Обратимся опять к школьным задачам и задачам на сообразительность. Одной из таких задач является узнать, какой угол образуют между собой минутная и часовая стрелка на механических часах в 16 часов 38 минут, или одна из вариаций - сколько времени будет после начала первых суток, когда часовая и минутная стрелка будут образовывать угол в 70 градусов.
Самый простой вопрос, на который много людей умудряются давать неправильный ответ. Какой угол между часовой и минутной стрелкой на часах в 15 часов 15 минут?
Ответ ноль градусов не явлется правильным ответом:)
Давайте разбираться.
Минутная стрелка за 60 минут совершает полный оборот по циферблату, то есть совершит оборот на 360 градусов. За это же самое время (60 минут) часовая стрелка пройдет путь всего одну двенадцатую часть от окружности, то есть сдвинется на 360/12 = 30 градусов
Насчет минутной все очень просто. Составляем пропорцию минуты относятся к пройденному углу как полный оборот(60 минут) к 360 градусам.
Таким образом пройденный угол минутной стрелкой составит минуты/60*360 = минуты*6
Как результат вывод каждая пройденная минута смещает минутную стрелку на 6 градусов
Отлично! Теперь что насчет часовой. А принцип тот же самый, только надо время (часы и минуты) привести к долям часа.
Например 2 часа 30 минут - это 2.5 часа (2 часа и его половинка), 8 часов и 15 минут - это 8.25 (8 часов и одна четвертинка часа), 11 часов 45 минут - это 11 часов и три четвертинки часа то есть 8.75)
Таким образом пройденный угол часовой стрелкой составит часы(в долях часа)*360.12 = часы*30
И как следствие вывод каждая пройденный час смещает часовую стрелку на 30 градусов
угол между стрелками = (час+(минуты /60))*30 -минуты*6
где час+(минуты /60) - это положение часовой стрелки
Таким образом ответ к задаче: какой же угол составят стрелки когда на часах 15 часов 15 минут, будет следующим:
15 часов 15 минут это равноценно положению стрелок в 3 часа и 15 минут и таким образом угол составит (3+15/60)*30-15*6=7.5 градуса
По углу между стрелками определить время
Это задача сложнее, так как мы решать будем в общем виде, то есть определять все пары (час и минута) когда они будут образовывать заданный угол.
Итак, напомним. Если время выражено в виде HH:MM (час:минута) то угол между стрелками выражается формулой
Теперь, если обозначим угол буквой U и перевести все в альтернативный вид, то получим следующую формулу
Или избавшись от знаменателя, получаем основную формулу связывающая угол между двумя стрелками, и позициями этих стрелок на циферблате.
заметьте, что угол может быть и отрицательным, то есть в пределах часа у нас может два раза встречаться один и тот же угол, например угол в 7.5 градуса может быть и в 15 часов 15 минут и 15 часов и 17.72727272 минут
Если нам, как в первой задаче был задан угол, то получаем уравнение с двумя переменными. В принципе оно не решается, если не принять условие что час и минута могут быть только целыми числами.
При таком условии мы получаем классическое диофантово уравнение . Решение которого очень простое. Рассматривать мы их пока не будем, а приведем сразу окончательные формулы
где k - произвольное целое число.
Результат часов естественно берем по модулю 24, а результат минут по модулю 60
Посчитаем все варианты когда часовая и минутная стрелка совпадают? То есть когда угол между ними равен 0 градусов.
Как минимум мы знаем две таких точки 0 часов и 0 минут и 12 часов дня 0 минут. А остальные??
Создадим таблицу, положений стрелок когда угол между ними ноль градусов
Упс! на третьей строке у нас ошибка в 10 часов никак стрелки не совпадают.Это можно убедится взглянув на циферблат. В чём же дело?? Вроде все правильно считали.
А все дело в том, что в промежутке между 10 и 11 часами, для того что бы минутная и часовая стрелка совпадала, минутная стрелка должна находится где то в дробной части какой то минуты.
