РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

Динамика Материальное тело - тело, имеющее массу.

Материальная точка

Материальными

а - б в -

Инертность

Масса тела

Сила -

,

. а - б - - сила тяги электровоза; в - -

Система Инерциальная

Движение Пространство Время

Система

ТЕМА 1

Первый закон (закон инерции).

Изолированная

Например: - вес тела, -

- начальная скорость).

Второй закон (основной закон динамики).

Математически этот закон выражается векторным равенством

При ускорения - движение точки - равнопеременное (рис. 5: а - движение - замедленное, ; б - движение - ускоренное, . - масса точки, - вектор ускорения, - вектор силы, - вектор скорости).

При - точка движется равномерно и прямолинейно либо при - покоится (закон инерции). Второй закон позволяет установить связь между массой тела , находящегося вблизи земной поверхности, и его весом , , где - ускорение свободного падения.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия).

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Так как силы приложены к разным точкам, то система сил не является уравновешенной.(рис. 6). В свою очередь - отношение масс взаимодействующих точек обратно пропорционально их ускорениям.

Четвертый закон (закон независимости действия сил).

Ускорение, получаемое точкой при действии на нее одновременно нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Пояснение (рис. 7). Равнодействующая сил определяется как . Так как и , то .

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.

Начальные условия движения точки в декартовых осях - это координаты точки , , и проекции начальной скорости на эти оси , и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю.

Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

ТЕМА 2 . ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

2.1. Основные понятия и определения

Механической системой или системой материальных точек называют совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.

Примеры механических систем:

1. материальное тело, в том числе и абсолютно твердое, как совокупность взаимодействующих материальных частиц; совокупность взаимосвязанных твердых тел; совокупность планет солнечной системы и т. д.

2. Стая летящих птиц не является механической системой, т. к. между птицами нет силового взаимодействия.

Свободная механическая система - система, на движение точек которой не наложено никаких связей. Например: движение планет солнечной системы.

Несвободная механическая система - система, на движение точек которой наложены связи. Например: движение деталей в любом механизме, машине и т. п.

Классификация сил

Классификацию сил, действующих на несвободную механическую систему, можно представить в виде следующей схемы:

Внешние силы - силы, действующие на точки данной механической системы со стороны других систем.

Внутренние - силы взаимодействия между точками одной механической системы.

На произвольную точку системы (рис. 1) действуют: - равнодействующая внешних сил (индекс - первая буква французского слова exterieur - (внешний)); - равнодействующая внутренних сил (индекс - от слова interieur - (внутренний)). Одна и та же сила реакции связи в зависимости от условия задачи может быть как внешней, так и внутренней.

Свойство внутренних сил

и - взаимодействующие точки механической системы (рис. 2). На основании 3-го закона динамики

С другой стороны: . Поэтому главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы равны нулю:

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) под действием приложенных сил. Материальное тело - тело, имеющее массу.

Материальная точка - материальное тело, различие в движении точек которого является несущественным. Это может быть как тело, размерами которого при его движении можно пренебречь, так и тело конечных размеров, если оно движется поступательно.

Материальными точками называют также частицы, на которые мысленно разбивается твердое тело при определении некоторых его динамических характеристик.

Примеры материальных точек (рис. 1): а - движение Земли вокруг Солнца. Земля - материальная точка; б - поступательное движение твердого тела. Твердое тело - материальная точка, т. к. ; в - вращение тела вокруг оси. Частица тела - материальная точка.

Инертность - свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил.

Масса тела - это скалярная положительная величина, зависящая от количества вещества, содержащегося в данном теле, и определяющая его меру инертности при поступательном движении. В классической механике масса - величина постоянная.

Сила - количественная мера механического взаимодействия между телами или между телом (точкой) и полем (электрическим, магнитным и т. д.). Сила - векторная величина, характеризующаяся величиной, точкой приложения и направлением (линией действия) (рис. 2: - точка приложения, - линия действия силы).

В динамике наряду с постоянными силами имеют место и переменные силы, которые могут зависеть от времени , скорости , расстояния или от совокупности этих величин, т. е.

Примеры таких сил приведены на рис. 3. а - - вес тела, - сила сопротивления воздуха; б - - сила тяги электровоза; в - - сила отталкивания от центра или притяжения к нему.

Система отсчета - система координат, связанная с телом, по отношению к которому изучается движение другого тела. Инерциальная система - система, в которой выполняются первый и второй законы динамики. Это неподвижная система координат либо система, движущаяся равномерно и прямолинейно поступательно.

Движение в механике - это изменение положения тела в пространстве и во времени. Пространство в классической механике трехмерное, подчиняющееся эвклидовой геометрии. Время - скалярная величина, одинаково протекающая в любых системах отсчета.

Система единиц - это совокупность единиц измерения физических величин. Для измерения всех механических величин: достаточно трех основных единиц: единицы длины, времени, массы или силы. Все остальные единицы измерения механических величин - производные от этих. Применяются два типа систем единиц: международная система единиц СИ (или более мелкая - СГС) и техническая система единиц - МкГС.

ТЕМА 1 . ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

1.1. Законы динамики материальной точки (законы Галилея-Ньютона)

Первый закон (закон инерции).

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил или под действием уравновешенной системы сил, называется движением по инерции.

Например: движение тела по гладкой (сила трения равна нулю) горизонтальной поверхности (рис. 4: - вес тела, - нормальная реакция плоскости). Так как , то .

При тело движется с той же скоростью; при тело покоится (- начальная скорость).

Свободные колебания материальной точки. Влияние постоянной силы на свободное колебание

Свободные колебания (или собственные колебания ) - это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления:

Общее решение этого уравнения имеет вид , где

В случае, когда действующая на материальную точку позиционная сила стремиться вернуть ее в исходное положение, движение точки будет носить колебательный характер. Такую силу принято называть восстанавливающей.

Под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т.е. гармоническое колебательное движение.

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения .

Движение материальной точки в условиях резонанса

В случае, когда , т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса.

Резонанс - это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Возникает, когда частота собственных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы

Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать

Вынужденные колебания материальной точки при сопротивление пропорциональном скорости.

Вращательное движение

В этом случае . Тогда

– кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Теоре́ма Кёнига

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

T=T0+Tr {\displaystyle {T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,}

Где T - {\displaystyle T} TTTTTTtTTTTtt полная кинетическая энергия системы, {\displaystyle T_{0}}T0 - кинетическая энергия движения центра масс, {\displaystyle T_{r}}Tr - относительная кинетическая энергия системы .

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.

Более точная формулировка: полная кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия той же системы в ее относительной системе относительно центра масс

Рисунок 1 - Свободное падение тела.

Так как груз малыми размерами то сопротивление воздуха достаточно мало и энергия на его преодоление мала и ею можно пренебречь. Скорость движения тела не высока и на малом расстоянии не достигает момента, когда она уравновешивается трением о воздух и ускорение прекращается.

В момент столкновения с землей кинетическая энергия максимальна. Так как тело обладает максимальной для него скоростью. А потенциальная энергия равна нулю, так как тело достигло поверхности земли и высота равна нулю. То есть что происходит, максимальная потенциальная энергия в верхней точке, по мере движения переходит в кинетическую, которая в свою очередь достигает максимума в нижней точке. Но сумма всех энергий в системе за время движения остается постоянной. Насколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько увеличилась кинетическая.

Идеальные связи

При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция нормальна к поверхности

Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих

Принцип освобождаемости от связей , согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Реакция связи Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Жесткая заделка

Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих Х А и Y A препятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента m A , препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил.

Рис.4

Решение. Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу F проще, с помощью общего уравнения статики.

Показываем активные силы и . Даем системе возможное перемещение, повернув стержень АО на угол (рис.66). Так как желоб совершит поступательное движение, то перемещения всех его точек будут одинаковы:

где a =AO=BD.

Составляем уравнение работ: . Угол .

Поэтому получим . Отсюда .

Общее уравнение динамики.

По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.

В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:

Или по принципу возможных скоростей (2):

Эти уравнения называют общим уравнением динамики . Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.

Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.

Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Законы классической механики. Дифференциальное уравнение движения материальной точки.

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики:

• по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
• зная действующие на точку силы, определяют ее движение.

Министерство Общего и профессионального технического образования

Московский Государственный Технический Университет МАМИ

Кафедра: Теоретическая механика

Реферат на тему:

Дифференциальные уравнения движения точки.

Решение задач динамики точки.

Студент: Зиновьев М.Ю.

Группа: 3-АиУ-1

Преподаватель:

Введение в динамику. Законы динамики.

Основные понятия и определения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Движение с чисто геометрической точки зрения рассматривается в кинематике. Отличие динамики состоит в том, что при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но статика не касается вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени., а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы (Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покоящееся тело, может привести его в движение) и реакции связей.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит Ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела (Масса является еще мерой гравитационных свойств тела), В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т.е. от распределения масс в теле.

Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.

Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т.п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Изучать динамику обычно начинают с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела.

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ.

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно-производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687г. (Есть прекрасный русский перевод, сделанный А. Н. Крымовым. См.: Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII. М.- Л., 1936). Сформулировать эти законы можно следующим образом.

Первый закон (закон инерции):

изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Ньютон предполагал, что существует некое неподвижное (абсолютное) пространство, по отношению к которому этот закон выполняется. Но по современным воззрениям пространство - это форма существования материи, и какого-то абсолютного пространства, свойства которого не зависят от движущейся в нем материи, не существует. Между тем, поскольку закон имеет опытное происхождение (еще Галилей указал, что к этому закону можно прийти, рассматривая движение шарика по наклонной плоскости со все убывающим углом наклона), должны существовать системы отсчета, в которых с той или иной степенью приближения данный закон будет выполняться. В связи с этим в механике, переходя, как обычно, к научной абстракции, вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.

Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех или иных задач механики рассматривать как инерциальную, устанавливается путем проверки того, в какой мере результаты, полученные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверждаются опытом. По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной с высокой степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики)

устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость

та= F . (1")

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

Этот же результат можно получить, используя вместо закона параллелограмма закон независимости действия сил, согласно которому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит:

две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Этим законом пользуются в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, обратно пропорциональными их массам.

Задачи динамики . Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики);

2) 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая, или основная, задача динамики).

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

Для измерения всех механических величин оказывается достаточным ввести независимые друг от друга единицы измерения каких-нибудь трех величин. Двумя из них принято считать единицы длины и времени. В качестве третьей оказывается наиболее удобным выбрать единицу измерения или массы, или силы. Так как эти величины связаны равенством (1), то произвольно единицу измерения каждой из них выбрать нельзя. Отсюда вытекает возможность введения в механике двух принципиально отличных друг от друга систем единиц.

Первый тип систем единиц.

В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и массы, а сила измеряется производной единицей.

К таким системам относится Международная система единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными единицами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей же измерения силы является производная единица - 1 ньютон (Н);

1 Н - это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/с 2 (1Н==1 кг-м/с 2). О том, что собой представляют 1 м, 1 кг и 1 с, известно из курса физики. Международная система единиц (СИ) введена в России как предпочтительная с 1961 г

Второй тип систем единиц.

В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и силы, а масса измеряется производной единицей.

К таким системам относится имевшая большое распространение в технике система МКГСС, в которой основными единицами являются метр (м), килограмм силы (кГ) и секунда (с). Единицей измерения массы в этой системе будет 1 кГс 2 / м, т. е. масса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение 1 м/с 2 .

Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГСС таково: 1 кГ=9,81 Н или 1 Н=0,102 кГ.

