Для углов с соответственно параллельными сторонами справедливы следующие предложения:

1. Если стороны а и b одного угла соответственно параллельны сторонам а и b другого угла и одинаково с ними направлены, то углы равны.

2. Если при том же условии параллельности стороны а и b поправлены противоположно сторонам а и b, то углы также равны.

3. Если, наконец, стороны а и параллельны и одинаково направлены, а стороны параллельны и противоположно направлены, то углы дополняют друг друга до развернутого.

Доказательство. Докажем первое из этих предложений. Пусть стороны углов и параллельны и одинаково направлены (рис. 191). Соединим вершины углов прямой .

При этом возможны два случая: прямая проходит внутри углов или вне этих углов (рис. 191, б). В обоих случаях доказательство очевидно: так, в первом случае

но , откуда получаем . Во втором случае имеем

и результат вновь вытекает из равенств

Доказательства предложений 2 и 3 оставляем читателю. Можно сказать, что если стороны углов соответственно параллельны, то углы либо равны, либо дают в сумме развернутый.

Очевидно, они равны, если оба одновременно острые или оба тупые, и сумма их равна , если один из них острый, а другой тупой.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до развернутого угла.

Доказательство. Пусть а - некоторый угол (рис. 192), а О - вершина угла, образованного прямыми соответственно перпендикулярными к может быть любой из четырех углов, образованных двумя этими прямыми). Повернем угол (т. е. обе его стороны) вокруг своей вершины О на прямой угол; получим угол, равный ему, но такой, стороны которого перпендикулярны к сторонам стороны повернутого угла обозначены на рис. 192 через Они параллельны прямым тип, образующим данный угол а. Поэтому углы значит, и углы либо равны, либо образуют в сумме развернутый угол.

Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180° . На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.

Рассмотрим, углы с соответственно параллельными сторонами, расположенные как на первом рисунке. При этом продлим прямые AB и EF до пересечения. Обозначим точку пересечения буквой G. Кроме того для наглядности последующего доказательства на рисунке продлена сторона BC.

Так как прямые BC и EF параллельны, то если прямая AB пересекает одну из них, то она обязательно пересечет и другую. То есть прямая AB является секущей для двух параллельных прямых. Как известно, в таком случае накрест лежащие углы при секущей равны, односторонние составляют в сумме 180°, соответственные равны.

То есть, какую бы пару углов мы не взяли при вершинах B и G (один угол от одной, другой от второй), мы всегда получим либо равные углы, либо дающие в сумме 180°.

Однако прямые AB и DE тоже параллельны. Для них уже прямая EF - это секущая. Значит, любые пары углов из вершин G и E будут в сумме составлять либо 180°, либо равняться друг другу. Отсюда следует, что и пары углов из вершин B и E будут подчиняться данному правилу.

Например, рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEF. Угол ABC равен углу BGE, так как эти углы соответственные при параллельных прямых BC и EF. В свою очередь угол BGE равен углу DEF, так как эти углы соответственны при параллельных AB и DE. Таким образом доказано, ∠ABC и ∠DEF.

Теперь рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEG. Угол ABC равен углу BGE. Но ∠BGE и ∠DEG - это односторонние углы при параллельных прямых (AB || DE), пересеченных секущей (EF). Как известно, такие углы в сумме составляют 180°. Если мы посмотрим на второй случай на первом рисунке, то поймем, что он соответствует паре углов ABC и DEG на втором рисунке.

Таким образом, два разных угла, у которых стороны соответственно параллельны, либо равны друг другу, либо составляют в сумме 180°. Теорема доказана.

Следует отметить особый случай - когда углы развернутые. В таком случае они будут очевидно равны друг другу.

Теперь рассмотрим углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Этот случай выглядит сложнее, так как взаимное расположение углов разнообразнее. На рисунке ниже три примера того, как могут располагаться углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Однако в любом случае одна сторона первого угла (или ее продолжение) перпендикулярна одной стороне второго угла, а вторая сторона первого угла перпендикулярна второй стороне второго угла.

