ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…
Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.
Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
ФУНКЦИЯ
При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называетсянезависимой переменной или аргументом .
Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .
Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .
Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.
К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.
Начнем с понятия предела числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a , и пишут .
Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.
Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b ), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b –a )/2 – радиусом окрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде
Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно,
постоянное число a
есть
предел числовой последовательности
{x
n
},
если для любой малой окрестности с
центром в точке a
радиуса
ε (ε – окрестности точки a
)
найдется такой элемент последовательности
с номером N
,
что все последующие элементыс
номерами n>N
будут
находиться внутри этой окрестности.
Примеры.
Пусть переменная величина x последовательно принимает значения
Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
,
то
для выполнения соотношения |x n -
a| < ε достаточно, чтобы или .
Поэтому, взяв в качестве N
любое
натуральное число, удовлетворяющее
неравенству ,
получим что нужно. Так если взять,
например, ,
то, положив N=
6,
для всех n
>6
будем иметь 
.
Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим
Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x n = c , то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |x n - c | = |c - c | = 0 < ε.
Замечание
2.
Из
определения предела следует, что
последовательность не может иметь двух
пределов. Действительно, предположим,
что x
n
→
a
и
одновременно x
n
→
b
.
Возьмем любое и
отметим окрестности точек a
и b
радиуса
ε (см. рис.). Тогда по определению предела,
все элементы последовательности, начиная
с некоторого, должны находиться как в
окрестности точки а
,
так и в окрестности точки b
,
что невозможно.
Замечание
3.
Не
следует думать, что каждая числовая
последовательность имеет предел. Пусть,
например, переменная величина принимает
значения 
.
Несложно заметить, что эта последовательность
не стремится ни к какому пределу.
|
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a . Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a . Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие кa , но не равные a . Будем обозначать это так x → a . Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b .Тогда говорят, что числоb есть предел функции f(x) при x → a . Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a , если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a | < δ, имеет место неравенство |f(x) - b | < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a , то пишут или f(x) → b при x → a . Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a | < δ должно следовать неравенство |f(x) - b | < ε, т.е. при x (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x , лежащих в δ – окрестности точки a , соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный. Примеры. Используя график заданной функции, несложно заметить, . |
|
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ
До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.
Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности , если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х 0 , начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M .
Например, пусть переменная х принимает значения x 1 = –1, x 2 = 2, x 3 = –3, …, x n =(–1) n n, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M .
Переменная величина x → +∞ , если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M .
Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M .
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M , что для всех значений x |x|>M , выполняется неравенство |f(x) - b | < ε.
Обозначают .
Примеры.
Нужно
доказать, что при произвольном ε будет
выполняться неравенство ,
как только |x|>M
,
причем число М
должно
определяться выбором ε. Записанное
неравенство эквивалентно следующему ,
которое будет выполняться, если |x|>
1/ε=M
.
Это и значит, что (см.
рис.).
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) некотором способе изменения аргумента.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М , как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠a , удовлетворяющих условию |x-a | < δ, имеет место неравенство |f(x) | > M .
Если f(x) стремится к бесконечности при x → a , то пишут или f(x) →∞ при x → a .
Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x →∞.
Если f(x) стремится к бесконечности при x → a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .
Примеры.
ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть задана функция y=f(x) , определенная на некотором множестве D значений аргумента.
Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D , если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M . Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D .
Примеры.
Функция y =sin x , определенная при -∞<x <+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x |≤1 = M .
Функция y =x 2 +2 ограничена, например, на отрезке , так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f (3) = 11.
Рассмотрим функцию y =ln x при x (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x →0 ln x →-∞.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a , если существует окрестность с центром в точке а , в которой функция ограничена.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x → ∞ , если найдется такое число N> 0, что при всех значениях х , удовлетворяющих неравенству |x|>N , функция f(x) ограничена.
Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x → a .
Доказательство
.
Т.к. ,
то при любом ε>0 найдется такое число
δ>0, что при вех значениях х
,
удовлетворяющих неравенству |x-a|<
δ,
выполняется неравенство |f(x)
–b|<
ε.
Воспользовавшись свойством модуля |f(x)
– b|≥|f(x)| - |b|
,
последнее неравенство запишем в
виде |f(x)|<|b|+
ε.
Таким образом, если положить M=|b|+
ε,
то при x
→
a
|f(x)|
Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.
Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x → a .
Доказательство
.
Из условия теоремы следует, что при
произвольном ε>0 в некоторой окрестности
точки a
имеем |f(x)
– b|<
ε.
