Теорема Больцано - Вейерштрасса

Теорема Больцано - Вейерштрасса , или лемма Больцано - Вейерштрасса о предельной точке - предложение анализа , одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано - Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности (n = 1 ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней . Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса , которые независимо друг от друга ее сформулировали и доказали.

Формулировки

Известно несколько формулировок теоремы Больцано - Вейерштрасса.

Первая формулировка

Пусть предложена последовательность точек пространства :

и пусть эта последовательность ограничена , то есть

где C > 0 - некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

которая сходится к некоторой точке пространства .

Теорему Больцано - Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности .

Расширенный вариант первой формулировки

Нередко теорему Больцано - Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства неограничена , то из нее можно выделить последовательность, имеющую пределом .

Для случая n = 1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака ( или ).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел .

Вторая формулировка

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано - Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество E пространства имеет по крайней мере одну предельную точку в .

Более подробно, это означает, что существует точка , всякая окрестность которой содержит бесконечное число точек множества E .

Доказательство эквивалентности двух формулировок теоремы Больцано - Вейерштрасса

Пусть E - ограниченное бесконечное подмножество пространства . Возьмем в E последовательность различных точек

Поскольку эта последовательность ограничена, в силу первой формулировки теоремы Больцано - Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность

сходящуюся к некоторой точке . Тогда всякая окрестность точки x 0 содержит бесконечное число точек множества E .

Обратно, пусть дана произвольная ограниченная последовательность точек пространства :

Множество значений E данной последовательности ограничено, но может быть как бесконечным, так и конечным. Если E конечно, то одно из значений повторяется в последовательности бесконечное число раз. Тогда эти члены образуют стационарную подпоследовательность, сходящуюся к точке a .

Если же множество E бесконечно, то в силу второй формулировки теоремы Больцано - Вейерштрасса, существует точка , в любой окрестности которой имеется бесконечное много различных членов последовательности.

Выберем последовательно для точки , соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность сходится к точке x 0 .

Доказательство

Теорема Больцано - Вейерштрасса выводится из свойства полноты множества действительных чисел. В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков .

Одномерный случай

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано , или методом деления пополам .

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим [a 0 ,b 0 ] .

Разделим отрезок [a 0 ,b 0 ] пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a 1 ,b 1 ] .

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком [a 1 ,b 1 ] : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a 2 ,b 2 ] .

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности {x k } .

Длины отрезков стремятся к нулю:

В силу принципа вложенных отрезков Коши - Кантора , существует единственная точка ξ , принадлежащая всем отрезкам:

По построению на каждом отрезке [a m ,b m ] лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательно

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность сходится к точке ξ . Это следует из того, что расстояние от до ξ не превосходит длины содержащего их отрезка [a m ,b m ] , откуда

Распространение на случай пространства произвольной размерности

Теорема Больцано - Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

Пусть дана последовательность точек пространства :

(нижний индекс - номер члена последовательности, верхний - номер координаты). Если последовательность точек пространства ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

также ограничена ( - номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано - Вейрштрасса из последовательности {x k } можно выделить подпоследовательность точек , первые координаты которых образуют сходяющуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности еще раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После n шагов получим некоторую последовательность

являющуюся подпоследовательностью , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.

История

Теорема Больцано - Вейерштрасса (для случая n = 1 ) впервые была доказана чешским математиком Больцано в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции , известной теперь как теорема Больцано - Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса , остались незамеченными.

Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Сегодня эта теорема носит имена Больцано и Вейерштрасса. Нередко эту теорему называют леммой Больцано - Вейерштрасса , а иногда леммой о предельной точке .

Теорема Больцано - Вейерштрасса и понятие компактности

Теорема Больцано - Вейерштрасса устанавливает следующее интересное свойство ограниченного множества : всякая последовательность точек M содержит сходящуюся подпоследовательность.

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приему: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из нее выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. Например, именно так доказывается теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эффективность подобного приема вообще, а также желание распространить теорему Вейерштрасса на произвольные метрические пространства , побудили в 1906 году французского математика Мориса Фреше ввести понятие компактности . Свойство ограниченных множеств в , устанавливаемое теоремой Больцано-Вейерштрасса, заключается, образно говоря, в том, что точки множества располагаются достаточно «тесно», или же «компактно»: сделав бесконечное число шагов по этому множеству, мы непременно сколь угодно близко подойдем к какой-то точке пространства.

