Друзья! В состав ЕГЭ по математике входят текстовые задачи, основанные на реальных примерах, которые приходится решать в повседневной жизни. После вычисления требуется округлить ответ до целого числа в большую или меньшую сторону. Задачи классифицируют на два типа «округление с недостатком» и «округление с избытком».

Можно было бы дать такой совет: если в задаче ЕГЭ речь идёт о сырках, шоколадках, тюльпанах, книгах в шкафу то ответ округляйте в меньшую сторону, если речь идёт о пассажирах, бумаге в пачках, лекарствах, маринаде и прочем, то округляйте в большую сторону.

Но я предлагаю вам удалить из головы такие сами выражения «недостаток» и «избыток», чтобы не запутать себя и лучше руководствоваться простым здравым смыслом. Задачи на самом экзамене могут быть совсем о других предметах, и запоминание подобной информации будет просто бессмысленно и нецелесообразно.

Рассмотрим задачи:

Сырок стоит 6 рублей 60 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?

Рассмотрим первый способ:

Понятно, что 80 рублей нужно разделить на 6р60коп, и мы получим количество сырков, которое можно купить на 80 рублей:

Получили двенадцать целых восемь шестьдесят шестых сырка. Понятно, что часть сырка в магазине не продадут, поэтому ответ округляем в меньшую сторону. Значит, наибольшее количество сырков, которое можно купить это 12.

Другой способ:

Подобные задачи можно решать путём перебора. По сумме 80 рублей и стоимости сырка видно, что 10 сырков можно купить точно, значит начнем с десяти:

Из данного решения следует, что 80 рублей хватит только на 12 сырков.

Ответ: 12

Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 310 рублей в воскресенье?

Определим, сколько шоколадок можно приобрести на 310 рублей:

Округляем в меньшую сторону, так как половина шоколадки не продаётся. То есть на 310 рублей можно купить 15 шоколадок (310=15∙20+10, 10 рублей это сдача). В воскресенье за каждые две купленные дарят третью.

Предлагаю вам в подобных задачах для наглядности расписать сумму подобным образом:

15=2+2+2+2+2+2+2+1

Видно, что подарят 7 шоколадок (по одной на каждую пару). Значит всего можно приобрести 15+7=22 штуки.

Ответ: 22

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Определим максимальное количество тюльпанов, которое может купить Ваня:

Ваня может купить максимум 6 тюльпанов, округляем в меньшую сторону, так как четыре шестых тюльпана ему не продадут. Но полагается дарить нечётное число цветов, поэтому наибольшее число тюльпанов, которое он может подарить – это 5 штук.

Ответ: 5

В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 410 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Сначала определим, сколько учебников помещается в одном шкафу:

8∙20 = 160 штук

Определяем, сколько всего завезли учебников. Т ри курса по 410 учебников на каждый, это

3∙410=1230 учебников.

Теперь необходимо найти сколько шкафов будет заполнено, разделим общее число учебников на количество учебников, которое помещается в один шкаф:

Значит, полностью учебниками заполнится 7 шкафов и ещё часть восьмого шкафа.

Ответ: 7

Умение решать химические задачи – важная составляющая знаний по предмету. Согласно государственному стандарту образования по химии учащиеся, оканчивающие школу, должны уметь решать более десятка типов стандартных задач. Среди них и задачи на «избыток–недостаток».
Предлагаю свой вариант подачи материала по решению таких задач в курсе химии 9-го класса.
На изучение этой темы отвожу 2–2,5 урока, в зависимости от уровня способностей учеников класса. Ознакомление с алгоритмом решения задач данного типа происходит в рамках изучения темы «Теория электролитической диссоциации». Однако если класс сильный, то в рамках эксперимента этот тип задач иногда изучаем и в конце 8-го класса в главе «Галогены», а высвободившееся время можно потратить на изучение органической химии в курсе 9-го класса.
На первом уроке разбираю два типа задач на «избыток–недостаток»:
одно из двух вступивших в реакцию веществ дано в избытке;
оба вступивших в реакцию вещества расходуются на взаимодействие друг с другом без остатка, т. е. даны в стехиометрических количествах.
В качестве домашнего задания обязательно предлагаются две-три задачи, подобные изученным на уроке.
На втором уроке закрепляю и углубляю изученный материал, ввожу понятия «процентная концентрация растворов веществ», вступивших в реакцию, «плотность растворов». Кроме того, усложняю задачи, вводя «процентное содержание примесей в исходном веществе» и т. д. Такой прием позволяет повторить элементы уже изученного материала, сэкономить время. В конце второго урока изучения темы или в начале третьего провожу небольшую самостоятельную работу на закрепление изученного материала, включающую одну-две задачи, причем самостоятельная работа предлагается в трех уровнях сложности, в зависимости от способностей ученика.