Это легко проверить по формуле подставив вместо угла число ноль, а вместо часов число 10
получим, что минутная стрелка будет находится между(!!) делениями 54 и 55 (совсем точно на позиции 54.545454 минут).
Именно поэтому наши последние формулы не сработали, так как мы подразумевали что часы и минуты числа целые(!).
Задачи, которые встречаются на ЕГЭ
Мы рассмотрим задачи, решения которых есть в интернете, но пойдем другим путем. Возможно это облегчить той части школьников, которые ищут простой и необременительный способ решать задачи.
Ведь чем больше разных вариантов решения задач тем лучше.
Итак, мы знаем только одну формулу и будем пользоваться только ей.
Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
Рассуждения "решателей" на других интернет-ресурсах меня немного утомили и запутали. Вот для таких "утомленных" как я, мы решаем эту задачу по другому.
Определим когда в первом (1) часу минутная и часовая стрелка совпадет (угол 0 градусов)? Подставляем в уравнение изветные числа и получаем
то есть в 1 час и почти в 5.5 минут. это раньше чем 1 час 35 минут? Да! Отлично, значит этот час мы не учитываем в дальнейших расчетах.
Нам надо найти 10-ое совпадение минутной и часовой стрелки, начинаем анализировать:
в первый раз часовая стрелка будет в 2 часа и сколько то минут,
во второй раз в 3 часа и сколько минут
в восьмой раз в 9 часов и сколько то минут
в девятый раз в 10 часов и сколько то минут
в девятый раз в 11 часов и сколько то минут
Теперь осталось найти где будет находится минутная стрелка в 11 часов, так что бы стрелки совпадали
А теперь умножает 10 раз оборота(а это каждый час) на 60 (перведя в минуты) получим 600 минут. и высчитываем разницу между 60 минутами и 35 минутами (которые были заданы)
Окончательный ответ получили 625 минут.
Что и требовалось доказать. Не надо никаких уравнений, пропорций, ни какая из стрелок с какой скоростью двигалась. Всё это мишура. Достаточно знать одну формулу.
Более интересная и сложная задача звучит так. В 8 часов вечера, угол между часовой и минутной стрелкой составялет 31 градуса. Сколько будет показывать время стрелки, после того как минутная и часовая стрелка образуют прямой угол 5 раз?
Итак в нашей формуле опять известны два из трех параметров 8 и 31 градус. Определяем миунтную стрелку по формуле получим 38 минут.
Когда ближайшее время когда стрелки будут образовывать прямой (90 градусов) угол?
То есть в 8 часов 27.27272727 минут это превый прямой угол в этом часе и в 8 часов и 60 минут это второй угол в этом часе.
Первый прямой угол уже прошел относительно заданного времени, поэтому его не считаем.
Первый 90 градусов в 8 часов 60 минут (можно сказать что ровно в 9-00) - раз
в 9 часов и сколько то минут - это два
в 10 часов и сколько минут - это три
еще раз в 10 и сколько минут - это 4-ре, так совпадений в 10 часу два
и в 11 часов и сколько минут это пять.
Еще проще если мы воспользуемся ботом. Введем 90 градусов и получим следующую таблицу
| Время на циферблате когда будет заданный угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
то есть в 11 часо 10.90 минут будет как раз пятый раз когда между часовой и минутной стрелкой вновь образуется прямой угол.
Надеемся данный разбор, поможет Вам как формулировать задачи для учеников, так и легко решать подобные тесты на сообразительность и в ЕГЭ.
Удачи в расчетах!
Задача про стрелки часов. Задание 11
1. Задание 11 (№ 99600)
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Эта задача ничуть не сложнее, чем задача на движение по кругу. У нас по кругу движутся часовая и минутная стрелки. Минутная стрелка за час проходит полный круг, то есть 360°. Значит, ее скорость равна 360° в час . Часовая стрелка за час проходит угол 30° (это угол между двумя соседними числами на циферблате). Значит, ее скорость 30° в час.
