Четырехугольником ABCD называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, D по три, не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков AB, BC, CD и AD, соединяющих эти точки.
На рисунках изображены четырехугольники.
Точки А, В, С и D называются вершинами четырехугольника , а отрезки AB, BC, CD и AD - сторонами . Вершины А и С, В и D называются противолежащими вершинами . Стороны AB и CD, BC и AD называются противолежащими сторонами .
Четырехугольники бывают выпуклые (на рисунке - левый) и невыпуклые (на рисунке - правый).
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника (диагональ АС разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - на BCD и BAD). У невыпуклого четырехугольника только одна из диагоналей разделяет его на два треугольника (диагональ AC разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - не разделяет).
Рассмотрим основные виды четырехугольников, их свойства, формулы площади:
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства:
Признаки параллелограмма:
1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Площадь параллелограмма:
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Основаниями называются параллельные стороны, а две другие стороны - боковыми сторонами .
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
ТЕОРЕМА.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Площадь трапеции:
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства:
Площадь ромба:
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы равны.
Свойства:
Признак прямоугольника:
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Площадь прямоугольника:
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства :
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба (прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом).
Площадь квадрата:
Теорема 1. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике AВDС (рис. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC - параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник ABDС разбился на два равных треугольника: \(\Delta\)СAВ и \(\Delta\)СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, AB = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому \(\Delta\)СAВ = \(\Delta\)СDВ.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых AB и СD прямой СВ. Следовательно, AB || СD.
Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых CA и ВD прямой СВ, следовательно, CA || ВD.
Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника ABDС попарно параллельны, следовательно, он - параллелограмм, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике ABDС AB = СD и AB || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник ABDС - параллелограмм (рис. 228).
Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых AB и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны.
Тогда треугольник СAB равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
AB = СD по условию теоремы и ∠1 = ∠2 по доказанному.
Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.
Но углы 3 и 4 - это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD, т. е. четырёхугольник ABDС - параллелограмм .
Теорема 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)COD будут равны между собой по первому признаку равенства треугольников (AO = OC, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD - как вертикальные углы.)
Следовательно, AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB || CD.
Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB = CD и AB || CD, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
Признаки параллелограмма кратко:
1. Противоположные стороны попарно равны2. Противоположные стороны равны и параллельны
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.
§43. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках АВDС и ЕFNМ (черт. 224) ВD || АС и АВ || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм АВDС (черт. 225), в котором АВ || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме АВDС диагональ СВ. Докажем, что /\ САВ= /\ СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; / АВС = / ВСD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и СD и секущей СВ; / АСВ = / СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB (§ 38).
Отсюда /\ САВ = /\ СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и АВD.
Следствия. 1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
/
А = /
D, это следует из равенства треугольников САВ и СDВ.
Аналогично и /
С = /
В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
АВ = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть ВС и AD - диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например /\ AОВ и /\ СОD.
В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
/
1 = /
2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/
3 = /
4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ - их секущая (§ 38).
Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 2 d .
Доказать самостоятельно.
3. Признаки параллелограмма.
Теорема. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике AВDС (черт. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC - параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого - четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник АВDС разбился на два равных треугольника: /\
СAВ и /\
СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, АВ = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому /\
СAВ = /\
СDВ.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
/
1 = /
2 и /
3 = /
4.
Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и СD прямой СВ. Следовательно, АВ || СD.
Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и ВD прямой СВ, следовательно, СА || ВD (§ 35).
Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВDС попарно параллельны, следовательно, он параллелограмм, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике АВDС АВ = СD и АВ || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник АВDС- параллелограмм (черт. 228).
Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых АВ и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны (§ 38).
Тогда треугольник САВ равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
АВ = СD по условию теоремы и /
1 = /
2 по доказанному. Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.
Но углы 3 и 4 - это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD (§ 35), т. е. четырёхугольник
АВDС- параллелограмм.
Упражнения.
1. Доказать, что если диагонали четырёхугольника в точке их взаимного пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2. Доказать, что четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна 2d , есть параллелограмм.
3. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними:
а) используя параллельность противоположных сторон параллелограмма;
б) используя равенство противоположных сторон параллелограмма.
4. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали.
5. Построить параллелограмм по двум его диагоналям и углу между ними.
6. Построить параллелограмм по его стороне и двум диагоналям.