Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»
студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения
образования (НИСПО)
Горки, 2013
Непрерывность функций одной переменной
Односторонние пределы
Пусть
функция
определена на множестве
.
Введём понятие односторонних пределов
функции при
.
Будем рассматривать такие значениях
,
что
. Это означает, что
,
оставаясь всё время слева от
при
то он называетсялевым
пределом
этой функции в точке
(или при
)
и обозначается
.
Пусть
теперь
,
оставаясь всё время справа от
,
т.е. оставаясь больше
.
Если при этом существует предел функции
,
то он называется правым
пределом
этой функции в точке
и обозначается
.
Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.
Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке :
.
Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует .
Непрерывность функции в точке
Пусть
функция
определена
на некотором множестве D
.
Пусть независимая переменная х
переходит от одного своего (начального)
значения
к другому (конечному) значению
.
Разность
конечного и начального значений
называется приращением
величины х
и обозначается
.
Приращение может быть как положительным,
так и отрицательным. В первом случае
величинах
при переходе от
кх
увеличивается, а во втором случае -
уменьшается.
Если
независимая переменная х
получает некоторое приращение
,
то функция
получает приращение
.
Так как
,
то.
Приращением
функции
в
точке
называется разность,
где
– приращение независимой переменной.
Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.
Функция
называется непрерывной
в интервале
,
если она непрерывна в каждой точке этого
интервала. Геометрически непрерывность
функции
в замкнутом интервале означает, что
график функции представляет собой
сплошную линию без разрывов.
Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
],
то она ограничена на этом отрезке.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
],
то она достигает на этом отрезке своего
наименьшего и наибольшего значений.
Если
функция
непрерывна
на отрезке [a
,
b
]
и
,
то каким бы ни было числоС
,
заключённое между числами А
и В
,
найдётся точка
,
что
.
Из
этого утверждения следует, что если
функция
непрерывна на [a
,
b
]
и на концах этого отрезка принимает
значения разных знаков, то на этом
отрезке существует хотя бы одна точка
c
,
в которой функция обращается в нуль.
Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функци я.
Пример 1 .
в
точке
.
Решение
.
Значение функции при
есть
.
Вычислим односторонние пределы функции
в точке
:
Так
как односторонние пределы при
равны между собой и равны значению
функции в этой точке, то данная функция
непрерывна в точке
.
3. Непрерывность элементарных функций
Рассмотрим
функцию
.
Эта постоянная функция непрерывна в
любой точке
,
так как
.
Функция
также непрерывна в каждой точке
,
так как
.
Так как
,
то на основании приведённого утверждения
об арифметических операциях над
непрерывными функциями
будет непрерывной. Непрерывными будут
такжен функции
.
Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.
Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.
Непрерывность сложной и обратной функций
Пусть
функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Это означает, что если сложная функция
составлена из непрерывных функций, то
она также будет непрерывной, т.е.непрерывная
функция от непрерывной функции есть
функция непрерывная
.
Это определение распространяется на
конечное число непрерывных функций.
Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:
Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.
Пусть
функция
определена, строго монотонна и непрерывна
на отрезке [a
,
b
].
Тогда обратная ей функция
определена, строго монотонна и непрерывна
на отрезке [A
,
B
],
где
.
Точки разрыва и их классификаци я
Как
уже известно, что если функция
определена на множестве D
и в точке
выполняется условие
,
то функция непрерывна в этой точке. Если
же это условие непрерывности не
выполняется, то в точкех
0
функция имеет разрыв.
Точка
называетсяточкой
разрыва первого рода
функции
,
если в этой точке функция имеет конечные
односторонние пределы, не равные друг
другу, т.е.
.
При этом величина
называется
скачком
функции
в точке
.
Точка
называетсяточкой
устранимого разрыва
функции
,
если односторонние пределы функции в
этой точке равны друг другу и не равны
значению функции в этой точке, т.е.
В
этом случае для устранения разрыва в
точке
нужно положить
Точка
х
0
называется точкой
разрыва второго рода
функции
если
хотя бы один из односторонних пределов
или
в этой точке либо не существует, либо
равен бесконечности.
Пример 2 . Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение
.
Функция определена и непрерывна на всей
числовой прямой, за исключением точки
.
В этой точке функция имеет разрыв. Найдём
односторонние пределы функции в точке
:
Так
как в точке
односторонние пределы равны между
собой, а функция в этой точке не определена,
то точка
является точкой устранимого разрыва.
Чтобы устранить разрыв в этой точке,
необходимо доопределить функцию, положив
.
Пример 3 . Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение
.
