На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.
Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид
$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$
Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.
Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.
Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.
2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.
3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.
Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле
$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.
Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.
Используя формулу
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.
$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:
а) более 70 условных денежных единиц?
б) ниже 50 за акцию?
в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?
Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$
$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$
Нормальное распределение. Функция нормального распределения. Функция Лапласа. Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм. Распределения, связанные с нормальным: распределения Стьюдента, Пирса и Фишера. Характеристическая функция нормального распределения.
8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
8.1. Функция нормального распределения
Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение, объясняется тем, что суммы случайных величин с ростом числа слагаемых при довольно широких предположениях ведут себя асимптотически нормально (см. тему "Центральная предельная теорема").
Плотность функции нормального распределения имеет вид
Функция нормального распределения имеет вид
.
(8.2)
Однако часто вместо функции нормального распределения используется функция Лапласа.
Пусть a =0, =1, то получим
.
(8.3)
Такая функция называется стандартным нормальным распределением . Запишем данную функцию в следующем виде
.
Поскольку F 0 (+)=1, то в силу симметрии первое слагаемое равно 0,5, а второе слагаемое есть функция Лапласа
.
(8.4)
Таким образом,
.
Отсюда получаем равенство
,
(8.5)
связывающее функцию нормального распределения и функцию Лапласа.
Для стандартного нормального распределения и функции Лапласа существуют обширные таблицы. Однако здесь нужно иметь в виду, что иногда вместо рассмотренных функций используют функции
.
(8.6)
или интеграл ошибок
.
(8.7)
Замечание. Открытие нормального распределения связано с именами К. Гаусса и П. Лапласа , у которых оно впервые появилось связи с исследованием по теории ошибок и методу наименьших квадратов. Поэтому нормальное распределение называют еще распределением Лапласа-Гаусса , или просто распределением Гаусса или Лапласа .
Найдем математическое ожидание нормального распределения:
.
Вычислим дисперсию:
.
Таким образом,
M[X] = a , D[X] = 2 ,
т.е. нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: a , имеющему смысл математического ожидания, и , имеющему смысл среднего квадратичного отклонения.
Рис. 8.1
График плотности функции нормального распределения имеет следующий вид (кривая Гаусса ). Максимум будет при x=a , точки перегиба в точках a – и a +. Кривая симметрична относительно прямой x=a . С уменьшением кривая становится все более островершинной.8.2. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f(x ), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (,), имеет вид
.
В случае нормального распределения эта формула примет следующий вид
.
(8.8)
Часто
требуется вычислить вероятность того,
что отклонение случайной величины X
по абсолютной
величине меньше заданного положительного
числа
,
т.е. требуется
найти вероятность осуществления
неравенства |X–a
|<.
Заметим,
что неравенство равносильным ему двойным
неравенством a
–
.
Таким образом,
.
(8.9)
В частности, если , то
P(|X–a |<) = 2(1) = 0,6827;
если 2, то
P(|X–a |<2) = 2(2) = 0,9545;
если , то
P(|X–a |<3) = 2(3) = 0,9973.
Последнее равенство показывает, что во многих практических вопросах при рассмотрении нормального распределения можно пренебречь возможностью отклонения случайной величины от a больше, чем 3 Это есть т.н. правило "трех сигм" .
Например,
каждому кто занимался измерениями,
встречался с ситуацией, когда появляется
"дикое
значение"
.
В связи с этим возникает проблема:
исключать это значение или его следует
оставить. Так, при разработке норматива
времени для изготовления одной детали
проделали следующие измерения: 5,0;
4,8; 5,2; 5,3; 5,0; 6,1. Последнее
число сильно отличается от других. В
связи с этим возникает вопрос, не скрыта
ли здесь ошибка в измерениях. Вычислим
среднее значение
и среднее квадратичное отклонение
=0,46.
После этого
построим "трехсигмовый" интервал:
(4,84; 6,61). Поскольку значение x
=6,1
не выходит
за пределы трехсигмовой зоны, то его
нельзя считать "диким".
