§ 2. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1. Основные понятия и аксиомы стереометрии

Самостоятельная работа N 1

Вариант 1

1. Изобразите прямую a и точки A , B и C , не принадлежащие данной прямой. Сделайте необходимые записи.

2. Изобразите плоскость b, точки E , F , принадлежащие ей, и точку G , ей не принадлежащую. Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую a , лежащую в плоскости a. Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите две пересекающиеся плоскости a и b. Сделайте необходимую запись.

Вариант 2

1. Изобразите две пересекающиеся в точке O прямые a и b и точки A , B , C , причем точка A принадлежит прямой a , B принадлежит прямой b , точка C не принадлежит данным прямым.

2. Изобразите плоскость g, не принадлежащие ей точки K , L и принадлежащую ей точку M . Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую b , пересекающую плоскость b в точке O . Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите три пересекающиеся по прямой a плоскости a, b и g. Сделайте необходимую запись.

Самостоятельная работа N 2

Вариант 1

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Через две точки пространства проходит единственная прямая.

3) Вертикальные углы равны.

4) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Определите взаимное расположение плоскостей a и b, если в них лежит треугольник ABC . Ответ обоснуйте.

3. Сколько плоскостей может проходить через три точки?

4. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из четырех точек.

Вариант 2

1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы:

1) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

2) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

3) Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей b и g, если им принадлежат точки B и C . Ответ обоснуйте.

3. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из 5 точек.

4. Найдите наибольшее число плоскостей, проходящих через различные тройки из четырех точек.

2. Следствия из аксиом стереометрии

Вариант 1

1. В плоскости двух пересекающихся прямых a и b задана точка C , не принадлежащая этим прямым. Прямая c , лежащая в данной плоскости, проходит через точку C . Как может быть расположена прямая c относительно данных прямых?

2. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Докажите, что все прямые, пересекающие два из трех отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана прямой c и не принадлежащей ей точкой C a , отличную от данной прямой и не проходящую через данную точку.

4. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми a и b . Нарисуйте прямую c , которая пересекает данные прямые и не лежит в данной плоскости.

Вариант 2

1. Прямая d , лежащая в плоскости треугольника ABC , пересекает его сторону AB . Каким может быть взаимное расположение прямых d и BC ?

2. В плоскости a проведены две параллельные прямые a и b . Докажите, что все прямые, пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми m и n . Постройте в этой плоскости прямую k , отличную от данных прямых и не проходящую через точку O .

4. Плоскость задана тремя точками D , E , F , не принадлежащими одной прямой. Нарисуйте прямую a , которая пересекает стороны DE и DF треугольника DEF и не лежит в данной плоскости.

3. Пространственные фигуры

Вариант 1

1. Нарисуйте пятиугольную призму и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) куба; б) 7-угольной призмы; в) n -угольной пирамиды.

3. Определите вид призмы, если она имеет: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани 4-угольной призмы, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета? Какое наименьшее число цветов потребуется?

Вариант 2

1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) прямоугольного параллелепипеда; б) 6-угольнойной пирамиды; в) n -угольной призмы.

3. Определите вид пирамиды, если она имеет: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани октаэдра, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета. Какое наименьшее число цветов потребуется?

4. Моделирование многогранников

Вариант 1

1. Нарисуйте несколько разверток куба.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из четырех равных равносторонних треугольников, не являющуюся разверткой правильного тетраэдра.

3. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку прямоугольного параллелепипеда и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

Вариант 2

1. Нарисуйте несколько разверток правильного тетраэдра.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из шести квадратов, не являющуюся разверткой куба.

3. Нарисуйте развертку куба и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку правильной 6-угольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

5. Параллельность прямых в пространстве

Вариант 1

1. Запишите в правильной 4-угольнойой пирамиде SABCD все пары параллельных ребер.

2. В плоскости двух параллельных прямых a и b дана точка C , не принадлежащая этим прямым. Через точку C проведена прямая c . Как может быть расположена прямая c относительно прямых a и b .

3. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

4. Найдите геометрическое место прямых, пересекающих две данные параллельные прямые.

Вариант 2

1. Запишите четыре пары параллельных ребер куба A … D 1 .

2. Даны три прямые a , b и с . Как могут располагаться эти прямые, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все данные прямые.

3. Даны две параллельные прямые a и b . Докажите, что любая плоскость, пересекающая одну из них, пересечет и другую.

4. Найдите геометрическое место прямых, параллельных данной прямой и пересекающих другую прямую, пересекающуюся с первой.

6. Скрещивающиеся прямые

Вариант 1

1. В кубе A … D 1 запишите ребра, скрещивающиеся с ребром AB .

2. Запишите пары скрещивающихся ребер 4-угольной пирамиды SABCD .

3. Как расположены относительно друг друга прямые a и b на рисунке 1? Ответ обоснуйте.

4. Даны две скрещивающиеся прямые a и b и не принадлежащая им точка C . Постройте прямую c , проходящую через точку C и пересекающую прямые a и b .

Вариант 2

1. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром SA правильной 4-угольной пирамиды SABCD .

2. Запишите ребра, скрещивающиеся с диагональю B 1 D куба A…D 1 .

c (рис. 1). Прямая a лежит в плоскости a и пересекает прямую c . Можно ли в плоскости b провести прямую, параллельную прямой a ? Ответ обоснуйте.

4. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые? Ответ обоснуйте.

7. Параллельность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Запишите ребра, параллельные плоскости грани CC 1 D 1 D правильной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямая b пересекает плоскость a в точке B ; прямая c , пересекающая прямые a и b соответственно в точках E и F , пересекает плоскость a в точке C . Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c . Точка A принадлежит плоскости a, точка B – плоскости b. Постройте: а) прямую a , лежащую в плоскости a, проходящую через точку A и параллельную плоскости b; б) прямую b , лежащую в плоскости b, проходящую через точку B и параллельную плоскости a. Как будут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням пирамиды. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

Вариант 2

1. Запишите плоскости граней, параллельных ребру CC 1 параллелепипеда A … D 1 .

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямые b и c , пересекающие прямую a соответственно в точках B и C , пересекают плоскость a соответственно в точках D и E . Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c . Прямая a лежит в плоскости a. Докажите, что если: а) a пересекает плоскость b в точке A , то A принадлежит прямой c ; б) a параллельна плоскости b, то она параллельна прямой c .

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

8. Параллельность двух плоскостей

Вариант 1

1. Запишите параллельные плоскости параллелепипеда A … D 1 .

2. Верны ли утверждения:

1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD ? Могут ли они быть параллельными?

Вариант 2

1. В треугольной пирамиде SABC проведите плоскость, параллельную ее основанию ABC .

2. Верны ли утверждения:

1) Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

4) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

3. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 3). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AD и BC ? Могут ли они пересекаться?

9. Векторы в пространстве

Вариант 1

1. Для данного вектора
постройте векторы: а) - ; б) 2 ; в) - .

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин правильной четырехугольной пирамиды?

ABCD и нарисуйте вектор: а)
; б)
; в)
.

