Учитель: Решая задачи на проценты, вы выражали процент дробью. А так как проценты означают сотые доли, то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений.

Сейчас мы с вами поработаем в группах и решим несколько задач, связанных с темой нашего урока. Мы будем работать в группах по 4 человека. На группы мы делимся следующим образом: первая парта работает вместе со второй партой. Третья парта работает вместе с четвертой партой.

Я сейчас раздам вам задания из «Телешколы». Каждая группа выполнит по одному заданию. После этого мы проведем совместное обсуждение решенных вами задач. Один представитель от каждой группы у доски покажет нам решение задачи своей группы.

Работа в группах

Задание 1 группе

По электронному учебнику прочитайте, как представить процент в виде десятичной дроби. Разберите примеры выражения процентов десятичной дробью

Представление процента десятичной дробью

Рассмотрим пример, который поможет понять, как выразить проценты десятичной дробью.

Пример 1. В состав атмосферы Земли около её поверхности входят следующие газы: азот - 78%; кислород - 21%; 1% приходится на другие газы, среди которых наибольшую долю составляет аргон, и в очень небольших долях углекислый газ, водород и др.

Выразим долю каждого газа десятичной дробью.
Можно рассуждать следующим образом:
Азот: 78% - это
Кислород: 21% - это
Другие газы: 1% - это

Можно прийти к такому же результату, рассуждая несколько иначе:

1% - это одна сотая, или 0,01; значит, 78% - это 0,01 ⋅ 78 = 0,78, а 21% - это 0,01 ⋅ 21 = 0,21.

Из рассмотренного примера легко подметить, что выразить процент десятичной дробью можно коротким путём, не проводя приведённые выше рассуждения.

Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее перед знаком процента, умножить на 0,01, или, что одно и то же, разделить на 100.

Выразим десятичной дробью проценты в следующих предложениях:
1) На распродаже цена диска с компьютерной игрой составила 80% от прежней цены.

80% - это 80: 100 = 0,8, т. е. новая цена диска составила 0,8 его прежней цены.

2) Через год сумма денег на банковском счёте составила 120% от вложенной суммы.
120% - это 120: 100 = 1,2, т. е. сумма на счёте увеличилась в 1,2 раза.

3) Вес годовалого ребёнка составил 300% от его веса при рождении.
300% - это , т. е. вес годовалого ребёнка в 3 раза больше, чем новорождённого.

Задание 2 группе

В тексте учебника прочитайте, как перейти от десятичной дроби к процентам. Разберите пример с составом атмосферы Земли (задание из «Телешколы»)

Выражение дроби в процентах

Итак, чтобы перейти от процентов к десятичной дроби, надо число процентов разделить на 100. Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, надо выполнить обратную операцию.

Проиллюстрируем это на рассмотренном примере с составом атмосферы Земли.

Пример 2. Известно, что азот составляет 0,78 смеси газов, входящих в атмосферу. Выразим эту дробь в процентах.

Умножив 0,78 на 100, получим, что 0,78 - это 78%. Действительно,
а - это 1%, значит, - это 78%.

Таким образом,

Точно так же следует поступать и при переходе от других десятичных дробей к процентам:
0,08 - это 8% (так как 0,08 ⋅ 100 = 8);
0,6 - это 60% (так как 0,6 ⋅ 100 = 60);
1,2 - это 120% (так как 1,2 ⋅ 100 = 120).

Задание 3 группе

В тексте учебника прочитайте, как перейти от обыкновенной дроби к процентам. Разберите пример.

Чтобы выразить в процентах обыкновенную дробь, надо сначала превратить её в десятичную.А чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо эту дробь умножить на 100. Например:
значит, - это 40%;
значит, - это 64%;
значит, - это примерно 67%.

Задание 4 группе

Пользуясь текстом учебника или словарём понятий и терминов («Телешкола»), запишите в тетрадь для письменных работ, как выразить проценты десятичной дробью.
Запишите десятичной дробью 80%, 120%, 300%.
Чтобы выразить обыкновенную дробь в процентах, надо сначала превратить её в десятичную.

Запишите в тетрадь для письменных работ правило перехода от десятичной дроби к процентам. Выразите в процентах: 0,08; 0,6; 1,2;

Вспомним, что такое дробь. Дробь - это часть чего-то. Например, если у нас есть литр молока, то половина - это пол-литра, то есть (Рис. 1).

