Два куска одинаковой ткани стоят 360 рублей. В одном из них 5 метров, а в другом 4 метра. Сколько стоит каждый кусок ткани?

Составим краткую запись к задаче в виде таблицы.

Поскольку в задаче указана одинаковая ткань, значит, и цена у нее одинаковая.

Нужно узнать стоимость каждого куска ткани. Чтобы найти стоимость куска ткани, надо знать цену и количество метров ткани.

В данной задаче не известна цена ткани. Чтобы знать цену, нам нужно знать стоимость и количество ткани.

Мы знаем стоимость 2 кусков ткани - 360 р. И можем узнать, за сколько метров заплатили 360 р.

Решение

1. Сколько метров ткани было куплено на 360 р. (рис. 1)?

5 м 4 м

Рис. 1. Схема к задаче 1

5 + 4 = 9 (м)

2. Сколько стоит 1 м ткани?

360: 9 = 40 (р.)

3. Найдем стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м.

40 * 5 = 200 (р.)

40 * 4 160 (р.)

Ответ: один кусок ткани стоит 200 рублей, другой кусок ткани - 160 рублей.

В одном мешке было 56 кг муки, а в другом - 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка?

Составим краткую запись в виде таблицы.

В задаче сказано, что муку расфасовали поровну, значит, в каждом пакете одинаковое количество килограммов. Известно, что муку расфасовали в 40 пакетов.

Чтобы узнать, сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка, сначала нужно узнать массу одного пакета.

Чтобы узнать массу одного пакета, нужно знать массу всей муки и количество всех пакетов. Нам известно количество пакетов, и можем найти массу всей муки.

1. Какова масса всей муки (рис. 2)?

56 кг 24 кг

Рис. 2. Схема к задаче 2

56 + 24 = 80 (кг)

2. Сколько муки в 1 пакете?

80: 40 = 2 (кг)

В одном пакете 2 кг муки, а в мешке 56 кг.

3. Сколько пакетов необходимо для расфасовки 56 кг муки?

56: 2 = 28 (пак.)

4. Сколько пакетов муки необходимо для расфасовки 24 кг муки?

24: 2 = 12 (пак.)

Ответ: потребовалось 28 пакетов для расфасовки муки из одного мешка, и 12 пакетов - из другого мешка.

Сравним краткую запись двух задач для их решения.

В первой задаче дана общая стоимость всей ткани и первым действием мы нашли общее количество метров ткани, затем смогли найти стоимость одного метра ткани.

Во второй задаче было дано общее количество пакетов и первым действием мы нашли общую массу всей муки, затем смогли найти массу одного пакета.

Список литературы

1. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 4 класс. - М.: Просвещение, 2014.
2. Моро М.И. Математика. 4 класс. Учебник в 2 частях. - М.: Просвещение, 2011.
3. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 частях. - М.: Ювента, 2013.

Дополнительные р екомендованные ссылки на ресурсы сети И нтернет

1. Metodmat.narod.ru ().
2. Tak-to-ent.net/ ().
3. Mat-zadachi.ru ().

Д омашнее задание

1. Детям купили игрушки: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?
2. Две девочки зашли в магазин. Всего они купили 22 одинаковые конфеты. Одна девочка заплатила 60 рублей, а вторая - 72 рубля. Сколько конфет купила каждая девочка?

Тема урока : Пропорциональное деление

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «пропорциональное деление». Однако их можно встретить в экзаменационных сборниках для 9 класса авт. Л.И.Звавич и др. Эти задачи предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы на специальности, связанные с экономикой, химией, связанных с легкой промышленностью и народного хозяйства.
Предлагаемые задачи можно использовать на факультативах в общеобразовательных школах, включить их в программу гимназий и лицеев, связанных с углубленным изучением математики, начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учениками.

Эти задачи может решить шестиклассник.

Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека – при приготовлении различных смесей, растворов, блюд по кулинарным рецептам, при распределении прибыли или мест в парламенте и так далее.

Например, если два предпринимателя вложили в проект соответственно 3 млн. рублей и 4 млн.рублей и получили 14 млн. рублей прибыли, то справедливость требует, чтобы полученная прибыль делилась пропорционально числам 3 и 4. Само слово «пропорционально» происходит от латинского «гармонично», «соразмерно».
Как же узнать, сколько денег должен получить каждый предприниматель? Обозначим части, которые они должны получить, соответственно a и b. Тогда a: b = 3: 4.
Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности k. Получим равенство:

Из которого следует, что а = 3k, b = 4k. Так как сумма двух частей составляет 14 млн. рублей, то значение k должно удовлетворять равенству
3k + 4k =14 <=> 7k = 14 <=> k = 2.
Значит, при справедливом делении первый предприниматель должен получить 2 3 = 6 млн.рублей, а второй - 2 4 = 8 млн.рублей.

Рассмотрим еще одну задачу.

Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора?

Решение:

1) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента, b кг песка и с кг воды. Обозначим коэффициент пропорциональности k , тогда

Следовательно, а = 2 k , b = 2 k , c = 0,8 k .
По условию задачи, сумма всех частей равна 180 кг, значит:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (кг) – потребуется песка и цемента.
3) 37,5 0,8 = 30 (кг) – потребуется воды.
Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды.

Для краткого обозначения условия задач о прямо пропорциональном делении в математическом языке используют иногда «длинные отношения». Например, a: b: c = 2: 2: 0,8. При этом говорят: «Числа a, b и с относятся как 2 к 3 к 0,8».
Длинные отношения – это условные записи, которые показывают, сколько равных долей величины приходится на каждую часть. Их нельзя понимать как запись деления нескольких чисел. Действительно, подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им числа, получим верное высказывание 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8;
Тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа: в левой части , а в правой части – 1,25.
Зато длинные отношения можно преобразовывать, как обычные дроби: умножать все его члены на одно и то же число, сокращать. Эти преобразования позволяют упрощать запись, а значит, и решение задач. Так, если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10, а затем разделили их на 4, то избавились бы от дробей: 2: 2: 0,8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 и получили более простое уравнение.
Решая задачи на пропорциональное деление, мы вновь наблюдаем, как абстрактные математические понятия – в данном случае прямая и обратная пропорциональность – помогают отвечать на серьезные практические вопросы.

Предлагаю еще несколько задач по этой теме.

Задача 1.

Трое рабочих получили 4080 рублей. Суммы, полученные первым и вторым рабочими, относятся, как . Сумма, полученная третьим рабочим составляет того. Что получил первый рабочий. Сколько денег получил каждый рабочий?

Решение:

Ответ: 2448 рублей получил первый рабочий; 571,2 рубля получил второй рабочий и 1060,8 рубля получил третий рабочий.

Задача 2.

Три цеха сшили 16800 пар обуви. Количество пар обуви сшитой первым и вторым цехами относятся как а третий цех сшил 75% того, что сшил первый цех. На сколько процентов выполнил план первый цех, если план каждого цеха был 4000 пар обуви?

Решение:

Ответ: на 180% выполнил план первый цех.

Задача 3.

В палатку привезли свеклу, морковь, капусту. Количество свеклы и моркови равно отношению , а вес капусты составляет 250% от веса моркови. Капусты было на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждого овоща привезли в палатку?

Решение:

Ответ: в палатку привезли 120 кг свеклы; 80 кг моркови и 200 кг капусты.

Задача 4.

Магазин продал за 4 дня некоторое количество ткани. Количество ткани, проданной за первые три дня относились, как 0,9: 1,4: 1,3. В четвертый день продали 420 м ткани, что составило 28% всей ткани, проданной магазином за четыре дня. Сколько ткани продали за каждый день?

