При изучении высказывательных форм (предикатов) был указан один из способов получения высказываний: подстановка какого-нибудь значения переменной в Р(х) из некоторого множества А. Например,

Р(х):” х - простое число”. Подставив х = 7, получим высказывание

“ 7 - простое число”. Мы познакомимся ещё с двумя логическими операциями: навешивание квантора общности и квантора существования, которые позволяют получить из высказывательных форм высказывания.

Подставим перед высказывательной формой Р(х) слово “любое”: “ любое х - простое число”. Получили ложное высказывание. Подставим перед Р(х) слово “некоторые”: “ некоторые числа х - простые”. Получили истинное высказывание.

В математике слова “любые”, “некоторые” и их синонимы называются кванторами, которые соответственно называются квантор общности (") и квантор существования ($). Квантор общности заменяется в словесных формулировках словами: любой, все, каждый, всякий и т.д. Квантор существования в словесной формулировке заменяется словами: существует, хотя бы один, какой-нибудь найдётся и т.д.

Пусть Р(х) - высказывательная форма на М. Запись

("хÎМ) Р(х)

означает: для любого элемента х (из множества М) имеет место Р(х), что уже представляет собой высказывание. Чтобы доказать, что высказывание ("х)Р(х) - истинно, надо перебрать все элементы а, b, с и т.д. из М и убедиться, что Р(а), Р(b), Р(с),... истинны, и, если невозможно перебрать элементы М, должны доказать с помощью рассуждений, что для любого а из М высказывание Р(а) истинно. Чтобы убедиться, что ("х)Р(х) ложно, достаточно найти лишь один элемент аÎМ, для которого Р(а) ложно.

ПРИМЕР . Дана высказывательная форма

В(х):” - простое число”.

В(1): 2 2 + 1 = 5 - простое число;

В(2): = 17 - простое число;

В(3): = 257 - простое число;

В(4): = 65537 - простое число.

Можно ли сказать, что ("х)В(х) ? Это необходимо доказывать. Леонард Эйлер доказал, что В(5) - ложно, т.е. + 1 = 2 32 + 1 делится на 641 и, следовательно, ("х)В(х) - ложно.

ПРИМЕР . Рассмотрим высказывание ("х)С(х), где на N задано С(х): “х 3 + 5х делится на 6”.

Очевидно, С(1), С(2), С(3), С(4) истинны. Но если мы проверим даже миллион значений х всегда есть опасность, что для миллион первого значения х утверждение С(х) окажется ложным.

Доказать можно, например, так:

х 3 + 5х = х 3 - х + 6х = х(х 2 - 1) + 6х = (х - 1)х(х + 1) + 6х

Выражение (х - 1)х(х + 1) делится на 3, так как из трех последовательных натуральных чисел по крайней мере одно делится на 3; это выражение делится и на 2, так как из трех последовательных чисел одно или два числа чётны. Второе слагаемое 6х делится на 6, следовательно и вся сумма делится на 6, т.е. ("х)С(х) - истинно.

Пусть С(х) некоторая высказывательная форма. Запись

означает: существует элемент х из множества М, для которого имеет место С(х). ($х)С(х) уже высказывание. Если во множестве М можно найти элемент а, для которого С(а) истинно, то высказывание($х)С(х) - истинно. Если же в М нет ни одного элемента а, для которого С(а) истинно, высказывание ($х)С(х) - ложно.

ПРИМЕР . На множествеN задано С(х):” ”. С(1) - ложно, С(2) - ложно, С(5) - истинно. Следовательно, ($х)С(х) - истинное высказывание.

ПРИМЕР . На множестве N задано К(х):” х 2 + 2х + 3 делится на 7”. К(1) = 6, 6 не делится на 7; К(2) = 11, 11 не делится на 7 и т.д.

Гипотеза: ($х)К(х) - ложно.

Докажем это. Любое натуральное число по теореме о делении с остатком можно представить в виде n = 7q + r, где r < 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Итак, число n 2 + 2n + 3 делится на 7 тогда и только тогда, когда r 2 + 2r + 3 делится на 7. Остаток r Î { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Методом перебора убедимся, что r 2 + 2r + 3 не делится на 7. Итак, ($х)К(х) - ложно.

Как построить отрицание высказывания с квантором?

