Винтовое движение

Винтово"е движе"ние, движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения со скоростью v и вращательного движения с угловой скоростью w вокруг оси aa 1 , параллельной направлению скорости v (см. рис. ). Когда направление оси aa 1 остаётся неизменным, тело, совершающее В. д., в механике называется винтом, а ось aa 1 - осью винта. Винт называется правым, когда v и w направлены так, как показано на рис., и левым, если направление v или w изменить на прямо противоположное. Расстояние, проходимое за один оборот любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта, а величина р = v/ w - параметром винта.

Скорость v м и ускорение w м любой точки М винта, отстоящей от оси на расстоянии r , численно равны

где w - ускорение поступательного движения тела вдоль оси aa 1 , e - угловое ускорение вращения вокруг этой оси.

Если параметр р постоянен, шаг винта h = 2pv /w = 2pр также постоянен. Любая точка винта, не лежащая на его оси, описывает в этом случае винтовую линию, касательная к которой в каждой точке образует с плоскостью, перпендикулярной оси винта, угол

a = arctg h /2pr .

Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. При этом ось В. д., называемая мгновенной винтовой осью, непрерывно изменяет своё направление в пространстве и в самом движущемся теле.

Подробности Категория: Просмотров: 975

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ . Если движение неизменяемой системы (например, твердого тела) слагается из вращения около оси и поступательного движения вдоль этой оси, то такое движение тела называется винтовым движением; указанная ось называется винтовой осью, или осью вращения - скольжения. Если даны два произвольных положения движущегося в пространстве тела, то переход из положения I во II можно выполнить одним винтовым движением около определенно расположенной винтовой оси (теорема Шаля); при этом вращательное и поступательное движения могут выполняться или одновременно, или последовательно в любом порядке. Рассматривая все данное перемещение тела в пространстве как состоящее из бесконечно малых элементарных перемещений и применяя к каждому из них теорему Шаля, получаем следующее положение: всякое движение тела в пространстве представляет собой ряд бесконечно малых винтовых перемещений около мгновенных винтовых осей, в каждый момент меняющих свое положение и направление в пространстве.

Винтовые элементарные перемещения тела около каждой мгновенной оси являются движениями, эквивалентными бесконечно малым действительным перемещениям тела, и представляют их с точностью до бесконечно малых величии высших порядков. Законы винтового перемещения, эквивалентного какому-либо перемещению твердого тела, были установлены Моцци (Giulio Mozzi, 1768 г.). Сложение двух винтовых перемещений дает в результате также винтовое перемещение.

движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным.

Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x 1 y 1 z 1 , которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz .Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x 1 y 1 z 1 . Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным .

Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений).

Сложение поступательных движений твердого тела

Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v 1 , второе - переносным со скоростью v 2 (рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М

v a = v r + v e = v 1 + v 2 . (2.113)

Так как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.

Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае

Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным.

Замечание . Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей

.

Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).

Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).

Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом.

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим:

, ,

, .

Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6).

Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или ,

Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.

Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси укрепленной на платформе 2, а переносным - поступательное движение платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла а между векторами и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной (рис. 208).

Легко видеть, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси ) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси проходящей через полюс.

Вектор v можно заменить парой угловых скоростей (см. § 69), беря . При этом расстояние АР определится из равенства откуда (учитывая, что )

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси с угловой скоростью . Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (55) и (107), видим, что точка Р для сечения S тела является мгновенным центром скоростей Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей происходит с одной и той же угловой скоростью , т. е. что вращательная часть движения не зависит от выбора полюса (см. § 52).

2. Винтовое движение (). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось называют осью винта.

Когда векторы направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения о винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае , откуда

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно,

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63 (общий случай движения свободного твердого тела).

Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: направленную вдоль со перпендикулярную Скорость можно заменить парой угловых скоростей (как на рис. 208), после чего векторы можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107).