Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.

Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.

Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.

Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.

Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:

Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .

Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:

|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7

|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5

Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!

Решим уравнение: |х |=4

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.

Отсюда ответ х=±4.

При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.

Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).

Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:

|х |=11, х=? |х|=-5, х=?

|х | <8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0

Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| <-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|> -3 являются все числа.

После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля - символ, которым это понятие обозначается при написании.

Вконтакте

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль - это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.

5-А , если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Аналогично, разности z 1 - z 2 комплексных чисел z 1 и z 2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z 1 и z 2 .Модуль двух комплексных чисел z 1 и z 2 по определению модуля есть длина вектора z 1 - z 2 .Построим вектор, как сумму двух векторов z 2 и (- z 1). Получим вектор , равный вектору.Следовательно,есть длина вектора,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ibназывается величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут j=argz или j=arg (a+ib).

Для числа z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что.Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно; число z=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля.

С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, тоже являются аргументами числа z.

Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система

Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений

а) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1

найдём модуль1-i : .

Заметим, что никакая точка большей окружности не

приближена к меньшей на расстояние, равное ,

откуда и следует, что система корней не имеет.

При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на

другую окружность.

Эта точка и будет решением системы.

в) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1.

Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы.

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = ,j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что, и, значит,

Запись комплексного числа в виде называется еётригонометрической формой.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием

а) Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда

чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:

1) построить множество точек, равноудалённых от начала координат на 2

2) сдвинуть его на 1 влево и на i вверх

б) Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -i чем к 2i , аэти точки указаны на рисунке.

в) Данное уравнение равносильно уравнению

То есть эти числа будут удалены на расстояние

на 1 вправо. При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке.

То есть это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:

е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим

искомое множество точек.

Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения

Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно).

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.

Пусть,тогда

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.

9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если-аргументы чиселсоответственно, то

Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой Муавра.

Число называется корнем степени,из числаw (обозначается ,если

Если w=0 , то при любом n уравнение имеет одно и только одно решениеz= 0.

Пусть теперь .Представимz иw в тригонометрической форме:

Тогда уравнение примет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,

Таким образом, все решения уравнения даются формулой

В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n -1), мы не получаем других комплексных чисел.

Формула (9) называется второй формулой Муавра.

Таким образом, если , то существует ровноn корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле(9).

В частности, если =2, то уравнениеимеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.

Также из формулы (9) нетрудно получить, что еслито точки, изображающие все корни уравнения, являются вершинами правильногоn- угольника, вписанного в окружность с центром в точке z =0 и радиусом .

Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чиселi и-i ,или одно, и, если одно, то какое именно.

Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:

б) Так как , то, откуда.

Так как , то, откуда

в) Так как , то, откуда.

10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения

с действительными коэффициентамиa, b, c. Тамбыло показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой

В случае, если , говорилось, что, уравнение не имеет решений.

Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:

откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, c являются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.

Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение

всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень;, уравнение имеет два корня. Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула

где подподразумеваются все значения корня.

Пример 8. Решить уравнение

а) Данное уравнение является квадратным.

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y

Заметим, что x

При получим:

Решим уравнение (*): x 4 +15x 2 -16 =0 –квадратное уравнение относительно x 2 , откуда

Вернёмся к системе:

б) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x =0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*): x 4 -16x 2 -225=0 –квадратное уравнение относительно x 2 , откуда

Вернёмся к системе:

Пример 9. Решить уравнение

а) Пусть , тогда уравнение примет вид:

Откуда по теореме, обратной теореме Виета получим

Возвращаясь к z , получим

1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б)Преобразуем уравнение:

Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:

Пример10. Решите уравнение:

Решим уравнение как квадратное относительно z 2: D=

Пусть z=a+ib, тогда , а уравнение имеет вид

Пусть , тогда, откуда

Пусть , тогда, а значит получим, ачит получим, что

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим:

(Забыл, Повтори.)

Если, то какой знак имеет? Ну конечно, !

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

Разобрался? Тогда попробуй сам:

Ответы:

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел!!!

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?

Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

при условии, что (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

Почему так? Всё очень просто!

Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.

Рассмотрим на примере:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.

Что если перед нами такое выражение:

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит.

Число больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

А чему равно такое выражение:

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения, если.

2. У каких чисел модуль равен?

3. Найдите значение выражений:

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1 :

Итак, подставим значения и в выражение

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.

Решение 3:

а)
б)
в)
г)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное , то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число , то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

Получается, значение первого выражения под модулем.

Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго - положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «-». Вот так:

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

Упростим данное выражение целиком:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Например:

Пример:

Упростите выражение.

Решение:

Основные свойства модуля

Для всех:

Пример:

Докажите свойство №5 .

Доказательство:

Предположим, что существуют такие, что

Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны ):

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких не существует, а значит, при всех выполняется неравенство

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6 .

2) Упростите выражение.

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3 : , а поскольку, тогда

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа и и:

b. Теперь сравним и:

Складываем значения модулей:

Модуль числа. Коротко о главном.

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Свойства модуля:

1. Модуль числа есть число неотрицательное: ;
2. Модули противоположных чисел равны: ;
3. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ;
4. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ;
5. Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел: ;
6. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: при;

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.