Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Определение 1

Существует еще несколько определений.

Определение 2

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B , называют чертой дроби или дробной чертой.

Определение 3

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем, а под – знаменателем .

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

Пример 1

К примеру 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , которые можно записать как 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Пример 2

Например, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 · 7 9 · 12 .

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a + b c , a - b c , a · c b · d .

Определение 4

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b · v d = a · c b · d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a , тогда дробная имеет вид b / c , получаем дробь вида a · c + b c , откуда понятно появления таких дробей 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1: a - (2 · b + 1) = 1 a - 2 · b + 1 , 5 - 1 , 7 · 3: 2 · 3 - 4: 2 = 5 - 1 , 7 · 3 2 · 3 - 4: 2 , где частное 4: 2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5 - 1 , 7 · 3 2 · 3 - 4 2

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Пример 3

Например, 1 x 2 + 1 , x · y - 2 · y 2 0 , 5 - 2 · x + y 3 .

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Пример 4

Например, x · x + 1 4 x 2 · x 2 - 1 2 · x 3 + 3 , 1 + x 2 · y · (x - 2) 1 x + 3 · x 1 + 2 - x 4 · x 5 + 6 · x .

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

Пример 5

a n b n , 2 · x + x 2 3 x 1 3 - 12 · x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3 , lg x + 2 lg x 2 - 2 · x + 1 .

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

Определение 5

• преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
• изменение знака перед дробным выражением;
• приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
• представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Определение 6

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A / B , то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A 1 / B 1 . Необходимо доказать справедливость равенства A / A 1 = B / B 1 при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A 1 и B и B 1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A / B и A 1 / B 1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Пример 6

Для примера возьмем дробь вида 2 / 18 , которую преобразуем к 2 2 · 3 · 3 . Для этого знаменатель раскладываем на простые множители. Дробь x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y (x + y) 2 имеет числитель вида x 2 + x · y , означает, что необходимо произвести замену на x · (x + y) , которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x . Знаменатель заданной дроби x 2 + 2 · x · y + y 2 свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является (x + y) 2 .

Пример 7

Если дана дробь вида sin 2 3 · φ - π + cos 2 3 · φ - π φ · φ 5 6 ,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ 11 12 . Тогда получим, что 1 φ 11 12 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью, в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

Определение 7

• при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит как _ - A - B = A B , где А и В являются некоторыми выражениями;
• при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что - - A B = A B ;
• при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что - A - B = A B .

Доказательство

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком - 1 , а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Сгруппировав множители, имеем, что

1 · A: - 1 · B = ((- 1) : (- 1) · A: B = = 1 · A: B = A: B = A B

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

A B = (- 1) · (((- 1) · A) : B) = (- 1 · - 1) · A: B = = 1 · (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) · (A: - 1 · B) = ((- 1) : (- 1)) · (A: B) = = 1 · (A: B) = A: B = A B

Рассмотрим примеры.

Пример 8

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3 / 7 к виду - 3 - 7 , - - 3 7 , - 3 - 7 , тогда аналогично выполняется с дробью вида - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x .

Преобразования выполняются следующим образом:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x · 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x · 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x · 3 x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a · m b · m = a b и a: m b: m = a b , где a , b , m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a , b , m и всех a , кроме b ≠ 0 и m ≠ 0 . То есть мы получаем, что если числитель дроби А / В с A и C , которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M , не равное 0 , тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A · M B · M = A B и A: M B: M = A B .

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю, сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Рассмотрим примеры.

Пример 9

Если взять дробь x + 1 0 , 5 · x 3 и умножить на 2 , тогда получим, что новый знаменатель получится 2 · 0 , 5 · x 3 = x 3 , а выражение примет вид 2 · x + 1 x 3 .

