Число а называется пределом последовательности (а n), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:

|a n – a| < ε.

В этом случае пишут: lim a n = a , или a n ->a при n->∞.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Для того, чтобы число а было пределом последовательности (а n), необходимо и достаточно, чтобы а n имело представление а n =а+α n , где (α n) - бесконечно малая последовательность.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Теоремы о пределах:

1. О пределе суммы: Если последовательность (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n + в n) также сходится и: lim (а n + в n) = lim а n + lim в n .

n ->∞ n ->∞ n ->∞

2. О пределе произведения: Если последовательности (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n ∙ в n) также сходится и:

lim (а n ∙ в n) = lim а n ∙ lim в n .

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim (са n) = с ∙ lim а n

n ->∞ n ->∞

3. Если последовательности (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n /в n) также сходится и: lim (а n / в n) = (lim а n)/ (lim в n).

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х по какому-либо правилу f поставлен в соответствие элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А задана функция f со значением из множества В, и пишут: f:А->В, или у=f (х).

Пусть задана функция у=f (х). Тогда х назыв. аргументом или независимой переменной, а у – значением функции или зависимой переменной.

Множество А называют областью определения функции, а множество всех у, поставленных в соответствие хотя бы одному х – множеством значений функции. Область определения функции называют также областью значений аргумента, или областью изменения независимой переменной..

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

2. Аналитический способ: при таком способе указывается область определения функции (множество А), и формулируется закон (задается формула), по которому каждому х сопоставляется соответствующий у.

3. Способ словесного описания.

4. Геометрический (графический) способ: задать функцию графически – значит изобразить ее график.

Практическая работа № 13

Задание числовых последовательностей различными способами, вычисление членов последовательности. Нахождение пределов последовательностей и функций

Цель: научиться записывать числовые последовательности различными способами, описывать их свойства; находить пределы последовательностей и функций.

Краткая теория

Функция у=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: у n =f(n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Рекуррентный способ. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (у n+1 у n) и убывающей, если ее члены убывают (у n+1 n).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .

Пусть – точка прямой, а – положительное число. Интервал называется окрестностью точки , а число − радиусом окрестности.

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу b при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число b называют пределом последовательности (у n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержат все члены последовательности, начиная с некоторого номера

Теорема 1 Если , , то:

Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Теорема 1 Если , , то:

Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

;

Предел произведения двух функций равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Предел отношения двух функций равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Функцию у=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции у=f(x) при стремлении x к a равен значению функции в точке х=а.

Первый замечательный предел: .

Практические задания для аудиторной работы

Задайте последовательность аналитически и найдите пять первых членов этой последовательности:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

2. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности (y n):

3. Является ли последовательность ограниченной?

4. Является ли последовательность убывающей или возрастающей?

5. Запишите окрестность точки a=-3 радиуса r=0,5 в виде интервала.

6. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (2,1;2,3).

7. Вычислите предел последовательности:

8. Вычислите:

Самостоятельная работа

Вариант 1

Часть А

Часть В

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 2

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 3

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 4

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Контрольные вопросы

Что называют числовой последовательностью?

Какими способами можно задавать числовую последовательность?

Какая последовательность называется ограниченной сверху?

Какая последовательность называется ограниченной снизу?

Какая последовательность называется возрастающей?

Какая последовательность называется убывающей?

Что называют пределом числовой последовательности?

Перечислите правила вычисления пределов последовательностей.

Перечислите правила вычисления пределов функций.

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ 127. Числовые последовательности и способы их задания. Конечныеи бесконечные последовательности.

Рассмотрим следующие три совокупности чисел:

Естественно считать, что каждое число в любой из этих совокупностей снабжено номером в соответствии с тем местом, которое оно занимает в этой совокупности. Например, во второй совокупности число 1 имеет номер 1, число - 1 / 2 номер 2, число 1 / 3 номер 3 и т. д.

Наоборот, какой бы номер мы ни указали, в каждой из этих совокупностей найдется число, снабженное этим номером. Например, номер 2 в первой последовательности имеет число 2, во второй - число - 1 / 2 , в третьей - число sin 2. Аналогично номер 10 имеют: в первой последовательности - число 10, во второй - число - 1 / 10 , в третьей - число sin 10 и т. д. Таким образом, в приведенных выше совокупностях каждое число имеет вполне определенный номер и полностью определяется этим номером.

Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п (п = 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью.

Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a 1 , второй a 2 , .... п -й член a n и т. д. Вся числовая последовательность обозначается

a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... или {a n }.

Задать числовую последовательность - это знанит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им места. Существует много различных способов задания числовых последовательностей. Ниже мы остановимся на некоторых из них.

1. Обычно числовая последовательность задается с помощью формулы, позволяющей по номеру члена последовательности определить этот член. Например, если известно, что при любом п

a n = n 2 ,

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9

и т. д. При a n = sin π / 2 п мы получим: a 1 = sin π / 2 = 1, a 2 = sin π = 0, a 3 = sin 3 π / 2 = - 1, a 4 = sin 2π = 0 и т. д.

Формула, позволяющая найти любой член числовой последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

2. Бывают случаи, когда последовательность задается посредством описания ее членов. Например, говорят, что последовательность

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

составлена из приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. В подобных случаях иногда вообще нельзя установить формулу общего члена; тем не менее последовательность оказывается полностью определенной.

3. Иногда указывается несколько первых членов последовательности, а все остальные члены определяются этими заданными членами по тому или иному правилу. Пусть, например,

a 1 = 1, a 2 = 1,

а каждый последующий член определяется как сумма двух предыдущих. Другими словами, при любом п > 3

a n = a n - 1 + a n - 2

Так определяется числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... члены которой носят название «чисел Фибоначчи» [по имени итальянского математика Леонарда Пизанского (около 1170-1250), которого называли также Фибоначчи, что означает «сын Боначчо»].Они обладают многими интересными свойствами, рассмотрение которых, однако, выходит за пределы нашей программы.

Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, - бесконечной последовательностью.

Например, последовательность всех четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... бесконечна, а последовательность однозначных четных положительных чисел 2, 4, 6, 8 конечна.

Упражнения

932. Написать 4 первых числа последовательности с общим членом:

933. Найти формулу общего члена для каждой из данных последовательностей:

а) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; . д) tg 45°, tg 22°30", tg 11°15", ... ;

б) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; е) 1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , 1 / 16 , ... ;

в) 3, -3, 3, -3, 3, ... ; ж) 1, 9, 25, 49, 81.....

г) 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , 1 / 81 , ....;

934. Является ли конечной последовательность всех положительных корней уравнения:

а) sin х = х - 1; б) tg х = х ; в) sin х = ах + b ?

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение .
Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:


.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем


.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице