План

1. Векторное пространство .
2. Внутренняя точка множества.Открытое множество в пространстве
3. Свойства открытых множеств
4. Предельная точка множества. Замкнутые множества в пространстве
5. Свойства замкнутых множеств в пространстве

1. Векторное пространство . Понятие метрики. Свойства метрики

Пусть. Элементы пространства - это вектора, где. В пространстве введены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр, свойства которых рассматриваются в курсе алгебры и геометрии.

Определим норму вектора как функцию:

Функция нормы вектора удовлетворяет свойствам:

Определение 1 . Расстоянием в пространстве между векторами называется

Свойства расстояния:

1. і тогда и только тогда, когда;

Определение 2 . Пусть. Открытым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Пример . - это интервал (рис.1).

Пример . (рис.2).

Определение 3 . Пусть. Замкнутым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Определение 4 . Точка называется внутренней точкой этого множества, если существует такой открытый шар, который полностью находится во множестве.

Определение 5 . Множество называется открытым множеством, если каждая его точка является внутренней точкой.

Пример . Пустое множество и множество - открытые множества.

Пример . Доказать, что - открытое множество (рис.3).

Возьмем. Это означает, что. Обозначим. Рассмотрим открытый шар. Докажем, что. Для этого покажем, что одновременно принадлежит:

Таким образом, а это означает, что.

Определение 6 . Открытым параллелепипедом в называется множество точек, для которых выполняются неравенства:

Задание. Показать, что открытый параллелепипед является открытым множеством.

Теорема 1 . Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - открытые множества, . Покажем, что - открытое множество. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку каждое множество открыто, то для найдется открытый шар. Обозначим. Тогда

Таким образом, является для этого множества внутренней, а само множество - открытым.

Замечание . Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример . Рассмотрим бесконечную совокупность открытых множеств Для них. Множество, которое содержит одну точку, не является открытым.

Теорема 2 . Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - некоторое множество индексов. Пусть для множество является открытым. Рассмотрим. Покажем, что - открытое. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку - открытое множество, то, тогда, а это означает, что - открытое множество.

Доказательство .

1) Действительно, если точка а принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а , но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а является внутренней точкой объединения. Так как а – произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством.

2) Пусть теперь Х – пересечение конечного числа открытых множеств . Если а есть точка множества Х , то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда интервал будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е. будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х , т.е. множество Х является открытым.

Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством. Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?).

Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.

Так, точка является предельной точкой отрезка , так как в любом проколотом интервале точки есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много.

Легко доказать, что каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка , будут предельными точками для интервала (0, 1 ) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1 не принадлежат интервалу (0, 1). На данных примерах мы видим, что

предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.

Множество Х называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Так,всякий отрезок есть замкнутое множество . Интервал (0, 1) не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1 . Множество всех рациональных чисел Q не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число является предельной точкой множества Q (докажите!), но Q .

Так как каждая точка множества R является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество .

Всякое конечное множество является замкнутым, так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ , которое принадлежит самому множеству.

Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок , и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна

Доказательства теорем:

1) Теорема Кантора

Формулировка: Множество действительных чисел несчетно

Доказательство : Если бы множество всех действительных чисел было счетным, то т.к. любое бесконечное подмножество счетного множества счётно, то и любое его подмножество, в частности, любой отрезок, что противоречит тому, что любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.

2) Теорема о предельной точке

Формулировка: Если (.) p – это предельная точка X , то любая окрестность (.) p содержит бесконечно много точек множества X

Доказательство: предположим, что существует такая окрестность (.)p, которая содержит конечное число точек множества X.

q 1, q 2, …,q n – это точки множества NÇX

q i ¹p, i=1,2,…,n

Рассмотрим расстояние от (.)p до всех точек q i и выберем минимальное.

r=min r(p,q i)>0

Построим окрестность радиуса r с центром в точке p. Nr(p)=B(p,r). Построим окрестность (.)p радиуса q. Эта окрестность не содержит ни одной точки из X.

По определению, (.)p не может быть предельной точкой X. Противоречие.

3) Теорема об открытом множестве

Формулировка: Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто

Доказательство:

Необходимость: - замкнуто

Выберем (.)xÎX. Тогда, по определению, xÏ и x не является предельной точкой множества X. Значит, существует такая окрестность N (.)x, что NÇ=, NX, а значит, x-внутренняя точка множества X. Значит, множество X – открыто.

Достаточность: Пусть множество X – открыто и x – предельная точка , тогда каждая окрестность (.)x содержит некоторую точку из , которая не совпадает с самой точкой x. Это означает, что x не является внутренней точкой множества X и следовательно множество замкнуто.

4) Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств

Формулировка:

4-1. Для любого семейства { G a } открытых множеств G множество, которое является объединением всех G a будет открытым

4-2. Для любого семейства { F a } замкнутых множеств R , множество Ç всех F a будет замкнутым

4-3. Для любого конечного семейства { G 1, G 2 ,…, G n } Ç всех этих открытых множеств будет открытым

4-4. Для любого конечного семейства множеств { F 1, F 2,…, F n } объединение всех этих множеств будет замкнутым

Доказательство:

4-1. Обозначим G= и пусть (.) xÎ G. Это означает, что xÎG a для какого-то индекса a. Поскольку множество G a - открытое, значит (.)x –внутренняя точка множества G a . (.)x будет внутренней точкой множества G и значит, G – открыто.

По предыдущему доказательству, множества - открытые

Значит, - открыто

4-3. Пусть H=. Для любой (.)x из множества H существует окрестность N i радиуса r i такая, что эта окрестность Î некоторому множеству G i xÎH N i G i

Выберем из всех этих r i минимальный min r i =r и пусть окрестность N – окрестность (.)x радиуса r. Тогда NÎG i . А раз NG i , то NH

4.4. ()=

5) Принцип Архимеда

Формулировка: Каково бы ни было действительное число a , существует такое натуральное число n , что n > a

Доказательство: если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число a, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n<=a, т.е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда, согласно тому, что всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, у множества N существовала бы конечная верхняя грань:

b=sup N <+ (1)

Поскольку b-1b-1, т.е.

n+1>b, но n+1 – также натуральное число: n+1ÎN, поэтому неравенство (n+1>b) противоречит условию (1)

6) Теорема Коши-Кантора

Формулировка: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы, причем x = sup { a n }= inf { b n }

Доказательство: если точки xÎ, Î, n=1,2,…,

то ясно, что для всех номеров n выполняются неравенства

|-x|<=b n -a n , а следовательно, в силу условия (1) для любого e>0 справедливо неравенство

Поскольку e>0 – произвольное число, то возможно только тогда, когда e=. Это означает, что существует единственное число x, принадлежащее всем отрезкам

a n <=x<=b n , n=1,2,….

Из этих неравенств видно, что число x ограничивает сверху числа a n и снизу числа b n , поэтому, если a=sup{a n }, b=inf{b n }, то в силу определения верхней и нижней граней будут выполняться неравенства

a n <=a<=x<=b<=b n , n=1,2,…

Таким образом, числа a,b и x принадлежат всем отрезкам , а следовательно, они равны, и будет выполняться условие x=sup{a n }=inf{b n }

7) Теорема о сходящихся последовательностях

Формулировка: Пусть { p n } – последовательность в метрическом пространстве X

7.1. { p n } p , когда каждая окрестность (.) p содержит все члены последовательности p n за исключением конечного числа членов последовательности

7.2. Если p Î X , p ` Î X ` и последовательность p n p , p n p `, то p = p `

7.3. Если последовательность p n сходится, то она ограничена

§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k – открытые множества.

Докажем, что– открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению объединения множеств точка х о будет принадлежать хотя бы одному из множеств G k . Т.к. G k – открытые множества, то существует  - окрестность точки х о , которая полностью принадлежит множеству G k :

Получили, что любая точка х о  G – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество. 

Теорема 2 . Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.

Докажем, что
– открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению пересечения множеств х о принадлежать каждому из множеств G k . Т.к. множества G k открытые, то в любом множестве G k существует  k - окрестность точки х о : U ( x o ,  k )  G k . Множество чисел { 1 ,  2 ,…,  n } конечное, поэтому   = min { 1 ,  2 ,…,  n }. Тогда  - окрестность точки х о принадлежит каждой  k - окрестности точки х о :

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 

Замечание 1. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.

Пример 1 . Пусть в пространстве R где k = 1,2,…,n , ….

Теорема 3 . Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть F k – замкнутые множества.

Докажем, что множества
замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть множества F k – замкнутые.

Докажем, что множество
замкнутое, т.е., если х о F , то х о  F .

Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 2 . В пространстве R : F k =

Теорема 5 . Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – открытое множество.

Пример .3 . Е= , C R E =

Теорема 6 . Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – замкнутое множества.

Пример 4 . Е= (2,5), C R E =

§7. Последовательности точек метрического пространства

Определение 1 . Последовательностью точек метрического пространства (Х,  ) называется отображение f множества натуральных чисел N в множество Х : f : N X .

Значение этого отображения в точке n  N называется n -м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x n = f (n ). Последовательность будем обозначать (x n ) или (х 1 ,х 2 ,…, х n … ).