Фреше вводит следующее определение: множество M называется компактным , или же компактом , если всякая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества. При этом предполагается, что на множестве M определена метрика, то есть оно является

Напомним, что окрестностью точки мы назвали интервал, содержащий эту точку; -окрестностью точки х - интервал

Определение 4. Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества X.

Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки есть по крайней мере одна не совпадающая с точка множества X. (Проверьте!)

Приведем несколько примеров.

Если то предельной для X является только точка .

Для интервала предельной является каждая точка отрезка и других предельных точек в этом случае нет.

Для множества рациональных чисел предельной является каждая точка Е, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.

Лемма (Больцано-Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Пусть X - данное под множество Е. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке . Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I является предельной для X.

Если бы это было не так, то каждая точка имела бы окрестность в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность таких окрестностей, построенных для каждой точки образует покрытие отрезка I интервалами из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему интервалов, покрывающую отрезок I. Но, поскольку эта же система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число точек X, т. е. X - конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство.

Определение 1. Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности {x n }, если в любой e - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности {x n }.

Лемма 1. Если x- предельная точка последовательности {x k }, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность {x n k }, сходящуюся к числу x.

Замечание. Справедливо и обратное утверждение. Если из последовательности {x k } можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу x, то число x является предельной точкой последовательности {x k }. Действительно, в любой e - окрестности точки x имеется бесконечно много элементов подпоследовательности, а стало быть и самой последовательности {x k }.

Из леммы 1 следует, что можно дать другое определение предельной точки последовательности, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Точка x бесконечно прямой называется предельной точкой последовательности {x k }, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к x.

Лемма 2. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Замечание. Если последовательность сходится, то она в силу леммы 2 имеет только одну предельную точку. Однако, если {x n } не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек). Покажем, например, что {1+(-1) n } имеет две предельные точки.

Действительно, {1+(-1) n }=0,2,0,2,0,2,... имеет две предельные точки 0 и 2, т.к. подпоследовательности {0}=0,0,0,... и {2}=2,2,2,... этой последовательности имеют пределами соответственно числа 0 и 2. Других предельных точек у этой последовательности нет. Действительно, пусть x -любая точка числовой оси, отличная от точек 0 и 2. Возьмем e >0 настолько

малым, чтобы e - окрестности точек 0, x и 2 не пересекались. В e- окрестностях точек 0 и 2 содержатся все элементы последовательности и поэтому e - окрестность точки x не может содержать бесконечно много элементов {1+(-1) n } и поэтому не является предельной точкой этой последовательности.

Теорема. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Замечание. Ни одно число x , превосходящее , не является предельной точкой последовательности {x n }, т.е. - наибольшая предельная точка последовательности {x n }.

Пусть x- любое число, превосходящее . Выберем e>0 настолько малым,

и x 1 Î{x}, правее x 1 лежит конечное число элементов последовательности {x n } или их вовсе нет, т.е. x не является предельной точкой последовательности {x n }.

Определение. Наибольшая предельная точка последовательности {x n } называется верхним пределом последовательности и обозначается символом . Из замечания следует, что у всякой ограниченной последовательности есть верхний предел.

Аналогично вводится понятие нижнего предела (как наименьшей предельной точки последовательности {x n }).

Итак, мы доказали следующее утверждение. У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {x n } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.

Результаты этого пункта приводят к следующей основной теореме Больцано-Вейерштрасса.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {x n } ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x (следует из определения 2 предельной точки).

