В электронных приборах движение свободных электронов происходит под действием электрических или магнитных полей. В зависимости от направления начальной скорости электрона электрическое поле может его движение ускорять, тормозить или менять направление.
Допустим, у нас есть два взаимно параллельных электрода анод и катод, расположенных в вакууме. Между ними будет создано электрическое поле напряженностью:
Е – напряженность электрического поля
U – разность потенциалов (напряжение)
d – расстояние между электродами
Если в электрическое поле с напряженность Е поместить электрон с зарядом е то на него будет действовать сила электрического поля равная:
Сила электрического поля направлена от катода к аноду.
Если начальная скорость электрона равна нулю и совпадает с направлением силы электрического поля, то электрон помещенный в данное поле испытывает ускорение и будет перемещаться из точек с более высоким потенциалом. При этом его скорость и кинетическая энергия будут возрастать. Движение электрона будет равноускоренным.
На основании закона сохранения энергии приращение кинетической энергии электрона должно равняться работе, которую совершает электрическое поле при перемещении электрона.
A – Работа
m – Масса электрона
ѵ – скорость перемещения
ѵн – начальная скорость
U 2 – потенциал в конечной точке
U 1 – потенциал в начальной точке
U – Разность потенциала или напряжение
Если начальная скорость равна нулю то электрон будет двигаться только под воздействием поля.
Из каждой формулы можно определить скорость движения в конце пути.
Если 
тогда 
Из этой формулы следует что скорость движения электрона можно выражать не только в кг ∕ с но и в В.
Выразим силу электрического поля через массу и ускорение:
a- Ускорение
Пройденный путь d можно определить по формуле:
Подставив в формулу значения e иm, получим формулу для вычисления времени полета электрона
t – Выражено в секундах
a – расстояние выражено в миллиметрах
U – Выражено в Вольтах
Время полета очень мало, во многих практических устройствах не учитывается, отсюда электронную лампу можно считать безынерционным прибором.
Если электрон движется от точки с большим потенциалом к точкам с меньшим, то его скорость и кинематическая энергия уменьшается.
Когда вектор начальной скорости направлен перпендикулярно направлению действия силы электрического поля, то траектория движения электрона будет иметь вид параболы.
Магнитное поле не изменяет энергии движущегося электрона, а меняет лишь траекторию его движения.
Принцип работы электронных приборов основан на явлении электронной эмиссии – процесс выхода электронов с поверхности твёрдого тела в вакуум.
Как известно, свободные электроны в проводящих материалах находятся в непрерывном хаотичном движении. При обычных условиях электроны не могут выйти за пределы поверхности тел, так как этому препятствуют электрические силы взаимодействия электрона с телом. Внутренней энергии электрона не достаточно для преодоления этих сил. Поэтому ему нужно сообщить дополнительную энергию. Наименьшая дополнительная энергия, которую необходимо сообщить электрону из вне для выхода с поверхности тела называется работойвыхода и обозначается W o . Она измеряется в электрон вольтах. Чем меньше W o , тем лучше эмиссионные свойства метала.
В зависимости от вида энергии используют для работы выхода электронов, различают несколько видов электронной эмиссии:
Термоэлектронную
Фотоэлектронную
Вторичную
Электростатическую
Термоэлектронной эмиссией называется процесс излучения электронов с поверхности нагретого металла. Этот вид эмиссии широко используется в электровакуумных приборах. Чем выше температура и меньше работа выхода, тем больше электронов будут обладать энергией достаточной для преодоления удерживающих сил.
Фотоэлектронная эмиссия – процесс выхода электронов с поверхности металла, облучаемого лучистой энергией. За счет поглощения энергии светового потока увеличивается энергия электронов в металле. Это явление называется фотоэффектом .
Вторичная электронная эмиссия – эмиссия электронов с поверхности металла при облучении его потоком электронов. При этом электроны, падающие на поверхность металла, называются первичными , а вытекающие из металла вторичными .
Электростатическая (автоэлектронная) эмиссия – эмиссия электронов с поверхности холодного металла под действием сильного ускоряющего магнитного поля. Воздействия внешнего электрического поля эквивалентно уменьшению работы выхода электрона.