Рассмотрим один из случаев. При этом проведем в одном угле биссектрису и через произвольную ее точку проведем перпендикуляры к сторонам ее угла.

Здесь даны углы ABC и DEF с соответственно перпендикулярными сторонами: AB ⊥ DE и BC ⊥ EF. На биссектрисе угла ABC взята точка G, через которую проведены перпендикуляры к этому же углу: GH ⊥ AB и GI ⊥ BC.

Рассмотрим треугольники BGH и BGI. Они прямоугольные, так как в них углы H и I прямые. В них углы при вершине B равны, так как BG - биссектриса угла ABC. Также у рассматриваемых треугольников сторона BG общая и является гипотенузой для каждого из них. Как известно, прямоугольные треугольники равны друг другу, если равны их гипотенузы и один из острых углов. Таким образом, ∆BGH = ∆BGI.

Так как ∆BGH = ∆BGI, то ∠BGH = ∠BGI. Поэтому угол HGI можно представить не как сумму этих двух углов, а как один из них умноженный на 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

Угол ABC можно представить как сумму двух углов: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Поскольку слагаемые углы равны друг другу (т. к. образуются биссектрисой), то угол ABC можно представить как произведение одного из них и числа 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

Углы BGH и GBH - это острые углы прямоугольного треугольника, а значит в сумме составляют 90°. Посмотрим на равенства, которые получаются:

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Сложим два последних:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Вынесем общий множитель за скобку:

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Так как сумма углов в скобках равна 90°, то получается, что углы HGI и ABC в сумме составляют 180°:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Итак, мы доказали, что сумма углов HGI и ABC составляет 180°. А теперь снова посмотрим на рисунок и вернем свой взор на угол, с которым у угла ABC соответственно перпендикулярные стороны. Это угол DEF.

Прямые GI и EF параллельны друг другу, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой BC. А как известно, прямые, которые перпендикулярны одной и той же прямой, параллельны друг другу. По этой же самой причине DE || GH.

Как ранее уже было доказано, углы с соответственно параллельными сторонами либо в сумме составляют 180°, либо равны друг другу. Значит, либо ∠DEF = ∠HGI, либо ∠DEF + ∠HGI = 180°.

Однако ∠ABC + ∠HGI = 180°. Отсюда делается вывод, что и в случае с соответственно перпендикулярными сторонами углы или равны, или составляют в сумме 180°.

Хотя в данном случае мы ограничились доказательством только суммы. Но если мысленно продлить сторону EF в обратном направлении, то увидим угол, который равен углу ABC, и при этом его стороны также перпендикулярны углу ABC. Доказать равенство таких углов можно, рассматривая углы с соответственно параллельными сторонами: ∠DEF и ∠HGI.

Теорему о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами следует рассмотреть для случаев, когда данные углы или оба острые, или оба тупые, или один из них острый, а другой тупой.

Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.

Встречающееся иногда при формулировке теорем указание на то, что стороны углов с соответственно параллельными сторонами могут иметь или одинаковое или противоположное направление, считаем ненужным. Если пользоваться термином «направление», то следовало бы разъяснить, что должно понимать под этим словом. Достаточно обратить внимание учащихся на то, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, если же один из углов тупой, а другой острый, то они в сумме составляют 2d.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами может быть дана непосредственно после теоремы о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами. Учащимся приводятся примеры использования свойств углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами в приборах и деталях машин.

Сумма углов треугольника

При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник ABC, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается l+2+3=2d. Проводят из вершины С треугольника ABC высоту CD и перегибают треугольник так, чтобы высота делилась пополам, т.е. вершина С упала в точку D - основание высоты. Линия перегиба MN есть средняя линия треугольника ABC. Затем перегибают равнобедренные треугольники AMD и DNB по их высотам, при этом вершины А и В совпадут с точкой D и l+2+3=2d.