Замечание. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

Определение в.7. Точку х € R числовой прямой называют предельной точкой последовательности {хп}, если для любой окрестности U (х) и любого натурального числа N можно найти принадлежащий этой окрестности элемент хп с номером, большим ЛГ, т.е. х 6 R - предельная точка, если. Иначе говоря, точка х будет предельной для {хп}, если в любую ее окрестность попадают элементы этой последовательности с произвольно большими номерами, хотя, возможно, и не все элементы с номерами п> N. Поэтому достаточно очевидно следующее утверждение. Утверждение б.б. Если lim{xn} = 6 6 R, то b - единственная предельная точка последовательности {хп}. Действительно, в силу определения 6.3 предела последовательности все ее элементы начиная с некоторого номера попадают в любую сколь угодно малую окрестность точки 6, а потому в окрестность никакой другой точки не могут попасть элементы с произвольно большими номерами. Следовательно, условие определения 6.7 выполнимо лишь для единственной точки 6. Однако не всякая предельная точка (иногда ее называют тонкой сгущенил) последовательности является ее пределом. Так, последовательность (б.б) не имеет предела (см. пример 6.5), но имеет две предельные точки х = 1 и х = - 1. Последовательность {(-1)пп} в качестве предельных имеет две бесконечные точки +оо и -со расширенной числовой прямой, объединение которых обозначают одним символом оо. Именно поэтому можно считать, что бесконечные предельные точки совпадают, а бесконечная точка оо, согласно (6.29), является пределом этой последовательности. Предельные точки последовательности числовая прямая Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши. Пусть задана последовательность {яп} и пусть числа к образуют возрастающую последовательность целых положительных чисел. Тогда последовательность {УпЬ где уп = хкп> называют подпоследовательностью исходной последовательности. Очевидно, что если {i„} имеет пределом число 6, то любая ее подпоследовательность имеет тот же самый предел, поскольку начиная с некоторого номера все элементы как исходной последовательности, так и любой ее подпоследовательности попадают в любую выбранную окрестность точки 6. В то же время любая предельная точка подпоследовательности является предельной и для последовательности. Теорема в.9. Из любой последовательности, имеющей предельную точку, можно выбрать подпоследовательность, имеющую своим пределом эту предельную"точку. Пусть b - предельная точка последовательности {хп}. Тогда, согласно определению 6.7 предельной точки, для каждого п существует элемент принадлежащий окрестности U (6, 1/п) точки b радиуса 1 /п. Подпоследовательность, составленная из точек ijtj, ...1 ...,где zjfcn€U(6, 1/п) Vn 6 N, имеет пределом точку 6. Действительно, при произвольном е > 0 можно выбрать N, такое, что. Тогда все элементы подпоследовательности, начиная с номера км, попадут в ^-окрестность U(6, е) точки 6, что соответствует условию определения 6.3 предела последовательности. Справедлива и обратная теорема. Предельные точки последовательности числовая прямая Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши. Теорема 8.10. Если некоторая последовательность имеет подпоследовательность с пределом 6, то Ь есть предельная точка этой последовательности. Из определения 6.3 предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера все элементы подпоследовательности с пределом b попадают в окрестность U(b, е) произвольного радиуса е. Поскольку элементы подпоследовательности являются одновременно элементами последовательности {хп}> внутрь этой окрестности попадают элементы хп со сколь угодно большими номерами, а это в силу определения 6.7 означает, что Ь - предельная точка последовательности {яп}. Замечание 0.2. Теоремы 6.9 и 6.10 справедливы и в случае, когда предельная точка является бесконечной, если при доказательстве вмерто окрестности U(6, 1 /п) рассматривать окрестность (или окрестности Условие, при котором из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, устанавливает следующая теорема. Теорема 6.11 (Больцано - Веиерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу. Пусть все элементы последовательности {ап} заключены между числами а и 6, т.е. хп € [а, b] Vn € N. Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Тогда хотя бы одна из его половин будет содержать бесконечное множество элементов последовательности, так как в противном случае и весь отрезок [а, Ь] содержал бы конечное их число, что невозможно. Пусть ] будет та из половин отрезка [а, 6], которая содержит бесконечное множество элементов последовательности {жп} (или если обе половины таковы, то любая из них). Аналогично из отрезка , содержащую бесконечное множество элементов последовательности, и т.