Для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором, нужно заменить квантор общности (") на квантор существования ($) и, наоборот, квантор существования на квантор общности, а предложение, стоящее после квантора, на его отрицание, т.е.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Например, пусть даны два высказывания:

А: “каждое простое число нечётно”;

В: “ каждое простое число чётно”.

Будет ли В отрицанием высказывания А? Нет, так как ни одно из высказываний не является истинным. В данном случае

А: “не каждое простое число нечётно, т.е. существует чётное простое число” - истинное высказывание.

В дальнейшем считаем, что построено отрицание предложения, если не просто записано его отрицание, но и полученное предложение преобразовано к виду, где знаки отрицания стоят перед более простыми выражениями. Например, отрицанием предложения вида А Ù В будем считать не (А Ù В), а ему равносильное: А Ú В.

Пусть А(х,у) - высказывательная форма с двумя переменными.

Тогда ("х)А(х,у), ($х)А(х,у), ("х)А(х,у), ($х)А(х,у) тоже высказывательные формы но уже с одной переменной. В этом случае говорят, что квантор связывает одну переменную. Чтобы получить из высказывательной формы А(х,у) высказывание необходимо связать обе переменные. Например, ("х)($у)А(х,у) - высказывание.

Для высказывательной формы Р(х,у): “ x < y”, заданной на Z , рассмотрим все случаи получения высказывания путем добавления (навешивания) кванторов:

1) ("х)("у)Р(х,у) Û л - “ Для всякого х и для всякого у х < y”;

2) ("у)("х)(х < y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x < y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($у)($х) (х < y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("х)($у) (x < y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($у)("х) (x < y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("у)($х) (х < y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($х)("у) (x < y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Обратите внимание на высказывания (1) и (2), (3) и (4). Структуры этих высказываний отличаются лишь порядком следования одноименных кванторов, но при этом не меняются смысл и значения истинности высказываний.

Высказывания (5) и (6), (7) и (8) отличаются порядком следования разноимённых кванторов, что приводит к изменению смысла и, возможно, значения истинности высказывания. Высказывание (7) утверждает о наличии в Z наименьшего числа, что ложно. (8) утверждает об отсутствии такого, что истинно.

Теоретические вопросы:

1. Понятие предиката от одного, нескольких переменных.

2. Примеры одноместных и двуместных предикатов. 3. Область истинности предиката.

4. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Операции над предикатами. Какова область истинности ; ; ; ? Дать геометрические интерпретации.

5. Преобразование формул логики предикатов. Определение тождественно истинного и тождественно ложного предиката, связь с областью истинности. Основные равносильности.

Упражнения

5.1. Укажите несколько значений переменных, при которых следующие предикаты истинны, ложны:

1. х 2 , х Î N; 9. = - x, x Î R;

2. х < 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xÎZ; 11. sin x = - , xÎ R;

4. x + 3x +6 = 0 , x Î R; 12. cos x = , x ÎR;

5. = 0, xÎR; 13. x ³ y , x,y Î R;

6. | x - 5 | < 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x Î R; 15. x (y - 1) = 0, x,yÎR;

8. = x, x Î R; 16. x + y =4, x, y ÎR.

5.2. Найдите область истинности предикатов упражнения 5.1. Случаи 13 - 16 изобразите на координатной плоскости.

5.3.

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 | < 7;

3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.

5.4. Найдите область истинности предикатов:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 > 3 - 0,5 x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - + x < 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1) < 0) Ù (x + 4x + 6 > x (x - 5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10) < 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1 < 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );

Предика́т (лат. praedicatum - заявленное, упомянутое, сказанное) - любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.

Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.

Выражения: х > 5, x > y – предикаты.

Предика́т (n -местный, или n -арный) - это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если n -ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат - один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым , если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д

Ква́нтор - общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Примеры

Обозначим P (x ) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

любое натуральное число кратно 5;

каждое натуральное число кратно 5;

все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

существуют натуральные числа, кратные 5;

найдётся натуральное число, кратное 5;

хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

.Введение в понятие

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х - нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 - простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющееся нечётным» (например, х=3).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

Высказывание означает, что область значений переменной x включена в область истинности предиката P (x ).