Следует помнить, что использованием наглядных пособий в систематическом курсе геометрии отнюдь не ставится задача подменить логическое доказательство какого-либо предложения опытной проверкой его. Наглядные пособия должны лишь содействовать пониманию учащимися того или иного геометрического факта, свойств той или иной геометрической фигуры и взаимно расположения отдельных ее элементов. При определении величины угла треугольника следует напомнить учащимся о рассмотренной ранее теореме о внешнем угле треугольника и указать, что теорема о сумме углов треугольника позволяет и построением и вычислением установить числовую зависимость между углами внешними и внутренними, не смежными с ними.

Как следствие из теоремы о сумме углов треугольника доказывается, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

По ходу изложения материала учащимся следует задать вопросы и простые задачи, содействующие лучшему усвоению нового материала. Например, Какие прямые называются параллельными?

При каком положении секущей равны все углы, образуемые двумя параллельными прямыми и этой секущей?

Прямая, проведенная в треугольнике параллельно основанию, отсекает от него малый треугольник. Доказать, что отсекаемый треугольник и данный равноугольны.

Вычислить все углы, образуемые двумя параллельными и секущей, если известно, что один из углов равен 72 градуса.

Внутренние односторонние углы соответственно равны 540 и 1230. На сколько градусов надо повернуть одну из прямых вокруг точки ее пересечения с секущей, чтобы прямые были параллельны?

Доказать, что биссектрисы: а) двух равных, но не противоположных углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, б) двух неравных углов при тех же прямых и секущей - перпендикулярны.

Даны две параллельные прямые АВ и CD и секущая EF, пересекающая данные прямые в точках К и L. Проведенные биссектрисы КМ и KN углов AKL и BKL отсекают на прямой CD отрезок MN. Найти длину MN, если известно, что отрезок KL секущей, заключенный между параллельными, равен а.

Каков вид треугольника, в котором: а) сумма двух любых углов больше d, б) сумма двух углов равна d, в) сумма двух углов меньше d? Ответ: а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный. Во сколько раз сумма внешних углов треугольника больше суммы внутренних его углов? Ответ: в 2 раза.

Могут ли все внешние угля треугольника быть: а) острыми, б) тупыми, в) прямыми? Ответ: а) нет, б) да, в) нет.

В каком треугольнике каждый внешний угол вдвое больше каждого из внутренних углов? Ответ: равносторонний.

Изучая методику параллельных прямых необходимо использовать историческую, теоретическую и методическую литературу для полного формирования понятия параллельные прямые.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 40. УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ.

1. Углы с соответственно параллельными сторонами.

Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей
СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211), или оба тупые (черт. 212).

Углы АСВ и МОN- углы с соответственно параллельными cтронами. Докажем, что эти углы равны между собой.

Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. / АСВ = / МDВ, как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.

/ МDВ = / МОN, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и / АСВ = / МОN.

Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами (черт. 213): СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN.

При вершине О образовались два гупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый).

Каждый из них в сумме с углом МОN составляет 2d , а так как / МОN = / АСВ,
то / АСВ+ / МОЕ = 2d и / АСВ+ / FОN = 2d .

Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2

2. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Построим произвольный острый угол АВС. Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали острый угол.

BO_|_ ВС и ВК _|_ АВ (черт. 214). Мы получим новый угол OBK.
Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны.

/ АВС = d - / СВК;
/ ОВК = d - / СВК.

Отсюда следует, что / АBС = / ОВК.

Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол.
ОК_|_ОА и ОС_|_ОВ (черт. 215), угол КОС - тупой. Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому

/ АОВ = d + / КОВ;
/ КОС = d + / КОВ.

Отсюда следует, что / АОВ = / КОС.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол (черт. 216).
Получим: / КОМ = / АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом / ЕОМ - тупой, так как смежный с ним / МОК - острый. / КОМ + / ЕОМ = 2d (как углы смежные). Но / КОМ по ранее доказанному равен / АОВ. Следовательно, и / АОВ + / ЕОМ = 2d .