4. Дан параллелепипед A … D
; б)
; в)
.

Вариант 2

1. Для данного вектора постройте векторы: а) 3 ; б) -2 ; в) .

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин треугольной призмы?

3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а)
; б)
; в)
.

4. Дан параллелепипед A … D 1 . Найдите сумму векторов: а)
; б)
; в) .

10. Коллинеарные и компланарные векторы

Вариант 1

, чтобы получить вектор , одинаково направленный с и | |=1.

2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем | | > | |. Найдите направление и длину вектора + .

3. Дан тетраэдр ABCD . Запишите три пары его вершин, задающие компланарные векторы.

4. Дан куб A … D 1 . Запишите тройки некомпланарных векторов с началами и концами в его вершинах.

Вариант 2

1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , противоположно направленный с и | |=2.

2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем | | |. Найдите направление и длину вектора + .

3. Дан тетраэдр ABCD . Запишите три пары его вершин, задающие некомпланарные векторы.

4. Дан куб A … D 1 . Запишите тройки компланарных векторов с началами и концами в его вершинах.

11. Параллельный перенос

Вариант 1

1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом прямой a на вектор
, если: а) E принадлежит a , F не принадлежит a ; б) точки E и F не принадлежат a .

2. Задайте параллельный перенос, который середину отрезка GH переводит в некоторую точку M .

3. Постройте фигуру, которая получается из квадрата ABCD параллельным переносом на вектор: а)
; б) .

ABCD параллельным переносом на вектор .

Вариант 2

1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом окружности с центром в точке O на вектор
, если: а) точка K принадлежит окружности; б) точка K не принадлежит окружности.

2. Задайте параллельный перенос, который точку пересечения O двух прямых a и b переводит в некоторую точку N .

3. Постройте фигуру, которая получается из правильного треугольника ABC параллельным переносом на вектор: а) ; б) , где точка M – середина стороны BC .

4. Постройте фигуру, которая получается из тетраэдра ABCD параллельным переносом на вектор
.

12. Параллельное проектирование

Вариант 1

1. Сколько точек получится при параллельном проектировании двух различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование.

2. Перечислите свойства прямоугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании.

3. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой?

4. Параллельные прямые a и b A , B и C изображены на рисунке 4. Изобразите четвертую точку D . Ответ обоснуйте.

Вариант 2

1. Сколько точек получится при проектировании трех различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование.

2. Перечислите свойства ромба, которые сохраняются при параллельном проектировании.

3. Как должны быть расположены прямая и точка, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, принадлежащую этой прямой?

4. Пересекающиеся прямые a и b пересекают параллельные плоскости a и b в четырех точках. Три из них A , B и C изображены на рисунке 5. Изобразите четвертую точку D . Ответ обоснуйте.

13. Параллельные проекции плоских фигур

Вариант 1

1. Изобразите параллельную проекцию прямоугольного равнобедренного треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования.

2. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и на ней постройте изображения перпендикуляров, опущенных из точки M – середины стороны AB на стороны AC и BC .

ABCDEF , взяв за исходную фигуру прямоугольник ABDE .

4. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и постройте на ней изображение перпендикуляра, опущенного из точки K – середины отрезка BO (O – центр треугольника) на сторону AB .

Вариант 2

1. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования.

2. Изобразите параллельную проекцию квадрата ABCD и на ней постройте изображение перпендикуляров, опущенных из точки E – середины стороны BC на прямые BD и AC .

3. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF , взяв за исходную фигуру равносторонний треугольник ACE .

4. Изобразите параллельную проекцию прямоугольника ABCD , у которого AD = 2AB . Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из вершины C на диагональ BD .

14. Изображение пространственных фигур

Вариант 1

1. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 6 изображена параллельная проекция куба A … D

4. Дан тетраэдр ABCD . Площадь его грани ADC равна S BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB .

Вариант 2

1. Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 7 изображена параллельная проекция куба A … D 1 . Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

4. Дан тетраэдр ABCD . Площадь его грани ABD равна Q . Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM , где M – середина ребра AB .

15. Сечения многогранников

Вариант 1

1. В шестиугольной призме A … F 1 (рис. 8) постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью ABC , где точки Q и P принадлежат соответственно боковым ребрам призмы BB ­ 1 и DD 1 .

2. На боковых ребрах четырехугольной призмы A … D 1 заданы три точки K , L , M (рис. 9). Постройте линию пересечения плоскости KLM с плоскостью ABC .

3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки X , Y , Z , принадлежащие соответственно ребрам AD , AA 1 , BB 1 и такие, что AX :XD = 1:2, A 1 Y :YA = 2:1, B 1 Z :ZB = 1:2.

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через сторону основания AD и точку M , принадлежащую боковому ребру SB .

Вариант 2

1. На боковых ребрах BB 1 и EE 1 призмы ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 заданы соответственно точки F и G (рис. 10). Постройте точку пересечения прямой FG с плоскостью ABC .

2. Дан куб A … D 1 . На его ребрах AA 1 , CC 1 и DD 1 заданы соответственно три точки X , Y , Z (рис. 11). Постройте линию пересечения плоскостей XYZ и ABC .

3. В правильной треугольной призме A … C 1 постройте сечение, проходящее через точки K , L и M , принадлежащие соответственно ребрам AA 1 , AC и BB 1 и такие, что: AK = KA 1 ; AL :LC = 1:2 и BM = MB 1 .

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через диагональ AC основания и параллельное боковому ребру SD .

16. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых

Вариант 1

1. В кубе A … D AB и BB 1 ; б) BD и ВВ 1 ; в) AB 1 и CC 1 ; г) AB 1 и CD 1 .

A … C 1 отрезок CD перпендикулярен ребру AB . Найдите угол между прямыми: а) CD и AA 1 ; б) CD и A 1 B 1 .

SABCD с равными ребрами найдите угол между диагональю AC основания и боковым ребром SC .

4. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра.

Вариант 2

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми: а) BC и BB 1 ; б) A 1 C 1 и AD ; в) BB 1 и BD ; г) A 1 D и BC 1 .

2. В правильной треугольной призме A … C 1 AM – медиана основания ABC . Найдите угол между прямыми: а) AM и C 1 B 1 ; б) AM и A 1 C 1 .

3. В правильном тетраэдре ABCD точка M – середина ребра CB . Найдите угол между прямыми AM и DC .

4. Найдите угол между непересекающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.

17. Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость.

2. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая OK , перпендикулярная плоскости этого квадрата. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой BD .

3. Найдите геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным данной прямой.

4. Точка M принадлежит боковой грани ABD треугольной пирамиды ABCD , у которой AB = BD и AC = CD . Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AD .

Вариант 2

1. Прямая a , перпендикулярная плоскости a, пересекает эту плоскость в точке A . Докажите, что прямая b , проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a , лежит в плоскости a.

2. Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH , перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC .

3. Даны прямая a и не принадлежащая ей точка A . Найдите геометрическое место прямых, проходящих через точку A и перпендикулярных прямой a .

