Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени - достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

3-е свойство.

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

6-е свойство.

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

9-е свойство.

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения - еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Проверим на примерах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них;
• затем возведение в степень;
• потом выполнять действия умножения, деления;
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А если дробь?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

• 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r 1 – в этом случае равно 3;

r 2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 - b n и h 5 -d 4 есть a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Ответ: x 4 - y 4 .
Умножьте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a 2 - b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a - h + y)^3}{(a - h + y)^3} = d$

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a - b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

  Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте внимательны!

  Свойство № 3
  Возведение степени в степень

  Запомните!

  При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

  (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

  
  

  Свойства 4
  Степень произведения

  Запомните!

  При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

  (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важно!

  Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

  (a n · b n)= (a · b) n

  То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

  Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Пример возведения в степень десятичной дроби.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Свойства 5
  Степень частного (дроби)

  Запомните!

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

  (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.

Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.

Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.

целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.

Любое число в нулевой степени равно единице :

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:

Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).

С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Отсюда уже несложно выразить искомое:

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).

Подведем итоги:

I. Выражение не определено в случае. Если, то.

II. Любое число в нулевой степени равно единице: .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .

Задачи для самостоятельного решения:

Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

Разбор задач для самостоятельного решения:

Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.

Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?

Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.

Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:

Возведем обе части уравнения в степень:

Теперь вспомним правило про «степень в степени» :

Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?

Эта формулировка - определение корня -ой степени.

Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.

То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .

Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .

Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.

А что насчет выражения?

Но тут возникает проблема.

Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.

И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .

Итак, если:

• — натуральное число;
• — целое число;

Примеры:

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

5 примеров для тренировки

Разбор 5 примеров для тренировки

1. Не забываем об обычных свойствах степеней:

2. . Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:

ведь - это или. Решение находится автоматически: .

Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .

Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением

Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;

...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;

...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.

Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))

Например:

Реши самостоятельно:

Разбор решений:

1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

В данном случае,

Получается, что:

Ответ: .

2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

Ответ: 16

3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Определение степени

Степенью называется выражение вида: , где:

• — основание степени;
• — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень :

Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(т.к. на делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.

Примеры:

Степень с рациональным показателем

• — натуральное число;
• — целое число;

Примеры:

Свойства степеней

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Посмотрим: что такое и?

По определению:

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем, то есть:

Что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Решение : .

Пример : Упростите выражение.

Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !

Ни в коем случае нелья написать, что.

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .

И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

1. четную степень, - число положительное .
2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
3. Положительное число в любой степени - число положительное.
4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справился? Вот ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

И снова используем определение степени:

Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Вычисли значения выражений:

Решения :

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!

Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Итак, теперь последнее правило:

Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:

Пример:

Степень с иррациональным показателем

В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:

Реши самостоятельно:

1)

2)

3)

Ответы:

1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с целым показателем

степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

Степень с рациональным показателем

степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

Степень с иррациональным показателем

степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

Свойства степеней

Особенности степеней.

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
• Положительное число в любой степени - число положительное.
• Ноль в любой степени равен.
• Любое число в нулевой степени равно.

ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...

Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.

Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях.

И удачи на экзаменах!