Решение:

1. n1 : n2 : n3 = 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% составляет 420 м: 420: 0,28 = 1500 (м) – ткани продали за четыре дня.
3. 1500 – 420 = 1080 (м) – ткани продали за первые три дня.
4. 9 + 14 + 13 = 36 (ч.) – приходится на 1080 м ткани.
5. 1080: 36 = 30 (м) – ткани приходится на 1 часть.
6. 30 9 = 270 (м) – ткани продали за первый день.
7. 30 14 = 520 (м) – ткани продали за второй день.
8. 30 13 = 390 (м) – ткани продали за третий день.

Ответ: магазин продал 270 м ткани за первый день; 520 м ткани за второй день; 390 м ткани за третий день и 420 м за четвертый день.

Задача 5.

Три класса собирали металлолом. Количество металлолома, собранного первым и вторым классами относится, как 4,5: 3. Количество металлолома, собранного третьим классом составляет 40% того, что собрал первый класс. Сколько металлолома собрал каждый класс, если второй класс собрал на 0,8 тонны металлолома больше, чем третий класс?

Решение:

1. n1 : n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% от 3: 3 0,4 = 1,2(ч.) – приходится на третий класс
3. n1 : n2 : n3 = 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 – 6 = 4 (ч.) – приходится на 0,8 т металлолома.
5. 0,8: 4 15 = 3 (т) – собрал первый класс.
6. 0,8: 4 10 = 2 (т) – собрал второй класс.
7. 0,8: 4 6 = 1,2 (т) – собрал третий класс.

Ответ: первый класс собрал 3 т металлолома, второй класс собрал
2 т металлолома, третий класс собрал 1,2 т металлолома.

Задача 6.

Три бригады начали одновременно пахоту земли. Норма вспашки первой бригады ко второй относится как 0,5 к 0,4, а норма вспашки второй бригады к третьей относится как 2 к 1,8; но первая и третья бригады увеличили нормы вспашки на 10%, а вторая бригада – на 20%. Таким образом, к одному и тому же сроку,первая бригада вспахала на 15,4 га больше, чем третья бригада. Сколько га земли вспахала к этому времени каждая бригада?

Решение:

1. n1 : n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2 : n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 =25: 20: 18
4. 10% от 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (ч) составляет норма первой бригады после увеличения.
5. 20% от 20: 20 0,2 = 4 ; 20 + 4 = 24 (ч) –составляет норма второй бригады после увеличения.
6. 10% от 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (ч) составляет норма третьей бригады после увеличения.
7. n 1 : n 2 : n 3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 – 198 – 77(ч) – приходится на 14, 4 га земли
9. 15,4: 77 = 0,2 (га) – приходится на одну часть.
10. 0,2 275 = 55 (га) – вспахала первая бригада.
11. 0,2 240 = 48(га) – вспахала вторая бригада.
12. 0,2 198 = 39,6 (га) – вспахала третья бригада.

Ответ: 55 га земли вспахала первая бригада, 48 га земли спахала вторая бригада, 39,6 га земли вспахала третья бригада.

Предлагаю несколько задач для самостоятельного решения.

Задача 1.

Колхоз засыпал в три склада картофель в отношении 1,3 к 2,5 к 1,2, причем во второй склад засыпали на 43,2 тонны картофеля больше, чем в первый склад. В течение месяца с первого склада вывезли 40% имевшегося там картофеля, со второго - 30%, а с третьего – 25% имевшегося там картофеля. Сколько картофеля вывезли с трех складов?
Ответ: вывезли всего 56,62 т картофеля.

Задача 2.

Магазин продавал муку в течение четырех дней. Количество муки, проданной за первые три дня, относится, как 1,8 к 2,8 к 2,6. В четвертый день продали 840 килограммов муки, что составляет 56% всей муки, проданной за четыре дня. Сколько муки продавали каждый день?

Задача 3.