4. В прямоугольном параллелепипеде A … D 1 постройте сечение, проходящее через точку K , внутреннюю точку диагонального сечения AA 1 C 1 C , и перпендикулярное прямой BB 1 .

18. Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Дана плоскость a. Из точки A проведены к ней две наклонные AB = 20 см и AC = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найдите проекцию второй наклонной.

2. Из точки M , не принадлежащей плоскости g, проведены к ней равные наклонные MA , MB и MC . Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите ее центр.

3. Из точки B проведены к плоскости b две равные по 2 см наклонные. Угол между ними равен 60 0 , а между их проекциями – 90 0 . Найдите перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость b.

4. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Точка M , не принадлежащая плоскости этого треугольника, удалена от сторон треугольника на 5 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость данного треугольника.

Вариант 2

1. Из точки A проведены к плоскости a наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную.

2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек данной окружности.

3. Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, образующие между собой угол 60 0 . Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.

4. Точка M удалена от каждой вершины правильного треугольника на
см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника.

19. Угол между прямой и плоскостью

Вариант 1

1. В пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. В какую точку проектируется вершина пирамиды?

2. В кубе A … D AA 1 и плоскостью AB 1 D 1 .

3. К плоскости a проведена наклонная MH (H принадлежит плоскости a). Докажите, что если проекция наклонной MH образует равные углы с прямыми AH и BH , лежащими в плоскости a, то и сама наклонная MH образует с ними равные углы.

4. Проведите к данной плоскости через данную на ней точку прямую, образующую с плоскостью угол 90 0 .

Вариант 2

1. Докажите, что в правильной пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.

2. В кубе A … D 1 найдите косинус угла между ребром A 1 D 1 и плоскостью AB 1 D 1 .

3. К плоскости b проведена наклонная BP (P принадлежит плоскости b), которая образует равные углы с прямыми PE и PF , лежащими в плоскости b. Докажите, что углы, образованные прямыми PE и PF с проекцией наклонной BP на плоскость b, равны.

4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, образующую с плоскостью угол 90 0 .

20. Расстояние между точками, прямыми и плоскостями

Вариант 1

1. В прямоугольном треугольнике ABC (
C = 90 0) катет AC равен 8 см. Из вершины B к плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр BD . Расстояние между точками A и D равно 10 см D до катета AC .

2. В единичном кубе A … D A и: а) вершиной C 1 ; б) ребром CC 1 ; в) гранью BB 1 C 1 C .

3. Точка M удалена от всех вершин прямоугольного треугольникана расстояние a . Гипотенуза треугольника равна c . Найдите расстояние от точки M до плоскости данного треугольника.

4. В кубе A … D 1 с ребром a AB и B 1 C 1 .

Вариант 2

1. Катеты прямоугольного треугольника ABC (C = 90 0) равны 15 см и 20 см. Из вершины C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CD , равный 5 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB .

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между вершиной D 1 и: а) вершиной B ; б) ребром AB ; в) гранью BB 1 C 1 C .

3. Из точки K на плоскость b опущен перпендикуляр длиной d и проведены две наклонные, углы которых с перпендикуляром составляют 30 0 . Угол между наклонными равен 60 0 . Найдите расстояние между основаниями наклонных.

4. В кубе A … D 1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами DC и BB 1 .

21. Двугранный угол

Вариант 1

a . Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 30 0 .

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки A и B . Из них опущены перпендикуляры AA 1 , BB 1 на другую грань и AA 2 , BB 2 на ребро двугранного угла. Найдите BB 2 , если AA 1 = 6 см, BB 1 = 3 см, AA 2 = 24 см.

3. Два равных прямоугольника имеют общую сторону и их плоскости образуют угол 45 0 . Найдите отношение площадей двух фигур, на которые ортогональная проекция стороны одного прямоугольника разбивает другой.

4. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек данной прямой на плоскость, лежат в одной плоскости и геометрическим местом оснований этих перпендикуляров является линия пересечения этих плоскостей.

Вариант 2

1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a . Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 60 0 .

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от его ребра на 9 см и 12 см. Расстояние от первой точки до другой грани двугранного угла равно 20 см. Найдите расстояние от этой грани до второй точки.

3. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60 0 . Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников, лежащими против общего основания.

4. Докажите, что точка пересечения ортогональных проекций двух прямых на плоскость является ортогональной проекцией точки пересечения данных прямых на ту же плоскость.

22. Перпендикулярность плоскостей

Вариант 1

1. Дан куб A … D ABD и DCC 1 ; б) AB 1 C 1 и ABB 1 .

2. Через данную прямую, лежащую в данной плоскости, проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Две перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой AB . Прямая CD лежит в плоскости a, параллельна AB и находится на расстоянии 60 см от нее. Точка E принадлежит плоскости b и находится на расстоянии 91 см от AB . Найдите расстояние от точки E до прямой CD .

4. Докажите, что прямая a и плоскость a, перпендикулярные одной и той же плоскости b, параллельны, если прямая a не лежит в плоскости a.

Вариант 2

1. Дан куб A … D 1 . Докажите перпендикулярность плоскостей: а) AA 1 D 1 и D 1 B 1 C 1 ; б) A 1 B 1 D и BB 1 C 1 .

2. Через наклонную к плоскости проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Отрезок MN имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с ними равные углы. Докажите, что точки M и N одинаково удалены от линии пересечения данных плоскостей.

4. Докажите, что две плоскости a и b параллельны, если они перпендикулярны плоскости g и пересекают ее по параллельным прямым.

23*. Центральное проектирование

Самостоятельная работа N 1

Вариант 1

1. Куда при центральном проектировании переходит прямая, параллельная плоскости проектирования?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, и находится между центром и плоскостью проектирования. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

R . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 12) через точки M и N , принадлежащие соответственно граням ABD и BCD , проведите сечение, параллельное ребру AC .

Вариант 2

1. В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования. Плоскость проектирования расположена между центром проектирования и плоскостью данной фигуры. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

3. Радиус основания конуса равен R . Он пересечен плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту конуса в отношении m :n , считая от вершины. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 13) через точку M , принадлежащую высоте пирамиды DO , проведите сечение, параллельное грани BCD .

Самостоятельная работа N 2

Вариант 1

1. Прямая m S . Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в одном полупространстве с точкой S относительно плоскости p.

A … D AA 1 C 1 .

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , у которой двугранный угол при основании равен 60 0 . Найдите расстояние между прямыми AB и SC , если AB = 1.

Вариант 2

1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S . Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в разных полупространствах с точкой S относительно плоскости p.

2. Изобразите центральную проекцию куба A … D 1 на плоскость, параллельную плоскости AB 1 C 1 .

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, не параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная треугольная призма A … C 1 , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC 1 .

24. Многогранные углы

Вариант 1

1. Запишите, при каких условиях углы a, b и g могут быть плоскими углами трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все плоские углы прямые. На его ребрах от вершины отложены отрезки 2 см, 4 см, 6 см и через их концы проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней четырехгранного угла?