В 8 часов 00 минут расстояние между стрелками составляет 240°:
Пусть минутная стрелка в первый раз встретится с часовой через t часов. За это время минутная стрелка пройдет 360°t, а часовая 30°t, причем минутная пройдет на 240° больше, чем часовая. Получим уравнение:
360°t-30°t=240°
t=240°/330°=8/11
То есть через 8/11 часа стрелки первый раз встретятся.
Теперь до следующей встречи минутная стрелка пройдет на 360° больше, чем часовая. Пусть это произойдет через х часов.
Получим уравнение:
360°х-30°х=360°. Отсюда х=12/11. И так еще два раза.
Получаем, что минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой через 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 мин.
Ответ: 240 мин.
2. Задание 11 (№ 114773). Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
В этой задаче скорость движения стрелок будем выражать в градусах/минуту.
Скорость минутной стрелки равна 360˚/60=6˚ в минуту.
Скорость часовой стрелки равна 30˚/60=0,5˚ в минуту.
В 0 часов положение часовой и минутной стрелок совпадало. 1 час 35 минут - это 95 минут. За это время минутная стрелка прошла 95х6=570˚=360˚+210˚, а часовая прошла 95x0,5˚=47,5˚. И у нас такая картинка:
Первый раз стрелки встретятся через время , когда часовая стрелка повернется на , а минутная на 150˚+47,5˚ больше. Получаем уравнение для :
Цифра шесть
Большинство непредупрежденных людей в ответ на вопрос; этой задачи рисуют одно из начертаний: 6 или VI.
Это показывает, что можно видеть вещь 100 тысяч раз и все-таки не знать ее. Дело в том, что обычно на циферблате (мужских часов) цифры шесть вовсе нет, потому что на ее месте помещается секундник.
Трое часов
Через 720 суток. За это время вторые часы отстанут на 720 минут, то есть ровно на 12 часов; третьи часы на столько же уйдут вперед. Тогда все трое часов будут показывать то же, что и 1 января, то есть верное время.
Двое часов
Будильник уходит в течение часа на 3 минуты по сравнению со стенными часами. На 1 час, то есть на 60 минут, он уходит в течение 20 часов. Но за эти 20 часов будильник ушел вперед по сравнению с верным временем на 20 минут. Значит, стрелки были поставлены верно 19 часов 20 минут назад, то есть в 11 часов 40 минут.
Который час?
Между 3 и 6 часами 180 минут. Нетрудно сообразить, что число минут, остающихся до 6 часов, найдется, если 180-50, то есть 130, разделим на такие две части, из которых одна в четыре раза больше другой. Значит, надо найти пятую часть от 130. Итак, было без 26 минут шесть.
Действительно, 50 минут назад оставалось до 6 часов 26 + 50 - 76 минут, и, значит, после 3 часов прошло 180-76 = 104 минуты; это вчетверо больше числа минут, остающихся теперь до шести.
Когда стрелки встречаются?
Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12 часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у 12 - на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, то есть минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, то есть в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 часа, то есть через 60/11 = 5 5/11 минуты.
Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/11 минуты после того, как пройдет 1 час, то есть в 5 5/11 минуты второго.
Когда же произойдет следующая встреча?
Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 2 часа 10 10/11минуты. Следующая - спустя еще 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 3 часа 16 4/11 минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через 1 1/11 -12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.
Вот все моменты встреч:
1-я встреча- в1час5 5/11минуты
2-я«- «2 часа10 10/11«
3-я«- «3 часа16 4/11«
4-я«- «4 часа21 9/11«
5-я«- «5 часов27 3/11«
6-я«- «6 часов32 8/11«
7-я«- «7 часов38 2/11«
8-я«- «8 часов43 7/11«
9-я«- «9 часов49 1/11«
10-я«- «10 часов54 6/11«
11-я«- «12 часов
Когда стрелки направлены врозь?
Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 часов, когда обе стрелки совпадают. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга,- тогда обе стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час,- меньше во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12, то есть потребуется всего 6/11 часа. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 часа, или 32 8/11 минуты. Взгляните на часы в 32 8/11 минуты первого, и вы убедитесь, что стрелки направлены в противоположные стороны.
Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32 8/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение 12 часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:
12 час. + 32 8/11 мин.= 12 час. 32 8/11 мин.
1 час 5 5/11 мин. + 32 8/11 мин. = 1 час 38 2/11 мин.
2 часа 10 10/11 мин. + 32 8/11 мин. = 2 часа 43 7/11 мин.
3 часа 16 4/11 мин. + 32 8/11 мин. = 3 часа 49 1/11 мин., и т. д.
Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.
По обе стороны шести
Задача эта решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за то же время успела повернуться на 12 х;. Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требования нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами:
1 - 12 х = х
Отсюда 1 = 13 х (потому что 13 x- 12 х - х). Следовательно, х = 1/13 доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в 12/13 часа, то есть показывает 55 5/13 минуты первого. Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, то есть 12/13 полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от 12 одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от 6 по разные стороны.
Мы нашли одно положение стрелок - именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение второго часа подобное положение наступит еще раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства
1 - (12х - 1) = х, или 2- 12х = х,
откуда 2 = 13х (потому что 13х - 12х = х), и, следовательно, х = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/13 часа, то есть в 50 10/13 минуты второго.
В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на 3/13 полного круга, то есть 2 10/13 часа, и т. д. Всех положений 11, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой.
В котором часу?
Если начать следить за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется для искомого расположения. На какой бы угол ни отошла от 12 минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у 12, часовая - у 1, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю оборота, которую мы обозначаем через х. Минутная стрелка успела за то же время пройти в 12 раз больше, то есть 12х. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12х - 1 должен быть вдвое больше, чем х, то есть равняться 2х. Мы видим, следовательно, что 12х - 1 = 2х,откуда следует, что один целый оборот равен 10х (действительно, 12х -10х = 2х).
Но если 10х равны целому обороту, то 1х = 1/10 части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры 12 на 1/10 полного оборота, на что требуется 12/10 часа или 1 час. 12 минут. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от 12, то есть на расстоянии 1/5 оборота; это отвечает 60/5 = 12 минутам, как и должно быть.
Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение 12 часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.
Для этого дождемся 2 часов; минутная стрелка стоит у 12, а часовая - у 2. Рассуждая по предыдущему, получаем равенство:
откуда два целых оборота равны 10х, и, значит, x = 1/5 целого оборота. Это соответствует моменту 12/5 = 2 часам 24 минутам.
Дальнейшие моменты вы легко вычислите сами. Тогда вы найдете, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующих 10 моментах:
в 1 час 12 мин.в 7 час.12 мин.
« 2 часа 24«« 8«24«
« 3«36«« 9«36«
« 4«48«« 10«48«
« 6 часов«12«
Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, но только с первого взгляда. Действительно: в 6 часов часовая стрелка стоит у 6, минутная же - у 12,то есть ровно вдвое дальше. В 12 же часов часовая стрелка удалена от 12 «на нуль», а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.
Наоборот
После предыдущих разъяснений решить эту задачу уже нетрудно. Легко сообразить, рассуждая, как прежде, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством:
откуда 1 = 11 ½ х, или х = 2/23 целого оборота, то есть через 1 1/23 часа после 12. Значит, в 1 час 21 4/23 минуты стрелки будут расположены требуемым образом. Действительно, минутная стрелка должна стоять посередине между 12 и 1 1/23 часами, то есть на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка пройдет 2/23 целого оборота). Второй раз стрелкирасположатся требуемымобразом в момент, который определится из равенства:
откуда 2 = 11 1/2 х и х = 4/23; искомый момент - 2 часа 5 5/23 минуты.
Третий искомый момент - 3 часа 7 19/23 минуты, и т. д.