Колхоз засыпал зерно в три склада. На первом складе было 40% всего зерна, засыпанного в три склада. Количество зерна, засыпанного во второй и третий склады, относится, как 16 к 21. Сколько зерна было на первом складе, если на третьем складе было на 450 ц больше, чем на втором.
Ответ: 2220 ц зерна было засыпано в первый склад.

Задача 4.

Три цеха изготовили 6500 деталей. Количество деталей, изготовленных первым и вторым цехами, относится, как 0,1875 к 0,25., количество деталей, изготовленных третьим цехом на 50% больше, чем количество деталей, изготовленных вторым цехом.. Сколько деталей изготовил каждый цех.

Задача 5.

Отряд отправился в поход из пункта А в пункт В. Первую часть пути школьники проехали на велосипедах, вторую часть пути прошли пешком, а оставшиеся 30 километров проплыли на лодке. Зная, что длины этих частей пути относятся, как 1,625 к 1,3 к 3, 25, определите длину всего маршрута.
Ответ: длина всего маршрута 57 километров.

Задача 6.

Из четырех чисел первые три относятся между собой, как , а четвертое составляет 40% от первого числа. Найти сумму всех четырех чисел, если первое больше суммы остальных на 40.

Продолжим решение задач.

Задача 7.

Найти сумму трех чисел, зная, что первое число равно 100, а первое число относится ко второму, как ; а второе к третьему, как 12 к 7.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 385.

Задача 8.
Найти сумму трех чисел, зная, что первое число относится к третьему, как ; второе число относится к третьему как 5 к 2, а сумма первых двух чисел равна 500.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 650.

Задача 9.

Найти каждое из трех чисел, если первое число относится ко второму как 0,6: 0,75, а второе к третьему, как 1: 0,9. Сумма первого и третьего чисел на 105 больше второго числа.

Решение:

1. n 1 : n 3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. n 2 : n 3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) – 10 = 7 (ч.) – приходится на 105.
5. 105: 7 8 = 120 – первое число.
6. 105: 7 10 – 150 – второе число.
7. 105: 7 9 = 135 – третье число.

Ответ: 120; 150; 135.

Задача 10.

Из данных четырех чисел первые три относятся, как , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число больше суммы остальных на 8.

Решение:

Ответ: 48; 80; 12; 12.

Задача 11.

Задача 12.

Три колхоза построили хлебозавод. Суммы, внесенные колхозами в строительство, относятся, как . Сколько денег внес каждый колхоз, если стройматериалы стоят 1620 миллионов рублей, расход на рабочую силу составляет от стоимости материала, на оборудование израсходовали стоимости материала и рабочей силы вместе?

Решение:

Ответ: на материалы – 2700 млн.рублей; на рабочую силу – 3600 млн.рублей; на оборудование – 4500 млн. рублей.

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:

а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

Остановимся на рассмотрении задач первого типа.

"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

Составим таблицу:

Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.

Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:

Найдем число метров ткани в двух кусках.

Узнаем цену 1 м ткани.

Вычислим стоимость первого куска ткани.

Вычислим стоимость второго куска ткани.

1). 5+7=12 (м) 2).36:12=3 (руб.) 3).3*5= 15 (руб.) 4).3*7=21 (руб.)

12 м ткани стоят 36 руб. 3 руб. стоит 1 м ткани 15 руб. стоит первый кусок ткани. 21 руб. стоит второй кусок ткани

Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.

Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.

§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.

По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:

“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”

Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:

Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:

1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);

2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);

3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);

4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).

При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.

Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.

Характерные особенности такого вида задач:

1) В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.

2) В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовка:

1) Работа над величинами.

2) Связь между величинами.

3) Наблюдение за зависимостью между величинами.

4) Хорошее овладение способами решения задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Ознакомление: первые задачи на пропорциональное деление иллюстрируются или инсценируются. Переход к ознакомлению можно осуществлять от задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Вид задачи	На пропорциональное деление
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы. Всего в магазин привезли 120 кг овощей. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	120 кг
Разбор задачи	Ана­литический способ разбора (от вопроса к данным): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Можем ли мы сразу ответить, сколько килограммов картофеля привезли в магазин? (Нет.) 4) Что для этого нужно узнать? (Массу одного ящика и количества ящиков.) 5) Количество ящиков известно, а как можно найти массу одного ящика? (Общую массу разделить на общее количество ящиков.) 6) Как найдём общее количество ящиков? (К 6 прибавим 4.) 7) Узнав массу одного ящика, как найдём массу всего картофеля? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков с картофелем.) 8) Как узнать массу всей свёклы? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков со свёклой.) 9) Как можно другим способом узнать массу всей свёклы? (Из общей массы вычесть массу картофеля.)
Запись решения	Запись решения по действиям с пояснением: 1) 6 + 4 = 10 (ящ.) – привезли всего. 2) 120: 10 = 12 (кг) – масса одного ящика. 3) 12 ∙ 6 = 72 (кг) – привезли картофеля. 4) 12 ∙ 4 = 48 (кг) – привезли свёклы. Ответ: 72 кг и 48 кг.
Закрепление:задания на составление задач данного вида с акцентированием на жизненную ситуацию. Решение задач на нахождение неизвестных по двум разностям В качестве подготовительных упражнений к ведению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например: 1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра? 2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 6 рублей больше, чем сестра. Сколько стоила 1 тетрадь? Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и ещё 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и ещё 6 рублей. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 6 рублей, значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь. Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин. Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична мето­дике введения задач на пропорциональное деление.
Вид задачи	На нахождение неизвестных по двум разностям
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы, причём картофеля привезли на 24 кг больше, чем свёклы. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	на 24 кг больше. Из этой наглядной записи хорошо видно, что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.
Разбор задачи	Синтетический способ разбора (от данных к вопросу): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Почему картофеля оказалось в магазине на 24 кг больше? (Потому, что ящиков с картофелем было больше.) 4) На сколько ящиков больше? (На 2.) 5) Какой вывод из этого можно сделать? (Что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.) 6) Зная это, как найти массу одного ящика с картофелем? (Нужно 24 кг разделить на 2.) 7) Как теперь найти массу картофеля и массу свёклы? (Массу одного ящика умножить на количество ящиков.)
Запись решения	Запись решения с предварительной постановкой вопросов: 1) На сколько ящиков картофеля привезли больше, чем свёклы? 6 – 4 = 2 (ящ.) 2) Какова масса одного ящика с овощами? 24: 2 = 12 (кг) 3) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 6 = 72 (кг) 4) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 4 = 48 (кг) Ответ: 72 кг картофеля и 48 кг свёклы.

Проверка решения выполняется способом установления соот­ветствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли картофеля привезли на 24 кг больше чем свёклы: 72 – 48 = 24; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлага­ются:

Готовые задачина нахождение неизвестных по двум раз­ностям I вида с различными группами пропорциональных ве­личин и проводятся различные упражнения творческого характера;

Задачи на нахож­дение неизвестных по двум разностям II вида;

Упражнения на преобразование задач.

Задачи, связанные с движением , т. е. задачи с ве­личинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 4 классе.

Подготовительная работа к решению задач, свя­занных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – ско­ростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движе­нием транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (трамвай, машина, человек и т.п.) может двигаться быстрее имедленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаясь одно к другому (двигаясь навстречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как вы­полняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обознача­ют либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёр­точкой, либо флажком; направление движения указывают стрел­кой. Например, встречное движение двух тел изображается так:

А ├────────┼────────┤В

Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны прой­ти тела до встречи, флажок – место встречи, точки А и В – пункты выхода тел, стрелки – направление движения. Полезно выполнять и обратные упражнения: по данному чертежу выпол­нять соответствующее движение.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так органи­зовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движе­ния пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояния по 10 м, чтобы удобнее было нахо­дить, какой путь прошёл каждый ученик. Учитель предлагает детям идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что рас­стояние, которое прошёл ученик за минуту, называют его ско­ростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель назы­вает скорости некоторых видов транспорта. Эти данные уча­щиеся могут записать в своих справочниках и использовать в дальнейшем при составлении задач.

