Десятичные дроби и проценты (конспект урока). Организационный момент. Проверка д.з. Разные задачи на дроби и проценты

Команда I

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Среднее арифметическое

Команда II

Команда III

Команда I

Команда III

Команда II

Команда I

103 %
0,3 %
2,9 %

154 %
0,27 %
11,3 %

234 %
0,74 %
8,5 %

= 0,0027

= 0, 0074

Проверяем, каждый правильный ответ – это один балл, сумму баллов за это задание отмечаем в «таблице успехов»

Процент – это сотая часть числа

* = всего земельного

участка занимает картофель.

В книге 140 страниц. Тахир прочитал 0,8 этой книги. Сколько страниц прочитал Тахир?

В книге 140 страниц. Егор прочитал этой книги. Сколько страниц прочитал Егор?

(140 * = =28*4=112)

В книге 140 страниц. Владик прочитал 80 % этой книги. Сколько страниц прочитал Владик?

В первой задачи мы находили от 20, а во второй от.
Как можно назвать такие задачи?
Какое правило можно сформулировать для решения подобных задач?

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь

Команда III

Команда II

Команда I

Проверяем, каждый правильный ответ – это один балл, сумму баллов за это задание отмечаем в «таблице успехов»

У брата и сестры 90 марок. Сколько марок у сестры, если у брата 0,3 всех марок? (задача на 2 балла)
Масса овцы 86,5 кг. Масса одного ягненка составляет 0,2 массы овцы. Какова масса овцы с шестью одинаковыми ягнятами? (задача на 3 балла)

90 * 0,3=27 (марок) – у брата
90 – 27= 63 (марки) – у сестры

86,5 * 0,2=17,3 (кг) – вес одного ягненка
86,5+17,3*6= 190,3 (кг) – вес овцы и шести ягнят

По итогам выполнения четырех заданий необходимо посчитать среднее арифметическое и определить команду-победителя.
О чем шла речь сегодня на уроке?
С каким правилом мы познакомились? Попробуйте его сформулировать.
Что нам пришлось сегодня вспомнить?
Домашняя работа: стр.48, п.14 (правило), №496, №497, №508, № 514 (а)

Вспомним, что такое дробь. Дробь - это часть чего-то. Например, если у нас есть литр молока, то половина - это пол-литра, то есть (Рис. 1).

Рис. 1. Литр и пол-литра молока

Другой пример: если разделить торт на равных частей, то части - это торта (Рис. 2).

Рис. 2. торта

То есть числитель (то, что написано над чертой дроби) указывает на количество взятых частей, а знаменатель (то, что написано под чертой дроби) указывает, на сколько частей мы делили объект.

Мы уже говорили, что дроби - это условное понятие. Так как то, что выражается дробным числом, при другом подходе может быть выражено целым числом. Например, четверть метра ( метра) - это то же самое, что см. В жизни мы тоже один и тот же объект можем называть разными словами. Например, для кого-то данный человек Иван Иванович, а для другого - Ванечка, а для кого-то - главный бухгалтер (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

В математике тоже используют эквивалентные формы записи одного и того же объекта. Например, число можно представить (записать) разными способами (Рис. 4).

Рис. 4. Представления числа 12

Рассмотрим еще один пример. Пусть путь до школы составляет кварталов, тогда половина пути - квартала (при условии, что они одинаковые). С другой стороны, мы идем до школы минут, тогда половину пути мы пройдем за минут. Или путь можно посчитать в шагах, если путь до школы шагов, то половина пути - шагов (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

То есть . Мы одну и ту же вещь - половину пути - обозначили по-разному (эквивалентные записи). Каждая форма записи может быть удобной в определенной ситуации.

Предположим, нам необходимо сравнить успеваемость учеников двух школ. Мы знаем, что в первой - хорошист, а во второй - хорошистов, всего детей в первой школе - , а во второй - . Какая школа лучше? Во второй школе больше детей, которые учатся хорошо, но и детей в этой школе больше. Для решения этой задачи нужно сравнить и . Для этого, как мы знаем, нужно привести дроби к общему знаменателю, что при больших числах является трудоемкой задачей. А если представить, что сравниваются не две школы, а больше, то задача становится еще сложнее. Поэтому в таком случае удобно использовать десятичные дроби. Запишем дроби так:

Сравнение происходит намного легче. Ведь сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно. Сразу видно, что вторая школа лучше.

Теперь рассмотрим то, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, представим, что человека идут в поход и нужно поровну распределить между ними кг муки, то есть нужно разделить на .