В заключение необходимо отметить, что надо различать понятия размерность величины и единица ее измерения. Размерность определяется только видом уравнения, выражающего значение данной величины, а единица измерения зависит еще от выбора основных единиц. Например, если, как это принято, обозначать размерность длины, времени и массы соответственно символами L, Т и М, то размерность скорости L/Т, а единицей измерения может быть 1 м/с, 1 км/ч и т. д.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ

Рассмотрим следующие постоянные или переменные силы (законы изменения переменных сил, как правило, устанавливаются опытным путем).

Сила тяжести . Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения, а иногда ускорением силы тяжести ( Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение q в разных местах земной поверхности различно; оно зависит от географической широты места над уровнем моря. На широте Москвы (на уровне моря) q= 9,8156м/с2

Тогда из уравнения (1") следует, что

Р=т q или т=Р/ q . (3)

Эти равенства позволяют, зная массу тела, определить его вес (модуль действующей на него силы тяжести) или, зная вес тела, определить его массу. Вес тела или сила тяжести, как и величина q, изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; масса же является для данного тела величиной неизменной.

Сила трения . Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством

где f - коэффициент трения, который будем считать постоянным;

N - нормальная реакция.

Сила тяготения . Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга, выражается равенством

где f-гравитационная постоянная (в СИ/=6,673*).

Сила упругости . Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В частности, для силы упругости пружины получается значение

где l - удлинение (или сжатие) пружины; с - так называемый коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

Сила вязкого трения . Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при наличии жидкой смазки) и может быть выражена равенством

где v - скорость тела; m, - коэффициент сопротивления. Зависимость вида (7) можно получить исходя из закона вязкого трения, открытого Ньютоном.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления . Эта сила тоже зависит от скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством

(8)

где р - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя);

Сx:-безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.

Инертная и гравитационная массы.

Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить из закона (1), куда масса входит как мера инертности и называется поэтому инертной массой. Но можно исходить и из закона (5), куда масса входит как мера гравитационных свойств тела и называется соответственно гравитационной (или тяжелой) массой. В принципе ни откуда не следует, что инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же величину. Однако целым рядом экспериментов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень высокой степенью точности (по опытам, проделанным советскими физиками (1971 г.),- с точностью до ). Этот экспериментально установленный факт называют принципом эквивалентности. Эйнштейн положил его в основу своей общей теории относительности (теории тяготения).

Исходя из изложенного, в механике пользуются единым термином «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гравитационных свойств.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.

Уравнения в декартовых координатах .

Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т.е. уравнения (9). Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, zг этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил ., по отношению к инерциальной системе отсчета Охуг. Проектируя обе части равенства (2), т.е. равенства оси х, у, zг и учитывая, что и т.д., получим

(10)

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

Это и будут искомые уравнения, т.е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от , , то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, z, одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника . Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства на оси M t nb, т.е. на касательную М t: к траектории точки, главную нормаль Мп, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb

Тогда, учитывая, что , , получим

(11)

Уравнения (11), где v=ds!dt, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

(ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ)

Если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила или реакция связи сразу находится по уравнениям (1) или (2). При этом для вычисления реакции надо дополнительно знать активные силы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно воспользоваться уравнениями (10) или (11).

РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (10), т. е. уравнением

или (12)

Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

(13)

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силы зависят от х), уравнение (13) преобразуют к переменному х. Так как dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, то вместо (13) получим

(14)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от х, и от ее скорости, т. е. от Vy=x. Следовательно, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид .

Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования и и общее решение уравнения (12) будет иметь вид

(15)

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных . Для этого используются обычно так называемые начальные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент - начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента t=0 она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента t=0 каких-то других сил). Чтобы решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в виде

При t=0 ,. (16)

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных и найти частное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде

Общие представления

Характерными параметрами движения жидкости являются давление, скорость и ускорение, зависящие от положения материальной точки в пространстве. Различают два вида движения жидкости: установившееся и неустановившееся. Движение называют установившимся, если параметры движения жидкости в данной точке пространства не зависят от времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называют неустановившимся. Таким образом, при установившемся движении

при неустановившемся движении

Примером установившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия в стенке резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень путем непрерывного пополнения жидкости. Если сосуд опорожняется через отверстие без пополнения, то давление, скорость и очертание потока изменяются во времени, и движение будет неустановившимся. Установившееся движение является основным видом течения в технике.

Движение называется плавноизменяющимся, если не происходит отрыва потока от направляющих стенок с образованием в местах отрыва областей застойных вихревых течений.

В зависимости от характера изменения скорости по длине потока плавноизменяющееся движение может быть равномерным и неравномерным. Первый вид движения соответствует случаю, когда по всей длине потока живые сечения одинаковы, а скорости постоянны по величине. В противном случае плавноизменяющееся движение будет неравномерным. Примером равномерного движения является движение с постоянной скоростью в цилиндрической трубе постоянного сечения. Неравномерное движение будет в трубе переменного сечения при слабом расширении и большом радиусе кривизны потока. В зависимости от давления на поверхностях, ограничивающих поток жидкости, движение бывает напорное и безнапорное. Напорное движение характеризуется наличием твердой стенки в любом живом сечении и обычно имеет место в закрытом трубопроводе при полном заполнении его поперечного сечения, т. е. при отсутствии свободной поверхности в потоке. Безнапорные потоки имеют свободную поверхность, граничащую с газом. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести.

При исследовании жидкости пользуются двумя принципиально различными аналитическими методами: Лагранжа и Эйлера с движением твердого тела, выделяя в ней частицу с заданными начальными координатами и прослеживая ее траекторию.

Согласно Лагранжу поток жидкости рассматривают как совокупность траекторий, описываемых жидкими частицами. Общий вектор скорости жидкой частицы в отличие от скорости твердой состоит в общем случае из трех компонентов: наряду с переносной и относительной скоростью жидкой частице свойственна скорость деформации. Метод Лагранжа оказался громоздким и не получил широкого распространения.

По методу Эйлера рассматривают скорость жидкости в фиксированных точках пространства; при этом скорость и давление жидкости представляют как функции координат пространства и времени, а поток оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным произвольным точкам пространства. В поле скоростей могут быть построены лини тока, которые в данный момент времени являются касательными к вектору скорости жидкости в каждой точке пространства. Уравнения линии тока имеют вид

где проекции скорости на соответствующие оси координат отнесены к проекциям приращения линии тока. Таким образом, согласно Эйлеру поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства, что упрощает решение задач.

В кинематике и динамике рассматривается струйчатая модель движения жидкости, при которой поток представляется состоящим из отдельных элементарных струек. При этом элементарная струйка представляется как часть потока жидкости внутри трубки тока, образованной линиями тока, проходящими через бесконечно малое сечение. Площадь сечения трубки тока, перпендикулярную линиям тока, называют живым сечением элементарной струйки.

При установившемся движении элементарные струйки не меняют своих очертаний в пространстве. Потоки жидкости в общем случае являются трехмерными, или объемными. Более простыми являются двухмерные плоские потоки и одномерные осевые. В гидравлике преимущественно рассматриваются одномерные потоки.

Объем жидкости , проходящей через живое сечение в единицу времени , называют расходом

Скоростью жидкости в точке является отношение расхода элементарной струйки проходящей через данную точку, к живому сечению струйки dS

Для потока жидкости скорости частиц по живому сечению различны. В этом случае скорость жидкости усредняют, и все задачи решают относительно средней скорости. Это правило одно из основных в гидравлике. Расход потока через сечение

и средняя скорость

Длина контура живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничивающими его стенками канала (трубы), называется смоченным периметром. При напорном движении смоченный периметр равен полному периметру живого сечения, а при безнапорном движении смоченный периметр меньше геометрического периметра сечения канала, так как в нем имеется свободная поверхность, не соприкасающаяся со стенками (рис. 15).

