ему ок-та-эд-ра 8 гра-ней.

Су-ще-ству-ют раз-лич-ные спо-со-бы впи-сы-ва-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков друг в дру-га, при-во-дя-щие ко мно-гим за-ме-ча-тель-ным кон-струк-ци-ям. Ин-те-рес-ные и кра-си-вые мно-го-гран-ни-ки по-лу-ча-ют-ся так-же при объ-еди-не-нии и пе-ре-се-че-нии пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков.

В до-де-ка-эдр впи-шем куб так, чтобы все 8 вер-шин ку-ба сов-па-да-ли с вер-ши-на-ми до-де-ка-эд-ра. Во-круг до-де-ка-эд-ра опи-шем ико-са-эдр так, чтобы его вер-ши-ны ока-за-лись в се-ре-ди-нах гра-ней ико-са-эд-ра. Во-круг ико-са-эд-ра опи-шем ок-та-эдр , так, чтобы вер-ши-ны ико-са-эд-ра ле-жа-ли на рёб-рах ок-та-эд-ра. На-ко-нец, во-круг ок-та-эд-ра опи-шем тет-ра-эдр так, чтобы вер-ши-ны ок-та-эд-ра по-па-ли на се-ре-ди-ны рё-бер тет-ра-эд-ра.

Та-кую кон-струк-цию из ку-соч-ков сло-ман-ных де-ре-вян-ных лыж-ных па-лок сде-лал ещё ре-бён-ком бу-ду-щий ве-ли-кий ма-те-ма-тик XX ве-ка В. И. Ар-нольд. Вла-ди-мир Иго-ре-вич хра-нил её дол-гие го-ды, а за-тем от-дал в ла-бо-ра-то-рию по-пуля-ри-за-ции и про-па-ган-ды ма-те-ма-ти-ки Ма-те-ма-ти-че-ско-го ин-сти-ту-та им. В. А. Стек-ло-ва.

Ли-те-ра-ту-ра

Г. С. М. Кокс-тер. Вве-де-ние в гео-мет-рию. - М.: На-у-ка, 1966.

Ж. Ада-мар. Эле-мен-тар-ная гео-мет-рия. Ч. 2. Сте-рео-мет-рия. - М.: Про-све-ще-ние, 1951.

Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги XXI-XXV. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.