Двухэлектродные лампы.
Электронные лампы, содержащие в своем баллоне два электрона, называются двухэлектродными или диодами.
Катод диода может быть как прямого, так и косвенного накала.
При работе диода на анод относительно катода подается напряжение при котором в межэлектродном пространстве создается электрическое поле. Если на анод относительно катода подано положительное напряжение, то электроны, испускаемые нагретым катодом, под действием электрического поля будут устремляться к аноду, создавая ток. Этот ток называется анодным и направлен от анода к катоду, в направлении противоположном движению электронов.
Когда на анод относительно катода подано отрицательное напряжение в пространстве между ними создается тормозящее электрическое поле. При этом анодный ток прекращается, поскольку электроны под воздействием поля возвращаются на катод. Таким образом, ток на диоде может протекать лишь в одном направлении.
Электрон в электрических полях
Большое количество электронных приборов – вакуумные лампы, электронно – лучевые трубки (передающие и приёмные), всякого рода <индикаторы и др. используют процессы, происходящие в высоком вакууме (до 10 -8 – 10 -9 мм рт.ст., где возможно существование свободных электронов. Основным процессом, происходящим в этих приборах является взаимодействие движущегося электрона с электрическим, магнитным или смешанны м полях.
Законы движения одного электрона в однородном электрическом поле с известным приближением можно распространить на его движение в электронном потоке, если пренебречь взаимным отталкиванием электронов.
Электрическое поле в большинстве случаев неоднородно и весьма сложно по структуре. Изучение движения в неоднородных электрических полях представляет большие трудности. Если неоднородность поля незначительна, то можно приближённо считать, что электроны движутся по законам, выведенным для однородного поля. Эти законы позволяют рассмотреть с качественной стороны движение электронов и в полях со значительной неоднородностью.
Рисунок 6.2. Движение электрона в однородном ускоряющем электрическом поле – а); в однородном тормозящем поле – б); в однородном поперечном поле –в).
На рис. 6.2 представлены варианты движение электрона в однородном электрическом поле. Поле изображено в виде силовых линий (линий напряжённости) между двумя электродами (анод и катод плоского диода).
Если разность потенциалов между электродами U, а расстояние d, то напряжённость поля E = U / d. Для однородного поля величина Е постоянна.
Пусть из электрода, имеющего более низкий потенциал (катода К) вылетает электрон (рис.6.2 – а) с кинетической энергией Wо и начальной скоростью vо, направленной вдоль силовых линий поля, Поле ускоряет движение электрона. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким потенциалом (аноду А), т.е. поле является ускоряющим .
Напряжённость поля численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд. Поэтому сила, действующая на электрон, F = - e E. Знак «минус» поставлен потому, что сила F направлена в сторону, противоположную вектору Е. Иногда этот знак не ставят.
Под действием постоянной силы F электрон получает ускорение a = F / m. Двигаясь прямолинейно, электрон приобретает наибольшую скорость v и кинетическую энергию W в конце своего пути, т.е. при ударе об электрод, к которому он летит. Таким образом, в ускоряющем поле кинетическая энергия электрона увеличивается за счёт работы поля по перемещению электрона. В соответствии с законом сохранения энергии увеличение кинетической энергии электрона W – Wо равно работе поля, которая определяется произведением перемещаемого заряда е на пройденную разность потенциалов U:
W – Wо = mv 2 / 2 - mvо 2 / 2 = eU (6.1)
Если начальная скорость электрона равна нулю, то
W = mv 2 / 2 = eU, (6.2),
т.е. кинетическая энергия равна работе поля.
Если условно принять заряд электрона за единицу количества электричества, то при U = 1В энергия электрона принимается за единицу энергии, которую назвали электрон – вольтом (эВ). В большинстве случаев удобно выражать энергию электронов в эВ, а не в джоулях.
Из (6.2) определяется конечная скорость электрона
≈ 600 . (6.3.)
Приближённое значение скорости в выражении (6.3) получено подстановкой значений заряда и массы электрона; результат имеет размерность км / сек, если напряжение выражается в вольтах.
Таким образом, скорость электрона в ускоряющем поле зависит только от пройденной разности потенциалов.