Рис. 1. Литр и пол-литра молока

Другой пример: если разделить торт на равных частей, то части - это торта (Рис. 2).

Рис. 2. торта

То есть числитель (то, что написано над чертой дроби) указывает на количество взятых частей, а знаменатель (то, что написано под чертой дроби) указывает, на сколько частей мы делили объект.

Мы уже говорили, что дроби - это условное понятие. Так как то, что выражается дробным числом, при другом подходе может быть выражено целым числом. Например, четверть метра ( метра) - это то же самое, что см. В жизни мы тоже один и тот же объект можем называть разными словами. Например, для кого-то данный человек Иван Иванович, а для другого - Ванечка, а для кого-то - главный бухгалтер (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

В математике тоже используют эквивалентные формы записи одного и того же объекта. Например, число можно представить (записать) разными способами (Рис. 4).

Рис. 4. Представления числа 12

Рассмотрим еще один пример. Пусть путь до школы составляет кварталов, тогда половина пути - квартала (при условии, что они одинаковые). С другой стороны, мы идем до школы минут, тогда половину пути мы пройдем за минут. Или путь можно посчитать в шагах, если путь до школы шагов, то половина пути - шагов (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

То есть . Мы одну и ту же вещь - половину пути - обозначили по-разному (эквивалентные записи). Каждая форма записи может быть удобной в определенной ситуации.

Предположим, нам необходимо сравнить успеваемость учеников двух школ. Мы знаем, что в первой - хорошист, а во второй - хорошистов, всего детей в первой школе - , а во второй - . Какая школа лучше? Во второй школе больше детей, которые учатся хорошо, но и детей в этой школе больше. Для решения этой задачи нужно сравнить и . Для этого, как мы знаем, нужно привести дроби к общему знаменателю, что при больших числах является трудоемкой задачей. А если представить, что сравниваются не две школы, а больше, то задача становится еще сложнее. Поэтому в таком случае удобно использовать десятичные дроби. Запишем дроби так:

Сравнение происходит намного легче. Ведь сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно. Сразу видно, что вторая школа лучше.

Теперь рассмотрим то, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, представим, что человека идут в поход и нужно поровну распределить между ними кг муки, то есть нужно разделить на .

Для этого мы можем перейти к другим единицам измерения, кг - это г. , в килограммах это приблизительно . То есть . Предположим, нужно было делить еще точнее, тогда мы могли представить кг в миллиграммах, мг. . В килограммах это приблизительно . . Так можно увеличивать точность расчетов сколько угодно. Эта идея заложена в общем алгоритме письменного деления чисел в столбик. Когда нам нужно поделить на , мы выполняем деление в столбик, если все разряды числа использованы, то мы продолжаем деление, дописывая нуль.

Основная идея десятичной дроби состоит в том, что это - удобная форма записи для дробей, знаменатели которых , , и т.д. В десятичной форме записи верно такое разложение: . После обобщения понятия степени вы узнаете, что , ; и т.д. Тогда можно будет любое число, записанное в десятичной форме, представить в виде суммы аналогично тому, как мы делали это для натуральных чисел. Например, .

Помимо облегчения выполнения сравнения, десятичные дроби имеют преимущество в арифметических операциях, так как на них можно обобщить существующие алгоритмы работы с натуральными числами, записанными в десятичной записи (сложение, умножение в столбик, деление в столбик и т.д.).

То есть десятичная запись - это некий стандарт в математике. Примером стандартизации может служить болт и гайка. Раньше каждая мастерская изготавливала болты и гайки разных размеров, что вызывало неудобство. Но потом ввели стандарты, и их использование значительно упростилось. Теперь в механизме могут использоваться только определенные болты и гайки. Так и в механизме счета пришли к удобному стандарту - десятичным дробям.

Для сотых частей вводится отдельное название - процент. - одна сотая. Вернемся к примеру со школами: соотношение количества хорошистов в первой школе к общему количеству детей - , а во второй - . В таком виде сравнение выполняется легко: . Но для сравнения нам бы хватило и меньшей точности. Обычно в таких случаях вычисления округляют до сотых: и . Эти сотые доли и называют процентами, - это , а - .

Так как один процент - это одна сотая, процентов - это сто сотых, то есть , все целое. Половина - . Наверное, каждый в жизни сталкивался с процентами, например, скидки в магазине . Проценты - это другое название одного из видов дробей. Например, можно сказать, что осталась четверть бака бензина, а можно сказать - . Можно обходиться и без процентов: так же, как и массу, измерять только в килограммах, но в зависимости от обстоятельств удобнее использовать другие единицы измерения массы - например, тонны.

