«Прямая и обратная пропорциональность» - Обратная пропорциональность. Временем работы станка и числа изготовленных деталей. Скоростью поезда и затраченным временем. Периметром квадрата и длиной его сторон. Не является пропорциональностью. Числом рабочих. Задание. Ростом ребёнка и его возрастом. Количеством товара и его стоимостью. Длиной и шириной прямоугольника с одинаковой площадью.

«Задачи на пропорциональность» - Ход урока. Цель. Путь от железнодорожной станции до посёлка за 30 минут. Сколько металла пойдёт на изготовление 24 таких деталей. 15 колхозников могут прополоть поле за 4 дня. Устный тренинг. Прямая и обратная пропорциональность. Пропорциональность. В сахарной свекле содержится 19% сахара. Релейная работа.

«Математика «Отношения и пропорции»» - Частное двух чисел. Математика. Крайние члены. Устный счет. География. Учение об отношениях и пропорциях. Что показывает каждое отношение. Отношение. Пропорция. Повторение раннее пройденного. Отношение двух чисел. Пропорциональность в природе. Отношения больше единицы.

««Пропорция» математика» - 90 человек. 80 человек. В шестых классах 90 человек. Простейшие преобразования пропорций: В каких классах больше отличников и на сколько человек? Отличники составляют 20%. Для «олимпиадников»: Основное свойство пропорции: Пропорции. В пятых классах школы 80 человек. Составьте новые пропорции из заданной.

«Отношения величин» - Первая машинистка может выполнить работу за 10 часов, а вторая – за 15 часов. После удорожания акций братья продали свои акции за 1000 рублей. Приведите примеры величин, которые вы знаете. Как вы поняли запись «2: 1»? 2. Найди отношение: Отношения величин. Старший брат внёс 500 рублей, а младший – 300 рублей.

«Пропорции в жизни» - Парфенон. Ф. Решетников. Разделите каждое из чисел последовательности Фибоначчи на предыдущее. Золотая спираль. Леонардо Пигано Фибоначчи. Золотое сечение. Леонардо да Винчи. Композиция пропорций человека. Что называют отношением двух чисел. Соотношение частей тела у ребенка. Пропорции в математике и изобразительном искусстве.

Всего в теме 26 презентаций

Глава 3 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

§ 15. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. МАСШТАБ

1. Пропорциональное деление

На практике часто возникают задачи с требованием поделить некоторую величину в заданном отношении: распределение доходов, приготовления различных смесей или блюд и тому подобное. Чтобы решить такие задачи, надо выполнить пропорциональное деление данной величины.

На рисунке 16 вы видите отрезок A В, точка С делит в отношении 2: 3. Можем составить пропорцию:

Из этой пропорции следует, что

Пусть значение отношений данной пропорции равен k , тогда Отсюда то есть АС = 2 k и ВС = 3 k . Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка АВ в отношении 2: 3 и выразили длины его частей АС и ВС через число k (рис. 17).

Рис. 16

Рис. 17

Запомните!

Число, которое равно значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности обозначают буквой k . Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И здесь снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.

Задача 1. Разделите число 60 в отношении 3:4:5 .

Решения. Пусть к - коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна 3к, вторая - Ah , а третья - 5к. Поскольку число, которое надо разделить, равен 60, то можем составить уравнение: 3 k + Ah + 5 k = 60. Отсюда: к = 5. Итак, первая часть числа равна 3 ∙ 5 = 15, вторая - 4 ∙ 5 = 20, а третья - 5 ∙ 5= 25.

2. Масштаб

Для изображения на бумаге предметов из окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы доводит вся уменьшать, а маленькие, наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертеж или план давали правил вне представления о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.

Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.

Запомните!

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.

Обозначают: «М: 1: 1 000 000». Этот зал с означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.

Задача 2 . Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равна 4,1 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1:10 000 000.

Решения.

На карте: 4,1 см -1см

На местности: х -10000000 см

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 4,1: х. Значение данного отношения равен значению масштаба карты, следовательно, 4,1: х=1:10 000 000.

Отсюда

Следовательно, расстояние от Черкасс до Харькова - 410 км.

Как записать масштаб изображения, если на нем нужно увеличить реальные размеры предмета например, в 1000 раз. В таком случае масштаб записывают наоборот: 1000: 1. Такой масштаб понадобится, когда нужно изобразить, например, детали часов

Узнайте больше

1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens , что состоит из двух слов: Со - «вместе »и efficiens - «производящий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввел Ф. Вієт.

2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Mabstab - «линейка», что состоит из двух слов: Ма b - «мера и Stab - «веха».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие задачи относят к задачам на пропорциональное деление? Приведите примеры.