Пусть начальная скорость электрона vо противоположна по направлению силе F, действующей на электрон со стороны поля (рис.6.2 – б), т.е. электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом (анода А). Так как сила F направлена навстречу скорости vо, то электрон тормозится и движется равнозамедленно. Поле в этом случае называется тормозящим . Энергия электронов в тормозящем поле уменьшается, так как работа совершается не полем, а самим электроном, который преодолевает сопротивление сил поля. Таким образом, в тормозящем поле электрон отдаёт энергию полю.
Если начальная энергия электрона равна eUо и он проходит в тормозящем поле разность потенциалов U, то его энергия уменьшается на eU. Когда eUо > eU, электрон пройдёт всё расстояние между электродами и ударит в электрод с более низким потенциалом. Если же eUо < eU, то, пройдя разность потенциалов Uо, электрон потеряет всю энергию, скорость его станет равной нулю и он ускоренно начнёт двигаться обратно. Таким образом, электрон совершает движение, подобное полёту тела, брошенного вертикально вверх.
Если электрон вылетает с начальной скоростью vо под прямым углом к направлению силовых линий электрического поля (рис. 6.2 – в), то поле действует на электрон с силой F, направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы F электрон совершал бы равномерное прямолинейное движение по инерции со скоростью vо. А под действием силы F электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном вектору скорости vо. Результирующее движение происходит по параболе, причём электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон выйдет за пределы поля, как показано на рисунке, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Это подобно движению тела, брошенного с некоторой начальной скоростью в горизонтальном направлении.
Электрическое поле всегда взаимодействует с электроном, изменяя в ту или другую сторону его энергию и скорость движения, т.е. между полем и электроном происходит обмен энергией. Скорость электрона при ударе об электрод определяется только его начальной скоростью и пройденной разностью потенциалов между конечными точками пути.
Для неоднородных электрических полей характерна разнообразная и часто сложная структура. Существует множество неоднородных полей, в которых напряжённость от точки к точке изменяется по различным законам. Наиболее простым является радиальное поле между цилиндрическими электродами (рис.
Рисунок 6.3. Движение электрона в неоднородном электростатическом поле.
6.3,а). Если начальная скорость электрона, вылетевшего из внутреннего электрода, направлена вдоль силовых линий, то электрон будет двигаться прямолинейно и ускоренно по радиусу.
В более общем случае неоднородное поле имеет силовые линии в виде кривых. Если это поле является ускоряющим (рис. 6.3, б), то электрон с начальной скоростью vо движется по криволинейной траектории, имеющей такой же характер кривизны, что и силовые линии поля. На электрон со стороны поля действует сила F, направленная под углом к вектору его скорости. Эта сила искривляет траекторию движения электрона и увеличивает его скорость. Если бы электрон не обладал массой, а следовательно, и инерцией, то он бы двигался по силовой линии, Однако электрон имеет массу и стремится двигаться по инерции прямолинейно. Сила, действующая на электрон, направлена по касательной к силовым линиям и образует некоторый угол с вектором скорости электрона. Поэтому траектория электрона искривляется, но «отстаёт» в этом искривлении от силовой линии из-за инерции электрона.
В тормозящем неоднородном поле (рис. 6.3, в) сила, действующая на электрон со стороны поля, тоже искривляет траекторию электрона и уменьшает скорость его движения. Но траектория искривляется в сторону, противоположную направлению силовых линий, т.е. электрон стремится удалиться от силовых линий.
Рассмотрим движение потока электронов в неоднородном электрическом поле, пренебрегая их взаимодействием между собой. На рис. 6.4, а движение
Рисунок 6.4. Фокусировка и рассеивание электронного потока в неоднородном электрическом поле.
потока электронов в ускоряющем электрическом поле, силовые линии которого сходятся в направлении движения электронов. Такие поля принято называть сходящимися. Пусть в это поле влетает поток электронов, представленный на рисунке только двумя крайними и одним средним электронами – для упрощения рисунка. Очевидно, что траектории электронов в ускоряющем поле искривляются в сторону силовых линий. В результате электроны сближаются, т.е. происходит фокусировка электронного потока, напоминающая фокусировку светового потока с помощью собирающей линзы.