Вариант 2

1. Два плоских угла трехгранного угла равны a и b, причем a > b. Запишите, в каких границах возможны значения третьего плоского угла g данного трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все двугранные углы – прямые. Из вершины этого угла в его внутренней области проведен отрезок, проекции которого на ребра равны a , b и c . Найдите данный отрезок.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней пятигранного угла?

25*. Выпуклые многогранники

Вариант 1

n -угольной призмы: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 5 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число граней Г, причем каждая грань имеет одно и то же число сторон n . Найдите число: а) плоских углов (
); б) ребер (Р) данного многогранника. Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. От него отсекли m -гранный угол. Найдите число вершин, ребер и граней полученного многогранника.

Вариант 2

1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n -угольной пирамиды: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 6 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число вершин В, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер m . Найдите число: а) плоских углов (); б) ребер данного многогранника (Р). Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. К его n -угольной грани пристроили пирамиду. Найдите число вершин, ребер и граней нового многогранника.

26*. Теорема Эйлера

Вариант 1

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого выполняется теорема Эйлера.

3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3В – 6 Р.

4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды с высотой h и боковым ребром b .

Вариант 2

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого не выполняется теорема Эйлера.

2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение

3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3Г – 6 Р.

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и высотой боковой грани h .

27. Правильные многогранники

Вариант 1

1. Нарисуйте: а) развертку тетраэдра; б) многогранник, двойственный гексаэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через одну из его вершин и середины двух параллельных ребер, которым не принадлежит данная вершина. Определите вид сечения.

3. В тетраэдр ABCD вписана правильная треугольная призма с равными ребрами таким образом, что вершины одного ее основания находятся на боковых ребрах AD , BD , CD , а другого – в плоскости ABC . Ребро тетраэдра равно a . Найдите ребро призмы.

4. В тетраэдре ABCD M – середину высоты DO тетраэдра, параллельно плоскости грани ADC . Определите вид сечения.

Вариант 2

1. Нарисуйте: а) развертку куба; б) многогранник, двойственный тетраэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через два его параллельных ребра. Определите вид сечения.

3. В октаэдр вписан куб таким образом, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно a . Найдите ребро куба.

4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M , принадлежащую грани ABC параллельно плоскости грани BCD . Определите вид сечения.

28*. Полуправильные многогранники

Вариант 1

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного гексаэдра.

2. Как можно получить 5-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный правильной 6-угольной призме.

4. Правильный треугольник ABC и другой треугольник ADC имеют общую сторону AC и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 30 0 . Вершина D ортогонально проектируется на плоскость треугольника ABC в его центр. Высота правильного треугольника равна h . Найдите сторону AD треугольника ADC .

Вариант 2

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного октаэдра.

2. Как можно получить 8-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный 6-угольной антипризме.

4. Квадрат ABCD и треугольник ABE имеют общую сторону AB и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 45 0 . Вершина E треугольника ортогонально проектируется на плоскость квадрата в его центр O . Высота EH треугольника равна h . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость квадрата и ортогональную проекцию отрезка OE на плоскость треугольника.

29*. Звездчатые многогранники

Вариант 1

1. Как получить звезду Кеплера из октаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) малого звездчатого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается усеченный куб? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a ?

4. Докажите, что если плоскость пересекает треугольную пирамиду и параллельна двум ее скрещивающимся ребрам, то в сечении будет параллелограмм.

Вариант 2

1. Как получить звезду Кеплера из гексаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) большого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается кубооктаэдр? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a ?

4. Докажите, что правильный тетраэдр можно пересечь плоскостью таким образом, чтобы в сечении получился квадрат.

30*. Кристаллы – природные многогранники

Вариант 1

1. Нарисуйте кристалл горного хрусталя.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Чему равно число его вершин, ребер и граней.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла исландского шпата.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде кубооктаэдра), если его ребро равно a .

Вариант 2

1. Нарисуйте кристалл исландского шпата.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Определите число его плоских углов, двугранных углов; многогранных углов и их тип.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла граната.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде усеченного октаэдра), если его ребро равно a .

31. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости

Вариант 1

1. Шар, радиус которого равен 10 см, пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сечения.

2. Сечения шара радиуса R r 1 и r 2 . Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по разные стороны от центра.

3. Стороны треугольника касаются сферы. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см, а стороны треугольника равны 12 см, 10 см, 10 см.

4. Каждая сторона ромба касается сферы радиуса 10 см. Плоскость ромба удалена от центра сферы на 8 см. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 12,5 см.

Вариант 2

1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярно к нему плоскость. Как относится площадь большого круга данного шара к площади получившегося сечения?

2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r 1 и r 2 . Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по одну сторону от центра.

3. Стороны ромба касаются сферы радиуса 13 см. Найдите расстояние от плоскости ромба до центра сферы, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см.

4. Через конец радиуса шара проведена плоскость, составляющая с ним 30 0 . Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

32. Многогранники, вписанные в сферу

Вариант 1

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 14 изображена треугольная пирамида ABCD , у которой ребро DB перпендикулярно плоскости ABC и угол ACB равен 90 0 . Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна 4 см, двугранный угол при основании 45 0 . Найдите радиус описанной сферы. Где будет находиться ее центр?

4. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R . Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a.

Вариант 2

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 15 изображена пирамида ABCD , у которой углы ADB , ADC и BDC прямые. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC центр описанной сферы делит высоту на части, равные 6 см и 3 см. Найдите сторону основания ABC пирамиды.

4. В правильной 4-угольной призме диагональ основания и диагональ боковой грани равны соответственно 16 см и 14 см. Найдите радиус описанной сферы.

33. Многогранники, описанные около сферы

Вариант 1

1. Можно ли вписать сферу в пирамиду, у которой равны двугранные углы при основании? Ответ поясните.

2. Около сферы описана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите площадь основания и высоту призмы.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a , двугранный угол при основании равен 60 0 . Найдите радиус вписанного шара.

4. Стороны оснований правильной 4-угольной усеченной пирамиды равны 1 см и 7 см. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 0 . Найдите радиус описанного шара.

Вариант 2

1. Каким свойством должна обладать прямая треугольная призма, чтобы в нее можно было вписать сферу?

2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого равен a и основание которого равно a . Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом b. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.

3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h , а двугранный угол при основании равен 45 0 .

4. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см, радиусы окружностей, описанных около оснований, равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

34. Цилиндр. Конус

Вариант 1

1. В цилиндре, радиус основания которого равен 4 см и высота 6 см, проведено сечение, параллельное оси. Расстояние между диагональю сечения и осью цилиндра равно 2 см. Найдите площадь сечения.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 60 0 к его основанию. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, если высота конуса равна 12 см.

3. Точка M принадлежит высоте конуса. Точка N принадлежит плоскости основания конуса, но находится вне этого основания. Постройте точку пересечения прямой MN с поверхностью конуса.

4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения усеченного конуса, проведенного через середину высоты параллельно основаниям.