2. Что такое коэффициент пропорциональности?

3. Как решают задачи на пропорциональное деление?

4. Что называется масштабом карты?

5. Как решают задачи с применением масштаба?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

629". Назовите части отрезка AB (рис. 18-19).

Рис. 18

Ma л . 19

630". Правильно. что коэффициент пропорциональности равен:

1) пропорции; 2) отношению; 3) значению отношения;

4) значению отношений пропорции?

631". Правильного масштаб карты - это:

1) число; 2) величина; 3) выражение?

632". Что показывает масштаб карты:

1)1:100 000; 2)1:5 000000; 3)1:500; 4)1:2000?

633". Что показывает масштаб изображения:

1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1?

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

634°. Какой коэффициент пропорциональности закрашенной и незакрашенной частей: 1) шестиугольника (рис. 20); 2) треугольника (рис. 21)?

635°. Какой коэффициент пропорциональности: 1) закрашенной и незакрашенной частей квадрата (рис. 22); 2) двух частей отрезка MN (рис. 23)?

636°. Для нахождения частей, на которые разделен число 21 в отношении 3: 4, Сережа составил уравнения;

1)3 x + 4х = 7; 2)3 + 4 = 21х; 3) 3х + 4х = 21.

Правильно ли он это сделал?

637°. Поделите число 24 в отношении:

1)1:3; 2)3:5; 3) 1: 2: 5; 4) 2: 2: 4.

638°. Разделите число 30 в отношении:

1)1:2; 2)3: 4: 8.

639°. Два числа относятся, как 5: 3. Найдите эти числа, если;

1) их сумма равна 40; 2) их разность равна 16.

640°. Два числа относятся, как 4: 1. Найдите эти числа, если:

1) их сумма равна 25; 2) их разность равна 21.

641°. Отрезок АВ длиной 18 см точкой С разделен в отношении 2: 7. Найдите длину каждой части.

642°. Отрезок АС длиной 24 см точкой с разделен в отношении: 5. Найдите длину каждой части.

643°. Два отреза одинаковой ткани стоят 320 грн. Длина первого отрезка составляет 5 м, а второго - 3 м. Сколько стоит каждый отрез ткани?

644°. Две школы закупили билеты в театр и заплатили за них 12 200 грн. Сколько заплатила каждая школа, если театр посетили 286 учащихся первой школы и 324 ученики - второй?

645°. Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько граммов меди и сколько граммов олова содержит 270 г латуни, если для сплава нужно взять 1 часть олова и 2 части меди?

646°. Для сплава берут одну часть свинца и три части олова. Сколько граммов свинца и олова содержится в 600 г сплава?

647°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка АВ:

1) на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 400 раз больше, чем на карте?

648°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка CD .

1) на карте в 50 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 1000 раз больше, чем на карте?

649°. Какой будет длина отрезка АВ на местности, если отрезок АВ = 1 см изображен на карте с масштабом 1: 100 000?

650 Какой будет длина отрезка CD на местности, если отрезок CD = 1 см изображен на карте с масштабом 1:10 000?

651°. Масштаб карты 1: 500 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1)1см; 2) Зсм; 3) 4,5 см; 4) 6 см 2 мм.

652°. Масштаб карты 1: 4 000 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1) 2 см; 2) 5 см 5 мм.

653°. Расстояние между Киевом и Винницей составляет 260 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой:

1)1: 10000000; 2)1: 4 000000?

654°. Расстояние между Донецком и Житомиром составляет 880 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 10 000 000?

655. Отрезок ВС точкой А разделен в отношении 3: 8, причем одна из частей на 5 см больше другой. Найдите длину каждой части.

656. Отрезок АВ точкой С разделен в отношении 4: 7, причем одна из частей на 9 см меньше другой. Найдите длину каждой части.

657. Отрезок CD длиной 48 см точками А и В разделили в отношении 5:3:4. Найдите длину каждой части.

658. Отрезок АВ длиной 36 см точками С и D разделен в отношении 4:3:2. Найдите длину каждой части.

659. Некоторое расстояние пассажирский поезд преодолевает за 10 ч 30 мин, а товарный - за 12 часов. Какое расстояние проедут до встречи поезда, если они отправятся одновременно из двух городов, расстояние между которыми 465 км?

660. Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 с, а второй - за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?

Рис. 24

661. Первая машинистка может напечатать 90 страниц за час, а вторая - за 7 час. Как распределить машинисткам между собой 90 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

662. Первая бригада может изготовить 70 деталей за 4 ч, а вторая - за 3 часа. Как распределить бригадам между собой 70 деталей, чтобы они выполнили задачу в кратчайший срок?

663. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько килограммов строительного раствора получат, если возьмут 100 кг цемента?

664. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сока, Из части воды и 1 часть меда. Сколько напитка получат, если возьмут 400 г вишневого сока?

665. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого составляет 360 м, а ширина - 240 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1: 500?

666. План комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 20 мм и 30 мм. Какие размеры имеет комната, если план выполнен в масштабе 1:300?

671 *. Три числа относятся, как Найдите эти числа, если известно, что первое число меньше половины второго числа на 32.

672*. Определите масштаб плана, если лес площадью 4 га на плане занимает 1 см2.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

673. Для пошива платья Татьянка сделала выкройку по чертежу в журнале. Длина изделия на выкройке платья равняется 75 см. Вычислите масштаб чертежа в журнале, если на нем длина платья равна 15 см.

674. Длина детали - 30 мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали равна 60 мм?

675. Начертите в масштабе 1: 50 план:

1) класс; 2) одной из комнат своей квартиры.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

676. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки.

677. Найдите:

678. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из села на станцию. Велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч и через полчаса обогнал пешехода на 7 км. С какой скоростью шел пешеход?

667. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Николаевом и Ровным; 2) Киевом и Ужгородом; 3) Черниговом и Одессой; 4) Луганском и Черновцами.

668. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Черкассами и Львовом; 2) Харьковом и Ивано-Франковском.

669*. Сумма четырех чисел равна 4,2. Первые три числа относятся, как 1,2: 4: 0,8, а четвертое число составляет 0,6 от второго. Найдите первое число.

670*. Число 144 разделен на три части х, у, z так, что х: у = 3: 2, у: z = 4: 5. Найдите части данного числа.

6 класс

УРОК № 6. Глава 1 . Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема .

Цель . Продолжить формировать навыки деления числа в данном отношении.

Ход урока.

Организационный момент.

Анализ самостоятельной работы.

Проверка домашнего задания.

Устное решение упражнений.

Мультимедийная доска: 1 ученик. Тестовые задания. (Эл. приложение к уч. Математика 6. Никольский. Каталог. Интерактивные модели. Отношение чисел и натуральные числа (10 заданий))

9 – 10 правильных ответов – «5»;

6 – 8 правильных ответов – «4»;

3 – 5 правильных ответов – «3».

Решение упражнений. (Задание на карточке)

134. Разделите число 56 на две части в отношении 3: 4.

1)
;

2)
. Ответ : 24; 32.

135. Разделите число 420 на три части в отношении 2: 3: 7.

1)
;

2) ;

3) . Ответ : 70; 105; 245.

136. Сплав состоит из 5 частей меди и 8 частей цинка. Сколько надо взять килограмм цинка, чтобы получить 520 кг сплава?

Медь – ? кг, 5 частей

520 кг

Цинк – ? кг, 8 частей

Решение.

(кг) – цинка надо взять. Ответ : 320 кг.

137. Периметр треугольника равен 114 см, а длины сторон относятся как 5: 6: 8. Найдите стороны треугольника.

а – ? см

b – ? см 5: 6: 8 Р = 114 см

c – ? см

Решение.

1)
(см) – а;

2)
(см) – b ;

3)
(см) – с. Ответ : 30 см; 36 см; 48 см.

Объяснение нового материала.

Деление числа в данном отношении.

Задача 3 . Первая машинистка может перепечатать 90 страниц за 10 ч, а вторая за 15 ч. Как распределить между ними 90 страниц, чтобы они перепечатали их в кратчайшие сроки?

Пр.тр., стр./ч

t , ч

V , стр.

1 машинистка

кратчайш.

?

2 машинистка

?

Решение.

1)
,
;

2)
,
;

3)
- отношение
к
;

4)
(стр.) – надо дать 1 машинистке;

5)
(стр.) – надо дать 2 машинистке.

Ответ : 54 стр.; 36 стр.

Решение упражнений.

Уч.с.13 № 39 (а,в). Первая машинистка перепечатает 10 страниц в час, а вторая – 8 страниц в час. Как разделить между ними 90 страниц, чтобы они закончили работу одновременно?

Пр.тр., стр./ч

t , ч

V , стр.

1 машинистка

одноврем.

? Ответ : 50 стр.; 40 стр.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание. § 1.3 (выучить теорию). № 36(а), 40, 12(г,д), 15(в) (Обязательно прокомментировать. Время перевести в часы).

К задаче 40. О поташе. Электронное приложение. Каталог. Это интересно. Поташ.

Электронное приложение. Каталог. Контроль. Тест к пункту 1.1.