Если силовые линии в направлении движения электронов расходятся (рис.6.4, б), то поле можно называть расходящимся. В нём электроны, двигаясь опять же в сторону силовых линий, удаляются друг от друга и электронный поток рассеивается. Такое поле для электронного потока является «рассеивающей линзой».
Если поле будет тормозящим сходящимся (рис.6.4.в), то происходит рассеивание потока электронов с уменьшением скорости их движения, а в тормозящем расходящемся поле электронный поток фокусируется.
Рассмотрим поведение электронного потока, пролетающего с некоторой начальной скоростью vо зазор между двумя электродами, гдедействует знакопеременное периодическое напряжение. Этот процесс удобно анализировать с помощью пространственно – временных диаграмм, отражающих положение электрона в пространстве в разные моменты времени. На рисунке 6.5 показана такая диаграмма для электронов, покинувших зазор, где на них воздействовало пилообразное напряжение. Поскольку на электроны вне зазора электрическое
Рисунок 6.5. Модуляция электронов по скорости и плотности в переменном электрическом поле.
поле не действуют, то траекторией их движения является прямая линия с наклоном, зависящим от их скорости. Поскольку все электроны попадали в зазор с одинаковой начальной скоростью vо, то чётные электроны 0, 2, 4, 6, 8 покидают этот зазор не изменив своей скорости, так как поле в эти моменты равно нулю. В связи с этим траектории движения этих электронов представляют собой параллельные прямые с наклоном, зависящим от скорости vо. На электрон 1 (а также 5, 9 и т.д.) действует максимальное тормозящее поле, поэтому скорость его уменьшается по сравнению с начальной, что отображается прямой линией с наклоном, меньшим, чем для электрона 2. На электрон 3 (а также 7, 11 и т.д.) действует максимальное ускоряющее поле, поэтому скорость его увеличивается по сравнению с начальной, что отображается прямой линией с наклоном, большим, чем для электрона 2. В результате модуляции электронов по скорости происходит модуляция электронного потока по плотности, поскольку траектории электронов 1 и 3 (а также 5 и 7 и т. д.) пересекаются в одной точке с электроном 2 (6, 10, …) и вокруг этих электронов на расстоянии d от электрода образуются сгустки (пакеты) электронов. Таким же образом группируются все электроны, вылетевшие из зазора (его в этом случае называют модулятором) за время половины периода переменного напряжения от t1 до t3.Что касается электронов, пролетающих модулятор раньше момента t1 и позже момента t3, то, как видно из графика, они не группируются. Группировка повторяется далее на расстояниях d, 2d, 3d и т.д. от модулятора.
Взаимодействие движущихся электронов с электрическим полем является основным процессом во всех электронных приборах. Будем полагать, что электроны движутся в вакууме, т. е. без столкновений с другими частицами. Такое движение совершается в электронных лампах. В газоразрядных и полу проводниковых приборах движение сложнее, так как происходит столкновение электронов с ионами и другими частицами вещества. Необходимо прежде всего рассмотреть движение электрона в однородном и постоянном во времени электрическом поле.
Законы движения одного электрона в однородном электрическом поле с известным приближением можно применить к движению его в электронном потоке, если пренебречь взаимным отталкиванием электронов.
Электрическое поле в большинстве случаев неоднородно и весьма сложно по своей структуре. Изучение движения электронов в неоднородных электрических полях представляет большие трудности и относится к области электроники, называемой электронной оптикой. Если неоднородность поля незначительна, то можно приближенно считать, что электроны движутся по законам, выведенным для однородного поля. Эти законы позволяют рассмотреть с качественной стороны движение электронов и в полях со значительной неоднородностью.
Напомним, что электрон является частицей материи с отрицательным электрическим зарядом, абсолютное значение которого е = 1,6 10∧-19 Кл. Масса неподвижного электрона m = =9,1 10∧-28 г. С возрастанием скорости масса электрона увеличивается. Теоретически при скорости с = 3 10∧8 м/с она должна стать бесконечно большой. В обычных электровакуумных приборах скорость электронов не превышает 0,1 с и можно считать массу электрона постоянной.
Движение электрона в ускоряющем поле.
