Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь - произвольные постоянные; - n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем - члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;






.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Для нахождения общего решения y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) необходимо найти частное решение .

Его можно найти из общего решения уравнения y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 некоторых вариаций произвольных постоянных

Подставим в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

Интегрированием найдем и

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. Уравнение Бернулли.

11. Уравнение Риккати.:

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в форме:

где a (x ), b (x ), c (x ) − непрерывные функции, зависящие от переменной x .

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати . Его решение основано на следующей теореме:

Теорема : Если известно частное решение y 1 уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой

Действительно, подставляя решение y = y 1 + u в уравнение Риккати, имеем:

Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y 1 − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u (x ):

Второй вариант риккати(писать только один из)

В общем случае не интегрированно в квадратурах

Однако если известно одно частное решение , то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли

Для этого положим сделаем замену:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

n=2 Бернули

12. Уравнение Лагранжа .:

13. Уравнение Клеро.:

14. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка .

15. Линейные дифференциальные уравнения n го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.:

16. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных

дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными

коэффициентами.

17. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом:

Квазиполином Эйлера: Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7) Можно искать частное решение методом Лагранжа, однако в некоторых случаях можно найти проще Рассмотрим эти случаи:1. f(x) = , -многочлен степени n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). В этих случаях f(x) называют квазиполиномом ЭЙЛЕРА. В этих случаях записывают ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляют в ур-е (5.1). Из полученного тождества находят значение коэффициентов. Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид:f(x) = α R -многочлен степени n. Ур-е (5,7) запишется в виде: y’’ + p y’ + q y = (5.8) В этом случае частное реш-е ищем в виде: = Qn (x) (5.9) где r – число = кратности α как корня характеристического ур-я + p k + q = 0,т.е. r – число,показывающее сколько раз α явл-я корнем ур-я + p k + q = 0, При этом Qn (x) = + + …. + A n –многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами Ai (i= 0, 1, 2,…n) А) Пусть α не является корнем характеристического ур-я: + p k + q = 0,т.е. α , r = 0 и решение ищем в виде = Q n (x) Б) Пусть α является однократным(простым) корнем характеристического ур-я + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) В) Пусть α = является 2-хкратным корнем характеристического ур-я + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) Случай 2: Правая часть (5.7) имеет вид:f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) ,Где )и Qm (x) многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительного числа, тогда ур-е (5.7) запишется в виде y’’ + py’ + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) В это случае частное решение: = * (Ml (x) cosβx + N l (x) sin βx) (5.11) r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения: + pk + q = 0, Me (x) и Ne (x)-многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами. l –наивысшая степень многочленов )и Qm (x), l =max(n,m). Замечание 1: После подстановки функции (5.11) в (5.10) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригоном. функциями в левой и правой частях ур-я. Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 и Qm (x) 0. Замечание 3 : Если правая часть ур-я (5.7) есть сумма функций вида 1 и 2 , то для нахождения следует использовать теорему (5.2) о наложении решений. Теорема (5.2) : о наложении решений: Если правые части ур-я (5.1) представляют собой сумму 2-х функций:f(x) = (x) + (x) ,а u - частные решения ур-я + (x) y ‘ + (x) y = (x) + (x) y ‘ + (x) y = (x)То является решение данного ур-я. Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида. Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) где (x) , …, (x) , f(x) заданы непрерывной функцией на интервале (а, b) . Соотв. однородное ур-е + (x) + … + (x)y = 0. Общее решение y ЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения НУ и общего решения ОУy= . может быть найдено если известно общее решение ОУ = + + … + гдеyi(x) – частное реш-е образующее фундаментальную систему решений ОУ.Для нахождения Сi(x)составляется система ур-й + + … + = 0 + + … + = 0 + + … + = 0 + + … + = f (x)Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которого имеет специальный вид, можно найти методом неопределенных коэф-в.Метод подбора частного решения для уравнения y’’ + + … + y = f (x) R,где f (x) квазиполином Эйлера тот же что и при n=2.

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C"(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C" j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C" j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Максимальная степень производной 2 3 4 5 6

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e - x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C" 1 , C" 2 составляем систему уравнений (8)

решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C" i составляем систему уравнений:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C" 1 из первого уравнения:
C" 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:
(1)

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный :

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1) :
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2) :
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решить уравнение

Решение

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные :

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.