Для этого мы можем перейти к другим единицам измерения, кг - это г. , в килограммах это приблизительно . То есть . Предположим, нужно было делить еще точнее, тогда мы могли представить кг в миллиграммах, мг. . В килограммах это приблизительно . . Так можно увеличивать точность расчетов сколько угодно. Эта идея заложена в общем алгоритме письменного деления чисел в столбик. Когда нам нужно поделить на , мы выполняем деление в столбик, если все разряды числа использованы, то мы продолжаем деление, дописывая нуль.

Основная идея десятичной дроби состоит в том, что это - удобная форма записи для дробей, знаменатели которых , , и т.д. В десятичной форме записи верно такое разложение: . После обобщения понятия степени вы узнаете, что , ; и т.д. Тогда можно будет любое число, записанное в десятичной форме, представить в виде суммы аналогично тому, как мы делали это для натуральных чисел. Например, .

Помимо облегчения выполнения сравнения, десятичные дроби имеют преимущество в арифметических операциях, так как на них можно обобщить существующие алгоритмы работы с натуральными числами, записанными в десятичной записи (сложение, умножение в столбик, деление в столбик и т.д.).

То есть десятичная запись - это некий стандарт в математике. Примером стандартизации может служить болт и гайка. Раньше каждая мастерская изготавливала болты и гайки разных размеров, что вызывало неудобство. Но потом ввели стандарты, и их использование значительно упростилось. Теперь в механизме могут использоваться только определенные болты и гайки. Так и в механизме счета пришли к удобному стандарту - десятичным дробям.

Для сотых частей вводится отдельное название - процент. - одна сотая. Вернемся к примеру со школами: соотношение количества хорошистов в первой школе к общему количеству детей - , а во второй - . В таком виде сравнение выполняется легко: . Но для сравнения нам бы хватило и меньшей точности. Обычно в таких случаях вычисления округляют до сотых: и . Эти сотые доли и называют процентами, - это , а - .

Так как один процент - это одна сотая, процентов - это сто сотых, то есть , все целое. Половина - . Наверное, каждый в жизни сталкивался с процентами, например, скидки в магазине . Проценты - это другое название одного из видов дробей. Например, можно сказать, что осталась четверть бака бензина, а можно сказать - . Можно обходиться и без процентов: так же, как и массу, измерять только в килограммах, но в зависимости от обстоятельств удобнее использовать другие единицы измерения массы - например, тонны.

То есть процент - это не принципиально новый объект. Это лишь другое название часто используемого нами объекта - дроби со знаменателем . Теперь, когда мы знаем, что процент - это сотая часть, научиться работать с процентами - это дело техники.

В математике важно разделять, какая часть понятийная (что нужно понимать), а какая - техническая (что нужно отработать, решая различные примеры). Если ты один раз прокатился на велосипеде, то это не значит, что ты уже умеешь кататься, но ты понял, как это делать. Так и в математике: после понимания должны следовать упражнения, на которых можно набить руку.

Примером такого упражнения на проценты является следующая задача .

Рост мальчика см, он вырос на . Рост его брата см, и он тоже вырос на . На сколько сантиметров изменился рот каждого?

В первом случае на см ( от ), а во втором на см ( от ).

Еще одно популярное упражнение .

Цена товара сначала увеличилась на , а затем уменьшилась на . Как изменилась цена?

Учитель: Решая задачи на проценты, вы выражали процент дробью. А так как проценты означают сотые доли, то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений.

Сейчас мы с вами поработаем в группах и решим несколько задач, связанных с темой нашего урока. Мы будем работать в группах по 4 человека. На группы мы делимся следующим образом: первая парта работает вместе со второй партой. Третья парта работает вместе с четвертой партой.

Я сейчас раздам вам задания из «Телешколы». Каждая группа выполнит по одному заданию. После этого мы проведем совместное обсуждение решенных вами задач. Один представитель от каждой группы у доски покажет нам решение задачи своей группы.

Работа в группах

Задание 1 группе

По электронному учебнику прочитайте, как представить процент в виде десятичной дроби. Разберите примеры выражения процентов десятичной дробью

Представление процента десятичной дробью

Рассмотрим пример, который поможет понять, как выразить проценты десятичной дробью.

Пример 1. В состав атмосферы Земли около её поверхности входят следующие газы: азот - 78%; кислород - 21%; 1% приходится на другие газы, среди которых наибольшую долю составляет аргон, и в очень небольших долях углекислый газ, водород и др.

Выразим долю каждого газа десятичной дробью.
Можно рассуждать следующим образом:
Азот: 78% - это
Кислород: 21% - это
Другие газы: 1% - это

Можно прийти к такому же результату, рассуждая несколько иначе:

1% - это одна сотая, или 0,01; значит, 78% - это 0,01 ⋅ 78 = 0,78, а 21% - это 0,01 ⋅ 21 = 0,21.