На рисунке изображено в виде силовых линий (линий напряженности) однородное электрическое поле между двумя электродами, например катодом и анодом диода.
Если разность потенциалов между электродами U , а расстояние между ними d , то напряженность поля:
Для однородного поля величина Е является постоянной.
Пусть из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из катода К , вылетает электрон с кинетической энергией Wo и начальной скоростью Vo направленной вдоль силовых линий поля. Поле ускоряет движение электрона. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким потенциалом. В данном случае поле называют ускоряющим.
Напряженность поля численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд. Поэтому сила, действующая на электрон:
Знак «минус» поставлен потому, что сила F направлена в сторону, противоположную вектору Е . Иногда этот знак не ставят.
Под действием постоянной силы F электрон получает ускорение а = F/m . Двигаясь прямолинейно, электрон приобретает наибольшую скорость V и кинетическую энергию W в конце своего пути, т. е. при ударе оп электрод, к которому он летит. Таким образом, ускоряющем поле кинетическая энергия электрона увеличивается за счет работы поля по перемещению электрона. В соответствии с законом сохранении энергии увеличение кинетической энергии электрона W — Wo равно работе поля, которая определяется произведением перемещаемого заряда е на пройденную им разность потенциалов U :
Если начальная скорость электрон равна нулю, то:
т.е. кинетическая энергия электрона равна работе поля.
Формула с некоторым приближением может применяться и в том случае, когда начальная скорость Vо много меньше конечной скорости V , так как при этом:
Если условно принять заряд электрона за единицу количества электричества, то при U = 1 В энергия электрона принимается за единицу энергии, которую назвали электрон-вольтом (эВ) . В большинстве случаев удобно выражать энергию электронов в электрон-вольтах, а не в джоулях.
Определяем скорость электрона:
Подставляя сюда значения е и m , можно получить удобное выражение для скорости в метрах или километрах в секунду:
Таким образом, скорость электрона в ускоряющем поле зависит от пройденной разности потенциалов.
Начальную энергию электрона удобно выражать в электрон-вольтах, имея в виду равенство:
т. е. считая, что эта энергия создана ускоряющим полем с разностью потенциалов Uо .
Скорости электронов даже при небольшой разности потенциалов значительны. При U = 1 В скорость равна 600 км/с, а при U = 100 В — уже 6000 км/с.
Найдем время t пролета электрона между электродами, определив его с помощью средней скорости:
Средняя скорость равноускоренного движения равна полусумме начальной и конечной скоростей:
Подставляя сюда значения конечной скорости, получим время пролета в секундах:
здесь расстояние d выражено в метрах, а если выразить его в миллиметрах, то:
Например, время пролета электрона при d = 3 мм и U =100В:
Вследствие неоднородности поля расчет времени пролета электрона в электронных приборах более сложен. Практически это время равно 10^-10 с. Можно такое малое время пролета во многих случаях не учитывать. Но все же, из-за того что электроны имеют массу, они не могут мгновенно изменять свою скорость и мгновенно пролетать расстояние между электродами. На ультра- и сверхвысоких частотах (сотни и тысячи мегагерц) время пролета электрона становится соизмеримым с периодом колебаний. Например, при f = 1000 МГц период Т = 10^-9 с. Прибор перестанет быть безынерционным или малоинерционным. Иначе говоря, проявляется инерция электронов, которая практически не влияет на работу при низких и высоких частотах. На этих частотах период колебаний Т много больше времени пролета электрона переменные напряжения на электродах за время пролета не успевают заметно измениться, т. е, можно считать, что пролет электрона совершается при постоянных напряжениях электродов.
Режим работы при постоянных напряжениях электродов называют статическим режимом. Когда напряжение хотя бы одного электрода изменяется так быстро, что законы статического режима применять нельзя, режим называют динамическим . Если же напряжения изменяются с невысокой частотой, так, что явления можно рассматривать приближенно с помощью законов статического режима, то режим называют квазистатическим. Выражения для энергии, скорости и времени полета остаются в силе для любого участка пути электрона. В этом случае величины W,V,t,d,U относятся только к данному участку. Если на разных участках напряженность поля различна, то на отдельных участках электрон будет лететь с разным ускорением, а конечная скорость электрона определяется только конечной разностью потенциалов и начальной его скоростью. Из закона сохранения энергии вытекает, что конечная разность потенциалов U равна алгебраической сумме разностей потенциалов отдельных участков. Поэтому полное приращение кинетической энергии равно произведению eU .
