ПЛОСКАЯ ВОЛНА

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена в том случае, если известно, по какому закону колеблется и как взаимодействует со средой тело, вызвавшее волновой процесс. Однако во многих случаях не существенно, каким телом возбуждена данная волна, а решается более простая задача. Задано состояние колебательного движения в некоторых точках среды в определенный момент времени и требуется определить состояние колебательного движения в других точках среды.

Для примера рассмотрим решение такой задачи в простом, но вместе с тем важным случае распространения в среде плоской или сферической гармонической волны. Обозначим колеблющуюся величину через u . Этой величиной могут быть: смещение частиц среды относительно их положения равновесия, отклонения давления в данном месте среды от равновесного значения и т.д. Тогда задача будет состоять в отыскании так называемого уравнения волны – выражения, которое задает колеблющуюся величину u как функцию координат точек среды x , y , z и времени t :

u = u (x , y , z , t ). (2.1)

Пусть для простоты u – это смещение точек в упругой среде, когда в ней распространяется плоская волна, а колебания точек имеют гармонический характер. Кроме того, направим оси координат так, чтобы ось 0х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности (семейство плоскостей) будут перпендикулярными к оси 0х (рис. 7), и поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение u будет зависеть только от х и t : u = u (x , t ). Для гармонических колебаний точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 9), справедливо уравнение:

u (0, t ) = A cos (ωt + α ) (2.2)

Найдем вид колебаний точек плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время τ = х/с (с – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут иметь вид:

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси 0х, выглядит следующим образом:

(2.3)

Величина А представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начал отсчета х и t .

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в квадратных скобках уравнения (2.3), положив

(2.4)

Продифференцируем это равенство по времени с учетом того, что циклическая частота ω и начальная фаза α являются постоянными:

Таким образом, скорость распространения волны с в уравнении (2.3) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью . В соответствии с (2.5) dx /dt > 0. Следовательно, уравнение (2.3) описывает волну, распространяющуюся в направлении возрастания х , так называемую бегущую прогрессивную волну . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

и называется бегущей регрессивной волной . Действительно, приравняв константе фазу волны (2.6) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению:

из которого следует, что волна (2.6) распространяется в сторону убывания х .

Введем величину

которая называется волновым числом и равна количеству длин волн, укладывающихся на интервале 2π метров. С помощью формул λ = с/ν и ω = 2πν волновое число можно представить в виде

(2.8)

Раскрыв скобки в формулах (2.3) и (2.6) и приняв во внимание (2.8), придем к следующему уравнению плоских волн, распространяющихся вдоль (знак «-») и против (знак «+») оси 0х :

При выводе формул (2.3) и (2.6) предполагалось, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. Опыт показывает, что в поглощающей среде интенсивность волны по мере удаления от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны по экспоненциальному закону:

.

Соответственно, уравнение плоской затухающей волны имеет вид:

где A 0 – амплитуда в точках плоскости х = 0, а γ – коэффициент затухания.

Теперь найдем уравнение сферической волны . Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, много больших его размеров, то источник можно считать точечным . В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника ωt+α . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r , будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, постоянной не останется – она убывает в зависимости от расстояния от источника по закону 1/r . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

(2.11)

где А – постоянная величина, численно равная амплитуде колебаний на расстоянии от источника, равном единице.

Для поглощающей среды в (2.11) нужно добавить множитель e - γr . Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.11) справедливо только для r , значительно превышающих размеры источника колебаний. При стремлении r к нулю амплитуда обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения (2.11) для малых r .

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

Механические волны – процесс распространения механических колебаний в среде (жидкой, твердой, газообразной).Следует запомнить, что механические волны переносят энергию, форму, но не переносят массу.Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно, их скорость конечна.

По геометрии различают : сферические (пространственные), одномерные (плоские), спиральные волны.

Волна называется плоской , если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны (pис.1.3). Следовательно, лучи плоской волны - суть паpаллельные пpямые.

Уравнение плоской волны::

Параметры :

Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u(t + T) = u(t).

Частота колебаний n – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т. Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с–1. Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц

Фаза колебаний j – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.

Амплитуда колебаний А – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.

4.Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, воспринимаемых наблюдателем(приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя. Представим , что наблюдатель приближается с определенной скоростью к неподвижному источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота больше частоты волны, испускаемой источником. Так длина волны, частота и скорость распространения волны связаны между собой соотношением V= / , - длина волны.

Дифракция - явление огибания препятствий, к-ые сравнимы по своим размерам с длиной волны.

Интерференция- явление, при к-ром в результате наложения когерентных волн возникает либо усиление либо ослабление колебаний.

Опыт Юнга Первым интерференционным опытом, получившим объяснение на основе волновой теории света, явился опыт Юнга (1802 г.). В опыте Юнга свет от источника, в качестве которого служила узкая щель S, падал на экран с двумя близко расположенными щелями S1 и S2. Проходя через каждую из щелей, световой пучок уширялся вследствие дифракции, поэтому на белом экране Э световые пучки, прошедшие через щели S1 и S2, перекрывались. В области перекрытия световых пучков наблюдалась интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.

2.Звук -механич.продольн.волна,к-ая распростр-ся в упругих средах, имеет частоту от 16Гц до 20кГц. Различают виды звуков:

1.простой тон- чисто гармоническ.колебание,излучаемое камертоном(металлич. инструмент,издающий при ударе звук):

2.сложный тон- не синусоидально, но периодическое колебание (излучается различными музык.инструментами).

По теореме Фурье такое сложное колебание можно представить набором гармонических составляющих с разными частотами. Наим.частота наз-ся основным тоном,а кратные частоты – обертонами. Набор частот с указанием их относительной интенсивности(плотности потока энергии волны) наз-ся акустическим спктром. Спктр сложного тона линейсатый.

3.шум- звук,к-ый получается от сложения множества несогласованных источников. Спектр- непрерывистый (сплошной):

4.звуковой удар- кратковременное звуковое воздействие.Н-р: хлопок, взрыв.

Волновое сопротивление- отношение звукового давления в плоской волне к скорости колебания частиц среды. Характеризует степень жесткости среды(т.е. способность среды сопротивляться образованию деформаций) в бегущей волне. Выражается формулой:

P/V=p/c, P- звуковое давление, р- плотность, с- скорость звука, V- объем.

3 - характеристики, не зависящие от свойств приемника:

Интенсивность (сила звука) - энергия, проносимая звуковой волной за единицу времени через единицу площади, установленной перпендикулярно волне звука.

Частота основного тона.

Спектр звука - количество обертонов.

При частотах ниже 17 и выше 20000 Гц колебания давления уже не воспринимаются человеческим ухом. Продольные механические волны с частотой менее 17 Гц получили название инфразвука. Продольные механические волны с частотой, превышающей 20000 Гц, называют ультразвуком.

5. УЗ - механическ. волна с частотой более 20кГц. УЗ представляет собой чередования сгущений и разряжения среды. В каждой среде скорость распростр-я УЗ одинакова. Особенность - узость пучка, что позволяет воздействовать на объекты локально. В неоднородных средах с мелкими включениями частиц имеет место явления дифракции(огибание препятствий). Проникновение УЗ в другую среду характеризуется коэффициентом проникновения() =L /L где длины УЗ после и до проникновения в среду.

Действие УЗ на ткани организма механическое, тепловое, химическое. Применение в медицине делится на 2 направления: метод исследования и диагностики, и метод действия. 1)эхоэнцефалография - опред.опухолей и отека мозга; кардиография - измерение сердца в динамике. 2) УЗ физиотерапия- механическое и тепловое воздействие на ткань; при операциях как «УЗ-скальпель»

6. Идеальная жидкость – воображаемая несжимаемая жидкость, лишенная вязкости и теплопроводности. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, она непрерывна и не имеет структуры.

Уравнение неразрывности -V 1 A 1 = V 2 A 2 Объемный расход во всякой трубке тока, ограниченной соседними линиями тока, должен быть в любой момент времени одинаков во всех ее поперечных сечениях

Уравнение Бернулли - рv 2 / 2 + р ст + р gh = const, в случае установившегося течения, полный напор одинаков во всех поперечных сечениях трубки тока. рv 2 / 2 + р ст = const – для гориз. участков.

7Стационарный поток - поток, скорость которого в любом месте жидкости никогда не изменяется.

Ламинарное течение - упорядоченное течение жидкости или газа, при котором жидкость (газ) перемещается как бы слоями, параллельными направлению течения.

Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядоченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа.

Линии – линии, касательные к которым совпадают во всех т. с направлением скорости в этих точках. При стационарном течении линии тока не меняются со временем.

Вязкость - внутреннее трение, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой

Уравнение Ньютона : F = (dv/dx)Sη.

Коэффициент вязкости - Коэффициент пропорциональности, зависящий от сорта жидкости или газа. Число, служащее для количественной характеристики свойства вязкости. Коэффициент внутреннего трения.

Неньютоновской жидкостью называют жидкость, при течении которой её вязкость зависит от градиента скорости, течение которых подчиняется уравнению Ньютона. (Полимеры, крахмал, жидкое мыло кровь)

Ньютоновская - Если в движущейся жидкости её вязкость зависит только от её природы и температуры и не зависит от градиента скорости. (Вода и дизельное топливо)

.Рейнольдса число - характеризующее соотношение между инерционными силами и силами вязкости: Re =rdv/m, где r - плотность, m - динамический коэффициент вязкости жидкости или газа, v - скорость потока.При R < Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re > Rekр течение может стать турбулентным.

Кинематический коэффициент вязкости - отношение динамической вязкости жидкости или газа к их плотности.

9. Метод Стокса , В основе метода Стоксалежит формула для силы сопротивления, возникающей при движении шарика в вязкой жидкости, полученная Стоксом: Fc = 6 π η V r . Чтобы косвенно измерить коэффициент вязкости η следует рассмотреть равномерное движение шарика в вязкой жидкости и применить условие равномерного движения: векторная сумма всех сил, действующая на шарик равна нулю.

Mg + F A + F с =0 (всё в векторной форме!!!)

Теперь следует выразить силу тяжести (mg) и силу Архимеда (Fа) через известные величины. Приравнивая величины mg = Fа+Fс получаем выражение для вязкости:

η = (2/9)*g*(ρ т - ρ ж)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ т - ρ ж)* r 2 * t / L. Непосредственно измеряются микрометром радиус шарика r (по диаметру), L - путь шарика в жидкости, t- время прохождения пути L. Для измерения вязкости по методу Стокса путь L берется не от поверхности жидкости, а между отметками 1 и 2. Это вызвано следующим обстоятельством. При выводе рабочей формулы для коэффициента вязкости по методу Стокса использовалось условие равномерного движения. В самом начале движения (начальная скорость шарика равна нулю) сила сопротивления также равна нулю и шарик имеет некоторое ускорение. По мере набора скорости сила сопротивления увеличивается, равнодействующая трех сил - уменьшается! Только после некоторой отметки движение можно считать равномерным (и то, - приблизительно).

11.Формула Пуазёйля : При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находится на расстоянии х от «нашей» частицы в начале координат.

Пусть колебания источника S гармонические, т.е. описываются уравнением ξ (t ) = A sinωt . С течением времени все частицы среды также будут совершать синусоидальные колебания с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет гармоническая бегущая волна.

Частица среды, находящаяся на оси ОХ на расстоянии х от источника S (рис. 1.2), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью V , преодолела расстояние х до частицы. Очевидно, что если источник колеблется уже в течение времени t , то частица среды колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от источника до частицы.

Тогда уравнение колебания для этой частицы будет

ξ (x,t ) =A sinω(t- τ),

но t =x /V , где V – модуль cкорости распространения волны. Тогда

ξ (x,t ) =A sinω(t-x/V )

– уравнение волны.

С учётом того, что и , уравнению можно придать вид

ξ (x,t )=A sin2 (t/T-x/λ ) = A sin2 (νt -x/λ ) = A sin (ωt -2πx/λ ) = A sin (ωt -kx ),(1.1)

где k = 2p/l – волновое число.Здесь (1.1) – уравнение плоской гармонической монохроматической волны (рис. 1.3), распространяющейся в направлении оси ОХ . График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны.

График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени. График волны – смещение всех частиц среды в данный момент времени на всем расстоянии от источника колебаний до волнового фронта. График волны является как бы моментальной фотографией волны.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид:

ξ (x,y,z,t ) = A sin = A sin(ωt – k x x – k y y – k z z ), (1.2)

где ξ – мгновенное смещение колеблющегося элемента среды (точки) с координатами x, y, z ; А – амплитуда смещения; ω – круговая частота колебаний;

– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ; - орты;

λ – длинна волны (рис. 1.3), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды; – радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку, ;

– фаза волны, где .

Здесь – углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.

Если волна распространяется в среде, не поглащающей энергию, то амплитуда волны не изменяется, т.е. А = const.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы волны (фазовая скорость). В однородной среде скорость волны постоянна. Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты, то такое явление называется дисперсией волн, а среда – дисперсирующей средой.

При переходе из одной среды в другую может меняться скорость распространения волн, так как меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что припереходе из одной среды в другую будет меняться длина волны l.

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Таким образом, фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса , сущность которого в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1 (рис. 1.4). Требуется найти его положение через промежуток времени Dt .

В соответствии с принципом Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение принципа Гюйгенса).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом Dx = V Dt , где V – скорость волны. На рис. 1.4 показаны такие сферы. Здесь кружочки – сечения сферических поверхностей плоскостью чертежа.

Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса), то есть, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта (штриховая линия). Положения 1 и 2 волнового фронта

− в нашем случае плоскости.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а, следовательно, и Dх неодинаковы в различных направлениях.

Так как прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию и импульс. Перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии W , переносимой волною сквозь площадь S ┴ , перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади:

I = W/ (∆t∙S ┴),

откуда численно I=W , если ∆t =1 и S ┴ =1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт /м 2 ).

Получим выражение для интенсивности волны. При концентрации n 0 частиц среды, каждая из которых имеет массу m , объемная плотность w 0 энергии складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии, являющейся энергией деформированного объема. Объемная плотность энергии определяется выражением:

w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2 = rw 2 A 2 / 2,

где r =n 0 m . Подробный вывод выражения для объемной плотности энергии упругих волн приведен в учебном пособии . Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 м 2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 м 2 и высотой, численно равной скорости V (рис. 1.5), следовательно интенсивность волны

I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)

Таким образом, интенсивность волны пропорциональна плотности среды, скорости, квадрату круговой частоты и квадратуамплитуды волны .

Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), определяется выражением.