Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154 . Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде . Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.

На рисунке 155 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями . Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда , вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда . Например, отрезки AB, BC, A 1 B 1 − ребра, а точки B, A 1 , C 1 − вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 155 ).

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.

Грани AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , а также прямоугольники AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

На рисунке 155 грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина , ширина , высота (рис. 156 ).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157 ). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158 ) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159 ), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160 ). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда .

На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.

С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.

Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159 ), и склеить.

Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.

Одним из видов многогранника является пирамида .

Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.

На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164 ). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды .

Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163 ) и т.д.

Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.

На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды . Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.

На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.

Многогранники являются примерами геометрических тел .

На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 , называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом .

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда : 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник .

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию . Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости - в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой - в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 - перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ- 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD - линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А - прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Определение

Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.

Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями . Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.

Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.

Определение: призма

Рассмотрим два равных многоугольника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, ..., A_nB_n\) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , а также параллелограммами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) , называется (\(n\) -угольной) призмой .

Многоугольники \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) называются основаниями призмы, параллелограммы \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) – боковыми гранями, отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\) – боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Рассмотрим пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\) , в основании которой лежит выпуклый пятиугольник.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой . У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной .

Определение: понятие объема

Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами \(1\times1\times1\) ед\(^3\) , где ед - некоторая единица измерения).

Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет те же свойства, что и площадь:

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см\(^3\) (кубические сантиметры), м\(^3\) (кубические метры) и т.д.

Теорема

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности - сумма площадей боковых граней призмы.

2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: \

Определение: параллелепипед

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда (их \(6\) : \(4\) боковые грани и \(2\) основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их \(8\) : \(AC_1, \ A_1C, \ BD_1, \ B_1D\) и т.д.).

Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) и т.д.).

Замечание

Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Теорема

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда): \

Доказательство

Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть \(h=AA_1=c\) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(S_{\text{осн}}=AB\cdot AD=ab\) . Отсюда и следует данная формула.

Теорема

Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где \(a,b,c\) - измерения параллелепипеда) \

Доказательство

Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(\triangle ABD\) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Значит, \(\triangle BB_1D\) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\) , чтд.

Определение: куб

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Таким образом, три измерения равны между собой: \(a=b=c\) . Значит, верны следующие

Теоремы

1. Объем куба с ребром \(a\) равен \(V_{\text{куба}}=a^3\) .

2. Диагональ куба ищется по формуле \(d=a\sqrt3\) .

3. Площадь полной поверхности куба \(S_{\text{полн.пов-ти куба}}=6a^2\) .

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

• Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны - ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
• Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
• Так как параллелепипед - это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
• Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с .

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».