Пример 10

Для приведения дроби 1 - x 2 · x 2 3 · 1 + ln x к другому знаменателю вида 6 · x · 1 + ln x 3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3 · x 1 3 · (1 + ln x) 2 . В итоге получаем дробь 3 · x 1 3 · 1 + ln x 2 · 1 - x 6 · x · (1 + ln x) 3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Пример 11

Или дробь вида x 3 · x 3 · x 2 · (2 x 2 + 1 + 3) x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 · 3 + 1 3 · x , где сокращение производится при помощи x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 или на выражение вида x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Тогда получим дробь x 2 3 + 1 3 · x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x 2 2 3 · (1 - cos 2 x) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Это даст возможность сократить ее на x 1 3 · sin 2 x .

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A 1 , A 2 , … , A n , а знаменатель обозначается B , тогда эта дробь может быть представлена как A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B .

Определение 8

Для этого зафиксируем это A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Данное преобразование в корне отличается от сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Пример 12

Дана дробь вида sin x - 3 · x + 1 + 1 x 2 , которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin x x 2 - 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x - 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x x 2 + - 3 · x + 1 + 1 x 2 .

Любая дробь, имеющая вид А / В представляется в виде суммы дробей любым способом. Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А 0 , которое даст возможность прейти к A + A 0 B - A 0 B .

Разложение дроби на простейшие является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах

Преобразование дроби в десятичное число

Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или

Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.

Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,

Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,

Преобразование смешанной дроби в неправильную

Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть

При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей

Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)

Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат

В школе VIII вида учащиеся знакомятся со следующими преоб­разованиями дробей: выражением дроби в более крупных долях (6-й класс), выражением неправильной дроби целым или смешан­ным числом (6-й класс), выражением дробей в одинаковых долях (7-й класс), выражением смешанного числа неправильной дробью (7-й класс).

Выражение неправильной дроби целым или смешанным числом

Изучение данного материала следует начать с задания: взять 2 равных круга и каждый из них разделить на 4 равные доли, подсчи­тать количество четвертых долей (рис. 25). Далее предлагается записать это количество дробью . Затем четвертые доли при-

кладываются друг к другу и ученики убеждаются, что получился целый круг. Следовательно,К четырем четвертям добавляет-

ся последовательно еще по и ученики записывают:

Учитель обращает внимание учащихся на то, что во всех рас­смотренных случаях они брали неправильную дробь, а в результа­те преобразования получали или целое, или смешанное число, т. е. выражали неправильную дробь целым или смешанным чис­лом. Далее надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятель­но определили, каким арифметическим действием это преобразова­ние можно выполнить. Яркими примерами, приводящими к ответу на вопрос, являются: Вывод: чтобы

выразить неправильную дробь целым или смешанным числом, нужно числитель дроби разделить на знаменатель, частное запи­сать целым числом, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тот же. Так как правило громоздкое, совсем не обяза­тельно, чтобы учащиеся заучивали его наизусть. Они должны уметь последовательно рассказать о действиях при выполнении данного преобразования.

Перед тем как познакомить учащихся с выражением непра­вильной дроби целым или смешанным числом, целесообразно по­вторить с ними деление целого числа на целое с остатком.

Закреплению нового для учащихся преобразования способству­ет решение задач жизненно-практического характера, например:

«В вазе лежит девять четвертых долей апельсина. Сколько целых апельсинов можно сложить из этих долей? Сколько четвер­тых долей останется?»

Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью

Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должно предшествовать решение задач, например:

«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрата, разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» .

Далее учитель предлагает учащимся выполнитьтакое задание: «Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по разме­ру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего поло­винполучилось? Запишите: было круга, стало круга.

Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (непра­вильная дробь).

Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внима­ние к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:

будет 15/4. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму запи­сать числителем, а знаменатель оставить без изменения.

Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправиль­ной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указа­нием знаменателя, а уже затем смешанного числа-

Основное свойство дроби 1

Понятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи­вается учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня­тие необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале, причем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятель­ностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.

Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные части и спрашивает: «Что получили при делении целой репы пополам? (2 половины.) Покажите репы. Разрежем (разделим) половину репы еще на 2 равные части. Что получим? Запишем: Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько

раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знамена­тель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число долей?»

Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на 2 равные части и т. д. и записывают: и т. д. Потом

устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена­тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:

При сравнении дробей обнаруживается, что

числитель и знаменатель дроби увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.

После рассмотрения ряда примеров следует предложить уча­щимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель

Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала, обозначены звездочкой (*).

и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихся самим привести примеры.

Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменьше­ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числитель и знаменатель делятся на одно то же число). Например, круг делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга,

укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли, берут вторые. Их будет Сравнивают последовательно

числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «Во сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?*.

Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).

На основании рассмотренных примеров учащиеся могут сде­лать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод - основное свойство дроби: дробь не изме­нится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень­шить в одно и то же число раз.

Сокращение дробей

Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб­разованию дробей. Как известно, сократить дробь - это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа - предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят 1 в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 3

например подобрать делитель - для числителя и знаменателя (опорой для выполнения такого действия является таблица умно­жения).

какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли:Вид дроби стал проще. Учащиеся подводятся к выводу правиласокращения дробей.

Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как 4/12=2/6 т. е. ученик не нашел наибольший общий

делитель для чисел4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. но при этом спрашивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

Сравнить дроби 2/5,2/7,2/3 Сказать правило сравнения дробей с

одинаковыми числителями.

Сравнить дроби Сказать правило сравнения дробей

с одинаковыми знаменателями.

Сравнить дроби Эти дроби учащиеся сравнить затрудня-

ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате­ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Учащихся необходимо познакомить со способом выражения дробей в одинаковых долях.

Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

Например, у дробей знаменателями являются числа 8 и 2.

Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим дробь Теперь дроби выражены в одинаковых долях. Их

легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате­лями. Например, даны дроби Чтобы эти дроби привести

к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Дробь примет вид . Затем 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Дробь примет вид Следовательно, дроби примут соответственно вид т. е. окажутся выражен-

ными в одинаковых долях.

Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

Например, надо выразить в одинаковых долях дроби

Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно.его

записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, и

Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

общим для данных дробей. Например, Знаменатель 8 не

делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

3 5 пример, чтобы дроби тг и * были выражены в одинаковых долях,

больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2=16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 - общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3 увеличим в 3 раза.

Дробь примет вид Знаменатель 6 увеличили в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби надо увеличить в 4 раза. Дроби примут соответственно вид

Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правилу) и знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых долях. Например, даны две дроби ¾ и 5/7

1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 - наименьший общий знаме­
натель для дробей

2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

3. Запишем их над дробями:

4. Числители дробей умножим на дополнительные множители:
3x7=21, 5x4=20.

Получим дроби с одинаковыми знаменателями .Значит,

дроби мы привели к общему наименьшему знаменателю.

Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразованием дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф­метических действий с дробями. Например, сокращение дробей или замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб­разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина­ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разности

Придется делать либоодно, либо оба преобразования.

Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа неправильной дробью - перед темой «Умножение и деление дро­бей на целое число».

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаме­нателями.

Исследование, проведенное Алышевой Т.В. 1 , свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся

чисел, полученных в результате измерения величин, и проводить изучение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к част­ному».

Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено­ваниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к. При выполнении устного сложения и вычитания нужно склады­вать (вычитать) сначала рубли, а потом копейки.

3 м 45 см ± 2 м 24 см - сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.

При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дррбями (зна­менатели одинаковые): В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные слу­чаи: сложение смешанного числа с дробью, потом смешанного числа с целым. После этого рассматри­ваются более трудные случаивычитания: 1) из смешанного числа дроби: 2) из смешанного числа целого:

После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой едини­цы или из нескольких единиц, например:

В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором слу­чае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по обще­му правилу.

Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше числителя в вычитаемом. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить

в пятые доли, получим да еще , получится пример

примет такой вид:к его решению уже можно применить

общее правило.

Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычи­танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умения обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные слу­чаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.

Материал этой статьи представляет собой общий взгляд на преобразование выражений, содержащих дроби. Здесь мы рассмотрим основные преобразования, которые характерны для выражений с дробями.

Навигация по странице.

Выражения с дробями и дробные выражения

Для начала проясним, с преобразованием выражений какого вида мы собрались разбираться.

В заголовке статьи фигурирует говорящее за себя словосочетание «выражения с дробями ». То есть, ниже речь пойдет о преобразовании числовых выражений и выражений с переменными, в записи которых присутствует хотя бы одна дробь .