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

Высказывание означает, что область истинности предиката P (x ) непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Вопрос31 Граф и его элементы. Основные понятия. Инцидентность, кратность, петля, смежность. Типы графов. Маршрут в графе и его длина. Классификация маршрутов. Матрицы смежности ориентированного и неориентированного графов.

В математической теории графов и информатике граф - это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи - как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин v i , для которой все пары (v i ,v i + 1) являются (ориентированными) рёбрами.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер . Заметим, что если вершины u и v являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u ,v ,u ) является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.

Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл .

Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Петля - элементарный цикл.

Граф или неориентированный граф G - это упорядоченная пара G : = (V ,E

V

E это множество пар (в случае неориентированного графа - неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

V (а значит и E , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов . Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | - порядком, число рёбер | E | - размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = {u ,v }. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = {v ,v }.

Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G - это упорядоченная пара G : = (V ,A ), для которой выполнены следующие условия:

V это непустое множество вершин или узлов,

A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга - это упорядоченная пара вершин (v, w) , где вершину v называют началом, а w - концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины v к вершине w .

Смешанный граф

Смешанный граф G - это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые - неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G : = (V ,E ,A ), где V , E и A определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы(?)

Граф G называется изоморфным графу H , если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H , обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B , то в графе H f (A ) в вершину f (B ) и наоборот - если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B , то в графе G должно быть ребро из вершины f − 1 (A ) в вершину f − 1 (B ). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n ) - это квадратная матрица A размера n , в которой значение элемента a ij равно числу рёбер из i -й вершины графа в j -ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i -й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i -й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.

Функция - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения ) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений ).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x 2 , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека - его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Способы задания функции

Аналитический способ

Функция математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко,человек), (самолет,паровоз), (груша,квадрат), (стул,человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: где х пробегает множество вещественных чисел задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция как объект представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение как объект есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим "школьное" определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике)

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом . На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .

Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия . Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A , B , C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k , что следует из уравнения гиперболы: xy = k .

Основные характеристики и свойства гиперболы:

x 0, область значений: y 0 ;

Функция монотонная (убывающая) при x < 0и при x > 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0);

Функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - OY , которая называется осью параболы .Точка O вершиной параболы .

Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY , которая называется осью параболы .Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы .

График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2 , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D : D = b 2 – 4ac . Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R ), а область

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

Функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей.

Показательная функция. Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией .Аргумент x принимает любые действительные значения ; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа , так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = 3, y = 3 i и y = 3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х , т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R );

область значений: y > 0 ;

Функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция. Функция y = log a x , где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической . Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

Область определения функции: x > 0,а область значений:  < y +

(т.e. y R );

Это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

У функции есть один ноль: x = 1.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой .

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

Область определения:  < x + область значений: 1 y +1;

Эти функции периодические: их период 2 ;

Функции ограниченные (| y | , всюду непрерывные, не монотонные, но

имеющие так называемые интервалы монотонности , внутри которых они

ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20);

Функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел

«Тригонометрические уравнения»).

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ,

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности

(какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область

определения и область значений этих функций:

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x ; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

У обеих функций одна и та же область определения: 1 x +1 ;

их области значений:  /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x ;

(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);

Каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x ).

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные функции; их область определения:  x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

У обеих функций одна и та же область определения:  x + ;

их области значений:  /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x ;

Функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);

Только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);

функция y = arccot x нулей не имеет.

Композиция функций

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл "сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Рис.1.30.Сквозное отображение из в

Рассматриваемые вопросы
1. Кванторы.
2. Квантор всеобщности.
3. Квантор существования.
4. Понятие формулы логики предикатов. Значение формулы
логики предикатов.
5. Равносильные формулы логики предикатов.

Понятие квантора

Квантор - (от лат. quantum - сколько), логическая
операция, дающая количественную характеристику
области предметов, к которой относится выражение,
получаемое в результате её применения.
В обычном языке носителями таких характеристик
служат слова типа "все", "каждый", "некоторый",
"существует",
"имеется",
"любой",
"всякий",
"единственный", "несколько", "бесконечно много",
"конечное число", а также все количественные
числительные.