Три и семь
Обычно отвечают: «7 секунд». Но такой ответ, как сейчас увидим, неверен.
Когда часы бьют три, мы наблюдаем два промежутка:
1) между первым и вторым ударом;
2) между вторым и третьим ударом.
Оба промежутка длятся 3 секунды; значит, каждый продолжается вдвое меньше - именно 1 1/2 секунды.
Когда же часы бьют семь, то таких же промежутков бывает шесть. Шесть раз по 1 1/2 секунды составляет 9 секунд. Следовательно, часы «бьют семь» (то есть делают семь ударов) в 9 секунд.
Тикание часов
Загадочные перерывы в тикании часов происходят просто от утомления слуха. Наш слух, утомляясь, притупляется на несколько секунд - и в эти промежутки мы не слышим тикания. Спустя короткое время утомление проходит, и прежняя чуткость восстанавливается - тогда мы снова слышим ход часов. Затем наступает опять утомление, и т. д.
Цифра шесть Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно обладает он карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе: - А по скольку раз в день взглядываете вы на свои часы? . - Раз 20, вероятно, или около того,- последует ответ. - …
Попробуйте решить самостоятельно!
Если что-то не получается, не отчаивайтесь, ответ и решение расположены ниже.
1. Сколько раз в сутки показания часов обладают тем свойством, что, меняя местами минутную и часовую стрелки, мы придем к имеющему смысл показанию часов?
2. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?
3. Через сколько минут стрелки часов (нормальных) после совмещения наложатся снова?
4. Во сколько раз число, показывающее, во сколько раз скорость секундной стрелки больше скорости минутной, больше числа, показывающего, во сколько раз скорость минутной стрелки больше скорости часовой стрелки?
5. Сколько раз часовые стрелки будут находится одна над другой в течение 12 часов?
6. Некоторая работа была начата в пятом часу, а закончена в восьмом часу, причем показания часов в начале и в конце работы переводятся друг в друга, если поменять местами часовую и минутную стрелки. Определить продолжительность работы и показать, что в начале и в конце работы стрелки были одинаково отклонены от вертикального направления.
7. Сколько раз в сутки минутная стрелка обгоняет часовую? А секундная?
8. Часы пробили полночь. Сколько раз и в какие моменты времени до следующей полуночи часовая и минутная стрелки будут совмещены?
9. Между какими цифрами находится секундная стрелка в момент первого совмещения часовой стрелки с минутной после полудня?
10. Почему на часах стрелки ходят слева направо (по часовой стрелке), а не наоборот?
11. На часах с тремя стрелками - часовой, минутной и секундной - в 12 часов все три стрелки совпадают. Существуют ли еще другие моменты времени, когда все три стрелки совпадают?
12. Задача, предложенная Льюисом Кэрроллом : какие часы точнее показывают время: те, которые отстают на минуту в сутки, или те, которые вовсе не идут?
13. На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?
14. Определите величину угла между часовой и минутной стрелками часов, показывающими 1 час 10 минут при условии, что обе стрелки движутся с постоянными скоростями.
15.
16. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз. Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?
17. Когда же произойдет следующая встреча?
18. В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?
19. Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры 6, по обе ее стороны, одинаково. В котором часу это было?
20. В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа 12 на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько или же вовсе не бывает?
21. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
22. Найдите угол между часовой и минутной стрелками а) в 9 часов 15 минут; б) в 14 часов 12 минут?
23. Когда угол между часовой и минутной стрелками часов больше а) в 13:45 или в 22:15; б) в 13:43 или в 22:17; в) через t минут после полудня или за t минут до полуночи?
24. Стрелки часов только что сошлись. Через сколько минут они будут "смотреть" в противоположные стороны?
25. Как можно объяснить, что в исправных часах за одну секунду минутная стрелка прошла 6 минут.