Пример 1. В пространстве R 2 : х n = (1 n , n + 1/ n ));

Пример 2 . В пространстве С : (х n = (1/ nx + n 2 x )) где a ,b не содержит 0.

Определение 2 . Пусть (x n Х,  ), (k 1 , k 2 ,…, k n ,… ) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (x kn ) называется подпоследовательностю последовательности (x n ).

Пример 3. Последовательность (1/ n 2 ) – подпоследовательность последовательности (1/ n ).

Определение 3 . Пусть (x n ) Х,  ), Последовательность (x n ) называется ограниченной , если существует замкнутый шар с центром а и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е.

.

Замечание 1 . Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.

Определение 4. Пусть (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ). Точка а  Х называетсяпределом последовательности (x n ) если:

  (   N  n   ( , n  N   x n , a   

или, что тоже самое, числовая последовательность ( x n , a )) - бесконечно малая (стремится к 0), при n  ,т.е.

и абазначаецца

по метрике  или
, при n  .

Если последовательность (x n ) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) сходится к точке а  Х , то а – предельная точка последовательности (x n ).

Обратное не всегда имеет место.

Замечание 2 . Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться

Пример 4. Последовательность (1/ n ) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х , ), где
 (x , y )= х  у , т.к. 0
.

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.

Теорема 1. Если (x n ) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х,  ), то её предел единственный.

 x n ,a  0 и
  x n ,b  0.

По аксиомам метрики 0   a , b     x n , a  +  x n , b . Переходим к пределу, при n  , Получим  a , b  = 0  a = b . 

Теорема 2 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) – сходящаяся, то она ограниченная.

Пусть
.

Теорема 3 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) сходится к точке а  Х , то любая её подпоследовательность сходится к а .

Пусть
– любая подпоследовательность последовательности (x n ). По условию . Это означает, что:      n      x n ,а    .

Т.к. k n  n , то для всех n > N верно k n > N и поэтому 
.

Таким образом мы доказали, что    n    , это означает, что
.

§8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых

метрических пространствах

Теорема 1 (о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. R m ). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R m

(х n = (х 1 ( n ) ,х 2 ( n ) ,…, х m ( n ) ) сходилась к точке а = (а 1 ,а 2 ,…, а m ) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х 1 ( n ) ), (х 2 ( n ) ),…, (х m ( n ) ) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а 1 ,а 2 ,…, а m , т.е.

,
,...,
(1)

Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (х n ) сходится к точке а покоординатно.

1. Пусть в м.пр. R m . (2)

Докажем, что выполняются равенства (1).

В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R m будем иметь:

 n     x n ,а  ,

где  - метрика метрического пространства R m :

x,y  R m .

2. Пусть выполняются равенства (1).

Докажем, что (2) в метрическом пространствеR m .

Пусть  - любое положительное число рассмотрим число
. Тогда

Пример 1 . Найти предел a = (a 1 , a 2 ) последовательности

в пространстве R 2 .

Таким образом, = (1/4;3).

Теорема 2 (Больцана-Вейерштрасса в м.пр. R m ). Из всякой ограниченной последовательности пространства R m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Чвстный случай этой теоремы для пространства R 1 был доказан на первом курсе.

Теорема 3 . Для того, чтобы последовательность (x n ) точек м.пр. С [ a , b ] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x n ) равномерно сходилась к х на [a , b ].

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

Известно, что фукциональная последовательность (x n ) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда

С учётом определения метрики в м.пр. С [a , b ] получаем равенство

(см. опр. 4 §7)
по метрике  в м.пр. С [a , b ]. 

Пример 2. x n (t ) = t n  t  ;  n  N . известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x n (t ) = t n равномерно сходится да предельной фукции x (t ) = 0. Таким образом  t  ; последовательность (x n ) сходится к функции х = 0 в м.пр. С .

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X ,  ), то существует последовательность (x n ), члены которой принадлежат Е и не равны а , причём (x n ), сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R .

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

 о (x , y ) =

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой
, то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1 . Последовательность (x n ) метрического пространства (Х,  ) называется фундаментальной, если

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространствеR любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х,  ) сходится в этом пространстве.

Пример 1 . В м.пр. Х = (Q ;  = х  у ) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е  X (е  I ).

Определение 2 . Метрическое пространство называется полным метрическим пространством , если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2 . Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R . Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3 . Докажем, что пространство R m - полное метрическое пространство.

Пусть последовательность(x n = x 1 (n ) , x 2 (n ) ,…, x m (n )) (1)

любая фундаментальная последовательность пространстваR m . Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R m .