Операции для предиката

Для предикатов вводятся две новые по
сравнению с логикой высказываний операции:
квантор общности
квантор существования

Квантор общности

Пусть Р(x) – одноместный предикат, определенный на
предметном множестве М.
Универсальным высказыванием, соответствующим
предикату Р(x), называется высказывание:
«каждый элемент множества М удовлетворяет
предикату Р(x)»
или
«для всякого х выполняется предикат»
Это высказывание обозначается - (x)P(x)
Высказывание (x)P(x) считается истинным, если
предикат P(x) тождественно истинный, а ложным –
в противном случае.

Квантор общности

Символ x называется квантором
переменной х, его читают так:
«для всех х»
«для каждого х»
«для любого х»
общности по
Выражение (x)P(x) читается: «для всех х, Р(х)», или
«для каждого х, Р(х)».
Например, x(х=х) – это истинное универсальное
высказывание, а x(х>2) – ложное универсальное
высказывание.

конечном множестве {a1,a2,…am}, то:
P(x) P(a1) P(a2) ... P(am)

Квантор общности

Таким образом, квантор общности
можно понимать как оператор
конъюнкции по квантифицируемой
переменной.

Квантор существования

Экзистенциональным
высказыванием,
соответствующим
предикату
Р(x),
называется
высказывание «существует элемент множества М,
удовлетворяющий
предикату
Р(x)»,
которое
обозначается x P(x) и считается истинным, если
предикат Р(х) выполнимый, а ложным – в противном
случае.
Символ x называют квантором существования, а
выражение x, в котором этот квантор предшествует
переменной х, читают так:
«существует х такой, что…»
«для некоторого х, …»

Квантор существования

НАПРИМЕР
x(х>2) –истинное экзистенциональное высказывание
x(х=х+1) – ложное экзистенциональное высказывание.
Если Р(х)- одноместный предикат, определенный на
конечном множестве {a1,a2,…am}, то
P(x) P(a1) P(a2) ... P(am)

Квантор существования

Таким образом, квантор
существования можно понимать как
оператор дизъюнкции по
квантифицируемой переменной.

10. Примеры

Примеры записей формул и их словесные выражения:
x(x 2 1 (x 1)(x 1)) Для всех х выполняется предикат…
x(x 0)

неравенство...
x(x 0)
Для всех х, справедливо…..
y (5 y 5)
Существует y такой, что 5+y=5
y(y 2 y 1 0)
Для всех y выполняется предикат
y(y 2 y 1 0)
Существует y, что ….
x(x x)
Для некоторого х, справедливо
3
2

11. Формулы логики предикатов

В логике предикатов имеется следующая символика:
Символы p, q, r, …- переменные высказывания, принимающие
два значения: 1- истина, 0 – ложь.
Предметные переменные – x, y, z, …, которые пробегают
значения из некоторого множества М;
x0, y0, z0 – предметные константы, т. е. значения предметных
переменных.
P(·), Q(·), F(·), … - одноместные предикатные переменные;
Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.
P0(·), Q0(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.
Символы логических операций: , .
Символы кванторных операций: х, х.
Вспомогательные символы: скобки, запятые.

12. Формулы логики предикатов

Предметная переменная называется свободной, если она
не следует непосредственно за квантором и не входит в
область действия квантора по этой переменной, все другие
переменные,
входящие
в
формулу,
называются
связанными.
y z (P(x,y) P(y,z))
Формулой логики предикатов являются:
Каждая предикатная буква и предикатная буква со
следующими за ней в скобках предметными переменными.
Выражения вида F G, F G, G, F G, F G, (y)F,
(y)G, где F и G – формулы логики предикатов, переменная
у М.

13. Формулы логики предикатов

Каждое высказывание как переменное, так
постоянное, является формулой (элементарной).
и
Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная
или постоянный предикат, а x1, x2,…, xn– предметные
переменные или предметные постоянные (не
обязательно все различные), то F(x1, x2,…, xn) есть
формула. Такая формула называется элементарной, в
ней предметные переменные являются свободными, не
связанными кванторами.

14. Формулы логики предикатов

Если А и В – формулы, причем, такие, что одна и та же
предметная переменная не является в одной из них
связанной, а в другой – свободной, то слова A B,
A B, A B есть формулы. В этих формулах те
переменные, которые в исходных формулах были
свободны, являются свободными, а те, которые были
связанными, являются связанными.
Если А – формула, то A– формула, и характер
предметных переменных при переходе от формулы А к
формуле A не меняется.

15. Формулы логики предикатов

Если А(х) – формула, в которую предметная
переменная х входит свободно, то слова xA(x) и
xA(x) являются формулами, причем, предметная
переменная входит в них связанно.
Всякое слово, отличное от тех, которые названы
формулами в предыдущих пунктах, не является
формулой.

16. Формулы логики предикатов

Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и
двухместный предикаты, а q, r – переменные
высказывания, то формулами будут, выражения:
q, P(x), P(x) Q(x , y), xP(x) xQ(x, y), (Q(x, y) q) r
0
Не является формулой, например, слово: xQ(x, y) P(x)
Здесь нарушено условие п.3, так как формулу
xQ(x,y) переменная х входит связанно, а в формулу
Р(х) переменная х входит свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно, что
всякая формула алгебры высказываний является
формулой логики предикатов.

17. Интерпретация формулы предикатов

Интерпретацией формулы исчисления предикатов
называется конкретизация множеств, из которых
принимают значения предметные переменные и
конкретизация
отношений
и
соответствующих
множеств истинности для каждой предикатной буквы.

18. Формулы исчисления предикатов

тождественно
истинные при
любой
интерпретации,
т.е.
общезначимые
тождественно
ложные
при
любой
интерпретации,
т.е.
противоречивые
выполнимые
(формулы,
истинность
которых зависит
от
интерпретации)

19. Значение формулы логики предикатов

В качестве примера рассмотрим формулу
y z (P(x, y) P(y, z))
В формуле двухместный предикат Р(x, y) определен на
множестве MхM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е. MхM=NхN.
В формулу входит переменный предикат P(x,y), предметные
переменные x,y,z, две из которых y и z – связанные кванторами,
а x – свободная.
Возьмем
за
конкретное
значение
предиката
P(x,y)
фиксированный предикат P0(x,y): «x переменной х придадим значение x0=5 M.
Тогда при значениях y, меньших x0=5, предикат P0(x0,y)
принимает значение “ложь”, а импликация P(x,y) P(y,z) при
всех z M принимает значение “истина”, т.е. высказывание
имеет значение “истина”.

20. Равносильные формулы логики предикатов

Определение 1.

равносильными на области М, если они принимают
одинаковые логические значения при всех значениях входящих в
них переменных, отнесенных к области М.
Определение 2.
Две формулы логики предикатов А и В называются
равносильными, если они равносильны на всякой области.

21. Равносильные формулы логики предикатов

Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное
высказывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют
место следующие равносильности:

22. Равносильные формулы логики предикатов

Пример
Предикат Мать(x,y) означает, что x является матерью для y.
Тогда y xМать(x,y) означает, что у каждого человека есть
мать, - истинное утверждение.
x yМать(x,y) означает, что существует мать всех людей, что
является другим утверждением, истинность которого зависит от
множества значений, которые могут принимать y: если это
множество братьев и сестер, то оно истинно, а в противном
случае оно ложно.
Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и
существования может изменить смысл и значение выражения.

23. Законы логических операций (общезначимые формулы логики предикатов)

24. Упражнение

Найти отрицание следующих формул

25. Упражнение

и
Упражнение
Доказать равносильность
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
Пусть предикаты А(х) и В(х) тождественно ложны. Тогда будет
ложным и предикат A(x) B(x)
x(A(x) B(x))
При этом будут ложными высказывания
xA(x) xB(x)
Пусть хотя бы один из предикатов (например, А(х)) не
тождественно ложный. Тогда будет не тождественно ложным и
предикат A(x) B(x)
При этом будут истинными высказывания xA(x) x(A(x) B(x))
Значит, будут истинными и исходные формулы
Следовательно: x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)

26.

Самостоятельно
Для более подробного изучения материала
самостоятельно читаем:
УЧЕБНИК: «Математическая логика и теория
алгоритмов»,
автор Игошин В.И.
Страницы 157-164
Страницы 165-178
Страницы 178-183

27.

Домашнее задание
Доказать равносильность
C xA(x) x(C A(x))
Доказать что формула является общезначимой
A V (P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)
Доказать что формула является противоречивой
A x((F (x) F (x)) (F (x) F (x)))

Специфическая природа предикатов позволяет ввести над ними такие операции, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями. Имеются в виду две кванторные операции над предикатами.