Сразу заметим, что после выхода в свет статьи «преобразование дробей: общий взгляд » нам уже не интересны отдельные дроби. Таким образом, дальше мы будем рассматривать суммы, разности, произведения, частные и более сложные выражения с корнями, степенями, логарифмами, объединяет которые лишь наличие хотя бы одной дроби.

И еще оговоримся про дробные выражения . Это не то же самое, что выражения с дробями. Выражения с дробями – более общее понятие. Не каждое выражение с дробями есть дробное выражение. Например, выражение не является дробным выражением, хотя и содержит дробь, это целое рациональное выражение . Так что не стоит называть выражение с дробями дробным выражением, не будучи полностью уверенным, что оно является таковым.

Основные тождественные преобразования выражений с дробями

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

В данном случае можно раскрыть скобки , что даст выражение , в котором присутствуют подобные слагаемые и , а также −3 и 3 . После их приведения получим дробь .

Покажем краткую форму записи решения:

Ответ:

.

Работа с отдельными дробями

Выражения, о преобразовании которых мы говорим, отличаются от других выражений главным образом наличием дробей. А наличие дробей требует инструментов для работы с ними. В этом пункте мы обсудим преобразование отдельных дробей, входящих в запись данного выражения, а в следующем пункте перейдем к выполнению действий с дробями, составляющими исходное выражение.

С любой дробью, которая является составной частью исходного выражения, можно выполнять любое из преобразований, обозначенных в статье преобразование дробей . То есть, можно взять отдельную дробь, поработать с ее числителем и знаменателем, сократить ее, привести к новому знаменателю и т.д. Понятно, что при этом преобразовании выбранная дробь заменится тождественно равной ей дробью, а исходное выражение – тождественно равным ему выражением. Давайте рассмотрим пример.

Пример.

Преобразовать выражение с дробью к более простому виду.

Решение.

Преобразование начнем с того, что поработаем с дробью . Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе дроби: . Теперь напрашивается вынесение за скобки общего множителя x в числителе и последующее сокращение алгебраической дроби : . Остается лишь подставить полученный результат вместо дроби в исходное выражение, что дает .

Ответ:

.

Выполнение действий с дробями

Частью процесса преобразования выражений с дробями часто является выполнение действий с дробями . Они проводятся в соответствии с принятым порядком выполнения действий. Также стоит иметь в виду, что любое число или выражение всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1 .

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

К решению поставленной задачи можно подходить с разных сторон. Мы в контексте разбираемой темы пойдем путем выполнения действий с дробями. Начнем с умножения дробей:

Теперь произведение запишем в виде дроби со знаменателем 1 , после чего проведем вычитание дробей:

При желании и необходимости можно еще освободиться от иррациональности в знаменателе , на чем можно закончить преобразования.

Ответ:

Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.

Класс выражений с дробями очень широк. Такие выражения помимо собственно дробей, могут содержать корни, степени с различными показателями, модули, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Естественно, при их преобразовании применяются соответствующие свойства.

Применимо к дробям, стоит выделить свойство корня из дроби , свойство дроби в степени , свойство модуля частного и свойство логарифма разности .

Для наглядности приведем несколько примеров. Например, в выражении может быть полезно на базе свойств степени первую дробь заменить степенью , что в дальнейшем позволяет представить выражение в виде квадрата разности. При преобразовании логарифмического выражения можно логарифм дроби заменить разностью логарифмов, что в дальнейшем позволяет привести подобные слагаемые и тем самым упростить выражение: . Преобразование тригонометрических выражений может потребовать заменить отношение синуса к косинусу одного и того же угла тангенсом. Также возможно придется от половинного аргумента по соответствующим формулам переходить к целому аргументу, тем самым избавляясь от аргумента-дроби, например, .

Применение свойств корней, степеней и т.п. к преобразованию выражений более подробно освещено в статьях:

• Преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней ,
• Преобразование выражений с использованием свойств степеней ,
• Преобразование логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов ,
• Преобразование тригонометрических выражений .