Вариант 2

1. Высота цилиндра равна 15 см, радиус основания 10 см. Дан отрезок, концы которого принадлежат окружностям обоих оснований и длина которого равна 3
см. Найдите расстояние между данным отрезком и осью цилиндра.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 30 0 к его высоте. Найдите площадь сечения, если высота конуса равна 3
см, а радиус основания 5 см.

3. В конусе задано осевое сечение. Точки K и L принадлежат двум образующим конуса, не лежащим в данном сечении. Постройте точку пересечения прямой KL с плоскостью данного осевого сечения.

4. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1:3, образующая составляет с плоскостью основания угол 45 0 , высота равна h . Найдите площади оснований.

35. Поворот. Фигуры вращения

Вариант 1

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении квадрата ABCD вокруг прямой a , проходящей через вершину B BD .

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг касательной.

3. Кривая задана уравнением y = sin x , 0 x p. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Oy .

4. Плоскость проходит через ось цилиндра, причем площадь осевого сечения цилиндра относится к площади его основания как 4: p. Найдите угол между диагоналями осевого сечения.

Вариант 2

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении ромба ABCD вокруг прямой a , проходящей через вершину C и перпендикулярной диагонали AC .

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг хорды, не являющейся диаметром.

3. Кривая задана уравнением y =
, 0 x 4. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Ox .

4. Высота конуса равна 20 см, угол между нею и образующей 60 0 . Найдите площадь сечения, проведенного через две взаимно перпендикулярные образующие конуса.

36. Вписанные и описанные цилиндры

Вариант 1

1. В сферу радиуса 10 см вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около сферы радиуса R .

r , вписана правильная треугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

r , описана правильная четырехугольная призма. Найдите площади ее граней.

Вариант 2

1. В сферу вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см и диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите радиусы сферы и основания цилиндра.

2. Найдите образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса R .

3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r , вписана правильная четырехугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r , описана правильная треугольная призма. Найдите площади ее граней.

37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс

Вариант 1

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 45 0 .

2. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью, образующей с осью цилиндра угол 30 0 . Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен R .

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 30 0 . Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 3 см.

R , пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 45 0 . Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившегося в сечении, до фокусов.

Вариант 2

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 60 0 .

2. Под каким углом к плоскости основания цилиндра нужно провести плоскость, чтобы в сечении боковой поверхности получить эллипс, у которого большая ось в два раза больше малой?

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 45 0 . Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 2 см.

4. Цилиндр, радиус основания которого равен R , пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 30 0 . Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившего в сечении, до фокусов.

38. Вписанные и описанные конусы

Вариант 1

1. В сферу радиуса 4 см вписан конус. Найдите высоту этого конуса и радиус его основания, если угол при вершине осевого сечения равен 60 0 .

2. Радиус основания конуса равен r , образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите радиус вписанной в конус сферы.

3. Можно ли вписать в конус 4-угольную пирамиду, у которой углы основания последовательно относятся как: а) 1:5:9:7; б) 4:2:5:7?

4. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 18 см; двугранные углы при основании пирамиды равны. В пирамиду вписан конус. Найдите радиус основания конуса и его высоту, если меньшее боковое ребро пирамиды составляет с меньшей стороной трапеции угол 60 0 .

Вариант 2

1. В конусе образующая равна 15 см и составляет с основанием угол 60 0 . Найдите радиус описанной сферы.

2. В конус вписана сфера, радиус которой равен R . Найдите радиус основания конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 60 0 .

3. Можно ли описать около конуса 4-угольную пирамиду, у которой стороны основания последовательно относятся как: а) 5:6:8:7; б) 3:10:15:7?

4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник; боковые ребра равны между собой, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с основанием углы 30 0 и 60 0 . Около пирамиды описан конус таким образом, что у них общая высота. Найдите радиус основания конуса, если высота пирамиды равна h .

39*. Конические сечения

Вариант 1

1. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 0 . Радиус основания конуса равен R . Через центр основания проведена плоскость под углом 60 0 к плоскости основания. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность и касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по эллипсу.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 0 . Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол между осью конуса и его образующей равен 45 0 . Через точку образующей, отстоящую от вершины конуса на расстояние a , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите расстояние между фокусом и директрисой параболы, получающейся в сечении конической поверхности этой плоскостью.

Вариант 2

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 0 . Через точку образующей, отстоящей от вершины конуса на расстояние a , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность, касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по параболе.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 0 . Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 30 0 . Через точку образующей, отстоящей от вершины на расстояние b , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении конической поверхности этой плоскостью.

40. Симметрия пространственных фигур

Вариант 1

1. Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.

2. Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.

4. Найдите элементы симметрии правильной треугольной призмы.

Вариант 2

1. Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.

2. Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O . Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.

4. Найдите элементы симметрии правильной 6-ной пирамиды.

41. Движения

Вариант 1

1. Докажите, что композиция двух движений (последовательное их выполнение) является движением.

A куба A … D 1 в вершину C 1 .

A правильного тетраэдра ABCD в вершину C .

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?

Вариант 2

1. Докажите, что преобразование, обратное движению, тоже является движением.

2. Найдите движения, которые переводят вершину B 1 куба A … D 1 в вершину D .

3. Найдите движения, которые переводят вершину D правильного тетраэдра ABCD в вершину B .

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?

42*. Ориентация поверхности. Лист Мебиуса

Вариант 1

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) пирамиды; б) призмы; в) дважды перекрученной ленты Мебиуса?

2. Изобразите лист Мебиуса.

a , b (a b) склеиванием сторон длины a . Какова площадь поверхности листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из шестиугольника?

Вариант 2

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) конуса; б) цилиндра; в) листа Мебиуса?

2. Изобразите дважды перекрученную ленту Мебиуса.

3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a , b (a b) склеиванием сторон длины a . Какова длина края листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из восьмиугольника?

43. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра

Вариант 1

1. Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со сторо­ной 3 см. Найдите объем цилиндра.

2. От куба A … D 1 , ребро которого равно 1, отсечены 4 треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD , параллельно ребру AA 1 . Найдите объем оставшейся части куба.

3. Прямая треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m :n . В каком отношении делится объем призмы?

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Зная, что диагонали параллелепипеда равны 17 дм и 10 дм, найдите объем параллелепипеда.

Вариант 2

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2 см и наклонена к плос­кости основания под углом 60 0 . Найдите объем цилиндра.

2. Объем правильной шестиугольной призмы равен V . Определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.

3. В каком отношении делится объем прямой треугольной призмы плоскостью, проходящей через средние линии оснований.

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого равны 1 дм и 7 дм. Зная, что диагонали параллелепипеда относятся как 13:17, найдите объем параллелепипеда.

44. Принцип Кавальери

Вариант 1

1. Верно ли, что два конуса, имеющие равные основания и высоты, равнове­лики?

1. Найдите объем наклонной призмы, площадь основания ко­торой равна S , а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 60 0 .

3. В наклонном параллелепипеде две боковые грани имеют площади S 1 и S 2 , их общее ребро равно a , и они образуют между собой двугранный угол 150 0 . Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q , а расстояние от нее до противоположного ребра равно d . Найдите объем призмы.

