С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:

Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:

х = 2 у; у - 2х.

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х 2 - у 2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:

Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:

Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим

Так как х = 2у, то находим соответственно х 1 = 2, х 2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:

Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим

Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

Ответ: (2; 1); (-2;-1).

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.

Пример 4. Решить систему уравнений

Уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0 называется биквадратным уравнением. Абсолютно любое уравнение такого типа можно решить при помощи ввода новой переменной и последующего решения уравнения относительно нее. После проводят обратную замену и находят искомый x.
Давайте рассмотрим, как применять этот метод при решении рациональных уравнений.

Дано уравнение: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Решение
Для решения данного уравнения необходимо ввести новую переменную, которая имеет вид y =x2. Также справедливо следующее равенство: x4 = (x2)2 = y2. Исходное уравнение переписываем следующим образом: y2 - 4y + 4 =0. Это обычное квадратное уравнение, решив которое, вы получите корни y1 = y2 = 2. Поскольку y = x2, то решение этого задания сводится к решению еще одного уравнения, а именно: x2 = 2. Находим ответ: +-√2.

В данной ситуации, метод введения переменной был «адекватен ситуации», то есть было явно видно, какое выражение заменить новой переменной, но так бывает не всегда. В основном, выражение, которое можно заменить, проявляется только в процессе преобразования и упрощения исходного выражения. Разбор подобного примера вы можете посмотреть в видеоуроке.

Свойства функции y = k/x, при k >0
В видеоуроке вы познакомитесь с основными свойствами гиперболы, опираясь на её геометрическую модель.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - область определения функции состоит из всех чисел, кроме 0.
2. При x > 0 => y > 0, а при x < 0 => y < 0.

3. При k > 0 функция убывает на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0; ∞).
4. Функция y = k/x не имеет ограничений сверху и снизу.
5. Функция y = k/x не имеет наибольших и наименьших значений.
6. Непрерывна на промежутке(-∞;0) и (0; ∞), претерпевая разрыв при х = 0.

Урок на тему: Решение уравнений

Составила: Волкова Вера Викторовна - учитель математики

Тема урока: Решение уравнений методом введения новой переменной.

Цели урока:1. Познакомить учащихся с новым методом решения уравнений;

2.Закрепить навыки решения квадратных уравнений и выбора методов их решений;

3.Провести первичное закрепление новой темы;

4. Развивать умение отстаивать свою точку зрения, аргументированно вести диалог с одноклассниками;

Развивать внимание, память и логическое мышление, наблюдательность

Прививать навыки коммуникабельности и культуры общения

Прививать навыки самостоятельной работы

Ход урока

1.Оргмомент

Сообщение темы урока и постановка цели.

2. Повторение

На предыдущих уроках мы научились решать квадратные уравнения разными способами и уравнения. Которые можно привести к квадратным.

Какое уравнение называется квадратным.

Какие способы их решения вы знаете,

Какие уравнения можно привести к квадратным

а) (х+3) 2 +(х-2) 2 + (х+5)(х -5)= 11х +20

б) х 2 (х+1)-(х+4)х=12(х-1) 2

в) х 2 +х+9=3х-7,

г) х+1 + х = 2,5

Х х+1

д) х 2 +2х+2 + х 2 +2х+3 = 9

Х 2 +2х+5 х 2 +2х+6 10 ?

3. Изучение нового материала.

Сейчас поработаем в группах (напомнить о порядке работы и правилах поведения при работе в группах). Ваша задача решить предложенные уравнения (раздаются карточки с заданием, на доску вывешивается плакат).

а) х+1 + х = 2,5

Х х+1

б) х 2 +2х+2 + х 2 +2х+3 = 9

Х 2 +2х+5 х 2 +2х+6 10

Учитель наблюдает за ходом работы и выбирает форму проверки первого уравнения:

Устно или на доске в зависимости от успешности работы класса.

Давайте проверим, что у вас получилось.

Первое уравнение сводится к квадратному уравнению х 2 +х -2=0.

Решением которого являются числа -2 и 1.

А теперь перейдем к решению второго уравнения. Во всех группах получилось уравнение четвертой степени, решать которое вы не умеете.

Попробуем все- таки с ним разобраться.

Как и решение любой задачи, решение уравнения состоит из ряда этапов:

• Анализ уравнения
• Составление плана решения.
• Реализация этого плана.
• Проверка решения.
• Анализ метода решения систематизация опыта.
• - Как обычно проводится анализ уравнения?

Прежде всего, отвечаем на вопрос, встречались ли мы с уравнениями такого вида раньше?

Да, встречались,- это дробно- рациональное уравнение.

Можно попытаться решить это «тяжелое» уравнение, а можно вернуться к

исходному уравнению и еще раз проанализировать его.

Для этого:

• Выделим некоторые элементы уравнения,
• Установим их общие свойства,
• Изучим связи между различными элементами уравнения,
• Используем эту информацию.

Поработаем 5 минут в группах по этому плану.

Большинство выделили элемент, входящий в числители и знаменатели дробей в уравнении. Чтобы уравнение стало проще, заменим это выражение одной буквой, например Z:

Х 2 + 2х = Z

Z +2 + Z +3 = 9

Z +5 Z +6 10

Его можно рассматривать как новое уравнение относительно новой неизвестной Z. В нем переменная х не присутствует в явном виде.

Говорят, что произведена замена переменной.

Целесообразна ли такая замена? Чтобы ответить на этот вопрос достаточно выяснить:

Можно ли решить новое уравнение и найти значения Z,

Можно ли по Z найти значение переменной х для исходного уравнения.

Попробуйте, работая в группах ответить на первую часть вопроса.

Учитель наблюдает за ходом работы. Затем проверяются результаты поиска значений переменной Z.

Итак, мы нашли значения переменной Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11

Но нас интересуют все значения переменной х, удовлетворяющие исходному уравнению. Найдем эти значения. Связь между корнями исходного и нового уравнения содержится в формуле х 2 + 2х = Z . Значения переменной Z мы уже нашли. Следовательно, любой корень исходного дробно – рационального уравнения является корнем одного из уравнений: х 2 + 2х =Z 1 или х 2 + 2х =Z 2

Решите эти уравнения самостоятельно по вариантам.

Проверим результаты: первое уравнение имеет корни х 1 = 0 ,х 2 = -2,а второе уравнение не имеет корней.

Осталось провести проверку полученных результатов для исходного уравнения и записать ответ.

Ответ:х 1 =0, х 2 = -2.

Итак, мы решили исходное уравнение новым методом,который называется методом введения новой переменной.

Составьте алгоритм решения нашего уравнения методом введения новой переменной. (работа в группах)

• Выделяем выражение х 2 + 2х;
• Обозначаем это выражение одной буквы х 2 + 2х =Z;
• Выполняем подстановку и получаем новое уравнение;
• Приводим его к квадратному и решаем;
• По значениям переменной Z находим значения переменной х;
• Делаем проверку полученных результатов и записываем ответ.

3.Закрепление материала.

Как вы думаете, можно ли было провести другую замену переменных? (Например,х 2 + 2х

2 = Z или х 2 + 2х +6 = Z.) Какой вид тогда будет иметь новое уравнение? Как их решить? Могут ли решить первое домашнее уравнение методом введения новой переменной? Какое выражение можно заменить новой переменной? Какой получится уравнение? Как его решить? Чему равны значения переменной Z? Чему равны значения переменной х?

4.Подведение итогов.

• Что мы сегодня изучали на уроке?
• Какой новый способ решения уравнений вы узнали?
• В чём заключается метод введения новой переменной?
• Каков алгоритм этого метода?
• Показался ли вам этот метод трудным, неудобным?
• Для всех ли уравнений его можно применить?

5.Домашнее задание.

• Записать и выучить алгоритм применения метода введения новой переменной;
• Решить данным методом № 2.43 (1 ; 2) ГИА стр.117.

2.2.3. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. ,

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .

;

;

;

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что – корень уравнения, а – посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Отметим, что «бездумное» применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 9. Решить уравнение .

Введем новую переменную

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению.

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду, как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующих подстановок, называется способом рационализации.

Со всеми учащимися на уроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он может быть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.

На основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...

На качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта...

Можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных...

Числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе...

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.