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Мы рассматривали углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.

Построим произвольный острый угол АОВ и через какую-нибудь точку С (черт. 217) проведём лучи СЕ __|_ОA и СК _|_ ОВ так, чтобы угол КСЕ был тоже острый.

Углы АОВ к КСЕ составлены взаимно перпендикулярными сторонами. Докажем, что они равны между собой. Для этого через точку О (вершину / АОВ) проведём ОК"||СК и ОЕ" || СЕ. / КСЕ = / КОЕ", так как они составлены взаимно параллельными сторонами и оба острые. Но / К"ОЕ" = / АОВ по доказанному. Следовательно, / АОВ = / КСЕ.

Если продолжим сторону СЕ за вершину угла, мы получим / МСК, смежный с / КСЕ.
/ МСК + / КСЕ = 2d , но / КСЕ = / АОВ, Поэтому / АОВ + / МСК = 2d .

Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи,ограничивающие угол, называют сторонами угла. Точку, из которой выходят лучи, называют вершиной угла .

Схему обозначения углов рассмотрим на примере угла, изображенного на рисунке 1.

Изображенный на рисунке 1 угол можно обозначить тремя способами:

Углы называют равными углами, если их можно совместить.

Если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла , то такие углы называют прямыми углами (рис.2). Пересекающиеся прямые линии, образующие прямые углы, называют перпендикулярными прямыми .

Если через точку A , не лежащую на прямой l , проведена прямая, перпендикулярная к прямой l и пересекающая прямую l точке B , то говорят, что из точки B опущен перпендикупяр AB на прямую l (рис.3). Точку B называют основанием перпендикуляра AB .

Замечание . Длину отрезка AB называют расстоянием от точки A до прямой l .

Углом в 1° (один градус) называют угол, составляющий одну девяностую часть прямого угла.

Угол, в k раз больший угла в 1° , называют углом в k° (k градусов) .

Углы измеряют также и в радианах . О радианах можно прочитать в разделе нашего справочника «Измерение углов. Градусы и радианы» .

Таблица 1 – Типы углов в зависимости от величины в градусах

Рисунок	Типы углов	Свойства углов
	Прямой угол	Прямой угол равен 90°
	Острый угол	Острый угол меньше 90°
	Тупой угол	Тупой угол больше 90° , но меньше 180°
	Развернутый угол	Развернутый угол равен 180°
		Такой угол больше 180° , но меньше 360°
	Полный угол	Полный угол равен 360°
	Угол, равный нулю	Такой угол равен 0°

Прямой угол

Свойство: Прямой угол равен 90°

Острый угол

Свойство: Острый угол меньше 90°

Тупой угол

Свойство: Тупой угол больше 90° , но меньше 180°

Развернутый угол

Свойство: Развернутый угол равен 180°

Угол больший, чем развернутый

Свойство: Такой угол больше 180° , но меньше 360°

Полный угол

Свойство: Полный угол равен 360°

Угол, равный нулю

Свойство: Такой угол равен 0°

Таблица 2 – Типы углов в зависимости расположения сторон

Рисунок	Типы углов	Свойства углов
	Вертикальные углы	Вертикальные углы равны
	Смежные углы	Сумма смежных углов равна 180°
		Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
		Сумма углов с соответственно параллельными сторонами равна 180° , если один из них острый, а другой тупой
		Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
		Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180° , если один из них острый, а другой тупой

Вертикальные углы

Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны

Смежные углы

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°

Углы с соответственно параллельными сторонами

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Свойство углов с соответственно параллельными сторонами: Сумма углов с соответственно параллельными сторонами равна 180° , если один из них острый, а другой тупой

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами: Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180° , если один из них острый, а другой тупой

Определение . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Задача . Доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны .

Решение . Рассмотрим рисунок 4.

На этом рисунке углы AOB и BOC – смежные, а лучи OE и OD – биссектрисы этих углов. Поскольку

2α + 2β = 180°.

что и требовалось доказать.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы