Перпендикулярностью называют соотношение между разнообразными объектами в евклидовом пространстве - прямыми, плоскостями, векторами, подпространствами и так далее. В настоящем материале мы более внимательно рассмотрим перпендикулярные прямые и характерные черты, к ним относящиеся. Две прямые могут быть названы перпендикулярными (или взаимоперпендикулярными), если все четыре угла, которые образованы их пересечением, составляют строго по девяносто градусов.
Существуют определенные свойства перпендикулярных прямых, реализованных на плоскости:
Построение перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые строятся на плоскости с помощью угольника. Любой чертежник должен иметь в виду, что важной особенностью каждого угольника является то, что он обязательно имеет прямой угол. Чтобы создать две перпендикулярные прямые, нам необходимо совместить одну из двух сторон прямого угла нашего
чертежного угольника с данной прямой и провести вторую прямую вдоль второй стороны этого прямого угла. Таким образом будут созданы две перпендикулярные прямые.
Трехмерное пространство
Интересен тот факт, что перпендикулярные прямые могут быть реализованы и в В этом случае такими будут называться две прямые, если они параллельны соответственно каким-либо двух иным прямым, лежащим в той же плоскости и тоже перпендикулярным в ней. Кроме того, если на плоскости перпендикулярными могут быть лишь две прямые, то в трехмерном пространстве - уже три. Более того, в количество перпендикулярных линий (или же плоскостей) может быть еще больше увеличено.
ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
вза`имно перпендикул`ярный
Лопатин. Словарь русского языка Лопатина. 2012
Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:
- ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Полном орфографическом словаре русского языка:
взаимно … - ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Орфографическом словаре:
вза`имно … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Энциклопедическом словарике:
- ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Энциклопедическом словаре:
, -ая, -ое; -рен, -рна. Являющийся перпендикуляром. Перпендикулярные линии. Расположить перпендикулярно (нареч.) к чему-н. II сущ. перпендикулярность, -и, … - ВЗАИМНО
ВЗА́ИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и … - ВЗАИМНО в Большом российском энциклопедическом словаре:
ВЗА́ИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ, такое соответствие между элементами двух множеств, при к-ром каждому элементу первого множества соответствует один определ. элемент второго … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
перпендикуля"рный, перпендикуля"рная, перпендикуля"рное, перпендикуля"рные, перпендикуля"рного, перпендикуля"рной, перпендикуля"рного, перпендикуля"рных, перпендикуля"рному, перпендикуля"рной, перпендикуля"рному, перпендикуля"рным, перпендикуля"рный, перпендикуля"рную, перпендикуля"рное, перпендикуля"рные, перпендикуля"рного, перпендикуля"рную, перпендикуля"рное, перпендикуля"рных, … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Тезаурусе русской деловой лексики:
- ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Новом словаре иностранных слов:
являющийся перпендикуляром; отвесный, образующий прямые углы с данной прямой или … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Словаре иностранных выражений:
являющийся перпендикуляром; отвесный, образующий прямые углы с данной прямой или … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Тезаурусе русского языка:
Syn: поперечный, пересекающийся, пересекающий, ортогональный Ant: … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
Syn: поперечный, пересекающийся, пересекающий, ортогональный Ant: … - ВЗАИМНО в словаре Синонимов русского языка:
взаимо, двусторонне, двухсторонне, заимообразно, … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
прил. 1) Соотносящийся по знач. с сущ.: перпендикуляр, связанный с ним. 2) а) Свойственный перпендикуляру, характерный для него. б) Расположенный … - ВЗАИМНО в Новом толково-словообразовательном словаре русского языка Ефремовой:
нареч. Соотносится по знач. с прил.: … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Словаре русского языка Лопатина:
- ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Орфографическом словаре:
перпендикул`ярный; кр. ф. -рен, … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Словаре русского языка Ожегова:
являющийся перпендикуляром Перпендикулярные линии. Расположить перпендикулярно (нареч.) к … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ в Толковом словаре русского языка Ушакова:
перпендикулярная, перпендикулярное; перпендикулярен, перпендикулярна, перпендикулярно, к чему (мат.). Прил. к перпендикуляр; являющийся перпендикуляром. Перпендикулярная линия. Одна дорожка перпендикулярна другой. Одна … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