То есть процент - это не принципиально новый объект. Это лишь другое название часто используемого нами объекта - дроби со знаменателем . Теперь, когда мы знаем, что процент - это сотая часть, научиться работать с процентами - это дело техники.

В математике важно разделять, какая часть понятийная (что нужно понимать), а какая - техническая (что нужно отработать, решая различные примеры). Если ты один раз прокатился на велосипеде, то это не значит, что ты уже умеешь кататься, но ты понял, как это делать. Так и в математике: после понимания должны следовать упражнения, на которых можно набить руку.

Примером такого упражнения на проценты является следующая задача .

Рост мальчика см, он вырос на . Рост его брата см, и он тоже вырос на . На сколько сантиметров изменился рот каждого?

В первом случае на см ( от ), а во втором на см ( от ).

Еще одно популярное упражнение .

Цена товара сначала увеличилась на , а затем уменьшилась на . Как изменилась цена?

Слайд 2

«Математика – королева и служанка всех наук»К.Ф.Гаусс«Жизнь украшается двумя вещами – занятием математикой и её преподаванием» С. Пуассон

Слайд 3

1.Основные задачи на дроби и проценты 2.Типовые задачи на дроби и проценты 3.Разные задачи на дроби и проценты

Слайд 4

Нужны ли проценты в жизни?

Задания, связанные с изучением дробей и процентов, позволяют сделать школьный курс математики практико-ориентированным, учат учащихся применять приобретённые знания в повседневной жизни. Некоторые из таких заданий приближены к современной тематике и к жизненному опыту учащихся и служат сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Слайд 5

Формирование навыков в решении задач на проценты

При встрече с задачей на дроби и проценты учащийся знакомится с разными способами её решения, осваивают новую стратегию. Задачи на «концентрацию, «банковские расчёты»и прочее – это хорошие примеры практических задач, которые нередко включаются в итоговую проверку математической подготовки учащихся за основную школу.

Слайд 6

Уменьшение, увеличение на несколько процентов

Цена упаковки составляет 6% цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 руб.? Комментарий к решению Сначала найдем цену упаковки 650:100*6=39(руб), значит, стоимость товара с упаковкой: 650+39=689 (руб) Второй способ: Стоимость игрушки с упаковкой 100%+6%=106%, что соответствует дроби1,06 Найдём стоимость товара с упаковкой 350*1,06= 389 (руб).

Слайд 7

Задачи для самостоятельного решения

Оптовая цена товара на складе 5500р. Торговая надбавка в магазине составляет 30% от цены товара. Сколько стоит этот товар в магазине? Ответ: 7150 р. 2. Нужно приготовить 800 г салата, 30% которого составляют помидоры, 45% - огурцы, 10% - лук, а остальное – перец. Сколько граммов перца нужно взять для такого салата? Ответ: 120 г

Слайд 8

2.Типовые задачи на дроби и проценты

1.В июле в типографии было отпечатано 1500 экземпляров журнала, в августе на 30% больше, чем в июле, а в сентябре на 20 % меньше, чем в августе. Сколько экземпляров журнала напечатали в сентябре? Ответ: 1560 экз. 2. Из 800 страниц книги занято текстом – 62,5%, на 30% остальных страниц размешены фотографии, а на оставшихся страницах – рисунки. Сколько страниц этой книги занято рисунками? Ответ: 210 страниц

Слайд 9

Нахождение целого по его процентам

1. Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей. Известно, что 10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду? Комментарий к решению 100% - 10% =90% (детей поехали на дачу) Найдём целое по его части 180: 0,9 = 200 (детей) Ответ: 200 детей 2. Решите задачу самостоятельно: Когда 130 пассажиров заняли свои места в самолёте, остались свободными – 35% всех мест. Сколько пассажиров вмещает самолёт? Ответ: 200 пассажиров

Слайд 10

3.Разные задачи на дроби и проценты

Банковские операции: За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счёт в банк 5000 руб. и решил в течение 5 лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Подсчитайте, сколько денег будет на счёте вкладчика через год, через два года, через пять лет. Комментарий к решению Т.К.8% от 5000 руб. составляет 400 руб., то через 1 год на счёте окажется 5000 + 400= 5400 руб. В конце второго года банк будет начислять 8% от суммы 5400 руб, что составляет 432 руб. Через два года на вкладе будет 5400+ 432= 5832 руб. В конце третьего года сумма будет 5832+466,56 = 6298,56 руб. В конце четвертого 6298,56 + 503,88 руб.=6802,44 В конце пятого года 6802,44+544,20=7346.64 руб.

