Колебания, возникающие под действием внешних, периодически изменяющихся сил (при периодическом поступлении энергии извне к колебательной системе)

Превращение энергии

Пружинный маятник

Циклическая частота и период колебаний равны, соответственно:

Материальная точка, закрепленная на абсолютно упругой пружине

Ø график зависимости потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника от координаты х.

Ø качественные графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени.

Ø Вынужденные

Ø Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы

Ø Если Fbc изменяется по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими

Ø При автоколебаниях необходимо периодическое поступлении энергии от собственного источника внутри колебательной системы

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса

уравнения гармонических колебаний (законы движения точек) имеют вид

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса .
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

,
где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постояннаяφ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.
Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний . Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.
Период гармонических колебаний равен : T = 2π/.
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.
Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б).

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;

Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

Величину , показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой .

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

где - амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:

где - амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей

Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).

Рисунок 1.

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)

где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.

Уравнение вида:

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.

Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:

Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:

Напряжение на конденсаторе, можно найти как:

Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$

Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.

Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний

Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:

Рисунок 2.

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \

где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:

В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:

Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:

При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Пример 1

Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем:

Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:

где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:

Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]

В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:

Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:

Ответ: $I_0=12,56\ А.$

Пример 2

Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:

мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:

\ \

По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:

Вычислим емкость:

Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.
Свободными , или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити.

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса .

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний . Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен : T = 2π/ .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.

Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б).

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.

Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

Имеют математическое выражение. Их свойства характеризует совокупность тригонометрических уравнений, сложность которых определяется сложностью самого колебательного процесса, свойствами системы и средой, в которой они происходят, т.е., внешними факторами, воздействующими на колебательный процесс.

Например, в механике гармоническое колебание представляет собой движение, которому свойственны:

Прямолинейный характер;

Неравномерность;

Перемещение физического тела, которое происходит по синусоидальной или косинусоидальной траектории, а зависимости от времени.

Исходя из данных свойств, можно привести уравнение гармонических колебаний, которое имеет вид:

x = A cos ωt или же вид x = A sin ωt, где х - значение координаты, А - значение амплитуды колебания, ω - коэффициент.

Такое уравнение гармонических колебаний является основным для всех гармонических колебаний, которые рассматриваются в кинематике и механике.

Показатель ωt, который в данной формуле стоит под знаком тригонометрической функции, именуют фазой, и она определяет местоположение колеблющейся материальной точки в данный конкретный момент времени при заданной амплитуде. При рассмотрении циклических колебаний данный показатель равен 2л, он показывает количество в пределах временного цикла и обозначается w. В этом случае уравнение гармонических колебаний содержит его как показатель величины циклической (круговой) частоты.

Рассматриваемое нами уравнение гармонических колебаний, как уже отмечалось, может принимать различные виды, в зависимости от ряда факторов. Например, вот такой вариант. Чтобы рассмотреть свободных гармонических колебаний, следует учитывать то, что им всем свойственно затухание. В различных это явление проявляется по-разному: остановка движущегося тела, прекращение излучения в электрических системах. Простейшим примером, показывающим уменьшение колебательного потенциала, выступает его преобразование в тепловую энергию.

Рассматриваемое уравнение имеет вид: d²s/dt² + 2β х ds/dt + ω²s = 0. В этой формуле: s - значение колеблющейся величины, которая характеризует свойства той или иной системы, β - константа, показывающая коэффициент затухания, ω - циклическая частота.

Использование такой формулы позволяет подходить к описанию колебательных процессов в линейных системах с единой точки зрения, а также производить конструирование и моделирование колебательных процессов на научно-экспериментальном уровне.

К примеру, известно, что на заключительном этапе своего проявления уже перестают быть гармоническими, то есть категории частоты и периода для них становятся просто бессмысленными и в формуле не отражаются.

Классическим способом исследования гармонических колебаний выступает В простейшем виде он представляет систему, которую описывает такое дифференциальное уравнение гармонических колебаний: ds/dt + ω²s = 0. Но многообразие колебательных процессов естественным образом приводит к тому, что существует большое количество осцилляторов. Перечислим их основные типы:

Пружинный осциллятор - обычный груз, обладающий некой массой m, который подвешен на упругой пружине. Он совершает гармонического типа, которые описываются формулой F = - kx.

Физический осциллятор (маятник) - твердое тело, совершающее колебательные движения вокруг статичной оси под воздействием определенной силы;

- (в природе практически не встречается). Он представляет собой идеальную модель системы, включающей колеблющееся физическое тело, обладающее определенной массой, которое подвешено на жесткой невесомой нити.