Из рассмотренного примера легко подметить, что выразить процент десятичной дробью можно коротким путём, не проводя приведённые выше рассуждения.

Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее перед знаком процента, умножить на 0,01, или, что одно и то же, разделить на 100.

Выразим десятичной дробью проценты в следующих предложениях:
1) На распродаже цена диска с компьютерной игрой составила 80% от прежней цены.

80% - это 80: 100 = 0,8, т. е. новая цена диска составила 0,8 его прежней цены.

2) Через год сумма денег на банковском счёте составила 120% от вложенной суммы.
120% - это 120: 100 = 1,2, т. е. сумма на счёте увеличилась в 1,2 раза.

3) Вес годовалого ребёнка составил 300% от его веса при рождении.
300% - это , т. е. вес годовалого ребёнка в 3 раза больше, чем новорождённого.

Задание 2 группе

В тексте учебника прочитайте, как перейти от десятичной дроби к процентам. Разберите пример с составом атмосферы Земли (задание из «Телешколы»)

Выражение дроби в процентах

Итак, чтобы перейти от процентов к десятичной дроби, надо число процентов разделить на 100. Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, надо выполнить обратную операцию.

Проиллюстрируем это на рассмотренном примере с составом атмосферы Земли.

Пример 2. Известно, что азот составляет 0,78 смеси газов, входящих в атмосферу. Выразим эту дробь в процентах.

Умножив 0,78 на 100, получим, что 0,78 - это 78%. Действительно,
а - это 1%, значит, - это 78%.

Таким образом,

Точно так же следует поступать и при переходе от других десятичных дробей к процентам:
0,08 - это 8% (так как 0,08 ⋅ 100 = 8);
0,6 - это 60% (так как 0,6 ⋅ 100 = 60);
1,2 - это 120% (так как 1,2 ⋅ 100 = 120).

Задание 3 группе

В тексте учебника прочитайте, как перейти от обыкновенной дроби к процентам. Разберите пример.

Чтобы выразить в процентах обыкновенную дробь, надо сначала превратить её в десятичную.А чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо эту дробь умножить на 100. Например:
значит, - это 40%;
значит, - это 64%;
значит, - это примерно 67%.

Задание 4 группе

Пользуясь текстом учебника или словарём понятий и терминов («Телешкола»), запишите в тетрадь для письменных работ, как выразить проценты десятичной дробью.
Запишите десятичной дробью 80%, 120%, 300%.
Чтобы выразить обыкновенную дробь в процентах, надо сначала превратить её в десятичную.

Запишите в тетрадь для письменных работ правило перехода от десятичной дроби к процентам. Выразите в процентах: 0,08; 0,6; 1,2;

Цели урока:

Проверить в игровой форме теоретические и практические навыки и умения по главе “Дроби и проценты”.
Активизировать мыслительную деятельность учащихся посредством участия каждого из них в игре.

Оборудование: открытки с заданиями, табло результатов, жетоны пяти цветов.

Ход урока

Класс разбивается на три команды (ряды), выбираются капитаны команд. Победит та команда, которая наберет больше очков, пройдя по всей трассе движения. Названия этапов гонки записаны на доске.

Каждый этап гонки оценивается жетоном:

белый – 1 балл,
желтый – 2 балла,
синий – 3 балла,
зеленый – 4 балла,
красный – 5 баллов.

Цвет выданного жетона зависит от количества правильных ответов.

1-й этап. Проверим трассу

Теоретический конкурс

Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Сформулируйте правила сложения и вычитания смешанных чисел.
Как умножить дробь на число, дробь на дробь?
Как разделить дробь на число, дробь на дробь?
Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример.
Как найти часть от числа и число по заданной его части?
Что называется процентом? Какие три основные задачи на проценты вы знаете?
Выразите дробью 20%; 25%; 50%; 75%.

2-й этап. Делаем ставки

Ваша задача: решая экономические вопросы, связанные с деньгами, прибылью, доходами, правильно решить задачу (по две задачи каждой команде).

I – команда

II – команда

В 1990 году владелиц садового участка взял в банке ссуду 400000 рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 8%. Какую сумму он должен был вернуть банку?
К вам в банк положили 5000 рублей под 10% годовых, какую сумму денег вы сможете отдать обратно через полгода.

III – команда

Средняя зарплата в России в середине 1993 года составляла 120000 рублей. К концу года она увеличилась на 50%. На сколько рублей увеличилась средняя зарплата.
Лиса купила у пчел 100 кг. Меда за 10000 рублей, а на рынке стала продавать его по 130 рублей за килограмм. Какой доход получит лиса, когда продаст весь мед?

3-й этап. Составим карту гонки.

Отгадай что зашифровано? (обязательно прорешать все пункты).