Другой
пример. На конвейере изготовляются
детали. На основании статистических
данных контроля деталей вычисляют
среднее квадратичное отклонение .
Затем
строят прямую средней линии, окаймленную
трехсигмовой полосой. Если точки
контрольных измерений находятся внутри
трехсигмовой полосы, то технологический
процесс следует считать стабильным и
качество продукции высоким. Если точки
близки к контрольным линиям, но не
выходят за пределы трехсигмовой зоны,
то это указывает на разладку технологического
процесса. Если же точки выходят за
пределы трехсигмовой зоны, то это
означает, что идет брак.
Пример 8.1. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика X от проектного по абсолютной величине не превышает 0,7 мм . Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратичным отклонением 0,4 мм , определить, сколько процентов годных шариков изготовляет автомат.
Решение. Поскольку =0,4 мм и =0,7 мм , то
Следовательно, автомат изготовляет 92% годных деталей.
8.3. Распределения, связанные с нормальным
8.3.1. Распределение Пирсона ( 2 -распределение)
Пусть независимые случайные величины U 1 , U 2 , …, U k описываются стандартным нормальным распределением: U i =N (0,1). Тогда распределение суммы квадратов этих величин
называется распределением 2 ("хи-квадрат" ) с k степенями свободы . В явном виде плотность функции этого распределения имеет вид
(8.11)
где
– гамма-функция;
в частности, (n
+1)=n
!.
Рис. 8.2
Распределение Пирсона определяется одним параметром – числом степеней свободы k . Графики этой функции изображены на рис. 8.2. Числовые характеристики распределения Пирсона:Если случайные величины 2 (k 1) и 2 (k 2) независимы, то
Отметим, что с увеличением числа степеней свободы распределение Пирсона постепенно приближается к нормальному.
8.3.2. Распределение Стьюдента (t-распределение)
Пусть U –стандартная нормально распределенная случайная величины, U =N (0,1), а 2 – случайная величина, имеющая 2 -распределение с k степенями свободы, причем U и 2 независимые величины. Тогда распределение величины
(8.12)
называется распределением Стьюдента (t- распределением ) с k степенями свободы . В явном виде плотность функции распределения Стьюдента имеет вид
Рис.
8.3
График этой функции изображен на рис. 8.3.
Числовые характеристики распределения Стьюдента:
Отметим, что с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
8.3.3. Распределение Фишера (F-распределение)
Пусть 2 (k 1) и 2 (k 2) – независимые случайные величины, имеющие 2 -распределение соответственно с k 1 и k 2 степенями свободы. Распределение величины
(8.14)
называется распределением Фишера (F- распределением ) со степенями свободы k 1 и k 2 . В явном виде плотность распределения Фишера имеет вид
(8.15)
График этой функции изображен на рис. 8.4.
Числовые характеристики распределения Фишера:
О
Рис.
8.4
8.4*. Характеристическая функция нормального распределения
Пусть случайная величина распределена по стандартному нормальному распределению. Тогда для характеристической функции получим
.
Делая замену y=x–it , получим
Из теории функций комплексной переменной известно, что
.
Поэтому
окончательно получаем
.
Как мы видели, если случайная величина распределена по стандартному нормальному закону, то случайная величина =t +m распределена но нормальному закону с параметрами m и . Тогда характеристические функции f (t ) и f (t ) связаны по свойству 2 соотношением
,
или, окончательно получаем, что характеристическая функция для нормального распределения имеет вид
.
(8.16)
Краткая теория
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:
где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .
Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :
где – функция Лапласа :
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :
В частности, при справедливо равенство:
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .
Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:
Пример решения задачи
На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?
Решение:
Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :
Получаем:
Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину .
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса ) с параметрами а и σ 2 , если ее плотность вероятности f (x ) имеет вид :
| . | (6.19) |
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой . На рис. 6.5 а), б) показана нормальная кривая с параметрами а и σ 2 и график функции распределения.
Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х
= а
, имеет максимум в точке х
= а
, равный , и две точки перегиба х
= а
σ
с ординатами .
Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры распределения обозначены буквами а и σ 2 , которыми мы обозначали математическое ожидание и дисперсию. Такое совпадение не случайно. Рассмотрим теорему, которая устанавливает теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру a этого распределения , т.е.
| М (Х ) = а , | (6.20) |
а ее дисперсия – параметру σ 2 , т.е.
| D (X ) = σ 2 . | (6.21) |
Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и σ .
Если σ = const, и меняется параметр a (а 1 < а 2 < а 3), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 6.6).
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Если а = const и меняется параметр σ , то меняется ордината максимума кривой f max (a ) = . При увеличении σ ордината максимума уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении σ , напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 6.7).
Таким образом, параметр a характеризует положение, а параметр σ – форму нормальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0 и σ = 1 называется стандартным или нормированным , а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной .
Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, связана с тем, что интеграл от функции нормального распределения не выражается через элементарные функции. Однако его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или . Такую функцию называют функцией Лапласа , для нее составлены таблицы. Существует много разновидностей такой функции, например:
, 
.
Мы будем использовать функцию
Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
1. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [α , β ] равна
Вычислим по этой формуле вероятности при различных значениях δ (используя таблицу значений функции Лапласа):
при δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;
при δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;
при δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.
Отсюда вытекает так называемое «правило трех сигм »:
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a – 3σ ; a + 3σ ).
Пример 6.3. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами а = 173 и σ 2 = 36, найти:
1. Выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х ;
2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 183 см) и долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;
3. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х .
1. Находим плотность вероятности
и функцию распределения случайной величины Х
= .
2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см) находим как вероятность
Р
(176 ≤ Х
≤ 182) = 
= Ф(1,5) – Ф(0,5).
По таблице значений функции Лапласа (Приложение 2 ) находим:
Ф(1,5) = 0,4332, Ф(0,5) = 0,1915.
Окончательно получаем
Р (176 ≤ Х ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.
Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно найти аналогично. Однако проще это сделать, если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = 173, т.е. неравенство 170 ≤ Х ≤ 176 равносильно неравенству │Х – 173│≤ 3. Тогда
Р (170 ≤Х ≤176) = Р (│Х – 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.
3. Сформулируем «правило трех сигм» для случайной величины Х:
Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3σ = 173 – 3·6 = 155 до а + 3σ = 173 + 3·6 = 191, т.е. 155 ≤ Х ≤ 191. ◄
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Как уже говорилось при изучении случайных величин, невозможно заранее предсказать, какое значение примет случайная величина в результате единичного испытания – это зависит от многих причин, учесть которые невозможно.
Однако при многократном повторении испытаний характер поведения суммы случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Наличие закономерностей связано именно с массовостью явлений, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Суть устойчивости массовых явлений сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.
Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.
Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин.
Различные формы закона больших чисел с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.
Нормальное распределение (normal distribution ) - играет важную роль в анализе данных.
Иногда вместо термина нормальное распределение употребляют термин гауссовское распределение в честь К. Гаусса (более старые термины, практически не употребляемые в настоящее время: закон Гаусса, Гаусса-Лапласа распределение).
Одномерное нормальное распределение
Нормальное распределение имеет плотность::
В этой формуле , фиксированные параметры, - среднее , - стандартное отклонение .
Графики плотности при различных параметрах приведены .
Характеристическая функция нормального распределения имеет вид:
Дифференцируя характеристическую функцию и полагая t = 0 , получаем моменты любого порядка.
Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно и имеет в этой точке единственный максимум, равный
Параметр стандартного отклонения меняется в пределах от 0 до ∞.
Среднее меняется в пределах от -∞ до +∞.
При увеличении параметра кривая растекается вдоль оси х , при стремлении к 0 сжимается вокруг среднего значения (параметр характеризует разброс, рассеяние).
При изменении кривая сдвигается вдоль оси х (см. графики).
Варьируя параметры и , мы получаем разнообразные модели случайных величин, возникающие в телефонии.
Типичное применение нормального закона в анализе, например, телекоммуникационных данных - моделирование сигналов, описание шумов, помех, ошибок, трафика.
Графики одномерного нормального распределения
Рисунок 1. График плотности нормального распределения: среднее равно 0, стандартное отклонение 1
Рисунок 2. График плотности стандартного нормального распределения с областями, содержащими 68% и 95% всех наблюдений
Рисунок 3. Графики плотностей нормальных распределений c нулевым средним и разными отклонениями (=0.5, =1, =2)
Рисунок 4 Графики двух нормальных распределений N(-2,2) и N(3,2).
Заметьте, центр распределения сдвинулся при изменении параметра .
Замечание
В программе STATISTICA под обозначением N(3,2) понимается нормальный или гауссов закон с параметрами: среднее = 3 и стандартное отклонение =2.
В литературе иногда второй параметр трактуется как дисперсия , т.е. квадрат стандартного отклонения.
Вычисления процентных точек нормального распределения с помощью вероятностного калькулятора STATISTICA
С помощью вероятностного калькулятора STATISTICA можно вычислить различные характеристики распределений, не прибегая к громоздким таблицам, используемым в старых книгах.
Шаг 1. Запускаем Анализ / Вероятностный калькулятор / Распределения .
В разделе распределения выберем нормальное .
Рисунок 5. Запуск калькулятора вероятностных распределений
Шаг 2. Указываем интересующие нас параметры.
Например, мы хотим вычислить 95% квантиль нормального распределения со средним 0 и стандартным отклонением 1.
Укажем эти параметры в полях калькулятора (см. поля калькулятора среднее и стандартное отклонение).
Введем параметр p=0,95.
Галочка «Обратная ф.р». отобразится автоматически. Поставим галочку «График».
Нажмем кнопку «Вычислить» в правом верхнем углу.
Рисунок 6. Настройка параметров
Шаг 3. В поле Z получаем результат: значение квантиля равно 1,64 (см. следующее окно).
Рисунок 7. Просмотр результата работы калькулятора
Рисунок 8. Графики плотности и функции распределения. Прямая x=1,644485
Рисунок 9. Графики функции нормального распределения. Вертикальные пунктирные прямые- x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0
Рисунок 10. Графики функции нормального распределения. Вертикальные пунктирные прямые- x=0.5, x=1, x=1.5, x=2
Оценка параметров нормального распределения
Значения нормального распределения можно вычислить с помощью интерактивного калькулятора .
Двумерное нормальное распределение
Одномерное нормальное распределение естественно обобщается на двумерное нормальное распределение.
Например, если вы рассматриваете сигнал только в одной точке, то вам достаточно одномерного распределения, в двух точках - двумерного, в трех точках - трехмерного и т.д.
Общая формула для двумерного нормального распределения имеет вид:
Где - парная корреляция между X 1 и X 2 ;
X 1 соответственно;
Среднее и стандартное отклонение переменной X 2 соответственно.
Если случайные величины Х 1 и Х 2 независимы, то корреляция равна 0, = 0, соответственно средний член в экспоненте зануляется, и мы имеем:
f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)
Для независимых величин двумерная плотность распадается в произведение двух одномерных плотностей.
Графики плотности двумерного нормального распределения
Рисунок 11. График плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор средних, единичная ковариационная матрица)
Рисунок 12. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения плоскостью z=0.05
Рисунок 13. График плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и 0.5 на побочной)
Рисунок 14. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и 0.5 на побочной) плоскостью z= 0.05
Рисунок 15. График плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и -0.5 на побочной)
Рисунок 16. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и -0.5 на побочной) плоскостью z=0.05
Рисунок 17. Сечения графиков плотностей двумерного нормального распределения плоскостью z=0.05
Для лучшего понимания двумерного нормального распределения попробуйте решить следующую задачу.
Задача. Посмотрите на график двумерного нормального распределения. Подумайте, можно ли его представить, как вращение графика одномерного нормального распределения? Когда нужно применить прием деформации?