Квантор общности

Для превращения одноместного предиката в высказывание нужно вместо его переменной подставить какой-нибудь конкретный предмет из области задания предиката. Имеется еще один способ для такого превращения – это применение к предикату операций связывания квантором общности или квантором существования. Каждая из этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.

Определение. называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору общности " является: «для любого», «для каждого», «для всякого» и т.п.

В выражении переменная х уже перестает быть переменной в обычном смысле этого слова, то есть вместо нее невозможно подставить какие бы то ни было конкретные значения. Говорят, что переменная х связанная .

Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = { a 1 , a 2 , …, a n } , то высказывание эквивалентно конъюнкции Р(а 1) Р(а 2) … Р(а n).

Пример 59 .

Пусть х определен на множестве людей М , а Р(х) – предикат «х – смертен» . Дать словесную формулировку предикатной формулы .

Решение.

Выражение означает «все люди смертны». Оно не зависит от переменной х , а характеризует всех людей в целом, т. е. выражает суждение относительно всех х множества М .

Определение. Операцией связывания квантором общности n-местному ( n , сопоставляется новый ( , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М 1 , тождественно истинен, и ложное в противном случае, то есть:

Квантор существования

Определение. называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое ложно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору существования $ является: «существует», «найдется» и т.п.

Подобно выражению , в выражении переменная х также перестает быть переменной в обычном смысле этого слова: это — связанная переменная .

Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = { a 1 , a 2 , …, a n } , то высказывание эквивалентно дизъюнкции Р(а 1) Р(а 2) … Р(а n).

Пример 60.

Пусть Р(х) – предикат «х – четное число» , определенный на множестве N . Дать словесную формулировку высказыванию , определить его истинность.

Решение.

Исходный предикат Р(х): «х – четное число» является переменным высказыванием: при подстановке конкретного числа вместо переменной х он превращается в простое высказывание, являющееся истинным или ложным, например,

при подстановке числа 5 – ложным, при подстановке числа 10 – истинным.

Высказывание означает «во множестве натуральных чисел N существует четное число». Поскольку множество N содержит четные числа, то высказывание истинно.

Определение. Операцией связывания квантором существования по переменной х 1 называется правило, по которому каждому n-местному (n 2) предикату Р(х 1 , х 2 , …, х n), определенному на множествах М 1 , М 2 , …, М n , сопоставляется новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , превращается в высказывание , ложное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М 1 , тождественно ложен, и истинное в противном случае, то есть:

Выше уже было сказано, что переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной . Выражение, на которое навешивается квантор, называется областью действия квантора и все вхождения переменной, на которую навешен квантор, в это выражение являются связанными. На многоместные предикаты можно на разные переменные навешивать различные кванторы, нельзя на одну и ту же переменную навешивать сразу два квантора.

Пример 61.

Пусть предикат Р(х, у) описывает отношение «х любит у» на множестве людей. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на обе переменные. Дать словесную интерпретацию полученных высказываний.

Решение.

Обозначим предикат «х любит у» через ЛЮБИТ(х, у) . Предложения, соответствующие различным вариантам навешивания кванторов, проиллюстрированы на рис. 2.3-2.8, где х и у показаны на разных множествах, что является условностью и предпринято только для объяснения смысла предложений (реальные множества переменных х и у , очевидно, должны совпадать):

— «для любого человека х существует человек у , которого он любит» или «всякий человек кого-нибудь любит» (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Иллюстрация к высказыванию «для любого человека х существует человек у , которого он любит» или «всякий человек кого-нибудь любит»

Кроме известных нам логических операций для предикатов вводятся две новые: операция навешивания кванторов существования и общности.

«для всех х » (для любого х , для каждого х ) называется квантором общности и обозначается х.

Высказывание «существует х » (для некоторых х , хотя бы для одного х, найдется такое х ) называется квантором существования и обозначается х.

Высказывание «существует одно и только одно х » (для единственного значения х ) называется квантором единственности : ! х.

Например: «Все кустарники являются растениями». Это высказывание содержит квантор общности («все»). Высказывание «существуют числа, кратные 5 » содержит квантор существования («существуют»).

Для того чтобы получить высказывание из многоместного предиката, надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р(х; у) - двухместный предикат, то (хХ) (уY) Р(х; у) - высказывание.