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

называют гидравлическим радиусом R.

Например, при напорном движении в круглой трубе геометрический радиус , смоченный периметр , а гидравлический радиус . Значение часто называют эквивалентным диаметром d экв.

Для канала прямоугольного сечения при напорном движении ; .

Рис. 15. элементы гидравлического потока

Рис. 16. К выводу уравнения неразрывности потока

В случае безнапорного движения

здесь размеры поперечного сечения канала (см. рис. 15). Основное уравнение кинематики жидкости уравнение не разрывности, которое вытекает из условий несжимаемости, жидкости и сплошности движения, гласит, что в каждый момент времени расход через произвольное сечение потока равен расходу через любое другое живое сечение этого потока

Представляя расход через сечение в форме

получим из уравнения неразрывности

из которого следует, что скорости потока пропорциональны площадям живых сечений (рис. 16).

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить с помощью уравнения покоя (2.3), если согласно началу Даламбера ввести в эти уравнения силы инерции, отнесенные к массе движущейся жидкости. Скорость жидкости является функцией координат и времени ; ее ускорение состоит из трех компонентов, являющихся производными проекций на координатные оси,

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

Переход к реальной жидкости в уравнении (3.7) требует учета сил трения, отнесенных к единице массы жидкости, что приводит к уравнениям Навье-Стокса. Ввиду сложности эти уравнения редко применяются в технической гидравлике. Уравнение (3.7) позволит получить одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости (рис. 17). Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скорости , элемент длиной и площадью . Выделенный элемент будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента , его ускорение

Применив к выделенному элементу весом уравнение динамики в проекции на траекторию его движения, получим

Учтя, что и что при установившемся движении , а также принимая, что , получим после интегрирования деления на

Pиc. 17. К выводу уравнения Бернулли

Рис. 18. Схема работы скоростной трубки

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Первый член уравнения выражает удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью сравнения , или ее геометрический напор (высоту), второй удельную энергию давления, или пьезoметрический напор, а член представляет собой удельную кинетическую энергию, или скоростной напор. Константа Н называется полным напором потока в рассматриваемом сечении. Сумма первых двух членов уравнения называется статическим напором

Члены уравнения Бернулли, поскольку они представляют собой энергию единицы веса жидкости, имеют размерность длины. Член есть геометрическая высота частички над плоскостью сравнения, член - пьезометрическая высота, член – скоростная высота, которая может быть определена с помощью скоростной трубки (трубки Пито), представляющей собой изогнутую трубку небольшого диаметра (рис. 18), которая устанавливается в потоке открытым нижним концом навстречу течению жидкости, верхний, тоже открытый конец трубки выводится наружу. Уровень жидкости в трубке устанавливается выше уровня R пьезометре на величину скоростной высоты

В практике технических измерений трубка Пито служит в качестве прибора для определения местной скорости жидкости. Измерив величину , находят скорость в рассматриваемой точке сечения потока

Уравнение (3.8) можно получить непосредственно путем интегрирования уравнений Эйлера (3.7) или следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании уравнения гидростатики (2.7) потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений и и . Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

В случае реальной жидкости полный напор в уравнении (3.8) для разных элементарных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как не одинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, ввиду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Отсюда, усредняя уравнения Бернулли для элементарной струйки на весь поток и учтя потерю напора на сопротивление движению, получим

где - коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного -2; - средняя скорость потока: - уменьшение удельной механической энергии отока на участке между сечениями 1 и 2, происходящее в результате сил внутреннего трения.

Заметим, что расчет дополнительного члена в уравнении Берулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнений Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости приведено на рис. 19

Pиc. 19. Диаграмма уравнения Бернулли

Линия A, которая проходит по уровням пьезoметрах, измеряющих в точках избыточное давление, называется пьезoметрической линией. Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора

Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.