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR m

0  N( ) N  p,n >N   (x p ,x n ) 

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x 1 ( n ) ), (x 2 ( n ) ),…, (x m ( n ) ), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Пусть

Рассмотрим точку а = (а 1 , а 2 , …, а m ). Т.к. а 1 , а 2 , …, а m  R , то а  R m . По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R m последовательность (x n ) сходится к а  R m . Это означает, что пространствоR m полное метрическое пространство. 

Пример 4 . Докажем, что метрическое пространство С [a , b ] является полным.

Пусть (x n ) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С [a , b ] , её члены – непрерывные на [a , b ] фукции.

Докажем, что последовательность (x n ) сходится в метрическом пространстве С [ a , b ] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a , b ].

По определению фундаментальной последовательности

Это означает, что  t  [a , b ] (фиксируем t ) фундаментальной является числовая последовательность (x n (t ) ). Значит она имеет предел, который обозначим через
для каждого фиксированного t  [a , b ].

Покажем, что предельная фукция x (t ) непрерывная на [a , b ]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m  . Получим

 x (t ) x n (t )   n>N  t  [a,b ].

Таким образом, мы доказали, что

0N N m,n > N  x (t ) x n (t )   t  [a,b ].

А это значит, что последовательность (x n ) равномерно сходится к фукции х на [a , b ]. Т.к. все члены последовательности (x n ) непрерывные на [a , b ] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С [ a , b ]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x n ) сходится к х . Значит пространствоС [ a , b ] – полное метрическое пространство. 

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохав ым пространство м .

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

R п с нормами
,
;

l 2 с нормой векторов x = (x n ) = (x 1 , x 2 , … )

C [a , b ] с нормой функций x (t )
.

А пространство C 1 [a , b ] с нормой не является баноховым.

Определение 2 . Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством .

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.

Информатики, 4 курс, 1-2 модуль) Определение метрического пространства (м.п.). Примеры . Открытые и замкнутые множества в м.п. Сходимость... линейные отображения нормированных пространств . Примеры . Нормированное пространство линейных отображений. Теорема...

Лекция № 3 Метрические пространства Открытые и замкнутые множества

Лекция

... пространств . Определение 4. Метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого пространства! ). Примеры . 9) В пространстве ...

К ИЗУЧЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Документ

Что получаем эквивалентное определение метрического пространства . 4. Докажите, что для произвольного метрического пространства áX, rñ эквивалентны утверждения... непрерывные отображения метрических пространств непрерывны. Покажите на примере , что...

Теорема 3.1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k , где k Î N - открытые множества.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению объединения множеств точка х о принадлежит одному из множеств G k . Поскольку G k – открытое множество, то существует e - окрестность точки х о , которая целиком лежит в множестве G k: U ( x o , e ) Ì G k Þ U ( x o ,e ) Ì G.

Получили, что любаю точка х о ÎG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 4

Теорема 3.2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.

Докажем, что - открытое множество.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению пересечения множеств х о принадлежит каждому из множеств G k . Поскольку каждое множество G k открытое, то в любом множестве G k существует e k - окрестность точки х о : U ( x o , e k ) Ì G k . Множество чисел{e 1 , e 2 ,…, e n } конечное, поэтому существует число e = min {e 1 ,e 2 ,…,e n }. Тогда e - окрестность точки х о находится в каждой e k - окрестности точки х о :U ( x o , e ) Ì U e ( x o , e k ) Þ U ( x o , e ) Ì G.

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 3.1. Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1 . Пусть в пространстве R G k = (2 – 1/k; 4+ 1/k) , где k= 1,2,…,n, …. G 1 = (1;5), G 2 (1,5;4,5), Отрезок Ì G k и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть F k - замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

3Пусть х F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой e - окрестности точки х о находится бесконечно много точек каждого из множеств F k , а это значит, что х о – предельная точка каждого множества F k . В силу замкнутости множеств F k точка

х о Î F k "k Þ х о Î F. Поскольку точка х F , а это значит множесто F замкнутое. 4

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество F k замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х о – предельная точка множества F , то х о Î F .

3Пусть х о – любая предельная точка множества F , тогда в любой e - окрестности точки х о существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств F k конечное, то х о принадлежит хотя бы одному из множеств F k , т.е. х о – предельная точка для этого множества.

В силу замкнутости F k точка х о принадлежит F k , а поэтому и множеству . Поскольку точка х о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F , а это значит множество F замкнутое. 4

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 3.2. В пространстве R : F k =

F 1 = ; F 2 = ; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: С х Е=СЕ .

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Пример 3.3. Е= , C R E = (- ¥, 2)È (5,+¥ ).

Теорема 3.6. Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

Пример 3.4. Е= (2,5), C R E = (-¥, 2]È[ 5, +¥ ).