Урок 1

Решение задач на «избыток–недостаток»

Цели .

научить алгоритму решения задач нового типа;
закрепить навыки устного счета;
повторить правила расчета относительных молекулярных масс веществ;
закрепить правила грамотного оформления условия задачи;
формировать навыки химического мышления, логики, а также способствовать воспитанию гармоничной, всесторонне развитой личности.

ХОД УРОКА

Рассмотрим вариант, когда одно из вступивших в реакцию веществ дано в избытке, другое – в недостатке.
Решая химические задачи, следует не забывать о правилах их грамотного оформления по схеме: дано, найти, решение, ответ.

ЗАДАЧА 1. На 47 г оксида калия подействовали раствором, содержащим 40 г азотной кислоты. Найдите массу образовавшегося нитрата калия.

Дано :

m (K 2 O) = 47 г,
m (HNO 3) = 40 г.

Найти :

m (КNO 3).

Решение

M r (K 2 O) = 2A r (K) + 1A r (O) = 2 39 + 1 16 = 94,

M r (HNO 3) = 1A r (H) + 1A r (N) + 3A r (O) = 1 1 + 1 14 + 3 16 = 63,

M r (KNO 3) = 1A r (K) + 1A r (N) + 3A r (O) = 1 39 + 1 14 + 3 16 = 101.

Для удобства расчета за х 1 примем массу НNО 3 и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.

47/94 = х 1 /126, х 1 = 63 г.

Следовательно, азотная кислота дана в недостатке, т. к. по условию ее 40 г, а по расчету необходимо 63 г, поэтому расчет ведем по HNO 3:

40/126 = х /202, х = 64 г.

Ответ . m (КNO 3) = 64 г.

ЗАДАЧА 2 . На 24 г металлического магния подействовали 100 г 30%-го раствора соляной кислоты. Найдите массу образовавшегося хлорида магния.

Дано :

m (Mg) = 24 г,
m (р-р HCl) = 100 г,
(HCl) = 30%.

Найти :

m (MgCl 2).

Решение

Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:

M r (HCl) = 1A r (H) + 1A r (Cl) = 1 + 35,5 = 36,5,

M r (MgCl 2) = 1A r (Mg) + 2A r (Cl) = 24 + 2 35,5 = 95.

Для удобства расчета за х 1 примем массу соляной кислоты и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.

24/24 = х 1 /73, х 1 = 73 г.

Из расчета видно, что соляная кислота дана в недостатке, т. к. по условию задачи ее дано 30 г, а для реакции требуется 73 г. Следовательно, расчет ведем по соляной кислоте:

30/73 = х /95, х = 39 г.

Ответ . m (MgCl 2) = 39 г.

Рассмотрим вариант, когда оба вступивших в реакцию вещества даны в стехиометрических количествах, т. е. реагируют друг с другом без остатка.

ЗАДАЧА 1. На 36 г алюминия подействовали 64 г серы. Найдите массу образовавшегося сульфида алюминия.

Дано :

m (Al) = 36 г,
m (S) = 64 г.

Найти :

m (Al 2 S 3).

Решение

Примем массу Al за х 1 и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.

х 1 /54 = 64/96, х 1 = 36 г.

В данном случае вещества, вступившие в реакцию, взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:

64/96 = х /150, х = 100 г.

Ответ . m (Al 2 S 3) = 100 г.

ЗАДАЧА 2 . На раствор, содержащий 53 г карбоната натрия, подействовали раствором, содержащим 49 г серной кислоты. Найдите массу образовавшейся соли.

Дано :

m (Na 2 CO 3) = 53 г,
m (H 2 SO 4) = 49 г.

Найти :

m (Na 2 SO 4).

Решение

Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:

M r (Na 2 CO 3) = 2A r (Na) + 1A r (C) + 3A r (O) = 2 23 + 1 12 + 3 16 = 106.

M r (H 2 SO 4) = 2A r (H) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98.

M r (Na 2 SO 4) = 2A r (Na) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 23 + 1 32 + 4 16 = 142.

Примем за х 1 массу cерной кислоты, чтобы узнать, какое вещество дано в избытке, какое – в недостатке.

53/106 = х 1 /98, х 1 = 49 г.

В данном случае оба вещества взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:

49/98 = х /142, х = 71 г.

Ответ . m (Na 2 SO 4) = 71 г.

Однако учитель, подбирая задачи для решения в классе, должен помнить, что в некоторых случаях (например, если кислота или кислотный оксид дан в избытке) решение задачи не ограничивается расчетом двух пропорций, т. к. реакция будет протекать дальше с образованием кислой соли. Это повысит сложность материала. На первых уроках при решении задач данного типа я не включаю в материал задачи на прохождение реакций с образованием кислых или основных солей.

Домашнее задание

ЗАДАЧА 1 . На 200 г 10%-го раствора серной кислоты подействовали 40 г оксида алюминия. Найдите массу образовавшейся воды.

Дано :

M (р-р H 2 SO 4) = 200 г,
(H 2 SO 4) = 10%,
m (Al 2 O 3) = 40 г.

Найти:

m (Н 2 O).

Решение

Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:

M r (Al 2 O 3) = 2A r (Al) + 3A r (O) = 2 27 + 3 16 = 102,

M r (H 2 SO 4) = 2A r (H) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98,

M r (H 2 O) = 2A r (H) + 1A r (O) = 2 1 + 1 16 = 18.

m (H 2 SO 4) = 200 10/100 = 20 г.

Найдем, какое из вступивших в реакцию веществ дано в избытке, а какое – в недостатке.

х 1 /102 = 20/294, х 1 = 6,94 г.

Из расчета видно, что Al 2 O 3 дан в избытке, следовательно, расчет ведем по кислоте:

20/294 = х /54, х = 3,67 г.

Ответ . m (Н 2 O) = 3,67 г.

ЗАДАЧА 2. На 40 г оксида меди(II) подействовали раствором серной кислоты, содержащим 49 г безводного вещества. Найдите массу образовавшейся соли.

Дано :

m (CuO) = 40 г,
m (H 2 SO 4) = 49 г.

Найти :

M (СuSO 4).

Решение

Найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, а какое – в недостатке.

х 1 /80 = 49/98, х 1 = 40 г.

Cогласно уравнению данной реакции вещества взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:

40/80 = х /160, х = 80 г.

Ответ . m (CuSO 4) = 80 г.

§ 1 Понятие о приближенном значении чисел

В жизни человека встречается два вида чисел: точные и приближённые.

Например, у квадрата четыре стороны, число 4 является точным.

Другая ситуация, на вопрос, сколько вам лет вы отвечаете 12, это приближенная величина, мы ведь не говорим 12 лет 7 месяцев 26 дней.

На практике мы часто не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы хорошо они ни были настроены, не могут показать абсолютно точный вес. Любой термометр показывает температуру с той или иной погрешностью. Наш глаз не в состоянии увидеть четко показания прибора, поэтому вместо того, чтобы иметь дело с точным значением величины, мы вынуждены оперировать с ее приближённым значением

Однако знание о приближённом числе уже даёт понимание о сути дела, и к тому же не всегда точное значение бывает необходимо.

Приближенные значения чисел в математике разделяют на:

1. приближенные значения с избытком;

2. приближенные значения с недостатком.

Например, про арбуз, который весит 9 кг 280 г, мы можем сказать, что его вес примерно равен 9 кг. Это приближенное значение с недостатком. А если бы его вес составлял 9 кг 980 грамм, мы бы сказали 10 кг - это приближенное значение с избытком.

Другой пример - если длина отрезка равна 25 см 3 мм, то 25 см - это приближенное значение длины отрезка с недостатком, а 26 см - это приближенное значение длины отрезка с избытком.

Итак, если число Х больше числа А, но меньше числа В, тогда А - является приближенным значением числа Х с недостатком, а число В - приближенным значением числа Х с избытком.

§ 2 Округление чисел

Давайте рассмотрим такие примеры:

1)число 58,79 больше чем 58, но меньше 59. Число 58,79 ближе расположено к натуральному числу 59;

2)число 181, 123 больше, чем 181, но меньше, чем 182. Число 181,123 расположено ближе к натуральному числу 181. То натуральное число, к которому дробь ближе называют округленным значением этого числа.

Округление чисел - это математическое действие, которое позволяет уменьшить количество цифр в числе, заменяя его приближенным значением.

Под округлением числа понимают отбрасывание одной или нескольких цифр в десятичном представлении числа. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Например, число 58,79 округляется до 59, так как число 59 расположено ближе, а число 181,123 округляется до 181.

§ 3 Правило округления чисел

А что делать, если расстояния до приближенного значения числа с недостатком и избытком равны, например, 23,5? Оказывается, округляют в большую сторону! Т.е. получится 24

Наверняка у вас возник вопрос: «А можно ли округлять не до целого?» Конечно! Округлять можно и до других разрядов, например, до десятых, сотых, тысячных или же до десятков, сотен, тысяч и так далее.

Существует четкое правило для округления чисел:

Чтобы округлить число до какого-либо разряда - подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой - отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Теперь стало понятно, почему число 23,5 округлили до 24.

Т.к. отбрасываемая цифра равна 5.

Округлим число 86,275 до десятых.

Подчеркнем цифру 2, отбрасываем цифры 7 и 5, которые следуют за разрядом десятых. За подчеркнутой цифрой 2 стоит цифра 7, поэтому цифру 2 увеличиваем на 1. Получаем 86,3. Записывают это так:

Округлим число 6,6739 до сотых.

Подчеркиваем цифру 7, отбрасываем цифры 3 и 9, которые следуют за разрядом сотых. За подчеркнутой цифрой 7 стоит цифра 3, поэтому цифру 7 оставляем без изменения. Получаем 6,67.

Записывают это так:

Таким образом, можно убедиться, что если десятичную дробь округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры отбрасывают.

Округлим число 8 154 до сотен.

Подчеркиваем цифру 1, за ней следует цифра 5, значит 1 заменяем цифрой 2, а все последующие цифры нулями, то есть получится 8200.

Записывают это так:

Делаем вывод, что при округлении натурального числа до некоторого разряда все цифры последующих разрядов заменяются нулями.

Итак, перед вами несложный алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа:

Первое: найти нужный разряд и подчеркнуть стоящую в нем цифру.

Второе: переписать все цифры, стоящие до нее.

Третье: заменить все цифры, стоящие после выделенной, нулями до конца целой части или отбросить все цифры, имеющиеся после выделенной, если они стоят после запятой.

Четвертое: увеличить выделенную цифру на единицу, если за этой цифрой стоит цифра 5,6,7,8,9 или переписать выделенную цифру без изменений, если за ней стоит цифра 0,1,2,3,4.

Таким образом, в ходе этого урока Вы узнали, что такое приближенные значения чисел с недостатком и избытком округление чисел, а также приобрели четкий алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа!

Список использованной литературы:

Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Округление с недостатком и избытком

В предыдущем разделе в условии задачи была просьба округлить ответ до целого значения.

Чаще нам не предлагают округлить ответ, хотя это надо делать по смыслу задачи.

Это происходит, поскольку надо выполнить действие деления, которое часто дает в результате дробное число.

Но ведь не может количество предметов быть дробным.

И тогда мы округляем полученное дробное число до целого либо с недостатком, либо с избытком.

Когда же с недостатком, а когда с избытком?

Рассмотрим примеры.

Задача 1. Один метр ткани стоит 67 руб. какое наибольшее целое число метров ткани можно приобрести на 850 рублей?

850: 67 = 12,6865 (м) Целое число метров 12.

Здесь округлили с недостатком , так как ответ 12 <12, 6865.

Ответ: 12.

Задача 2 . В упаковке 480 кусков мела. За один учебный день школа расходует 300 кусков мела. Какое наименьшее число упаковок с мелом нужно купить в школу на 6 учебных дней?

300 · 6 = 1800 Кусков мела – расход на 6 дней

1 пачка – 480 кусков мела

х пачек – 1800 кусков мела

х = 1800: 480 = 3,75 упаковок Число целых упаковок на 6 дней нужно 4 шт.

Здесь округлили с избытком , так как ответ 4>3,75/

Подсказка:

Если в такого типа задаче требуется найти наибольшее значение, то ответ надо округлять с недостатком (брать меньшее целое число)

Если надо найти наименьшее значение , то ответ надо округлять с избытком (брать большее число).

Задачи с предварительным действием

Задача 3. В летнем лагере 172 ребенка и 24 воспитателя. В автобус помещается не более 30 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Всего 172 + 24 = 196 человек

196: 30 = 6,533 – целое число автобусов для перевозки всего 7

Ответ: 7.

Задача 4. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

Решение:
Для приготовления 6 литров маринада потребуется 12*6=72 г лимонной кислоты. Разделим 72 на 10.

Значит, нужно будет купить 8 пакетиков.
Ответ: 8.

Четные и нечетные числа

Четное число = кратное двум (2,4,6,8,10,12,…), нечетное – не кратное двум (3,5,7,9,11,13,…).

Задача 5. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Ромашки стоят 25 рублей за штуку. У Вани есть 120 рублей. Из какого наибольшего числа ромашек он может купить букет Маше на день рождения?

1 ромашка – 25 р

Значит Ваня сможет купить 4 ромашки. Но надо, чтобы число ромашек было нечетным. Т.е. 3 ромашки.

Акции и бонусы (или усложненное условие)

Задача 6. В магазине акция: приобретая 3 коробки конфет, четвёртую коробку покупатель получает в подарок. Какое наибольшее число коробок конфет получит покупатель на 1200 руб., если коробка конфет стоит 160 руб.?

1кор. – 160руб.

х кор. – 1200руб.

х = 1200: 160 = 7,5 кор. Целое число кор. = 7

7: 3 = 2,333кор. Целое число коробок, полученных в подарок = 2

7 + 2 = 9 кор.

Ответ: 9.

Задача 7. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 7 кг яблок?

1 кг яблок – 1,2 кг сахара

7 кг яблок – х кг сахара

х = 7·1,2/1=8,4 кг сахара

Итак, необходимо для варенья 8,4 кг сахара.

В задаче спрашивается: сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить?

Чтобы сахара хватило на варенье, 8 упаковок будет недостаточно. Надо купить 9. Одна упаковка израсходуется не полностью.

В этой задаче мы округлили с избытком.

Задача 8. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по обществознанию для 2-3 курсов, по 110 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 6 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

110 книг ·2 курса = 220 книг

6 полок · 20 книг = 120 книг умещается в шкафу

Полностью этими книгами заполнится только один шкаф. Второй шкаф будет заполнен не до конца.

Здесь мы округлили с недостатком.

Задача 9. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

Решение:
166·40=6640 г сахара,

6640·5=33200 г. - на 5 дней.

33200: 1000 = 33,2.

Округляем с избытком до целого значения.

Если у вас возникли вопросы или пожелания, пишите в комментариях.

§ 1 Понятие о приближенном значении чисел

В жизни человека встречается два вида чисел: точные и приближённые.

Например, у квадрата четыре стороны, число 4 является точным.

Приближенные значения чисел в математике разделяют на:

1. приближенные значения с избытком;

2. приближенные значения с недостатком.

§ 2 Округление чисел

Давайте рассмотрим такие примеры:

1)число 58,79 больше чем 58, но меньше 59. Число 58,79 ближе расположено к натуральному числу 59;

Например, число 58,79 округляется до 59, так как число 59 расположено ближе, а число 181,123 округляется до 181.

§ 3 Правило округления чисел

Существует четкое правило для округления чисел:

Теперь стало понятно, почему число 23,5 округлили до 24.

Т.к. отбрасываемая цифра равна 5.

Округлим число 86,275 до десятых.

Округлим число 6,6739 до сотых.

Записывают это так:

Округлим число 8 154 до сотен.

Записывают это так:

Итак, перед вами несложный алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа:

Первое: найти нужный разряд и подчеркнуть стоящую в нем цифру.

Второе: переписать все цифры, стоящие до нее.

Список использованной литературы:

Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Что значит недостаток и избыток дробей. ЕГЭ. Задание В1.11 Округление с недостатком и избытком

Урок 1

Решение задач на «избыток–недостаток»

Домашнее задание

Округление с недостатком и избытком

Задача 1. Один метр ткани стоит 67 руб. какое наибольшее целое число метров ткани можно приобрести на 850 рублей?

Задачи с предварительным действием

Задача 3. В летнем лагере 172 ребенка и 24 воспитателя. В автобус помещается не более 30 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Четные и нечетные числа

Задача 7. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 7 кг яблок?