Слайд 11

Многократноеизменение цены

С 1 по 10 октября магазин проведёт распродажу садового инвентаря: цены будут ежедневно снимать на 10%. В витрине магазина выставлена газонокосилка, которая продавалась по цене 1200 р. Исходя из условий распродажи, ответьте на вопросы: Сколько руб. будет стоить газонокосилка на 2-ой день распродажи? Андрей хочет купить газонокосилку за 700 руб. На какой день распродажи он может рассчитывать? На какой день распродажи цена на газонокосилку будет снижена более, чем на 50 %? В начале или в конце распродажи цена товара падает быстрее? Комментарий к решению Новая цена после снижения будет составлять 90% (иначе 0,9) от цены предыдущего дня. Математическая модель расчета стоимости товара при ежедневном снижении на 10%. С = С0 * 0,9n, где С0 – цена предыдущего дня, n – день распродажи

Слайд 12

Решение

На 2-ой день распродажи газонокосилка будет стоить 972 р. т.е станет дешевле на 230 р. Андрей может приходить в магазин на 5-ый день, когда цена интересующего его товара станет равной 708 р. Цена газонокосилки снизится более, чем на 50% (уменьшится в 2 раза), начиная с 7 дня распродажи. В начале или в конце распродажи цена падает быстрее, можно, опираясь на здравый смысл. Так как ежедневно берётся процент от цены, меньшей, чем в предыдущий день, то в начале распродажи цена падает быстрее

Слайд 13

Доход по вкладу

Петр открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 8%.Если бы он добавил 2000 р., то через год получил бы доход960 р.Какая сумма была внесена им в банк? Комментарий к решению Пусть x р. – сумма, которую Петр внес в банк. Тогда (x+2000) р было бы на вкладе, если бы он добавил 2000 р. 0,08 (x+2000) = 960 0,08 x + 160 = 960 0.08x = 800 Решив уравнение, получим x=10000 (р) Ответ: 10000 рублей внесено в банк

Конспект урока математики в 6 классе, 11.03.2017

«Десятичные дроби и проценты»

Учитель: Новгородцева С.В.

МБОУ «Воробьевская средняя школа»

Тип урока: контроль, коррекция знаний умений и навыков

Цели: - продолжить работу по формированию навыка применения десятичных дробей к решению задач на проценты; провести контроль и коррекцию знаний. Умений и навыков учащихся в нестандартной форме

Развивать вычислительные навыки, мышление, сообразительность, наблюдательность;

Воспитывать ответственное отношение к собственной учебной деятельности

Планируемые результаты:

предметные

Знать, как решаются три типа задач на проценты;

Выполнять решение трёх типов задач на проценты с помощью десятичных дробей.

Формирование универсальных учебных действий учащихся

Познавательные – воспитывать познавательный интерес к предмету; учить анализировать имеющуюся информацию; учить осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий.

Регулятивные – учить целеполаганию; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; умению вносить коррективы в действие после его завершения на основе учёта сделанных ошибок; оценивать правильность выполнения действий.

Коммуникативные – организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать действие партнёра.

Личностные – формирование учебно-познавательного интереса к деятельности; воспитание доброжелательного отношения к окружающим; формирование умения проводить объективный самоанализ деятельности.

Оборудование – сводная таблица результатов работы, индивидуальные карточки для выполнения самостоятельной работы

Ход урока

I. Мотивация к учебной деятельности.

Организационный этап.

Проверяет готовность учащихся к уроку. Запись домашнего задания с доски (Выполнить №№ 860, 864, повторить п.п. 1.6 , 1.7.)

Здравствуйте. Пожалуйста, садитесь.

Я очень рада всех вас видеть здесь и сейчас бодрыми и здоровыми. К работе готовы? Итак, начинаем.

Для того, чтобы узнать тему урока, вам нужно вспомнить, как решить такую задачу:

Из 30 учащихся класса в различных кружках занимаются 12. Сколько процентов учащихся класса занимаются в кружках?

Сталкивались ли мы с подобными заданиям? Где мы можем найти подсказку для решения задания? Найдите этот материал в учебнике и прочитайте п.п. еще раз.

Можем ли мы сформулировать тему и задачи урока? Какой раздел мы изучаем сейчас? (Десятичные дроби). Какую тему вы повторили? (Проценты) Какой будет наша тема (Десятичные дроби и проценты)

Давайте сформулируем задачи урока

Научиться вычислять процент на основе знаний о десятичных дробях;

Решать задачи на нахождение процента разными способами.

II. Актуализация знаний.

Наш сегодняшний урок будет строиться на работе «на самого себя»., т.е. каждое задание оценивается в определенное количество баллов. В таблице напротив своего имени вы самостоятельно будете выставлять заработанное количество баллов в соответствующей графе. На этапе оценивания вы подсчитаете свои баллы и сами определите свою оценку за урок. У нас есть графы «Домашнее задание» - 3 , «Математический диктант» - каждый правильный ответ – 1 балл, «Самостоятельное решение проблемной задачи» – 9 баллов, «Нахождение новых способов решения этой задачи» - по 1 баллу (всего есть 3 способа), Написание тестовой самостоятельной работы КИМ № 28 – 3 балла. Обращаю ваше внимание на дополнительный балл – активность на уроке.

Объяснение работы сопровождается демонстрацией таблицы.

Ш. Этап контроля знаний

1. Проверка домашнего задания в тройках. В случае возникновения расхождений в результатах решения учащиеся у доски выполняет перепроверку и находят верный вариант. (Домашнее задание Учебник: «Математика 6». Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. /С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – Изд. 3-е. – М.: Просвещение, 2014., № 855, № 856, 857)

200/ 100 * 20 = 2 * 27 = 54 290/ 100 * 27 = 2,9 * 27 = 78,3

45 * 27 %=12,15 38* 27 %=10,26

540/27%=2000 300/27%=1111,11111

243/27%=900 2727/27%=10100

350 – 100% 350 – 100 %

35 – х% 385 – х %

Х = 35*100/350 = 10% х = 385*100/350 = 110 %

350 – 100 % 350 – 100 %

315 – х % 679 – х %

Х = 3150*100/350 = 90 % х = 679 * 100 / 350 = 194 %

После проверки учащиеся, не допустившие ошибок, выставляют 3 балла, если есть 1 ошибка - 2 балла, если есть 2 и более ошибок – ставиться 1 балл. В случае отсутствия домашнего задания, ученик получает «- 3 балла»

2. Устный счет. Написание математического диктанта.

Производится обмен тетрадями. Запись числа, темы урока. Учащиеся записывают в сточку через клетку только ответы.

1% от100, 7% от 200, 100% от 49, 1 % от 300.

Найди целое число, если 1% =3, 15%=30, 10%=40, 50%=250.

Увеличьте число 60 на 10%, 40 на 50%, 80 на 25%

Ответ. 1, 14, 49, 3, 300, 200, 400, 500, 66, 60, 100.

Учащиеся обмениваются тетрадями в парах и сверяют ответы с ключом на доске. После проверки записывают столько баллов, сколько было дано правильных ответов

3) Постановка проблемного задания. Найдите разные способы решения этой задачи. Учащимся дается возможность работать в парах или малых группах.

Масса сушеных яблок составляет 25% массы свежих. Сколько сушеных яблок получиться из 200 кг? Сколько процентов массы свежих яблок теряется присушке?

200 кг – 100% х = 200* 25 / 100 = 50 кг сушеных яблок

Х кг – 25% 200-50 = 150 кг теряется

200*0,25 = 50 кг сушеных яблок 200 – 50 = 150 кг теряется

25 % = ¼ 200 * ¼ = 50 кг сушеных яблок 200 – 50 = 150 кг теряется

После того, как сильные учащиеся найдут 3 способ решения или в случае затруднения, учитель (или сильные учащиеся) объясняют еще раз все 3 способа, после чего ученики самостоятельно решают № 858 учебника.

Учащиеся получают баллы после проверки учителем. Каждая задача, решенная 3-мя способам – 3 балла.

4) Решение тестовой самостоятельной работы КИМ № 28

После решения заданий учащиеся объединяются в группы по вариантам и сверяют ответа по Ключам, выданным учителем.

IV Подведение итогов урока. Подсчет баллов. Оценивание.

28 -25 баллов – «5»

24-20 баллов – «4»

19 – 14 баллов – «3»

Учащиеся, набравшие меньше 14 баллов получают дополнительное задание для индивидуальной работы.