Т.к. |f(x)
– b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|
,
то |b|
- |f(x)|<
ε.
Следовательно, |f(x)|>|b|
-
ε
>0. Поэтому и 
.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x → a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x → a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x → a.
Доказательство .
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется|f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем| β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x → a (или при x → ∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x → a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x → ∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x → a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x → a .
Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x → a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .
Примеры.
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x → a (или x → ∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины.
Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называются размерными . Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему. Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества.
Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.
Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной .
Обозначения: x, y, z, t,… -переменные величины; a, b, c, d,… - постоянные величины.
Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной.
Области изменения переменной величины:
(a, b) = {x : a < x < b } – промежуток или интервал;
[a, b ] = {x : a ≤ x ≤ b } – отрезок или замкнутый интервал;
(a , b ] = {x : a < x ≤ b },
[a , b ) = {x : a ≤ x < b } – полуоткрытые интервалы;
(-∞, b ] = {x: x ≤ b },
(-∞, b) = {x: x < b},
[a , +∞) = {x: x ≥ a },
(a , +∞) = {x: x > a },
(-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞} – бесконечные интервалы.
Произвольный интервал (a, b ), содержащий внутри себя точку , называется окрестностью точки : a < < b .
Если точка середина окрестности, то она называется центром окрестности , величина называется радиусом окрестности .
Переменная величина называется возрастающей , если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называется убывающей , если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.
Понятие функции. Область её определения. Способы задания.
К понятию функции приводит изучение разнообразных явлений в окружающем нас мире. Например, каждому значению длины грани куба соответствует его объём; каждому моменту времени в данной местности соответствует определённая температура воздуха; каждому значению возраста животного соответствует его масса; каждому показателю рентабельности соответствует определённая величина прибыли.
Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.
Правило f , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется числовой функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y.
Если , то пишут y = f(x) .
Функцией называют также уравнение y = f(x), т.е. формулу где у выражено через х с помощью правила f .
В уравнении y = f(x) «х » называют независимой переменной или аргументом , а у - зависимой переменной или функцией от «х ». Зависимость х и у называется функциональной.
Множество всех значений независимой переменой, для которых определена функция, называется областью определения этой функции, обозначается D(f).
Обычно D(f) представляет собой интервал – открытый, полуоткрытый, бесконечный, или их сумму.
Пример . . Найти D(f) .
Решение. Функция не определена при . D(f) = (-∞, -1) (-1, +∞).
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Например, 1) , 2) , 3)
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.
Графический способ : задаётся график функции.
Совокупность точек плоскости xOy, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Преимущество графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.
Табличный способ : функция задаётся таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.
Например, таблицы тригонометрических функций, логарифмов, таблицы железнодорожных тарифов.
Табличный способ удобен для использования, он широко применяется при регистрации опытов, лабораторных анализов, при подсчете объема грубых кормов в скирдах и т. д. К недостатку способа относится то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.
Существует еще один способ задания функции, возникший с развитием и внедрением в производство ЭВМ. Этот способ состоит в указании программы для вычисления значения функций на ЭВМ.
Сложная функция. Пусть даны две функции и , при этом множество значений второй функции входит в область определения первой. Тогда любому в силу правила φ соответствует определенное число и , а числу и функция сопоставляет число у . В этом случае правила f и φ сопоставляют каждому х одно значение у , т.е.
Переменные и постоянные величины – это не совсем просто
Школьная математика всегда убеждала и продолжает убеждать нас в том, что вопрос о переменных и постоянных величинах решается очень просто. Переменными считаются величины, которые в условиях данной задачи могут принимать различные значения. Постоянными считаются величины, которые в условиях данной задачи свои значения не меняют.
При этом дополнительно сообщается, что деление величин на переменные и постоянные достаточно условно и зависит от обстоятельств, сопровождающих процесс решения задачи . Одна и та же величина, которая в одних условиях считалась постоянной, в других условиях должна рассматриваться как переменная. Классический пример: сопротивление проводника считается постоянным, пока мы не оказываемся вынужденными учитывать зависимость величины его сопротивления от температуры окружающей среды.
Но, как показывает практика, всего вышеуказанного для корректного решения той или иной задачи бывает недостаточно.
Что такое величина, каждому ясно интуитивно. Уточним это понятие.
В общем случае содержанием процесса решения задачи есть преобразование величин. При этом следует понимать, что в общефилософском смысле величина, представляющая результат решения задачи, уже содержится в её формулировке в неявном виде. Нужно только правильно построить процесс преобразования величин задачи, чтобы этот результат представить явно.