д. Продолжая этот процесс, построим систему вложенных отрезков причем Ьп - ап = (6- а)/2П. Согласно принципу вложенных отрезков существует точка ж, принадлежащая всем этим отрезкам. Эта точка и будет предельной для последовательности {яп}- В самом деле, для любой е-окрестности Щж, е) = = (х ж + е) точки х существует отрезок С U(x, е) (достаточно лишь выбрать п из неравенства (, содержащий бесконечное множество элементов последовательности {sn}. Согласно определению 6.7 х - предельная точка этой последовательности. Тогда в силу теоремы 6.9 существует подпоследовательность, сходящаяся к точке х. Метод рассуждений, использованный при доказательстве этой теоремы (ее иногда называют леммой Больцано - Вейер-штрасса) и связанный с последовательным делением пополам рассматриваемых отрезков, известен под названием метода Больцано. Эта теорема значительно упрощает доказательство многих сложных теорем. Она позволяет доказать иным (иногда более простым) путем ряд ключевых теорем. Дополнение 6.2. Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши Сначала докажем утверждение 6.1 (признак Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности). Предположим, что последовательность {яп} неубывающая. Тогда множество ее значений ограничено сверху и по теореме 2.1 имеет точную верхнюю граньу которую обозначим sup{xn} be R. В силу свойств точной верхней грани (см. 2.7) Предельные точки последовательности числовая прямая Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши. Согласно определению 6.1 для неубывающей последовательности имеем или Тогда > Ny а с учетом (6.34) получим что соответствует определению 6.3 предела последовательности, т.е. 31im{sn} и lim{xn} = 66R. Если последовательность {хп} невозрастающая, то ход доказательства аналогичен. Теперь перейдем к доказательству достаточности критерия Кохии сходимости последовательности (см. утверждение 6.3), поскольку необходимость условия критерия следует из теоремы 6.7. Пусть последовательность {яп} фундаментальная. Согласно определению 6.4 по произвольному € > 0 можно найти номер N(s), такой, что из m^N и n^N следует. Тогда, приняв т - N, при Vn > N получим € £ Поскольку рассматриваемая последовательность имеет конечное число элементов с номерами, не превосходящими N, из (6.35) следует, что фундаментальная последовательность ограничена (см. для сравнения доказательство теоремы 6.2 об ограниченности сходящейся последовательности). Для множества значений ограниченной последовательности существуют точные нижняя и верхняя грани (см. теорему 2.1). Для множества значений элементов при п > N обозначим эти грани an = inf xn и bjy = sup xn соответственно. С увеличением N точная нижняя грань не уменьшается, а точная верхняя грань не увеличивается, т.е. . я получаем систему елоасенныа? отрезков Согласно принципу вложенных отрезков существует общая точка, которая принадлежит всем отрезкам. Обозначим ее через Ь. Таким образом, при Из сравнения (6.36) и (6.37) в итоге получим что соответствует определению 6.3 предела последовательности, т.е. 31im{x„} и lim{sn} = 6 6 R. Фундаментальные последовательности начал изучать Боль-цано. Но он не располагал строгой теорией действительных чисел, и поэтому ему не удалось доказать сходимость фундаментальной последовательности. Это сделал Коши, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, который позднее обосновал Кантор. Имя Коши получил не только критерий сходимости последовательности, но и фундаментальную последовательность часто именуют последовательностью Коши, а имя Кантора носит принцип вложенных отрезков. Вопросы и задачи 8.1. Доказать, что: 6.2. Привести примеры несходящихся последовательностей с элементами, принадлежащими множествам Q и R\Q. 0.3. При каких условиях члены арифметической и геометрической прогрессий образуют убывающую и возрастающую последовательности? 6.4. Доказать соотношения, которые следуют из табл. 6.1. 6.5. Построить примеры последовательностей, стремящихся к бесконечным точкам +оо, -оо, оо, и пример последовательности, сходящейся к точке 6 € R. в.в. Может ли неограниченная последовательность не быть б.б.? Если да, то привести пример. в.7. Построить пример состоящей из положительных элементов расходящейся последовательности, не имеющей ни конечного, ни бесконечного предела. 6.8. Доказать сходимость последовательности {яп}, заданной рекуррентной формулой sn+i = sin(xn/2) при условии «1 = 1. 6.9. Доказать, что lim{xn}=09 если sn+i/xn-»g€}