1 Минерало́гия -наукаоминералах- природныххимических соединениях.

Минералогия изучает состав, свойства, структуры и условия образования минералов

Минералы- кристаллические элементы или химические соединения,возникающие в ходе геологических процессов.

2 Минеральный вид - это совокупность минералов данного химического состава с данной кристаллической структурой.

К 1-му мин.виду относятся все минеральные индивиды,характеризующиеся:

Одинаковой структурной группой

Химическим составом,непрерывно изменяющимся в определенных пределах

Равновесным существованием в определенных термодинамических условиях земной коры

3 Симметрические преобразование и элементы симметрии кристаллических многогранников.

Симметрия– правильная повторяемость элементов ограничения кристаллов при

выполнении симметрических операций.

Элементами ограничения кристаллов считаются их грани, ребра и вершины.

Симметрические операции– это повороты и отражения кристалла

относительно элементов симметрии.

Элементы симметрии 1 рода.

Ось симметрии Ln - это воображаемая прямая линия, проходящая при вращении кристалла вокруг которой через один и тот же угол наблюдается повторения элементов ограничения. L6-L4L3L2

Элементы симметрии 2 рода:

-плоскость симметрии(Р)- такая плоскость,которая делит фигуры на две равные части,каждая из которой является зеркальным отображением другой

-центр симметрии(инверсии)(С)- представляет собой точку внутри кристалла от которой по обе стороны на равных расстояниях нах-ся тождественные точкиграней и вершин.центр инверсии бывает только один либо его нет.

Инверсионная ось симметрии Ln– это воображаемая линия, при повороте вокруг которой на угол, задаваемый порядком оси, с последующимотражением в точке, лежащей на этой оси, как в центре инверсии, кристаллсовмещается сам с собой.

Таким образом, действие инверсионной оси вклю-чает в себя два момента: во-первых, поворот на угол, задаваемый порядком

оси, во-вторых, отражение в точке, как в центре инверсии.

4. Полярные и неполярные оси симметрии

а) полярные –на концах оси разные эл-ты фигуры;

б)неполярные(биполярные)на концах оси одинаковые эл-ты фигуры.

5.Единичные направления в криталлах.

Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называет-ся единичным.

В кубе нет единичных направлений, здесь для любогонаправления можно найти симметрично-равное.

По симметрии и по числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: низшую, среднюю, высшую.

6В учебной символике символике Браве - оси симметрии обозначаются как Ln

Где подстрочный цифровой индекс п указывает на порядок

оси1 Графически оси симметрии обозначаются многоугольниками:

в плоскости –

плоскость симметрии Р

Отражение в точке (инверсия) –

центр симметрии, инверсии С

Поворот с отражением в точке - инверсионная ось L n i - с черточкой наверху. Порядок оси - 1, 2, 3, 4, 6.

Инверсионные оси Зеркальные оси

L 6 = L 3 + перп.P. Л 6 = L 3

L 4 Л 3 = L 6

L 3 = L 3 + C. Л 4 = L 4

L 2 = P. Л 2 =С

L 1 = C .

Формула симметрии состоит из записанных элементов симметрии данного кристалла в определенной последовательности: оси высшего порядка®осиL2 ®плоскости симметрии®центр симметрии. В кубической сингонии на втором месте всегда стоит4L3 . Если какой-либо элемент отсутствует, он опускается.

Цель изучения 1. Познакомить учащихся с симметрией в пространстве. 2. Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками. 3. Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез. 4. Показать связь геометрии и природы. 5. Познакомить учащихся с симметрией правильных многогранников.

Прогнозируемый результат 1. Знать понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры. 2. Знать определение правильных выпуклых многогранников. 3. Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел. 4. Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников. 5. Уметь охарактеризовать элементы симметрии правильных многогранников. 6. Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

На рисунках 4,5,6 показаны центр О, ось а и плоскость α симметрии прямоугольного параллелепипеда. Параллелепипед, не являющийся прямоугольным, но являющийся прямой призмой, имеет плоскость (или плоскости, если его основание – ромб), ось и центр симметрии.

Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей, плоскостей симметрии). Например, куб имеет только один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является ее центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является ее осью (плоскостью) симметрии. С другой стороны, существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, параллелепипед, не являющийся прямой призмой, не имеет оси симметрии, но имеет центр симметрии.

С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.(Рис.7)

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n – угольники при n 6. Угол правильного многоугольника вычисляется по формуле α n = (180°(n-2)) : n. При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360°. При n=3 гранями многогранника служат правильные треугольники с углом, равным 60°. 60°·3 = 180°

Если n = 4, то α = 90°, грани многогранника – квадраты. 90°·3 = 270° 360°. В этом случае также имеем только один правильный многогранник – додекаэдр. Если n 6, то α n 120°, α n ·3 360°, и, следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого служат правильные n – угольники при n 6. Если n = 4, то α = 90°, грани многогранника – квадраты. 90°·3 = 270° 360°. В этом случае также имеем только один правильный многогранник – додекаэдр. Если n 6, то α n 120°, α n ·3 360°, и, следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого служат правильные n – угольники при n 6.

«Правильные многогранники в философской картине мира Платона» Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок.428 – ок.348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе Х\/I – Х\/ІІ вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630). «Кубок Кеплера» Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. А теперь от Древней Греции перейдём к Европе Х\/I – Х\/ІІ вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630). «Кубок Кеплера» Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но наконец нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера где говорится о кубах средних расстояний от Солнца. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы бредовых, не может существовать наука.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80 – х гг. высказали московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро – додекаэдровую структуру Земли. (рис.8)Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро – додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам. Правильный многогранник Число Граней ВершинРёбер Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Число Граней и вершин (г+в) Рёбер Тетраэдр = 8 6 Куб = Октаэдр = Додекаэдр = Икосаэдр = 32 30

Г + В = Р + 2 Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи () увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадоре Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
42

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По – видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево- калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Элементы симметрии правильных многогранников Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии, имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии. Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей, девять осей симметрии, девять плоскостей симметрии. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

Тест 1. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником? а) правильный тетраэдр; б) правильный кексаэдр; в) правильная призма; г) правильный додекаэдр; д) правильный октаэдр. 2. Выберите верное утверждение: а) правильный многогранник, у которого грани являются правильными шестиугольниками, называется правильным кексаэдром;

Б) сумма плоских углов при вершине правильного додекаэдра равна 324°; в) куб имеет два центра симметрии – по одному в каждом основании; г) правильный тетраэдр состоит из 8 правильных треугольников; д) всего существует 6 видов правильных многогранников. 3. Какое из следующих утверждений неверно? а) сумма двугранных углов правильного тетраэдра и правильного октаэдра равна 180°; б) центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра;

В) правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников; г) сумма плоских углов при каждой вершине правильного икосаэдра равна 270°; д) куб и правильный кексаэдр – это одно и то же. Подведём итоги. - С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились? -- Почему Л.Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников? -Домашнее задание: п.35, п.36,п (устно)

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.

Примеры размерности симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.

Мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии.

Теорема. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть А -- его вершина, а -- ребро с концом А, а -- грань со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А", а", а" существует наложение многогранника Р на себя, переводящее А" в А, а" в а, а" в а.

Доказательство

Переносом многогранника переведем вершину А" в А. Поворотом многогранника вокруг А переведем перенесенное ребро а" в а. Поворотом многогранника вокруг ребра а приведем (перенесенную и повернутую) грань а" в совпадение с гранью а. Так как грани равны, то грань а" полностью совместится с а.

Так как двугранные углы равны, то для граней р и р", смежных с а и а", есть только две возможности: 1) р" совпадает с р; 2) р" не совпадает с р, но будет симметрична р относительно плоскости грани а. В таком случае отражением в этой плоскости переведем Р" в р.

Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину А" с А, ребро а" -- с а, грани а", р", смежные по ребру а", -- с гранями а, р, смежными по ребру а.

Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой. Две грани многогранного угла при вершине А совпали (а" с а, р" с р). Перейдем к граням у и у", соседним с р. Двугранные углы, которые они образуют с р, равны и расположены с одной стороны -- с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у" совпадает с у. Так убедимся, что многогранные углы при вершине А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с А ребром, аналогично убедимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многограннику, убедимся, что он совпал сам с собой, что и требовалось доказать. ?

Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что они обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А" с А, ребро а" -- с а, грань а"-- с а, и примыкающую грань р" -- с р. Наложение этим вполне определено, оно только одно. Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, р можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой максимальной симметрией, то он правильный (так как ребро а совмещается с а", угол на грани а" при вершине А совмещается с таким же углом, и двугранный угол между а" и р 4 " совмещается с углом между а и р.-- так что все ребра и углы равны). Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 те, где т -- число ребер, сходящихся в одной вершине, и е -- число вершин; те наложений первого рода и те -- наложений второго рода. Они и образуют группу симметрии правильного многогранника. Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тетраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис. 1.5, а). Наиболее интересные элементы симметрии -- это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраэдра, 6-го порядка -- у куба, 10-го порядка -- у додекаэдра (рис. 1.5,б). Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 1.5 в, г.

1 .5 Подобие многогранников

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.

Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.

Кроме того, справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.

Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы - как кубы сходственных линейных элементов многогранников.

Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точка, линия, плоскость и их сочетания), с помощью которых мысленно можно совместить в пространстве равные грани кристалла (многогранника). При этом под симметрией кристалла понимается закономерное повторение в пространстве равных его граней, а также вершин и ребер.

Различают три основных элемента симметрии кристаллов – центр симметрии, плоскость симметрии и оси симметрии.

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри кристалла, равноудаленная от его элементов ограничения (т. е. противоположных вершин, середин ребер и граней). Центр симметрии является точкой пересечения диагоналей правильной фигуры (куба, параллелепипеда) и обозначается буквой С , а по международной системе Германа-Могена – I.

Центр симметрии в кристалле может быть только один. Однако имеются кристаллы, в которых центр симметрии вообще отсутствует. При решении вопроса о том, имеется ли центр симметрии в Вашем кристалле, необходимо руководствоваться следующим правилом:

«При наличии центра симметрии в кристалле каждой его грани соответствует равная и противоположная ей грань».

На практических занятиях с лабораторными моделями наличие или отсутствие центра симметрии в кристалле устанавливается следующим образом. Кладем кристалл какой-либо его гранью на плоскость стола. Проверяем, присутствует ли сверху равная и параллельная ей грань. Повторяем ту же операцию для каждой грани кристалла. Если каждой грани кристалла отвечает сверху равная и параллельная ей грань, то центр симметрии в кристалле присутствует. Если хотя бы для одной грани кристалла не найдется сверху равной и параллельной ей грани, то центра симметрии в кристалле нет.

Плоскостью симметрии (обозначается буквой Р, по международной символике – m) называется воображаемая плоскость, проходящая через геометрический центр кристалла и разделяющая его на две зеркально равные половины. Кристаллы, имеющие плоскость симметрии, обладают двумя свойствами. Во-первых, две его половины, разделенные плоскостью симметрии, равны по объему; во-вторых, они равны, как отражения в зеркале.

Для проверки зеркального равенства половин кристалла необходимо из каждой его вершины провести воображаемые перпендикуляр к плоскости и продолжить его на то же расстояние от плоскости. Если каждой вершине соответствует с противоположной стороны кристалла зеркально отраженная ей вершина, то плоскость симметрии в кристалле присутствует. При определении плоскостей симметрии на лабораторных моделях кристалл ставится в фиксированное положение и затем мысленно рассекается на равные половины. Проверяется зеркальное равенство полученных половин. Считаем, сколько раз мы можем мысленно рассечь кристалл на две зеркально равные части. Помните, что кристалл при этом должен быть неподвижен!

Число плоскостей симметрии в кристаллах варьирует от 0 до 9. Например, в прямоугольном параллелепипеде находим три плоскости симметрии, т. е. 3Р.

Осью симметрии называется воображаемая линия, проходящая через геометрический центр кристалла, при повороте вокруг которой кристалл несколько раз повторяет свой внешний вид в пространстве, т. е. самосовмещается. Это означает, что после поворота на некоторый угол на место одних граней кристалла становятся другие, равные им грани.

Основной характеристикой оси симметрии является наименьший угол поворота, при котором кристалл первый раз «повторяется» в пространстве. Этот угол называется элементарным углом поворота оси и обозначается α, например:

Элементарный угол поворота любой оси обязательно содержится целое число раз в 360°, т. е. (целое число), где n – порядок оси.

Таким образом, порядком оси называется целое число, показывающее, сколько раз элементарный угол поворота данной оси содержится в 360°. Иначе, порядок оси – это число «повторений» кристалла в пространстве при полном его повороте вокруг данной оси.

Оси симметрии обозначаются буквой L, порядок оси - маленькой цифрой справа внизу, например, L 2 .

В кристаллах возможны следующие оси симметрии и соответствующие им элементарные углы поворота.

Таблица 1

Соотношение осей симметрии и элементарных углов поворота

В любом кристалле существует бесконечное количество осей симметрии первого порядка, поэтому на практике они не определяются.

Осей симметрии 5-го и любого порядка выше 6-го в кристаллах вообще не существует. Эта особенность кристаллов формулируется как закон симметрии кристаллов. Закон симметрии кристаллов объясняется специфичностью их внутреннего строения, а именно – наличием пространственной решетки, которая не допускает возможности существования осей 5-го, 7-го, 8-го и так далее порядков.

В кристалле может быть несколько осей одного и того же порядка. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствуют три оси 2-го порядка, т. е. 3L 2.

В кубе - 3 оси 4-го порядка, 4 оси 3-го порядка и 6 осей 2-го порядка. Оси симметрии наивысшего порядка в кристалле называют главными.

Нахождение осей симметрии на моделях во время лабораторных занятий осуществляется в следующем порядке. Кристалл берется кончиками пальцев одной руки за его противоположные точки (вершины, середины ребер или граней). Воображаемая ось ставится перед собой вертикально; запоминается какой-либо характерный внешний вид кристалла. Затем кристалл вращается другой рукой вокруг воображаемой оси до тех пор, пока его первоначальный внешний вид не «повторится» в пространстве. Считаем, сколько раз кристалл «повторяется» в пространстве при полном повороте вокруг данной оси. Это и будет ее порядок. Аналогичным образом проверяются все другие теоретически возможные направления прохождения оси симметрии в кристалле. Данные оси симметрии называются простыми.

Кроме них существуют сложные оси симметрии, называемые зеркально-поворотными и инверсионными. Зеркально-поворотная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси и перпендикулярной ей плоскости симметрии. Зеркально-поворотные оси могут быть тех же порядков, что простые, но на практике используется только ось 4-го порядка, которая обозначается L 4 2 и всегда ровна L 2, но не наоборот.

Инверсионная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси симметрии и центра симметрии. На практике и в теории используются только инверсионные оси 4-го и 6-го порядка. Они обозначаются Li 4 и Li 6 .

Сочетание всех элементов симметрии кристалла, записанное условными обозначениями, называется его формулой симметрии . В формуле симметрии сначала перечисляются оси симметрии, затем плоскости симметрии и последним показывается наличие центра симметрии. Между обозначениями не ставится точек или запятых. Например, формула симметрии прямоугольного параллелепипеда: 3L 3 3PC; куба – 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Виды симметрии кристаллов

Видами симметрии называются возможные в кристаллах сочетания элементов симметрии. Каждому виду симметрии соответствует определенная формула симметрии.

Всего для кристаллов теоретически доказано наличие 32 видов симметрии. Таким образом, всего существует 32 формулы симметрии кристаллов.

Все виды симметрии объединяются в 7 ступеней симметрии с учетом наличия характерных элементов симметрии.

1. Примитивная – объединяются виды симметрии, представленные только одиночными осями симметрии разного порядка: L 3 , L 4 , L 6 .

2. Центральная – помимо одиночных осей симметрии присутствует центр симметрии; кроме того, наряду с наличием четных осей симметрии появляется еще плоскость симметрии: L 3 С, L 4 PC, L 6 PC.

3. Планальная (план – плоскость, греч.) – присутствуют одиночная ось и плоскости симметрии: L 2 2P, L 4 4P.

4. Аксиальная (аксис – ось, греч.) – присутствуют только оси симметрии: 3L 2 , L 3 3L 2 , L 6 6L 2 .

5. Планаксиальная – присутствуют оси, плоскости и центр симметрии: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Инверсионно-примитивная – наличие единственной инверсионной оси симметрии: L i 4 , L i 6 .

7. Инверсионно-планальная – наличие, помимо инверсионной оси, простых осей и плоскостей симметрии: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

В каждую ступень симметрии объединяется разное количество видов симметрии: от 2 до 7.

Сингонии

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одноименной главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии (син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность, греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов.

Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом.

1. Триклинная сингония (клин – угол, наклон, греч.) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С других элементов симметрии нет.

2. Моноклинная (монос – один, греч.) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствовать L 2 , P и С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды.

3. Ромбическая – получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1-го рода).

4. Тригональная – названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует одна L 3 .

5. Тетрагональная – характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствует L 4 или L i4 .

6. Гексагональная – сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие одной L 6 или L i 6 .

7. Кубическая – типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4L 3 .

Сингонии объединяются в 3 категории : низшую, среднюю и высшую.

Похожая информация.