Определение
Будем называть величиной любой математический объект, который несет (или может нести) информацию о том или ином значении.
Форма представления величин может быть различной. Например, величина с числовым значением, равным действительной единице, может быть представлена десятичной констант ой 1,0, функцией Cos(0), а также арифметическим выражением 25,0 – 15,0 – 9,0.
Значения величин можно менять. Так, в результате выполнения действия x = 1,0 величина в форме переменной x оказывается носителем значения действительной единицы. При этом предыдущее значение переменной x теряется. Приведённые примеры уже несколько с иных позиций показывают, что величины могут быть переменными и постоянными.
Определение
Переменные величины обладают тем свойством, что их значения могут быть изменены в результате выполнения тех или иных действий. И это значит, что понятие “переменная величина” отражает возможность, но не факт изменения.
Постоянной величиной (константой) следует считать ту, значение которой, в отличие от переменной, изменить принципиально невозможно.
Например, значение постоянной величины в виде выражения 12+3 равно 15, и изменить его нельзя. При этом необходимо фиксировать смысл знаков, с помощью которых представляется величина. В противном случае, если считать, например, знаки этого выражения цифрами в системе счисления с основанием 5, то тогда его значение окажется равным 10.
Определение
Итак, в математических текстах носителями значений, то есть величинами, являются переменные, константы, обращения к функциям (или просто функции), а также выражения.
Особенности переменных
Обозначения, с которыми связываются определённые значения, в математике называют переменными (термин употребляется как имя существительное).
Например, значение переменной величины x+1 зависит от значения, связанного с обозначением x. Здесь обозначение x используется в качестве переменной. Изменив значение переменной x, мы тем самым изменим и значение переменной величины x+1.
Таким образом, значения переменных величин зависят от значений переменных, которые входят в их состав. Отличительным свойством переменной является то, что конкретное её значение должно быть ей просто приписано (назначено).
Математический подход, определяющий возможность вычисления значений переменных, в данном контексте оказывается неправильным. В математике можно вычислять только значения выражений.
Основное условие использования переменной в математических текстах в окончательном виде таково: для обращения к переменной достаточно указать её обозначение.
Особенности констант
В математических текстах могут быть использованы две разновидности констант: константы-лексемы и именованные константы.
Кстати, программисты на языках высокого уровня, пользуются этим на вполне формальных (законных) основаниях.
С помощью констант-лексем значения постоянных величин указываются непосредственно без выполнения каких-либо операций. Например, для получения значения постоянной величины 12+3, которая является выражением, необходимо выполнить сложение двух констант-лексем 12 и 3.
Определение
Именованная константа представляет собой обозначение, сопоставленное конкретному значению, указанному в виде константы-лексемы.
Такой приём широко используется в естественных науках из соображений удобства записи физических, химических, математических и иных формул. Например: g = 9,81523 – ускорение свободного падения на широте Москвы; π = 3,1415926 – число $π$.
Помимо компактной записи выражений, именованные константы обеспечивают наглядность и значительные удобства в работе с математическими текстами.
Своё значение именованная константа приобретает как результат предварительной договорённости.
Важное свойство любой именованной константы состоит в том, что её значение не рекомендуется менять в пределах некоторого математического текста.
Выражения
Выражения являются составными частями подавляющего большинства математических текстов. С помощью выражений задают порядок вычисления новых значений на основании других заранее известных значений.
В общем случае в составе выражений используют операнды, знаки операций и регулирующие круглые (квадратные, фигурные) скобки.
Определение
Операнды – это общее название объектов, значения которых используют при выполнении операций. Операндами могут быть переменные, константы и функции. Кстати, этот термин весьма популярен в среде программистов. Фрагмент выражения, заключённый в регулирующие скобки, рассматривается как отдельный составной операнд.
Знак операции символизирует вполне определённую совокупность действий, которые должны быть выполнены над соответствующими операндами. Регулирующие скобки устанавливают нужный порядок выполнения операций, который может отличаться от предусмотренного приоритетом операций.
Простейшим случаем выражения является отдельный операнд. В таком выражении нет знаков операций.
Операнд-функция имеет свои особенности. Как правило, такой операнд представляет собой наименование (или знак) функции с последующим указанием в круглых скобках перечня её аргументов. В данном случае круглые скобки являются неотъемлемой принадлежностью функций и к регулирующим не относятся. Отметим, что во многих случаях в операндах-функциях обходятся без скобок (например, 5! – вычисление факториала целого числа 5).