Вариант 2

1. Верно ли, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равнове­лики?

2. Найдите объем наклонного цилиндра, радиус основания ко­торого равен R , а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 45 0 .

3. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань являются прямоугольниками и их площади равны соответственно 20 см 2 и 24 см 2 . Угол между их плоскостями равен 30 0 . Еще одна грань параллелепипеда имеет площадь 15 см 2 . Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a . Площади этих граней равны S 1 и S 2 . Найдите объем призмы.

45. Объем пирамиды

Вариант 1

1. Пирамида, объем которой равен V , а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60 0 . Найдите объем пирамиды.

3. В основании прирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30 0 . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите объем пирамиды.

4. Центры граней куба, ребро которого равно 2a , служат верши­нами октаэдра. Найдите его объем.

Вариант 2

1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.

2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

3. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30 0 . Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.

4. В куб с ребром, равным a , вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

46. Объем конуса

Вариант 1

1. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90 0 . Найдите объем конуса.

2. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Найдите объем их общей части, если объем каждого конуса равен V .

3. В конус, объем которого равен V , вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, если отношение диаметров оснований конуса и цилиндра равно 10:9.

4. Каждое ребро правильной 4-угольной пирамиды равно a . Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды, отсекает от нее усеченную пирамиду. Найдите объем усеченной пирамиды, если сторона сечения равна b .

Вариант 2

1. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площади 9 см 2 . Найдите объем конуса.

2. В конус вписан другой конус таким образом, что центр основания вписанного конуса делит высоту данного конуса в отношении 3:2, считая от вершины конуса, а вершина вписанного конуса находится в центре основания данного конуса. Найдите отношение объемов данного и вписанного конусов.

3. Докажите, что если два равных конуса имеют общую высоту и параллельные плоскости оснований, то объем их общей части составляет объема каждого из них.

4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 5 см. Найдите отношение объемов частей усеченного конуса, на которые он делится средним сечением.

47. Объем шара и его частей

Вариант 1

1. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него куба.

2. Найдите отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра.

3. В шаре проведена плоскость, перпендикулярная диаметру и делящая его на части, равные 3 см и 9 см. Найдите объемы частей шара.

4. Радиус шарового сектора R , угол в осевом сечении 120 0 . Найдите объем шарового сектора.

Вариант 2

1. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него октаэдра.

2. Найдите отношение объема шара к объему описанного около него куба.

3. В шаре радиуса 13 см проведены по разные стороны от центра два равных параллельных сечения радиуса 5 см. Найдите объем полученного шарового слоя.

4. Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара 75 см.

48. Площадь поверхности

Вариант 1

1. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45 0 , а сторона основания равна a . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна a . Две грани пирамиды перпендикулярны основанию, а остальные две боковые грани наклонены к нему по углом 60 0 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна b ; сечение, проведенное через противоположные стороны оснований, составляет с плоскостью основания угол j. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 0 ; площадь большого круга, вписанного в этот конус шара, равна Q

Вариант 2

1. В правильной 4-угольной призме сторона основания равна a . Плоскость, проведенная через противоположные стороны оснований, составляет с одним из них угол 60 0 . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Две боковые грани треугольной пирамиды перпендикулярны ее основанию; высота пирамиды равна h ; плоские углы при вершине равны 60 0 , 60 0 и 90 0 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно b ; отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с основанием угол j. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

4. В конусе образующая составляет с основанием угол 60 0 ; площадь большого круга описанного шара равна Q . Найдите площадь полной поверхности конуса.

49. Площадь поверхности шара и его частей

Вариант 1

1. Докажите, что площадь полной поверхности равностороннего конуса (осевое сечение – равносторонний треугольник) равна площади поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.

2. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в равносторонний цилиндр (осевое сечение – квадрат), диагональ осевого сечения которого равна a .

3. Радиусы оснований шарового пояса равны 10 см и 12 см, а его высота равна 11 см. Найдите площадь поверхности шарового пояса.

4. Радиус шарового сегмента равен R , дуга осевого сечения составляет 90 0 . Найдите площадь полной поверхности сегмента.

Вариант 2

1. Докажите, что если равносторонний конус (осевое сечение – равносторонний треугольник) и полушар имеют общее основание, то площадь боковой поверхности конуса равна площади поверхности полушара.

2. Найдите отношение площадей поверхностей двух шаров, один из которых вписан, а второй описан около равностороннего цилиндра (осевое сечение – квадрат).

3. Радиус шара равен 25 см. Найдите площади частей, на которые делится поверхности шара сечением, площадь которого равна 49p см 2 .

4. Высота шарового сегмента равна h , дуга осевого сечения равна 120 0 . Найдите площадь полной поверхности сегмента.

50. Прямоугольная система координат в пространстве

Вариант 1

1. Постройте по координатам точки: A (1,2,3); B (-2,0,3); C (0,0,-4); D (3,-1,0).

2. Среди данных точек K (-6,0,0), L (10,-5,0), M (0,6,0), N (7,-8,0), P (0,0,-20), Q (0,11,-2) найдите те, которые принадлежат: а) оси Oy ; б) оси Oz ; в) плоскости Oxy ; г) плоскости Oyz .

3. Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из данных точек E (6,-2,8) и F (-3,2,-5) на: а) ось Ox ; б) плоскость Oxz .

GH , если G (2,-3,5), H (4,1,-3).

U (8,0,6), V (20,-14,0) относительно: а) плоскости Oyz ; б) оси Ox .

Вариант 2

1. 1. Постройте по координатам точки: E (-1,2,0); F (1,0,-4); G (2,3,-1); H (0,-2,0).

2. Среди точек A (0,-1,0), B (0,1,-3), C (4,0,0), D (0,0,-5), E (-1,0,7), F (0,10,10) найдите те, которые принадлежат: а) оси Ox ; б) оси Oy ; в) плоскости Oyz ; г) плоскости Oxz .

3. Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точек M (9,-1,-6) и N (-12,5,8) на: а) ось Oz ; б) плоскость Oxy .

4. Найдите координаты середины отрезка GH , если G (3,-2,4), H (5,2,-6).

5. Найдите координаты точек, симметричных точкам P (0,0,5), V (0,-1,-2) относительно: а) плоскости Oxy ; б) оси Oy .

51. Расстояние между точками в пространстве

Вариант 1

A (2,3,4), B (1,2,3), C (3,4,5) вершинами треугольника.

Oz M (-1,-2,0) и N (3,0,4).

C (-2,0,3) и: а) радиусом ; б) проходящей через точку K (1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + z 2 – 6x =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +4x – 2y =0 пересечена плоскостью Oyz

Вариант 2

1. Определите, являются ли точки E (-4,-5,-6), F (-1,-2,-3), G (-2,-3,-4) вершинами треугольника.

2. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Oy и одинаково удаленной от точек K (1,3,0) и L (4,-1,3).

3. Запишите уравнение сферы с центром в точке C (0,-5,6) и: а) радиусом 10; б) проходящей через точку H (2,-3,5).

4. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x 2 + y 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +2x – 6z =0 пересечена плоскостью Oxy . Найдите координаты центра и радиус окружности, лежащей в сечении.

52. Координаты вектора

Вариант 1

1. Найдите координаты вектора: а) 2 + 3 - 4 ; б) -5 + 10 ; в) - + .

2. Найдите длину вектора: а) (1,-2,10); б) , если A (0,-5,1), B (2,0,-8); в) + , если (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Найдите координаты точки C , если: а)
(-5,6,8), D (0,-1,2); б) D (-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Найдите числа x , y , z , чтобы выполнялось равенство =
, если (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

Вариант 2

1. Найдите координаты вектора: а) 3 - 4 + 2 ; б) -2 - ; в) - .

2. Найдите длину вектора: а) (0,-3,2); б) , если M (0,-5,1), N (2,0,-8); в) - , если (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Найдите координаты точки E , если: а) (0,-3,11), F (5,-1,0); б) F (5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Найдите числа u , v , w , чтобы выполнялось равенство =
, если (-30,6,-12), (5,-6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Скалярное произведение векторов

Вариант 1

1. Определите знак скалярного произведения векторов и , если угол между ними удовлетворяет неравенствам: а) 0 0

2. Угол между векторами и равен 90 0 . Чему равен угол между векторами: а) - и ; б) - и ?

+
+
= 0.

4. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, найдите скалярное произведение: а)
; б)
; в)
, где H и Q AC и BD .

Вариант 2

1. Определите, в каком промежутке находится угол между векторами и , если: а) > 0.

2. Угол между векторами и
равен 90 0 . Чему равен угол между векторами: а) и - ; б) - и - ?

3. Докажите равенство: а) ; б)
=
.

4. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным a , найдите скалярное произведение: а)
; б) ; в) , где E и F – середины соответственно ребер BC и AD .

54. Уравнение плоскости в пространстве

Вариант 1

H (-3,0,7) и перпендикулярную вектору с координатами (1,-1,3).

2. Найдите координаты точки пересечения плоскости 2x – y + 3z – 1 = 0 с осью: а) абсцисс; б) ординат.

B (3,-2,2) и: а) параллельна плоскости Oyz ; б) перпендикулярна оси Ox .

M (5,-1,3) и перпендикулярна вектору , если N (0,-2,1).

Вариант 2

1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку P (5,-1,0) и перпендикулярную вектору с координатами (0,-6,10).

2. Найдите координаты точки пересечения плоскости x + 4y - 6z – 7 = 0 с осью: а) ординат; б) аппликат.

3. Напишите уравнение плоскости, если она проходит через точку C (2,-4,-3) и: а) параллельна плоскости Oxz ; б) перпендикулярна оси Oy .

4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку E и перпендикулярна вектору (4,-5,0), если F (3,-1,6).

55*. Уравнение прямой в пространстве

Вариант 1

1. Найдите значение d , при котором прямая

пересекает ось Oz .

для того, чтобы прямая: а) была параллельна оси Ox ; б) лежала в плоскости Oxz ; в) пересекала ось Oy .

с координатными плоскостями.

Вариант 2

1. Найдите значения b и d , при которых прямая

пересекает плоскость Oxy .

2. Найдите условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой

для того, чтобы прямая: а) совпадала с осью Oz ; б) была параллельна плоскости Oyz ; в) проходила через начало координат.

3. Найдите координаты точек пересечения прямой

с координатными плоскостями.

4. Запишите параметрические уравнения прямой

56. Аналитическое задание пространственных фигур

Вариант 1

x 2 + y 2 +z 2 = 1; б) x 2 = 1; в) xyz = 0.

а)
б)

3. Даны точки A (2,5,12), B (1,0,0), C (-1,-5,4) и плоскости
и , заданные соответственно уравнениями 2x – y + z +1 = 0 и x – 5y –13z +1 = 0. Для каждой из этих плоскостей найдите среди данных точек те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.

4. Дана плоскость 3x – y +4z O (0,0,0) и D (2,1,0); б) E (1,2,1) и F (5,15,-1)?

Вариант 2

1. Выясните, какую геометрическую фигуру задает уравнение: а) x 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; б) x 2 – y 2 = 0; в) x 2 = 0.

2. Выясните, какую геометрическую фигуру задает система:

а)
б)

3. Даны точки E (-14,22,0), F (1,-5,12), G (0,0,5) и плоскости и , заданные соответственно уравнениями x – 2z +12 = 0 и x + 5y + z +25 = 0. Для каждой из этих плоскостей найдите среди данных точек те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.

4. Дана плоскость 3x – y +4z +1 = 0. Лежат ли по одну и ту же сторону от нее точки: а) A (-1,2,-5) и B (-15,1,0); б) K (1,
,5) и L (1,15,-15)?

57*. Многогранники в задачах оптимизации

Вариант 1

1. Вершины тетраэдра имеют следующие координаты: O (0,0,0), A (1,1,0), B (0,2,0),C (1,5,7). Запишите неравенства, характеризующие внутреннюю область данного тетраэдра.

2. Найдите область, определяемую следующей системой неравенств:

а) б)

Изобразите ее.

3. Запишите систему неравенств, определяющую внутреннюю область прямой треугольной призмы OABO 1 A 1 B 1 , если O (0,0,0), A (0,2,0), B (0,0,2), O 1 (5,0,0). Изобразите ее и найдите ее объем.

u = x + y – 2z + 1 на треугольной призме из предыдущей задачи.

Вариант 2

1. Даны вершины тетраэдра A (-1,1,0), B (-2,2,0), C (-2,0,0), D (-1,5,7). Какие из точек M (2,3,-1), N (- , , ), P (0,0,1), H (- , , ) принадлежат внутренней области данного тетраэдра?

2. Найдите область, определяемую следующей системой неравенств: а) б)

3. Запишите систему неравенств, определяющих внутреннюю область тетраэдра OABC , если O (0,0,0), A (5,0,0), B (0,3,0), C (0,0,6). Изобразите ее и найдите ее объем.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной функции u = x – y + z – 1 на тетраэдре из предыдущей задачи.

58*. Полярные координаты на плоскости

Вариант 1

A (2, ), B (1, ), C ( , ), D (3, ), E (4, ), F ( , ).

2. Запишите декартовы координаты точек G (2, ), H ( , ), P (5, ), Q (3,- ).

3. Найдите полярные координаты вершин и точки пересечения диагоналей единичного квадрата, приняв за начало координат одну из его вершин, а за полярную ось – сторону, которая проходит через выбранную вершину.

M (1, ), N (3, ), P ( ,- ), Q ( , ) относительно: а) полярной оси; б) начала координат.

Вариант 2

1. Изобразите в полярной системе координат точки A (3, ), B (5, ), C ( , ), D (6, ), E (2, ), F ( , ).

2. Запишите полярные координаты точек K (0,6), L (-2,0), M (-1,1), N ( ,1).