Если не каждая переменная связывается квантором, то получается не высказывание, а предикат, зависящий от той переменой, которая не связана квантором. Так, если перед предикатом Р(х; у) поставить квантор у, то получим предикат (уY) Р(х; у) , зависящий от переменной х.

Выясним, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) найдется такое х, что х+ у = 2;

b) для любых х и у имеет место равенство х + у = у + х.

Решение : Выявим логическую структуру данных предложений.

а) Предложение «Найдется такое х, что х + у = 2 » можно записать в виде (хR) х + у = 2. Так как квантором связана только переменная х, то рассматриваемое предложение с двумя переменными является предикатом.

b) Предложение «для любых х и у имеет место х + у = у + х » можно записать в виде: (хR) (уR) х + у = у + х, где обе переменные являются связанными. Следовательно, данное предложение является высказыванием.

Если какое-либо предметное переменное в формуле не связано квантором, то его называют свободным переменным.

Например: (х) ху=ух. Здесь переменное у не связано каким-либо квантором, поэтому оно свободно. От него не зависит истинность данного высказывания.

Кванторы (х) (х ) называются двойственными друг другу.

Одноименные кванторы можно менять местами, что не влияет на истинность высказывания.

Например: (у) (х) х + у = 5. Это утверждение имеет тот же смысл, что и (х) (у) х + у = 5.

Для разноименных кванторов изменение порядка может привести к изменению истинности высказывания.

Например: (х) (у) х<у , т.е. для всякого числа х существует большее число у - истинное высказывание.

Поменяем местами кванторы: (х) (у) x cуществует число у большее любого числа х - ложное высказывание.

В связи с введением кванторов необходимо учесть следующее:

1. Формула логики предикатов не может содержать одно и то же предметное переменное, которое было бы связано в одной части формулы и свободно в другой.

2. Одно и то же переменное не может находиться в области двойственных друг другу кванторов.

Нарушение этих условий называют коллизией переменных .

Как устанавливается значение истинности высказывания с квантором?

Для доказательства утверждения с квантором общности необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений х в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество Х конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество Х бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Высказывание (х) Р(х) ложно, если можно указать такое значение а Х , при котором Р(х) обращается в ложное высказывание Р(а). Поэтому, для опровержения высказывания с квантором общности достаточно привести пример.

Высказывание (х) Р(х) истинно, если можно указать такое значение а Х , при котором Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а) . Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования , достаточно привести пример и таким образом доказать.

Для того чтобы убедиться в ложности высказывания с квантором существования (х) Р(х), необходимо убедиться в ложности каждого Р(х ), Р(х ), …, Р(х ). Если множество Х конечно, то это можно сделать перебором. Если же множество Х бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Примеры .

1. Найти значение истинности «средичисел1, 2, 3, 4 найдется простое число».

Решение: Высказывание содержит квантор существования и поэтому может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний: «1 - простое число» или «2 - простое число» или «3 - простое число» или «4 - простое число». Для доказательства истинности дизъюнкции достаточно истинности хотя бы одного высказывания, например, «3 - простое число», которое истинно. Следовательно, истинно и исходное высказывание.

2. Докажем, что любой квадрат является прямоугольником.

Решение: Высказывание содержит квантор общности. Поэтому оно может быть представлено в виде конъюнкции: «квадрат - прямоугольник» и «квадрат - прямоугольник» и «квадрат - прямоугольник» и т.д. Так как все эти высказывания истинны, то истинна конъюнкция этих высказываний, следовательно, истинно и исходное предложение.

3. «Любой треугольник равнобедренный». Это ложное высказывание. Чтобы убедиться в этом, достаточно начертить треугольник, не являющийся равнобедренным.а

Для построения отрицания высказывания с кванторами надо:

1) квантор общности заменить квантором существования, а квантор существования - квантором общности;

2) предикат заменить его отрицанием.

Пример. Сформулируем отрицание для следующих высказываний:

а) все элементы множества Z четные; b) некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?».

Решение: а) Заменим квантор общности квантором существования, а высказывание его отрицанием: некоторые элементы множества Z нечетные.

b) Заменим квантор существования квантором общности, а выражение его отрицанием: все глаголы не отвечают на вопрос «что делать?».