по учебной дисциплине
МАТЕМАТИКА
Тема № 2. Основы аналитической геометрии
Занятие.Плоскость в пространстве
Введение
В лекции рассмотрим различные виды уравнения плоскости в пространстве, докажем, что уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость, по уравнениям плоскостей научимся определять их взаимное расположение в пространстве.
1. Основные понятия
Определение. Пусть задана прямоугольная система координат, любая поверхность S и уравнение
F (x , y , z ) = 0 (1)
Будем говорить, что уравнение является (1) является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты каждой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, которая не принадлежит этой поверхности. С точки зрения данного определения поверхность есть множество точек пространства R 3 .
Пример . Уравнение
x 2 + y 2 + z 2 = 5 2
поверхность, которая является сферой радиуса 5, с центром в точке 0(0,0,0).
2. Уравнения плоскости в пространстве
2.1. Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора – вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.
Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М 1 ,
М 2 ,
М 3
необходимо, чтобы векторы
были компланарны.
(
)
= 0
Таким
образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
2.3.Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть
заданы точки М 1 (x 1 ,
y 1 ,
z 1),
M 2 (x 2 ,
y 2 ,
z 2)
и вектор
.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М 1
и М 2
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору
.
Векторы
и
вектор
должны быть компланарны, т.е.
(
)
= 0
Уравнение плоскости:
2.4.Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть
заданы два вектора
и
,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х,
у,
z
),
принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
2.5.Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема.
Если в пространстве задана точка М
0
(х
0
,
у
0
,
z
0
),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М
0
перпендикулярно вектору нормали
(A
,
B
,
C
)
имеет вид:
A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.
Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор
- вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда
скалярное
произведение
=
0.
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
2.6.Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + С z + D = 0 поделить обе части на –D
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a , b , c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z .
2.7.Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+С z + D =0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; –3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = –3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; –1) и Q(1; –1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, –1, 4) и В(3, 2, –1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, –5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то
Таким
образом, вектор нормали
(11,
–7, –2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112
+ 71
– 24
+ D
= 0; D
= –21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x – 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:
16 + 9 + 144 + D = 0.
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; –1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).
Найти длину ребра А 1 А 2 .
Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .
Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .
Сначала
найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3
как векторное произведение векторов
и
.
=
(2–1;
1–0;
1–3)
= (1; 1; –2);
Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.
–4
– 4 = –8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 90 0 – .
Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .
Найти объем пирамиды.
Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2 x + 2 y + 2 z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
3. Взаимное расположение плоскостей
Пусть заданы две плоскости
3.1. Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 180 0 – 1 , т.е.
cos = cos 1 .
Определим угол 1 . Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
,
где
(A 1 ,
B 1 ,
C 1),
(A 2 ,
B 2 ,
C 2).
Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:
.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
3.2. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
.Это
условие выполняется, если:
.
В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн .
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz . Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:
| Ax+By+Cz+D =0, | (1) |
где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть в пространстве задана плоскость α . Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α , а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z= 0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z= 0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz . Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x 0 , y 0 , z 0 . Действительно. Пусть из коэффициентов A ≠0. Возьмем произвольные числа y 0 , z 0 . Тогда
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим
Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и перпендикулярную вектору n ={A ,B ,C } (n ≠0, так как хотя бы один из чисел A ,B ,C отлично от нуля).
Если точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит плоскости α , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n ={A ,B ,C } и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:
| . |
Если же точка M (x , y , z ) не лежит на плоскости α , то векторы n ={A ,B ,C } и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M (x , y , z ) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.
Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.
Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C ) перпендикулярен плоскости Ax +By +Cz +D =0.
Вектор n =(A,B,C ) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).
Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости
Доказательство. Так как уравнения (4) и (5) определяют одну и ту же плоскость, то нормальные векторы n 1 ={A 1 ,B 1 ,С 1 } и n 2 ={A 2 ,B 2 , С 2 } коллинеарны. Так как векторы n 1 ≠0, n 2 ≠0, то существует такое число λ , что n 2 =n 1 λ . Отсюда имеем: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ , С 2 =С 1 λ . Докажем, что D 2 =D 1 λ . Очевидно, что совпадающие плоскости имеют общую точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0), так что
Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D 1 λ −D 2 =0. Т.е. D 2 =D 1 λ . Утверждение доказано.
Неполные уравнения плоскости
Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .
Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:
При D A x +B y +C z =0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O (0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.
При A =0, имеем уравнение плоскости B y +C z +D =0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n ={0,B ,C } лежит на координатной плоскости Oyz .
При B =0, имеем уравнение плоскости A x +C z +D =0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).
При C =0, имеем уравнение плоскости A x +B y +D =0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).
При A =0,B =0 имеем уравнение плоскости C z +D Oxy (Рис.6).
При B =0,C =0 имеем уравнение плоскости A x +D =0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).
При A =0,C =0 имеем уравнение плоскости B y +D =0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).
При A =0,B =0,D =0 имеем уравнение плоскости C z Oxy (Рис.9).
При B =0,C =0,D =0 имеем уравнение плоскости A x =0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).
При A =0,C =0,D =0 имеем уравнение плоскости B y =0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).
Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.
Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M (4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy .
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:
| z −2=0 |
Ответ: +3y +z =0.
Ответ:
| 2x +3y +z =0. |
Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится . Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.
Лекция 9.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в декартовой системе координат.
Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М 1 ,
М 2 ,
М 3
необходимо, чтобы векторы
были компланарны т.е. их смешанное
произведение:
(
)
= 0
Таким
образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости проходящей через две точки параллельно вектору.
Пусть
заданы точки М 1 (x 1 ,
y 1 ,
z 1),
M 2 (x 2 ,
y 2 ,
z 2)
и вектор
.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М 1
и М 2
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору
.
Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.
(
)
= 0
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно двум векторам.
Пусть
заданы два вектора
и
,
коллинеарные плоскости и точка М 1 (х 1 ,
у 1 ,
z 1).
Тогда для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярной вектору.
Теорема.
Если в
пространстве задана точка М 0 (х 0 ,
у 0 ,
z 0),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М 0
перпендикулярно вектору нормали
(A,
B,
C)
имеет вид:
A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.
Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор
- вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда скалярное произведение
=
0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c отрезки отсекаемые плоскостью при пересечении соответственно осей х, у, z декартовой прямоугольной системы координат.
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
-
радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Параметрическое уравнение плоскости
Пусть в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0) и два неколлинеарных вектора
(p 1 ,
p 2 ,
p 3)
и
(q 1 ,
q 2 ,
q 3).
Пусть М(х, у, z)
текущая точка плоскости. Так как векторы
и
неколлинеарны, то они на плоскости
составляют базис, по которому разложим
вектор
=
t+
s,
где t,s
– параметры. Поместим произвольно на
плоскость декартову прямоугольную
систему координат так, что бы оси Ох и
Оу лежали в плоскости. Из центра О
проведем в точки М 0
и M
радиусы векторы
и
.
Тогда
=
-
и
=
+
t+
s
.
Это параметрическое уравнение плоскости в векторной форме, а в скалярной форме
x=x 0 +p 1 t + q 1 s
y=y 0 +p 2 t + q 2 s
z=z 0 +p 3 t + q 3 s
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Пример . Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
Пример . Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то
Таким
образом, вектор нормали
(11,
-7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112
+ 71
- 24
+ D
= 0; D
= -21.
Итак, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример . Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
Итак, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример . Даны координаты вершин пирамиды
А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).
Найти длину ребра А 1 А 2 .
Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .
Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .
Сначала
найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3
-
как векторное произведение векторов
и
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.
-4
– 4 = -8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 90 0 - .
Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .
Найти объем пирамиды.
Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
Общее уравнение прямой называется полным , если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным .
D=0 Ax+Ву+Сz=0 – плоскость, проходящая через начало координат.
Остальные случаи определяются положением нормального вектора n={ А;В;С}.
А=0 Ву+Сz+D=0 – уравнениеплоскости, параллельной оси Ох. (Т.к. нормальный вектор n={ 0;В;С} перпендикулярен оси Ох).
В=0 Ах+ Сz+D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси Оу. (Т.к. нормальный вектор n={ А;0;С} перпендикулярен оси Оy).
С=0 Ах+Ву +D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси О z . (Т.к. нормальный вектор n={ А;B;0} перпендикулярен оси Оz).
А=В=0 Сz+D=0 – z=-D/C – уравнение плоскости, параллельной плоскости Оху (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).
А=С=0 Ву+D=0 - у=-D/В- уравнение плоскости, параллельной плоскости Охz (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оz).
В=С=0 Ах+D=0 – x=-D/A- уравнение плоскости, параллельной плоскости Оуz (т.к. эта плоскость параллельна осям Оу и Оz).
A=D=0 By+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.
B=D=0 Ax+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Оy.
A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – координатная плоскость Оху. (т.к. эта плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат).
А=С=D=0 By=0 (y=0) – координатная плоскость Охz. (т.к. эта плоскость параллельна Охz и проходит через начало координат).
B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – координатная плоскость Оуz. (т.к. эта плоскость параллельна Оуz и проходит через начало координат).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Выведем уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2), М 3 (х 3 ;у 3 ;z 3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М 1 М 2 =(х 2 -х 1 ;у 2 -у 1 ;z 2 -z 1) и М 1 М 3 =(х 3 -х 1 ;у 3 -у 1 ;z 3 -z 1) не коллинеарны. Поэтому точка М(х,у,z) лежит в одной плоскости с точками М 1 , М 2 и М 3 тогда и только тогда, когда векторы М 1 М 2 , М 1 М 3 и М 1 М =(х-х 1 ;у-у 1 ;z-z 1) - компланарны, т.е. , когда их смешанное произведение равно 0
(М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0) , т.е.
(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
(Разложив определитель по 1-й строке и упростив получим общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0).
Т.о. три точки однозначно определяют плоскость.
Уравнение плоскости в отрезках на осях.
Плоскость Π пересекает оси координат в точках М 1 (а;0;0), М 2 (0;b;0), M 3 (0;0;c).
М(х;у;z)- переменная точка плоскости.
М 1 М =(х-а;у;z)
М 1 М 2 =(0-а;b;0) определяют данную плоскость
М 1 М 3 =(-a;0;c)
Т.е. М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0
Разложим по 1-й строке: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0
Разделим равенство на abc≠0. Получим:
(5) уравнение плоскости в отрезках на осях.
Уравнение (5) можно получить из общего уравнения плоскости, предполагая, что D≠0, разделим на D
Обозначив –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – получим уравнение 4.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол
φ между двумя плоскостями α 1
и α 2
измеряется плоским углом между 2 лучами,
перпендикулярными
прямой, по
которой эти плоскости пересекаются.
Любые две пересекающиеся
плоскости образуют два угла, в сумме
равных .
Достаточно определить один из этих
углов.
Пусть плоскости заданы общими уравнениями:
1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0
2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.
§64. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость. Пусть M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) - некоторая точка этой плоскости, а п = (А; В; С) - какой-либо ее нормальный вектор. В предыдущем параграфе доказано, что уравнение этой плоскости имеет вид
А(х - х 0) + В (у - у 0) + С (z - z 0) = 0.
Запишем его так:
Ах + By + Cz - Aх 0 - By 0 - Cz 0 = 0.
Обозначив число - Aх 0 - By 0 - Cz 0 через D, получим уравнение
Ах + By + Cz + D = 0. (1)
Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (1), т. е. линейным уравнением с тремя переменными.
Справедливо и обратное утверждение: всякое линейное уравнение с тремя переменными, т. е. всякое уравнение вида (1), определяет плоскость.
В самом деле, в уравнении (1) по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен нулю, иначе уравнение (1) не является линейным. Пусть, например, С =/= 0, тогда уравнение можно переписать следующим образом:
А (х - 0) + В(у -0) + С (z + D / C) = 0.
Согласно предыдущему параграфу полученное уравнение, а следовательно, и уравнение (1) определяют плоскость, проходящую через точку M 0 (0; 0; - D / C) перпендикулярно вектору п(А; В; С).
Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости .
Подчеркнем, что в этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора плоскости.
Например, если плоскость задана уравнением 3х + 4y - 5z + 17 = 0, то сразу можно сказать, что она перпендикулярна вектору (3; 4; -5).
Задача. Найти единичный нормальный вектор плоскости
7х + 4у - 4z + 1 = 0.
В качестве нормального вектора данной плоскости можно взять вектор п = (7; 4; -4). Найдем его длину: | п | = √49 + 16 + 16 = 9. Следовательно, единичным нормальным вектором является вектор (7 / 9 ; 4 / 9 ;- 4 / 9). Вектор, ему противоположный (- 7 / 9 ;- 4 / 9 ;- 4 / 9), также, очевидно, будет нормальным единичным вектором данной плоскости.
Рассмотрим, как располагается плоскость относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С, D в общем уравнении плоскости.
а) Если в уравнении (1) А = 0, т. е. если это уравнение имеет вид By + Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; В; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен оси Ох , следовательно, плоскость параллельна этой оси. Если не только А = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат. Поэтому в случае А = D = 0 плоскость проходит через ось Ох , Аналогично рассматриваются случаи, когда В = 0 (плоскость параллельна оси ординат) или С = 0 (плоскость параллельна оси апликат).
б) Если в уравнении (1) А = 0 и В = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; 0; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен плоскости хОу , следовательно, в этом случае плоскость (1) параллельна координатной плоскости хОу . Если не только А = В = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz = 0, то плоскость не только параллельна координатной плоскости хОу , но и проходит через начало координат. Поэтому в случае А = В = D = 0 уравнением (1) задается координатная плоскость хОу .
Аналогично рассматриваются случаи, когда какая-нибудь другая пара коэффициентов при переменных х, у, z в уравнении (1) равна нулю.
в) Если в уравнении (1) D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Ах + By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору (А; В; С).
г) Если в уравнении (1) все коэффициенты при переменных и свободный член отличны от нуля, то оно может быть преобразовано в уравнение плоскости в отрезках:
В этом случае плоскость пересекает координатные оси в точках:
(- D / A ; 0; 0), (0;- D / B ; 0), (0; 0; - D / C). По этим трем точкам плоскость легко построить.