26. По точному хронометру было установлено, что часовая и минутная стрелки равномерно идущих (но с неправильной скоростью!) часов совпадают через каждые 66 минут. На сколько минут в час спешат или отстают эти часы?
27. В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления, которые встречаются и на итальянских часах, и на обычных. Сколько существует таких положений? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах).
28. Вася измерил транспортиром и записал в тетрадку углы между часовой и минутной стрелками сначала в 8:20, а потом в 9:25. После этого Петя забрал свой транспортир. Помогите Васе найти углы между стрелками в 10:30 и 11:35.
29. Сколько раз с 12:00 до 23:59 совпадают минутная и часовая стрелки часов?
30. На часах полдень. Когда часовая и минутная стрелки совпадут в следующий раз?
31. Укажите хотя бы один момент времени, отличный от 6:00 и 18:00, когда часовая и минутная стрелки правильно идущих часов направлены в противоположные стороны.
32. Когда Петя начал решать эту задачу, он заметил, что часовая и минутная стрелки его часов образуют прямой угол. Пока он решал ее, угол все время был тупым, а в тот момент, когда Петя закончил решение, угол снова стал прямым. Сколько времени Петя решал эту задачу?
33. Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?
34. Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько продолжалась Колина прогулка?
35. Ученик начал решать задачу между 9 и 10 часами и закончил между 12 и 13 часами. Сколько времени он решал задачу, если за это время часовая и минутная стрелки часов поменялись местами?
36. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки правильно идущих часов образуют угол в 30 градусов?
37. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя.)
38. В мире антиподов минутная стрелка часов идет с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны?
39. Сколько раз в сутки антиподные часы невозможно отличить от нормальных (если не знать, который час на самом деле)?
40. Муха в полдень села на секундную стрелку часов и поехала, придерживаясь следующих правил: если она обгоняет какую-то стрелку или ее обгоняет какая-то стрелка (кроме секундной у часов есть часовая и минутная стрелки), то муха переползает на эту стрелку. Сколько кругов проедет муха в течение часа?
Закономерность времени
Выяснить закономерность в изменении времени на часах и определить, что должны показывать часы под номером пять.
Задания с ОГЭ
1. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 4 ч?2. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 6 минут?
Задания ЕГЭ
1. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Эта задача ничуть не сложнее, чем задача на движение по кругу. У нас по кругу движутся часовая и минутная стрелки. Минутная стрелка за час проходит полный круг, то есть 360°. Значит, ее скорость равна 360° в час . Часовая стрелка за час проходит угол 30° (это угол между двумя соседними числами на циферблате). Значит, ее скорость 30° в час.
В 8 часов 00 минут расстояние между стрелками составляет 240°:
Пусть минутная стрелка в первый раз встретится с часовой через t часов. За это время минутная стрелка пройдет 360°t, а часовая 30°t, причем минутная пройдет на 240° больше, чем часовая. Получим уравнение:
360°t-30°t=240°
t=240°/330°=8/11
То есть через 8/11 часа стрелки первый раз встретятся.
Теперь до следующей встречи минутная стрелка пройдет на 360° больше, чем часовая. Пусть это произойдет через х часов.
Получим уравнение:
360°х-30°х=360°. Отсюда х=12/11. И так еще два раза.
Получаем, что минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой через 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 мин.
Ответ: 240 мин.
2. Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
В этой задаче скорость движения стрелок будем выражать в градусах/минуту.
Скорость минутной стрелки равна 360˚/60=6˚ в минуту.
Скорость часовой стрелки равна 30˚/60=0,5˚ в минуту.
В 0 часов положение часовой и минутной стрелок совпадало. 1 час 35 минут - это 95 минут. За это время минутная стрелка прошла 95х6=570˚=360˚+210˚, а часовая прошла 95x0,5˚=47,5˚. И у нас такая картинка:
Первый раз стрелки встретятся через время , когда часовая стрелка повернется на , а минутная на 150˚+47,5˚ больше. Получаем уравнение для :
Следующий раз стрелки встретятся, когда минутная пройдет на круг больше часовой: 
И так 9 раз.
Минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой через 
минут
1. за 12 часов 132, за 24 часа 264 момента плюс 22 наложения, итого 286
2. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная - 24 . Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образуется по два прямых угла, т.е. ответ - 44 .
3. Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 2 часа 10 10/11минуты. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 3 часа 16 4/11 минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через 1 1/11 —12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.
Вот все моменты встреч:
1-я встреча — в 1 час 5 5/11 минуты
2-я « — «2 часа 10 10/11 «
3-я « — «3 часа 16 4/11 «
4-я « — «4 часа 21 9/11 «
5-я « — «5 часов 27 3/11 «
6-я « — «6 часов 32 8/11 «
2 часа 46, 153 мин.
7. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная - 24 . Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза.
9 . 4 и 5
10. Именно так движется тень в самых первых часах - солнечных. А затем уже механические часы скопировали направление движения стрелок. Кстати, в Южном полушарии все наоборот - тень в солнечных часах движется против часовой стрелки. За час минутная стрелка делает полный оборот. Значит, за минуту она поворачивается на 1 / 60 часть угла в 360°, то есть на 6°. Часовая стрелка за час проходит 1 / 12 часть круга, то есть движется в 12 раз медленнее минутной. За минуту она поворачивается на 0,5°.
14 . В 1:00 минутная стрелка "отставала" от часовой на 30°. За 10 минут, прошедших после этого момента, часовая стрелка "пройдёт" 5°, а минутная – 60°, поэтому угол между ними равен 60° – 30° – 5° = 25°.
15 . Пусть х − промежуток времени в минутах, который должен пройти, прежде чем стрелки разместятся на одной прямой и будут направлены в разные стороны. Минутная стрелка успеет пройти за это время х минутных делений циферблата, а часовая - х/12 минутных делений. Когда стрелки разместятся на одной прямой и будут направлены в разные стороны, их будут разделять 30 минутных делений циферблата. А значит, в это время x – x/12 = 30, откуда х = 32 (8/11). Через 32 (8/11) минут стрелки будут "смотреть" в противоположные стороны.
16 . Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12 часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у 12 — на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, то есть минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, то есть в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 часа, то есть через 60/11 = 5 5/11 минуты. Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/11 минуты после того, как пройдет 1 час, то есть в 5 5/11 минуты второго.
21. Ответ: Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 2 часа 10 10/11минуты. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 3 часа 16 4/11 минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через 1 1/11 —12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.Вот все моменты встреч:
24. Пусть обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за то же время успела повернуться на 12х. Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требования нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами: 1 — 12 х = х Отсюда 1 = 13 х. Следовательно, х = 1/13 доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в 12/13 часа, то есть показывает 55 5/13 минуты первого. Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, то есть 12/13 полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от 12 одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от 6 по разные стороны. Мы нашли одно положение стрелок — именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение второго часа подобное положение наступит еще раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства 1— (12х — 1) = х, или 2— 12х = х, откуда 2 = 13х, и, следовательно, х = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/13 часа, то есть в 50 10/13 минуты второго. В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на 3/13 полного круга, то есть 2 10/13 часа, и т. д. Всех положений 11, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой.Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать и как раз обратное расположение стрелок, чем сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа 12. Когда же это бывает? Ответ: В первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством:12х — 1 = х/2, откуда 1 = 11 ½ х, или х = 2/23 целого оборота, то есть через 1 1/23 часа после 12. Значит, в 1 час 21 4/23 минуты стрелки будут расположены требуемым образом. Действительно, минутная стрелка должна стоять посередине между 12 и 1 1/23 часами, то есть на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка пройдет 2/23 целого оборота). Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства: 12х — 2= х/2, откуда 2 = 11 1/2 х и х = 4/23; искомый момент — 2 часа 5 5/23 минуты.Третий искомый момент — 3 часа 7 19/23 минуты, и т. д.