Тема: Мнимая единица , ее степени. Комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного числа; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;

воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

План (изучаемые вопросы)

Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.

Определение комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

1.Мнимые числа

Определение. Число, квадрат которого равняется -1, называется мнимой единицей и

обозначается і ; і 2 = -1

Определение. Числа, которые имеют вид b і , где b - действительное число, называются

мнимыми числами.

Например:

Известно, что действительные числа изображаются точками на оси ОХ. Мнимые числа изображаются точками на оси ОУ, в связи с чем ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ - мнимой осью. Множество мнимых чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством действительных чисел.

Определение. Два мнимых числа b 1 i и b 2 i называются равными, если b 1 = b 2

Определение. Мнимое число (- bi ) называется противоположным мнимому числу b і .

Например:
и
и
.

Теорема. Любая натуральная степень числа і может быть преобразована к

одной из четырех видов 1; і ; -1; -і.

Доказательство .

Рассмотрим выражение і m , где m - натуральное число. Понятно, что возможны четыре случая:

1) m = 4 k , k =1,2, ...

2) m=4k +1, k =0, 1,2,...

3) m 4k +2, k = 0,1,2,...

4) m = 4k +3, k =0,1,2, ....

Пусть m = 4 k , тогда і м =і Ак =(і А ) к =1 к =1

Пусть m =4 k +1, тогда і м = і Ак+1 = і Ак і=1і=і

Пусть m = 4 k +2, тогда і м =і Ак+2 = і Ак і 2 = 1(-1)=-1

Пусть m =4 k +3, тогда і м

Пример. Вычислить значение выражения

Решение:

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:

1) разделить показатель степени на 4;

2) заменить і м на і р , где р - остаток, полученный при делении т на 4, то есть число р находится из равенства т = 4к + р.

2.Комплексные числа

Определение. Комплексным числом называется число, которое имеет вид а+bi , где а, b –

действительные числа, i - мнимая единица. При этом число "а" называется

действительной частью комплексного числа, "b" - мнимой частью

комплексного числа.

Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так: (ре зет), (им зет).

В основе этих обозначений использованы первые буквы латинских слов, что означает "действительный" и "Imaginaries", что означает "мнимый".

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z = а + b і называют bi.

Определение. Два комплексных числа Z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = а 2 + b 1 i называются равными, если

Re z 1 = Re z 2 , Im z 1 = Im z 2 .

Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а- bi ) называется противоположным комплексному числу

а + bі.

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые

части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и

обозначаются соответственно и .

3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Комплексное число, представленное в виде
называется комплексным числом в алгебраической форме .

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел
и
называется

комплексное число .

Итак, (1)

Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

Сумма сопряженных чисел всегда является действительн ым числом

то есть,
. (2)

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел
и
называется такое

комплексное число
, которое в сумме с числом дает число .

Вычитание комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел
и
всегда существует разница
, которая определена однозначно.

Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности

Получается, (3)

Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом. ,

то есть,
(4)

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел
и называется такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

Чтобы умножить комплексные числа следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом на -1 и привести подобные члены.

В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом Ответ.

Контрольные вопросы:

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.

Литература

Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

Мнимая единица

Мнимая единица - комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j . Она позволяет расширить поле действительных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.

Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f (x ) = 0 с действительными коэффициентами имеет решения в поле действительных чисел. Например, уравнение x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое полиномиальное уравнение, имеет решение.

Утверждение о том, что мнимая единица - это «квадратный корень из −1», не совсем корректно, т.к. −1 имеет два арифметических квадратных корня, один из которых можно обозначить как i , а другой как − i .

Определение

Мнимая единица - число, квадрат которого равен −1. Таким образом i - это решение уравнения
или
Если мы определим i таким образом и будем считать ее неизвестной («воображаемой», «мнимой») переменной, тогда вторым решением уравнения будет − i , что можно проверить подстановкой.

Кто и когда открыл: Итальянский математик Джероламо Кардано, друг Леонардо да Винчи, в 1545 году.

Число i ни константой, ни даже настоящим числом назвать нельзя. Учебники описывают его как величину, которая, будучи возведенной в квадрат, дает минус один. Другими словами, это сторона квадрата с отрицательной площадью. В реальности такого не бывает. Но иногда из нереального тоже можно извлечь пользу.

История открытия этой постоянной такова. Математик Джероламо Кардано, решая уравнения с кубами, ввел мнимую единицу. Это был просто вспомогательный трюк - в итоговых ответах i не было: результаты, которые его содержали, выбраковывались. Но позже, присмотревшись к своему «мусору», математики попробовали пустить его в дело: умножать и делить обычные числа на мнимую единицу, складывать результаты друг с другом и подставлять в новые формулы. Так родилась теория комплексных чисел.

Минус в том, что «реальное» с «нереальным» нельзя сравнивать: сказать, что больше - мнимая единица или 1 - не получится. С другой стороны, неразрешимых уравнений, если воспользоваться комплексными числами, практически не остается. Поэтому при сложных расчетах удобнее работать с ними и только в самом конце «вычищать» ответы. Например, чтобы расшифровать томограмму мозга, без i не обойтись.

Физики именно так обращаются с полями и волнами. Можно даже считать, что все они существуют в комплексном пространстве, а то, что мы видим, - только тень «настоящих» процессов. Квантовая механика, где и атом, и человек - волны, делает такую трактовку еще убедительнее.

Число i позволяет свести в одной формуле главные математические константы и действия. Формула выглядит так: eπi+1 = 0, и некоторые говорят, что такой сжатый свод правил математики можно отправлять инопланетянам, чтобы убедить их в нашей разумности.

Выражения вида, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius . Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел - кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

x 2 = a ,

где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:
Здесь возможны три случая:

1).	Если a = 0 , то x = 0.
2).	Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:
3).	Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное . Но если мы хотим получить решения уравнения x 2 = a также и для отрицательных значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами . Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i ,

где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.

Более подробно о комплексных числах см. раздел «Комплексные числа».

П р и м е р ы комплексных чисел: 3 + 4 i , 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i .

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n - любое целое число.

Отсюда:
где mod 4 представляет остаток от деления на 4.

Мни́мая едини́ца - обычно комплексное число , квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли-Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду .

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская texvc или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел . Точное определение зависит от способа расширения .

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f(x)=0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение - «Основная теорема алгебры ».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения : нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица - это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу - неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i через радикал (как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt{-1} ).

Определение

Мнимая единица - это число, квадрат которого равен −1. Т.е. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i - это одно из решений уравнения

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^2 + 1 = 0, или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^2 = -1.

И тогда его вторым решением уравнения будет Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -i , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i повторяются в цикле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{-3} = i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{-2} = -1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{-1} = -i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^0 = 1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^1 = i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^2 = -1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^3 = -i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^4 = 1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ldots

Что может быть записано для любой степени в виде:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{4n} = 1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{4n+1} = i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{4n+2} = -1 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^{4n+3} = -i.

где n - любое целое число.

Отсюда: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^n = i^{n \bmod 4} где mod 4 - это остаток от деления на 4.

Число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^i является вещественным :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): |i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n -й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника , вписанного в окружность с единичным радиусом.

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}

В частности, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\} и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли - Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть ="+1" или даже ="0". Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^2 = -1 ».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн , «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i , но в радиотехнике мнимую единицу принято обозначать Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): j , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i = i (t) .

См.также

• Дуальные числа и Двойные числа

Напишите отзыв о статье "Мнимая единица"

Примечания

Ссылки

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М . : Советская энциклопедия, 1969-1978.

Просмотр этого шаблона Степени тысячи Древнерусские числа Прочие степени десяти Степени двенадцати Прочие целые Прочие числа

Отрывок, характеризующий Мнимая единица

– Этому нельзя научить, Изидора. У людей должна появиться потребность к Свету, потребность к Добру. Они должны сами желать изменения. Ибо то, что даётся насильно, человек инстинктивно старается побыстрее отвергнуть, даже не пытаясь что-либо понять. Но мы отвлеклись, Изидора. Желаешь ли, чтобы я продолжил историю Радомира и Магдалины?
Я утвердительно кивнула, в душе сильно сожалея, что не могу вот так просто и спокойно вести с ним беседу, не волнуясь об отпущенных мне судьбой последних минутах моей искалеченной жизни и не думая с ужасом о нависшей над Анной беде...
– В библии очень много пишется об Иоанне Крестителе. Был ли он по-настоящему с Радомиром и рыцарями Храма? Его образ так удивительно хорош, что иногда заставлял сомневаться, являлся ли Иоанн настоящей фигурой? Можешь ли ты ответить, Север?
Север тепло улыбнулся, видимо вспоминая что-то, очень для него приятное и дорогое...
– Иоанн был мудрым и добрым, как большое тёплое солнце... Он был отцом для всех идущих с ним, их учителем и другом... Его ценили, слушались и любили. Но он никогда не был тем молодым и удивительно красивым юношей, каким его обычно рисовали художники. Иоанн в то время был уже пожилым волхвом, но всё ещё очень сильным и стойким. Седой и высокий, он был скорее похож на могучего былинного воина, чем на удивительно красивого и нежного юношу. Он носил очень длинные волосы, как впрочем, и все остальные, находящиеся с Радомиром.

Это был Радан, он был и правда необычайно красивым. Он, как и Радомир, с малых лет жил в Мэтэоре, рядом со своей матерью, Ведуньей Марией. Вспомни, Изидора, как много картин существует, в которых Мария написана с двумя, почти одного возраста, младенцами. Их почему-то рисовали все знаменитые художники, возможно, даже не понимая, КОГО по-настоящему изображала их кисть... И что самое интересное – это то, что именно на Радана Мария смотрит на всех этих картинах. Видимо уже тогда, будучи ещё младенцем, Радан уже был таким же весёлым и притягивающим, каким он оставался всю свою короткую жизнь...

И ещё... если бы и рисовали художники именно Иоанна на этих картинах, то как же тогда тот же самый Иоанн сумел бы так чудовищно постареть ко времени своей казни, свершённой по желанию капризницы Саломеи?.. Ведь по Библии это случилось ещё до распятия Христа, значит, Иоанну должно было быть в то время никак не более тридцати четырёх лет! Каким же образом из по-девичьи красивого, златокудрого юноши он превратился в старого и совсем уж несимпатичного еврея?!

– Значит Волхв Иоанн не погиб, Север? – обрадовано спросила я. – Или он погиб по-другому?..
– К сожалению, настоящему Иоанну и правда отрубили голову, Изидора, но это не произошло по злой воле капризной избалованной женщины. Причиной его гибели было предательство иудейского «друга», которому он доверял, и у которого в доме жил несколько лет...
– Но как же он не почувствовал? Как не увидел, что это за «друг»?! – возмутилась я.
– Наверное, невозможно подозревать каждого человека, Изидора... Думаю, им и так было достаточно сложно кому-то довериться, ведь им всем приходилось как-то приспосабливаться и жить в той чужой, незнакомой стране, не забывай этого. Потому, из большого и меньшего зла они, видимо, старались выбрать меньшее. Но предугадать всё невозможно, ты ведь сама прекрасно знаешь это, Изидора... Смерть Волхва Иоанна произошла уже после распятия Радомира. Его отравил иудей, в доме у которого Иоанн в то время жил вместе с семьёй погибшего Иисуса. В один из вечеров, когда весь дом уже почивал, хозяин, беседуя с Иоанном, преподнёс ему его любимый чай с примесью сильнейшего травяного яда... На следующее утро никто даже не сумел понять, что же такое случилось. По словам хозяина, Иоанн просто мгновенно уснул, и уже никогда не проснулся более... Его тело нашли утром в его окровавленном ложе с... отрубленной головой... По словам того же хозяина, иудеи очень боялись Иоанна, так как считали его непревзойдённым магом. И чтобы быть уверенными, что он никогда уже не воскреснет – они обезглавили его. Голову же Иоанна позже выкупили (!!!) у них и забрали с собою рыцари Храма, сумев сохранить её и привезти в Долину Магов, чтобы таким образом дать Иоанну хотя бы такое малое, но достойное и заслуженное почтение, не разрешая иудеям просто глумиться над ним, выполняя какие-нибудь свои магические ритуалы. С тех пор голова Иоанна была с ними всегда, где бы они ни находились. И за эту же голову через две сотни лет рыцарей Храма обвинили в преступном поклонении Дьяволу... Ты ведь помнишь последнее «дело Тамплиеров» (Рыцарей Храма), не так ли, Изидора? Именно там их обвинили в поклонении «говорящей голове», которая бесила всё церковное духовенство.

– Прости меня, Север, но почему Рыцари Храма не привезли голову Иоанна сюда, в Мэтэору? Ведь, насколько я понимаю, вы все очень любили его! И откуда тебе известны все эти подробности? Тебя ведь не было вместе с ними? Кто рассказал тебе всё это?
– Рассказала нам всю эту печальную историю Ведунья Мария, мать Радана и Радомира...
– А разве Мария вернулась к вам после казни Иисуса?!.. Ведь, насколько известно мне, она была с её сыном во время распятия. Когда же она вернулась к вам? Возможно ли, что она всё ещё жива?.. – затаив дыхание, спросила я.