Математические операции
Основные особенности математических операций таковы:
- знаки операций могут быть указаны с помощью специальных символов, а также с помощью специально оговоренных слов;
- операции могут быть унарными (выполняемыми над одним операндом) и бинарными (выполняемыми над двумя операндами);
- для операций установлены четыре уровня приоритетов, определяющих порядок вычисления выражения.
Правила вычисления сложного выражения, содержащего цепочку операций при отсутствии регулирующих скобок, следующие:
- cначала вычисляются значения всех функций;
- затем поочерёдно выполняются операции в порядке убывания их приоритета;
- операции равного приоритета выполняются по порядку слева направо.
При наличии регулирующих скобок выражение содержит составные операнды, значения которых должны быть вычислены в первую очередь.
Некоторые особенности записи математических выражений:
- не рекомендуется пропускать знаки операций, хотя во многих случаях можно пропустить знак умножения;
- аргументы функций желательно указываться в круглых скобках;
- указание подряд двух и более знаков бинарных операций недопустимо; формально допустимо использование нескольких знаков унарных операций подряд, в том числе и вместе с бинарной.
Переменные и постоянные величины – это не совсем просто
Школьная математика всегда убеждала и продолжает убеждать нас в том, что вопрос о переменных и постоянных величинах решается очень просто. Переменными считаются величины, которые в условиях данной задачи могут принимать различные значения. Постоянными считаются величины, которые в условиях данной задачи свои значения не меняют.
При этом дополнительно сообщается, что деление величин на переменные и постоянные достаточно условно и зависит от обстоятельств, сопровождающих процесс решения задачи . Одна и та же величина, которая в одних условиях считалась постоянной, в других условиях должна рассматриваться как переменная. Классический пример: сопротивление проводника считается постоянным, пока мы не оказываемся вынужденными учитывать зависимость величины его сопротивления от температуры окружающей среды.
Но, как показывает практика, всего вышеуказанного для корректного решения той или иной задачи бывает недостаточно.
Что такое величина, каждому ясно интуитивно. Уточним это понятие.
В общем случае содержанием процесса решения задачи есть преобразование величин. При этом следует понимать, что в общефилософском смысле величина, представляющая результат решения задачи, уже содержится в её формулировке в неявном виде. Нужно только правильно построить процесс преобразования величин задачи, чтобы этот результат представить явно.
Определение
Будем называть величиной любой математический объект, который несет (или может нести) информацию о том или ином значении.
Форма представления величин может быть различной. Например, величина с числовым значением, равным действительной единице, может быть представлена десятичной констант ой 1,0, функцией Cos(0), а также арифметическим выражением 25,0 – 15,0 – 9,0.
Значения величин можно менять. Так, в результате выполнения действия x = 1,0 величина в форме переменной x оказывается носителем значения действительной единицы. При этом предыдущее значение переменной x теряется. Приведённые примеры уже несколько с иных позиций показывают, что величины могут быть переменными и постоянными.
Определение
Переменные величины обладают тем свойством, что их значения могут быть изменены в результате выполнения тех или иных действий. И это значит, что понятие “переменная величина” отражает возможность, но не факт изменения.
Постоянной величиной (константой) следует считать ту, значение которой, в отличие от переменной, изменить принципиально невозможно.
Например, значение постоянной величины в виде выражения 12+3 равно 15, и изменить его нельзя. При этом необходимо фиксировать смысл знаков, с помощью которых представляется величина. В противном случае, если считать, например, знаки этого выражения цифрами в системе счисления с основанием 5, то тогда его значение окажется равным 10.
Определение
Итак, в математических текстах носителями значений, то есть величинами, являются переменные, константы, обращения к функциям (или просто функции), а также выражения.
Особенности переменных
Обозначения, с которыми связываются определённые значения, в математике называют переменными (термин употребляется как имя существительное).
Например, значение переменной величины x+1 зависит от значения, связанного с обозначением x. Здесь обозначение x используется в качестве переменной. Изменив значение переменной x, мы тем самым изменим и значение переменной величины x+1.
Таким образом, значения переменных величин зависят от значений переменных, которые входят в их состав. Отличительным свойством переменной является то, что конкретное её значение должно быть ей просто приписано (назначено).
Математический подход, определяющий возможность вычисления значений переменных, в данном контексте оказывается неправильным. В математике можно вычислять только значения выражений.
Основное условие использования переменной в математических текстах в окончательном виде таково: для обращения к переменной достаточно указать её обозначение.