В школе VIII вида учащиеся знакомятся со следующими преоб­разованиями дробей: выражением дроби в более крупных долях (6-й класс), выражением неправильной дроби целым или смешан­ным числом (6-й класс), выражением дробей в одинаковых долях (7-й класс), выражением смешанного числа неправильной дробью (7-й класс).

Выражение неправильной дроби целым или смешанным числом

I Изучение данного материала следует начать с задания: взять 2 шитых круга и каждый из них разделить на 4 равные доли, подсчи-ь количество четвертых долей (рис. 25). Далее предлагается Писать это количество дробью (т) Затем четвертые доли при-1дываются друг к другу и ученики убеждаются, что получился

1ый круг. Следовательно, -т= 1 . К четырем четвертям добавляет-последовательно еще по -т, и ученики записывают: т=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Учитель обращает внимание учащихся на то, что во всех рас­смотренных случаях они брали неправильную дробь, а в результа­те преобразования получали или целое, или смешанное число, т. е. выражали неправильную дробь целым или смешанным чис­лом. Далее надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятель­но определили, каким арифметическим действием это преобразова-" пие можно выполнить. Яркими примерами, приводящими к ответу

4 . 8 0 5 ,1 7 ,3 „ Л

на вопрос, являются: -2-=! и т = 2, 4" = 1т и т Т " ЫВ °Д : чтобы

выразить неправильную дробь целым или смешанным числом, нужно числитель дроби разделить на знаменатель, частное запи­сать целым числом, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тот же. Так как правило громоздкое, совсем не обяза­тельно, чтобы учащиеся заучивали его наизусть. Они должны уметь последовательно рассказать о действиях при выполнении данного преобразования.

Перед тем как познакомить учащихся с выражением непра­вильной дроби целым или смешанным числом, целесообразно по­вторить с ними деление целого числа на целое с остатком.

Закреплению нового для учащихся преобразования способству­ет решение задач жизненно-практического характера, например:

«В вазе лежит девять четвертых долей апельсина. Скол| целых апельсинов можно сложить из этих долей? Сколько чети тых долей останется?»

«Для изготовления крышек для коробочек каждый лист карте

35 разрезают на 16 равных долей. Получили -^. Сколько цел!

листов картона разрезали? Сколько шестнадцатых долей отрез! от следующего куска?» И т. д.

Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью

Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должп предшествовать решение задач, например:

«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрат. > разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» I Запись: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

вин получилось? Запишите: было 1 * круга, стало * круга, значит,

Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (непра­вильная дробь).

Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внима­ние к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:

1 2"=?, 1 = 2", да еще ^, всего ^ 3 ^=?, 3=-^-, да еще ^, всего

будет -^-. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число

выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму запи­сать числителем, а знаменатель оставить без изменения.

Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправиль­ной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указа­нием знаменателя, а уже затем смешанного числа:

Основное свойство дроби 1

[онятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении

1 уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи- 1тся учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня- Ь необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале,

,"ичем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятель­ностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.

Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные мсти и спрашивает: «Что получили при делении целой репы

пополам? (2 половины.) Покажите * репы. Разрежем (разделим)

половину репы еще на 2 равные части. Что получим? -у. Запишем:

тт=-т- Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько

раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знамена­тель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число

Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на

2 равные части и т. д. и записывают: "о^А^тг^тгг и т - Л- Потом устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена­ тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:

1 21 4 При сравнении дробей -^ и -^, -^ и -^ обнаруживается, что

числитель и знаменатель дроби тг увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.

После рассмотрения ряда примеров следует предложить уча­щимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала,

обозначены звездочкой (*).

и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличит -в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихс самим привести примеры.

Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменыш ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числители и знаменатель делятся на одно то же число). Например, кр>"

(4 \ делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга I -о- ]

укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли

4 2 1 берут вторые. Их будет 1 : ~й = -д--%- Сравнивают последователь!I

числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «В<> сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?».

Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).

Н

12 6 3 Рис. 26

а основании рассмотренныхпримеров учащиеся могут сде­лать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод - основное свойство дроби: дробь не изме­нится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень шить в одно и то же число раз.