перпендикулярный прил. 1) Соотносящийся по знач. с сущ.: перпендикуляр, связанный с ним. 2) а) Свойственный перпендикуляру, характерный для него. б) … - ВЗАИМНО в Толковом словаре Ефремовой:
взаимно нареч. Соотносится по знач. с прил.: … - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
прил. 1. соотн. с сущ. перпендикуляр, связанный с ним 2. Свойственный перпендикуляру, характерный для него. отт. Расположенный под прямым углом … - ВЗАИМНО в Новом словаре русского языка Ефремовой:
- ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ
прил. 1. соотн. с сущ. перпендикуляр, связанный с ним 2. Свойственный перпендикуляру, характерный для него. отт. Расположенный под прямым … - ВЗАИМНО в Большом современном толковом словаре русского языка:
нареч. качеств.-обстоят. Проявляясь по отношению друг к другу; … - ВЗАИМНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЦВЕТА
два цвета называются взаимно-дополнительными, если одновременное действие их на глаз производит впечатление белого цвета; другими словами, оптическое смешение таких двух … - ВЗАИМНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЦВЕТА в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
? два цвета называются взаимно-дополнительными, если одновременное действие их на глаз производит впечатление белого цвета; другими словами, оптическое смешение таких … - ВЕСТФАЛЬСКИЙ БАССЕТ в Энциклопедии Собак:
_Охотничьи собаки_ Происхождение Собака является результатом скрещивания немецких гончих и бассетов. Описание Рост от 30 до 35 см. Вес от … - ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА в Большом энциклопедическом словаре:
a на вектор b вектор p=, или a b, равный по длине площади параллелограмма, построенного на векторах a … - ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
теория, наука о целых числах. Понятие целого числа, а также арифметических операций над числами известно с древних времён и … - ТОПОЛОГИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от греч. tоpos - место и - логия) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии … - РУМПЕЛЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от голл. roerpen, от roer - весло, руль и pen - шпенёк), рычаг, укрепленный на верхней части оси руля; служит … - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических … - ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
света, одно из фундаментальных свойств оптического излучения (света), состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (направлению … - ОТОБРАЖЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(матем.) множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у … - ГОТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от итал. gotico, буквально - готский, от названия германского племени готов), готический стиль, художественный стиль, явившийся заключительным этапом в … - ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие … - ГАУССА ПРИНЦИП в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
принцип, принцип наименьшего принуждения, один из вариационных принципов механики, согласно которому для механической системы с идеальными связями (см. … - ВЕЛИКОБРИТАНИЯ (ГОСУДАРСТВО) в Большой советской энциклопедии, БСЭ.
- ЭЛЕКТРИЧЕСТВО, ЯВЛЕНИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
Э. называется то, содержащееся в теле, что сообщает этому телу особые свойства, вызывает в нем способность действовать механически на некоторые … - ЦВЕТ ТЕЛ
- ФЛИНДЕРС МЭТЬЮ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
(Matthew Flinders) — англ. путешественник (1774—1814). Сопровождал в 1795 году врача Басса в его поездке на юго-вост. берег Австралии; в … - ТЯГОТЕНИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
Закон Ньютона всемирного Т. может быть формулирован следующим образом: каждый атом взаимодействует с каждым другим атомом, при этом сила взаимодействия … - ТРУБЫ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
- ПРОЗРАЧНОСТЬ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
Вещество или среду называют "прозрачными" в обычном смысле слова, если можно сквозь это вещество или среду видеть предметы; в этом … - ОСЬ НЕЙТРАЛЬНАЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
При изгибе бруса волокна его между двумя поперечными сечениями частью удлиняются, частью укорачиваются. В случае простого изгиба, согласно принятой теории … - ЛИСТОРАСПОЛОЖЕНИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
(phyllotaxia). — У большинства растений листья располагаются на стеблях и ветвях настолько правильно, что можно установить касательно их расположения общие …
Взаимно перпендикулярный
вза"имно перпендикул"ярный
Русский орфографический словарь. / Российская академия наук. Ин-т рус. яз. им. В. В. Виноградова. - М.: "Азбуковник" . В. В. Лопатин (ответственный редактор), Б. З. Букчина, Н. А. Еськова и др. . 1999 .
Смотреть что такое "взаимно перпендикулярный" в других словарях:
взаимно-перпендикулярный - взаимно перпендикулярный … Орфографический словарь-справочник
взаимно-перпендикулярный - взаи/мно перпендикуля/рный … Слитно. Раздельно. Через дефис.
ВЕКТОР - В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера
Гипербола (математика) - У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола. Гипербола и её фокусы … Википедия
Поверхность - У этого термина существуют и другие значения, см. Поверхность (значения). Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в … Википедия
Касательная плоскость
Внутренняя геометрия поверхностей - Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
Внутренняя геометрия поверхности - Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
Внутренняя геометрия - Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
Нормальное сечение - Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.
Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.
То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.
Определение 1
Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.
Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .
Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .
Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности
Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.
Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.
Теорема 1
Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .
Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.
Доказательство 1
Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = (a x , a y) и b → = b x , b y - это направляющие векторы прямых a и b .
Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .
Пример 1
Заданы три точки A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) в прямоугольной системе координат О х у. Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.
Решение
Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.
A B → , A C → = (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 = 0
Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Пример 2
Определить, заданные прямые x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ перпендикулярны или нет.
Решение
a → = (2 , 3) является направляющим вектором заданной прямой x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .
Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:
a → , b → = 2 · 1 + 3 · - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.
Ответ: прямые не перпендикулярны.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b .
Пример 3
Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ
Решение
Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = (2 , - 1 , 0) и b → = (1 , 2 , 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.
Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.
Теорема 2
Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.
Доказательство 2
Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.
Пример 4
Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .
Решение
Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = (3 , - 1) - это нормальный вектор для прямой 3 x - y + 2 = 0 .
Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .
Векторы n a → = (3 , - 1) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Необходимое и достаточное условие было выполнено.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b - y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .
Пример 5
Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 .
Решение
Прямая y = - 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный - 3 7 , а прямая y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .
Произведение угловых коэффициентов дает значение - 1 , - 3 7 · 7 3 = - 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.
Ответ: заданные прямые перпендикулярны.
Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.
Теорема 3
Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.
Доказательство 3
Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пример 6
Определить, являются ли заданные прямые x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 перпендикулярными.
Решение
Получаем, что нормальный вектор прямой x - y - 1 = 0 имеет координаты n a → = (1 , - 1) , а b → = (0 , 2) - направляющий вектор прямой x 0 = y - 4 2 .
Отсюда видно, что векторы n a → = (1 , - 1) и b → = (0 , 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.
Ответ: прямые не перпендикулярны.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Перпендикуляр – часто фигурирующее слово, значение которого многие не совсем хорошо понимают. Данная мини-статья расскажет о сути перпендикуляра.
Что такое перпендикуляр
Говоря простыми словами, перпендикуляр – это прямая линия, которая составляет угол в 90 с другой линией. Понятие перпендикуляра часто используется в геометрии . Нередко можно услышать предложение, схожее с этим:“Перпендикуляр, проведенный на основание треугольника, делит большой треугольник на два маленьких. Найти…” и т.д. Для примера можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где есть два катета (a и b) и гипотенуза c.
В таком треугольнике:
- Катет a перпендикулярен катету b, так как угол между ними составляет 90.
- Катет b перпендикулярен катету a, так как угол между ними составляет 90.
Помимо геометрии, данное слово можно использовать и в разных жизненных ситуациях. Например, если одна дорога пересекает другую так, что угол составляет 90, можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.
Из вышеупомянутых примеров можно вывести общее правило: Если две плоскости при пересечении составляют 90, они перпендикулярны друг другу.