Особенности констант
В математических текстах могут быть использованы две разновидности констант: константы-лексемы и именованные константы.
Кстати, программисты на языках высокого уровня, пользуются этим на вполне формальных (законных) основаниях.
С помощью констант-лексем значения постоянных величин указываются непосредственно без выполнения каких-либо операций. Например, для получения значения постоянной величины 12+3, которая является выражением, необходимо выполнить сложение двух констант-лексем 12 и 3.
Определение
Именованная константа представляет собой обозначение, сопоставленное конкретному значению, указанному в виде константы-лексемы.
Такой приём широко используется в естественных науках из соображений удобства записи физических, химических, математических и иных формул. Например: g = 9,81523 – ускорение свободного падения на широте Москвы; π = 3,1415926 – число $π$.
Помимо компактной записи выражений, именованные константы обеспечивают наглядность и значительные удобства в работе с математическими текстами.
Своё значение именованная константа приобретает как результат предварительной договорённости.
Важное свойство любой именованной константы состоит в том, что её значение не рекомендуется менять в пределах некоторого математического текста.
Выражения
Выражения являются составными частями подавляющего большинства математических текстов. С помощью выражений задают порядок вычисления новых значений на основании других заранее известных значений.
В общем случае в составе выражений используют операнды, знаки операций и регулирующие круглые (квадратные, фигурные) скобки.
Определение
Операнды – это общее название объектов, значения которых используют при выполнении операций. Операндами могут быть переменные, константы и функции. Кстати, этот термин весьма популярен в среде программистов. Фрагмент выражения, заключённый в регулирующие скобки, рассматривается как отдельный составной операнд.
Знак операции символизирует вполне определённую совокупность действий, которые должны быть выполнены над соответствующими операндами. Регулирующие скобки устанавливают нужный порядок выполнения операций, который может отличаться от предусмотренного приоритетом операций.
Простейшим случаем выражения является отдельный операнд. В таком выражении нет знаков операций.
Операнд-функция имеет свои особенности. Как правило, такой операнд представляет собой наименование (или знак) функции с последующим указанием в круглых скобках перечня её аргументов. В данном случае круглые скобки являются неотъемлемой принадлежностью функций и к регулирующим не относятся. Отметим, что во многих случаях в операндах-функциях обходятся без скобок (например, 5! – вычисление факториала целого числа 5).
Математические операции
Основные особенности математических операций таковы:
- знаки операций могут быть указаны с помощью специальных символов, а также с помощью специально оговоренных слов;
- операции могут быть унарными (выполняемыми над одним операндом) и бинарными (выполняемыми над двумя операндами);
- для операций установлены четыре уровня приоритетов, определяющих порядок вычисления выражения.
Правила вычисления сложного выражения, содержащего цепочку операций при отсутствии регулирующих скобок, следующие:
- cначала вычисляются значения всех функций;
- затем поочерёдно выполняются операции в порядке убывания их приоритета;
- операции равного приоритета выполняются по порядку слева направо.
При наличии регулирующих скобок выражение содержит составные операнды, значения которых должны быть вычислены в первую очередь.
Некоторые особенности записи математических выражений:
- не рекомендуется пропускать знаки операций, хотя во многих случаях можно пропустить знак умножения;
- аргументы функций желательно указываться в круглых скобках;
- указание подряд двух и более знаков бинарных операций недопустимо; формально допустимо использование нескольких знаков унарных операций подряд, в том числе и вместе с бинарной.
Примерами переменных могут служить: температура воздуха, параметр функции и многое другое.
Переменная характеризуется только множеством значений, которые она может принимать . Переменную обозначают символом, общим для каждого из её значений.
Переменные в математике
В математике переменной может быть как реальная физическая величина , так и некая абстрактная величина, не отражающая процессов реального мира.
Декарт считал значения переменных всегда неотрицательными, а отрицательные величины выражал знаком отражал знаком «минус» перед переменной. Если знак коэффициента был неизвестен, Декарт ставил многоточие . Нидерландский математик Иоганн Худде уже в 1657 году позволил буквенным переменным принимать значения любого знака .
Переменные в программировании
В программировании переменная - это идентификатор , определяющий данные . Обычно это имя, скрывающее за собой область памяти, куда могут помещаться данные, хранящиеся в другой области памяти. Переменная может иметь тип значений, которые она может принимать. В программировании, переменные, как правило, обозначаются одним или несколькими словами или символами, такими, как «time», «x», «