Раскрытие связей между величинами : скорость – время – расстояние ведётся по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики долж­ны усвоить такие связи: если известны расстояние и время дви­жения, то можно найти скорость действием деления; если из­вестны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать состав­ные задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого про­порционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще исполь­зовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертёж помогает правильно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразова­ние и составление задач.

Одновременно с решением задач названных видов в 4 клас­се вводятся задачи на встречное движение и движение в про­тивоположных направлениях. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого:

I вид – даны скорость каждого из тел и время движения, искомое – расстояние;

II вид – даны скорость каждого из тел и расстояние, ис­комое – время движения;

III вид – даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое – скорость другого тела.

В целях подготовки к введению задач на встречное дви­жение очень важно сформировать правильные представления об одновременном движении двух тел: дети должны хорошо уяснить, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом оба пройдут всё расстояние между пунктами, из которых они вышли. Чтобы дети осознали это, следует вклю­чать задачи-вопросы, аналогичные следующим:

1) Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 ч. Сколько времени был в пути до встречи каждый теплоход?

2) Из посёлка в город вышел пешеход и в это время из го­рода навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение, причём целесообразно на одном уроке ввести все три вида, получая новые задачи путём преобразова­ния данной в обратные. Такой приём позволяет детям само­стоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решённой детьми. Раскроем это на конкретном примере.

Учитель читает задачу: «Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встрети­лись через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между поселками».

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипе­дист. (Учитель вставляет в наборное полотно карточку с рим­ской цифрой «I»). А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Вставляет карточку.) Двое из вас будут вело­сипедистами. (Выходят два ученика.) С какой скоростью ехал первый? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) Это твоя скорость. (Даёт второму ученику карточку.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 ч.) Начинайте двигаться. Прошел час. (Дети встав­ляют одновременно свои карточки в наборное полотно.) Про­шёл второй час. (Дети вставляют карточки.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Почему? (Шли до встречи по 2 ч.) Обо­значу место встречи флажком. (Вставляет флажок.) Что надо узнать? (Всё расстояние.) Обозначу вопросительным знаком. Получается иллюстрация:

I

?

II

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решения надо записать с пояснениями сначала от­дельными действиями, а позднее можно записать выражение или уравнение.

Первый способ:

1) 35 ∙ 2 = 30 (км) – проехал первый велосипедист;

2) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал второй велосипедист;

3) 30 + 36 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Второй способ:

1) 15 + 18 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 ∙ 2 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Если дети затруднятся в решении вторым способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33км, ещё час – ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипе­дисты проехали 2раза по 33 км.

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертёж к решённой задаче:

15км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Выясняется, который из велосипедистов прошёл до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертёж:

15км/ч? ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем задача коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснениями:

1) 15+18=33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 66:33=2 (ч) – время движения до встречи.

Условие задачи ещё раз изменяется:

Км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разби­раются два способа решения:

Первый способ:

1) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал до встречи второй велосипедист;

2) 66 – 36 = 30 (км) – проехал до встречи первый велосипедист;

3) 30: 2 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

Второй способ:

1) 66: 2 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 – 18 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

На последующих уроках проводится работа по закрепле­нию умения решать задачи рассмотренных видов. С этой целью включаются готовые задачи на встречное движение, при этом учащиеся сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к какому пункту произойдёт встреча. Как и при работе над другими задачами, следует выполнять различные упраж­нения творческого характера.

Аналогичным образом ведётся работа над задачами на дви­жение в противоположных направлениях.