Функция определена и непрерывна на всём
множестве действительных чисел, кроме
.
В этой точке функция имеет разрыв. Найдём
односторонние пределы функции при
:
.
Так
как данная функция в точке
имеет конечные односторонние пределы,
не равные друг другу, то эта точка
является точкой разрыва первого рода.
Скачок функции в точке
равен.
Вопросы для самоконтроля знаний
Что называется приращением аргумента и приращением функции?
Что называется левосторонним (левым) пределом функции?
Что называется правосторонним (правым) пределом функции?
Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?
Какая точка называется точкой разрыва функции?
Какая точка называется точкой разрыва первого рода?
Какая точка называется точкой разрыва второго рода?
Какая точка называется точкой устранимого разрыва?
Задания для самостоятельной работы
Исследовать функции на непрерывность:
в
точке
.
Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Функция f (x) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) = f (x 0)
Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Пример 1
Дана функция f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .
Решение
В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · (х n < 2) . Например, такой последовательностью может быть:
2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2
Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:
f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; - 0 . 958 ; - 1 . 489 ; - 1 . 747 ; - 1 . 874 ; . . . ; - 1 . 998 ; . . . → - 2
на чертеже они обозначены зеленым цветом.
Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к - 2 , значит lim x → 2 - 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 (х n > 2) . Например, такой последовательностью может быть:
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Соответствующая последовательность функций:
f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = - 7 . 333 ; - 5 . 333 ; - 3 . 833 ; - 2 . 958 ; - 2 . 489 ; - 2 . 247 ; - 2 . 247 ; - 2 . 124 ; . . . ; - 2 . 001 ; . . . → - 2
на рисунке обозначена синим цветом.
И эта последовательность сводится к - 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f (x) = 1 6 x - 8 2 - 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:
lim x → 2 - 0 f (x) = lim x → 2 + 0 f (x) = f (2) = 1 6 (2 - 8) 2 - 8 = - 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.
Покажем графически:
Ответ: Непрерывность функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в заданной части доказано.
Устранимый разрыв первого рода
Определение 2Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:
lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) ≠ f (x 0)
Пример 2
Задана функция f (x) = x 2 - 25 x - 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.
Решение
Сначала обозначим область определения функции: D (f (x)) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ (- ∞ ; 5) ∪ (5 ; + ∞)
В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.
Выражение x 2 - 25 x - 5 упростим: x 2 - 25 x - 5 = (x - 5) (x + 5) x - 5 = x + 5 .
Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g (x) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:
lim x → 5 - 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10
Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Определение 3 Пример 3
Задана кусочно-непрерывная функция f (x) = x + 4 , x < - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.
Решение
Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = - 1 или в точке х 0 = 1 .
Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:
- слева от точки х 0 = - 1 заданная функция есть f (x) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 - 0 (x + 4) = - 1 + 4 = 3 ;
- непосредственно в точке х 0 = - 1 функция принимает вид: f (x) = x 2 + 2 , тогда: f (- 1) = (- 1) 2 + 2 = 3 ;
- на промежутке (- 1 ; 1) заданная функция есть: f (x) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → - 1 + 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 (x 2 + 2) = (- 1) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f (x) = lim x → 1 - 0 (x 2 + 2) = (1) 2 + 2 = 3
- в точке х 0 = - 1 функция имеет вид: f (x) = 2 x и f (1) = 2 · 1 = 2 .
- справа от точки х 0 заданная функция есть f (x) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f (x) = lim x → 1 + 0 (2 x) = 2 · 1 = 2
Ответ: в конечном счете мы получили:
- lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 f (x) = f (- 1) = 3 - это означает, что в точке х 0 = - 1 заданная кусочная функция непрерывна;
- lim x → - 1 - 0 f (x) = 3 , lim x → 1 + 0 f (x) = 2 - таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).
Нам остается только подготовить чертеж данного задания.
Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 - 0 f (x) или справа lim x → x 0 + 0 f (x) не существует или бесконечен.
Пример 4
Задана функция f (x) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.
Решение
Запишем область определения функции: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) .
Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .
Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:
8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .
Ей соответствует последовательность значений функции:
f (- 8) ; f (- 4) ; f (- 2) ; f (- 1) ; f - 1 2 ; f - 1 4 ; . . . ; f - 1 1024 ; . . . = = - 1 8 ; - 1 4 ; - 1 2 ; - 1 ; - 2 ; - 4 ; . . . ; - 1024 ; . . .
Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 - 0 f (x) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .
Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:
f (8) ; f (4) ; f (2) ; f (1) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .
Эта последовательность - бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f (x) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .
Ответ : точка х 0 = 0 - точка разрыва функции второго рода.
Проиллюстрируем:
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:
Пример 1
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение :
1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение 
, и вроде бы получается обычная парабола. НО
исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.
Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.
Разделаемся с любимыми модулями:
Пример 2
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение
: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков
. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: 
, где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:
Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :
Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию 
(не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.
Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).
Пример 3
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.
Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.
Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:
Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции
.
Решение
: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):
Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I)
1) 
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) 
- функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
- односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3) 
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить её график
.
Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.
Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:
Пример 6
Дана функция 
. Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.
Решение
: и снова сразу выполним чертёж на черновике:
Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .
Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:
I) Исследуем на непрерывность точку
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции , и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).
3) 
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.
- общий предел существует.
3) 
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.
Ответ : функция непрерывна в точках .
Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).
Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:
Пример 7
Дана функция 
.
Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.
Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)
Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:
Пример 8
Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.
Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:
I) Исследуем на непрерывность точку
2) Найдём односторонние пределы:
Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела
: в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени
равна нулю: . Или, если ещё подробнее: 
.
Вычислим правосторонний предел:
И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на: 
Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
II) Исследуем на непрерывность точку
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим левосторонний предел:
Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .
По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число , даёт «плюс бесконечность»: .
Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число
:
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:
Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.
Более простая функция для самостоятельного решения:
Пример 9
Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.
Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 3:
Решение
: преобразуем функцию:
. Учитывая правило раскрытия модуля
и тот факт, что
, перепишем функцию в кусочном виде:
Исследуем функцию на непрерывность.
1) Функция не определена в точке .
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке
. Выполним чертёж:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки
, в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва:
(две единицы вверх).
Пример 5:
Решение
: каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
3)
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция
непрерывна в точке
по определению непрерывности функции в точке.
II)
Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции . Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс»
, для которых существуют
значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.
Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций .
Определение. Пусть на некотором промежутке определена функция f(x) и x 0 – точка этого промежутка. Если , то f(x) называется непрерывной в точке x 0 .Из определения следует, что о непрерывности можно говорить лишь по отношению к тем точкам, в которых f(x) определена (при определении предела функции такого условия не ставилось). Для непрерывных функций
, то есть операции f и lim перестановочны. Соответственно двум определениям предела функции в точке можно дать два определения непрерывности – «на языке последовательностей» и «на языке неравенств» (на языке ε-δ). Предлагается это сделать самостоятельно.
Для практического использования иногда более удобно определение непрерывности на языке приращений.
Величина Δx=x-x 0 называется приращением аргумента, а Δy=f(x)-f(x 0) – приращением функции при переходе из точки x 0 в точку x.
Определение. Пусть f(x) определена в точке x 0 . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть Δy→0 при Δx→0.
Пример 1.
Доказать, что функция y=sinx непрерывна при любом значении x.
Решение.
Пусть x 0 – произвольная точка. Придавая ей приращение Δx, получим точку x=x 0 +Δx. Тогда 
. Получаем 
.
Определение.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если
.
Функция, непрерывная во внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна в точке слева и справа, то она будет непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Например, для 
, 
, f(1)=1, следовательно, эта функция непрерывна только слева (график этой функции см. выше в пункте 5.7.2).
Определение.
Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В частности, если промежутком является отрезок , то на его концах подразумевается односторонняя непрерывность.
Свойства непрерывных функций
1. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.2. Если f(x) и φ(x), заданные на некотором промежутке, непрерывны в точке x 0 этого промежутка, то в этой точке будут также непрерывны функции .
3. Если y=f(x) непрерывна в точке x 0 из X, а z=φ(y) непрерывна в соответствующей точке y 0 =f(x 0) из Y, то и сложная функция z=φ(f(x)) будет непрерывной в точке x 0 .
Разрывы функции и их классификация
Признаком непрерывности функции f(x) в точке x 0 служит равенство , которое подразумевает наличие трех условий:1) f(x) определена в точке x 0 ;
2)
;
3) .
Если хотя бы одно из этих требований нарушено, то x 0 называют точкой разрыва функции. Другими словами, точкой разрыва называется точка, в которой эта функция не является непрерывной. Из определения точек разрыва следует, что точками разрыва функции являются:
а) точки, принадлежащие области определения функции, в которых f(x) теряет свойство непрерывности,
б) точки, не принадлежащие области определения f(x), которые являются смежными точками двух промежутков области определения функции.
Например, для функции точка x=0 есть точка разрыва, так как функция в этой точке не определена, а функция
имеет разрыв в точке x=1, являющейся смежной для двух промежутков (-∞,1) и (1,∞) области определения f(x) и не существует.
Для точек разрыва принята следующая классификация.
1) Если в точке x 0 имеются конечные 
и 
, но f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), то x 0 называется точкой разрыва первого рода
, при этом называют скачком функции
.
Пример 2.
Рассмотрим функцию 
Разрыв функции возможен только в точке x=2 (в остальных точках она непрерывна как всякий многочлен).
Найдем 
, 
. Так как односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x=2 функция имеет разрыв первого рода. Заметим, что 
, следовательно функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).
2) Точками разрыва второго рода
называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Пример 3.
Функция y=2 1/ x непрерывна для всех значений x, кроме x=0. Найдем односторонние пределы: 
, 
, следовательно x=0 – точка разрыва второго рода (рис. 3).
3) Точка x=x 0 называется точкой устранимого разрыва
, если f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) значение функции в этой точке, положив , и функция станет непрерывной в точке x 0 .
Пример 4.
Известно, что 
, причем этот предел не зависит от способа стремления x к нулю. Но функция в точке x=0 не определена. Если доопределим функцию, положив f(0)=1, то она окажется непрерывной в этой точке (в остальных точках она непрерывна как частное непрерывных функций sinx и x).
Пример 5.
Исследовать на непрерывность функцию 
.
Решение.
Функции y=x 3 и y=2x определены и непрерывны всюду, в том числе и в указанных промежутках. Исследуем точку стыка промежутков x=0:
, 
, . Получаем, что , откуда следует, что в точке x=0 функция непрерывна.
Определение.
Функция, непрерывная на промежутке за исключением конечного числа точек разрыва первого рода или устранимого разрыва, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке.
Примеры разрывных функций
Пример 1.
Функция определена и непрерывна на (-∞,+∞) за исключением точки x=2. Определим тип разрыва. Поскольку 
и 
, то в точке x=2 разрыв второго рода (рис. 6).
Пример 2.
Функция определена и непрерывна при всех x, кроме x=0, где знаменатель равен нулю. Найдем односторонние пределы в точке x=0:
Односторонние пределы конечны и различны, следовательно, x=0 – точка разрыва первого рода (рис. 7).
Пример 3.
Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция 
Эта функция определена на [-2,2]. Так как x 2 и 1/x непрерывны соответственно в промежутках [-2,0] и , то разрыв может быть только на стыке промежутков, то есть в точке x=0. Поскольку , то x=0 является точкой разрыва второго рода.
Пример 4.
Можно ли устранить разрывы функций:
а) 
в точке x=2;
б) 
в точке x=2;
в) 
в точке x=1?
Решение.
О примере а) сразу можно сказать, что разрыв f(x) в точке x=2 устранить невозможно, так как в этой точке бесконечные односторонние пределы (см. пример 1).
б) Функция g(x) хотя имеет конечные односторонние пределы в точке x=2
(
,
),
но они не совпадают, поэтому разрыв также устранить нельзя.
в) Функция φ(x) в точке разрыва x=1 имеет равные односторонние конечные пределы: . Следовательно, разрыв может быть устранен переопределением функции в точке x=1, если положить f(1)=1 вместо f(1)=2.
Пример 5. Показать, что функция Дирихле
разрывна в каждой точке числовой оси.
Решение. Пусть x 0 – любая точка из (-∞,+∞). В любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррациональные точки. Значит, в любой окрестности x 0 функция будет иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела функции в точке x 0 ни слева, ни справа, значит функция Дирихле в каждой точке числовой оси имеет разрывы второго рода.
Пример 6. Найти точки разрыва функции
и определить их тип.
Решение. Точками, подозрительными на разрыв, являются точки x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
В точке x 1 =2 f(x) имеет разрыв второго рода, так как
.
Точка x 2 =5 является точкой непрерывности, так как значение функции в этой точке и в ее окрестности определяется второй строкой, а не первой: .
Исследуем точку x 3 =3: ,
, откуда следует, что x=3 – точка разрыва первого рода.
Для самостоятельного решения.
Исследовать функции на непрерывность и определить тип точек разрыва:
1) 
; Ответ: x=-1 – точка устранимого разрыва;
2) 
; Ответ: Разрыв второго рода в точке x=8;
3) 
; Ответ: Разрыв первого рода при x=1;
4) 
Ответ: В точке x 1 =-5 устранимый разрыв, в x 2 =1 – разрыв второго рода и в точке x 3 =0 - разрыв первого рода.
5) Как следует выбрать число A, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=0?
Ответ: A=2.
6) Можно ли подобрать число A так, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=2?
Ответ: нет.