Движение электрона в тормозящем поле.
Пусть начальная скорость электрона Vo
противоположна по направлению силе F
, действующей на электрон со стороны поля (см. рис.), т.е. электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом. Так как сила F
направлена навстречу скорости Vo
, то электрон тормозится и движется равнозамедленно. Поле в этом случае называют тормозящим.
Энергия электронов в тормозящем поле уменьшается, так как работа совершается не полем, а самим электроном, который преодолевает сопротивление сил поля. Таким образом, в тормозящем поле электрон отдает энергию полю.
Если начальная энергия электрона равна eUo и он проходит в тормозящем поле разность потенциалов U , то его энергия уменьшается на eU . Когда eUp > eU , электрон пройдет все расстояние между электродами и ударит в электрод с более низким потенциалом. Если же eUo < eU , то, пройдя разность потенциалов Uo , электрон потеряет всю свою энергию, скорость его станет равна нулю и он начнет ускоренно двигаться обратно. Таким образом, электрон совершает движение, подобное полету тела, брошенного вертикально вверх.
Движение электрона в однородном поперечном поле.
Если электрон вылетает с начальной скоростью Vo
под прямым углом к направлению силовых линий поля (см. рис.) то поле действует на электрон с силой F
, направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы F
электрон совершал бы равномерное прямолинейное движение по инерции со скоростью Vo
. А под действием силы F
электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном Vo
. Результирующее движение происходит по параболе, причем электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон выйдет за пределы поля, как показано на рисунке, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Это подобно движению тела, брошенного с некоторой начальной скоростью в горизонтальном направлении. Под действием силы тяжести такое тело при отсутствии воздуха двигалось бы по параболической траектории.
Электрическое поле всегда изменяет в ту или другую сторону энергию скорость электрона. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Скорость электрона при ударе об электрод определяется только начальной скоростью и пройденной разностью потенциалов между конечными точками пути.
Источник — Жеребцов И.П. Основы электроники (1993)
Электроды плоскопараллельны на расстоянии d один от другого (рис. 3.1).
Уравнение Лапласа, имеющее вид , после интегрирования сводится к уравнению
Рис. 3.1 – Движение электрона в однородном электрическом поле
Уравнение движения электрона в прямоугольной системе координат разбивается на три уравнения:
В рассматриваемом случае магнитное поле отсутствует, а электрическое имеет одну компоненту . Тогда система уравнений запишется как
Пусть в момент электрон находится в точке начала координат и движется со скоростью ««, имеющей компоненты по осям х и y, а компонента скорости по z равна нулю. Тогда интегрирование приводит к уравнениям:
После повторного интегрирования первых двух уравнений получаем
Константы интегрирования в обоих случаях равны нулю, поскольку в начальный момент интегрирование третьего уравнения дает.
Исключим :
Получим уравнение траектории электрона:
Видно, что движение
происходит по параболе (кривая 1 на рис.
3.1), обращенной выпуклостью вверх. Анализ
показывает, что вершина этой параболы
имеет координаты
Совершая движение по этой траектории,
электрон возвращается к оси х в точке
с координатой:
Если вектор
напряженности поля
направить в противоположную сторону
то изменяется знак первого члена
уравнения траектории электрона:
т.е. в данном случае электрон будет двигаться по траектории 2 (на рис. 3.1). Это отрезок параболы, симметричный относительно начала координат параболе 1.
3.3 Движение электрона в однородном магнитном поле
Д
В
отсутствии электрического поля система
уравнений движения электрона принимает
вид:
m
=
–
е
(
у
В
z
–
z
B
y
);
m
=
– e
(
z
B
x
–
x
B
z
);
m
=–
–e
(
x
B
y
–
y
B
x
),
или с учетом условий B x =B z =0, а В у = – В:
m
=
e B
z
;
m
=
0;
m
=e
B
x
.
Интегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t= 0, y = yo приводит к соотношению:
т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлении силовых линий поля.
Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее в дифференцировании первого по времени и подстановке значения d z /dt из третьего, приводит к уравнению, связывающему скорость электрона x cо временем:
=
0,
где 
Решение уравнений такого типа можно представить в виде:
x = A cos t + C sin t,
причем из начальных условий при t =0, x = xo , d x /dt = 0 (что следует из первого уравнения системы, так как zo = 0 ) вытекает, что
x = xo cos t .
Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системы приводит к выражению:
z = xo sin t .
Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:
x 2 + z 2 = xo 2 = const ,
которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости (энергии) электрона.
В результате интегрирования уравнения, определяющего его x , получаем:
x =
sin
t
,
постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.
Интегрирование уравнения, определяющего скорость z с учетом того, что при z = 0, t =0 позволяет найти зависимость от времени координаты Z электрона:
Решая два последних уравнения относительно sin t и cos t, возводя в квадрат и складывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электрона на плоскости XOZ:
Это
уравнение окружности радиуса r
=
/
, центр
которой расположен на оси z
на расстоянии r
от начала координат (рис. 3.2). Сама
траектория электрона представляет
собой цилиндрическую спираль радиуса
c шагом
.
Из полученных уравнений очевидно
также, что величина
представляет собой круговую частоту
движения электрона по этой траектории.
Взаимодействие электронов с электрическим полем является основным процессом в электровакуумных и полупроводниковых приборах.
Электрон является частицей материи с отрицательным электрическим зарядом, у которого абсолютное значение e = 1,610-19Кл. Масса неподвижного электрона равна m = 9,110-28г. С возрастанием скорости движения масса электронов увеличивается. теоретически при скорости движения, равной с = 3·108м/с, масса электрона должна стать бесконечно большой. В обычных электровакуумных приборах скорость электронов не превышает 0,1с. При этом условии можно считать массу электрона постоянной, равнойт.
Если разность потенциалов между электродамиU, а расстояние между нимиd, то напряженность поля равна:Е= U/d. Для однородного электрического поля величинаЕ является постоянной.
Пусть из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из катода, вылетает электрон с кинетической энергиейW0 и начальной скоростьюv0, направленной вдоль силовых линий поля. Поле действует на электрон и ускоряет его движение к электроду, имеющему более высокий потенциал, например к аноду. То есть электрон притягивается к электроду с более высоким потенциалом. В данном случае поле называетсяускоряющим.
В ускоряющем поле происходит увеличение кинетической энергии электрона за счет работы поля по перемещению электрона. В соответствии с законом сохранения энергии увеличение кинетической энергии электронаW-W 0 равно работе поля, которая определяется произведением перемещаемого зарядае на пройденную им разность потенциалов U: W-W! = mv2/2 – mv20/2= eU. Если начальная скорость электрона равна нулю, тоW0 = mv20/2 = 0 иW= mv2/2 = eU, т. е. кинетическая энергия электрона равна работе поля. Скорость электрона в ускоряющем поле зависит от пройденной разности по"тенциалов.
Пусть направление начальной скорости электронаv0 противоположно силеF, действующей на электрон со стороны поля, т. е. электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом. Так как силаF направлена навстречу скорости v0, то электрон тормозится и движется прямолинейно, равномерно замедленно. Поле в этом случае называется тормозящим. Следовательно, данное поле для одних электронов является ускоряющим, а для других – тормозящим в зависимости от направления начальной скорости электрона. В тормозящем поле электрон отдает энергию полю. В обратном направлении электрон движется без начальной скорости в ускоряющем поле, которое возвращает электрону энергию, потерянную им при замедленном движении.
Если электрон влетает с начальной скоростью v0 под прямым углом к направлению силовых линий поля, то поле действует на электрон с силой F, определяемой по формулеf = eE и направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы Рпотенци-ал совершил бы равномерное движение по инерции со скоростью v0. А под действием силыF электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном v0. Результирующее движение электрона происходит по параболе, причем электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон не попадает на этот электрод и выйдет за пределы поля, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Электрон движется по некоторой параболе, причем либо попадает на один из электродов, либо выходит за пределы поля.