3. Найдите полярные координаты вершин правильного шестиугольника, сторона которого равна 1, приняв за начало координат одну из его вершин, а за полярную ось – сторону, которая проходит через выбранную вершину.

4. Найдите полярные координаты точек, симметричных точкам G (2, ), H (3, ), R (3,- ), S ( , ) относительно: а) начала координат; б) полярной оси.

59*. Сферические координаты в пространстве

Вариант 1

1. Найдите декартовы координаты следующих точек пространства, за­данных сферическими координатами: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Найдите сферические координаты следующих точек пространства, заданных декартовыми координатами: A (1,1, ), B (1,0,1), C (0,0,1).

3. Найдите геометрическое место точек пространства, сферические координаты которых удовлетворяют условиям: а) y = 45 0 ; б) j= 60 0 .

r 2; б) r 1, y 0?

Вариант 2

1. Найдите декартовы координаты следующих точек пространства, за­данных сферическими координатами: (1,-45 0 ,60 0), (2,30 0 ,-90 0), (3,-90 0 , 50 0).

2. Найдите сферические координаты следующих точек пространства, заданных декартовыми координатами: A (2,2 ), B (-1,0,1), C (0,0,-1).

3. Найдите геометрическое место точек пространства, сферические координаты которых удовлетворяют условиям: а) y= 30 0 ; б) j = 90 0 .

4. Какая фигура в пространстве задается неравенствами: а) r 1; б) r 1, - j 0?

60*. Использование компьютерной программы «Математика» для изображения пространственных фигур

Вариант 1

1. Получите изображение тетраэдра.

2. Произведите операцию усечения тетраэдра и получите октаэдр.

3. Как из октаэдра получить звезду Кеплера?

z = xy .

Вариант 2

1. Получите изображение куба.

2. Произведите операцию усечения куба и получите кубооктаэдр.

3. Как из куба получить ромбододекаэдр?

4. Получите изображение поверхности z = cos x cos y .

ОТВЕТЫ

Самостоятельная работа N 2

В1. 4. 6. В2. 3. 10. 4. 4.

В1. 2. а) В=8, Р=12, Г=6; б) В=14, Р=21, Г=9; в) В=n +1, Р=2n , Г=n +1. 3. а) 5-угольная; б) 7-угольная; в) 3-угольная. 4. Три цвета. В2. 2. а) В=8, Р=12, Г=6; б) В=7, Р=12, Г=7; в) В=2n , Р=3n , Г=n +2. 3. а) 4-угольная; б) 7-угольная; в) 8-угольная. 4. Два цвета.

В1. 3. 3. 4. 3. В2. 3. 3. 4. 3.

В1. 3. Скрещиваются. В2. 3. Нет. 4. Нет.

В1. 3. Параллельны.

В1. 2. Верны утверждения 1), 3), 4). 4. Если AB || CD , то AC || BD ; если AB скрещивается с CD , то AC скрещивается с BD . В2. 2. Верно утверждение 3). 4. Если AB || CD , то AD и BC пересекаются; если AB и CD скрещиваются, то AD и BC скрещиваются.

В1. 2. 26. 3. а) ; б)
; в)
, где M – середина BC . 4. а)
; б) ; в)
. В2. 2. 24. 3. а)
; б) ; в)
, где M – середина BA . 4. а)
; б) ; в) .

В1. 1. . 2. Вектор + одинаково направлен с вектором ; | + | = | | - | |. В2. 1.
. 2. Вектор + одинаково направлен с вектором ; | + |=| | - | |.

В1. 1. Одна, если прямая, проходящая через них, параллельна направлению проектирования; две в противном случае. 2. Параллельность и равенство противоположных сторон; деление диагоналей пополам в точке пересечения. 3. Прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования. В2. 1. Одна, если все точки принадлежат одной прямой, параллельной направлению проектирования; две, если прямая, проходящая через какие-нибудь две из данных точек, параллельна направлению проектирования, а третья точка не принадлежит этой прямой; три в остальных случаях. 2. Параллельность и равенство противоположных сторон; деление диагоналей в точке пересечения пополам. 3. Прямая не параллельна направлению проектирования и точка принадлежит прямой или плоскость, проходящая через эту точку и прямую, параллельна направлению проектирования.

В1. 3. Грани куба не параллельны плоскости проектирования и направление проектирования параллельно диагонали BD . 4. . В2. 1. В=24, Р=36, Г=14. 4. . 3. R b ; б) y B . 4. а) Да; б) нет. В2. 1. а) Сфера с центром в точке (0,0,-1) и радиусом 1; б) две пересекающиеся плоскости; в) плоскость Oyz . 2. а) Прямоугольный параллелепипед; б) две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости Oxy . 3. Для : точка F ; для : точки E , F , G . 4. а) Да; б) нет.

В1. 1.

2. а) Внутренняя область тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); б) внутренняя область прямоугольного параллелепипеда с вершинами (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10), (5,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 – наибольшее; 3 – наименьшее.

В2. 1. Точки N и H . 2. а) Область между двумя параллельными плоскостями; б) внутренняя область прямой треугольной призмы с вершинами (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

(); (); (0, стереометрии . Приводить примеры реальных объектов... многогранников. Развёртка. Перечислять основные понятия и аксиомы стереометрии . Приводить примеры реальных объектов...

Методические рекомендации

46 - 2 Введение. Предмет стереометрии . Основные понятия и аксиомы стереометрии . Первые следствия из аксиом 2 2 ... и икосаэдр) 1 § 3*. Аксиомы , законы, правила 2 9. Аксиомы стереометрии Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, ...

Рабочая программа учебного курса «Геометрия»

Рабочая программа

... стереометрии . Аксиомы стереометрии . Некоторые следствия из аксиом. Основная цель – сформировать представления учащихся об основных понятиях и аксиомах стереометрии , их...

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и
плоскостью основания равен 60° , сторона основания равна 1 , SH - высота пирамиды.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н
параллельно ребрам SA и BC .

Основание высоты правильной пирамиды - это центр треугольника АВС . Сначала проведём
через точку Н отрезок РТ , параллельный ребру ВС. Точки Р и Т принадлежат сечению .

В плоскости грани ACS через точку Т проведём отрезок ТК параллельно ребру AS .

В плоскости грани AВS через точку Р проведём отрезок PL параллельно ребру AS .

Соединив точки К и L , получим искомое сечение. Докажем, что это прямоугольник.

Отрезки ТК и PL не только параллельны (каждый параллелен AS ), но и равны.

Значит, четырёхугольник KLPT - параллелограмм по признаку параллелограмма.
Кроме того, ТК ⊥ ТР , так как AS ⊥ CB , а стороны ТК и ТР параллельны AS и CB .
Докажем, что AS ⊥ CB . Можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
AS - наклонная, AD проекция этой наклонной на АВС , AD ⊥ CB , значит, AS ⊥ CB .

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо найти и перемножить его стороны.
Заметим, что сторона ТР составляет две трети от стороны основания ВС = 1 .
Вторая сторона прямоугольника ТК составляет одну треть от бокового ребра AS .
Боковое ребро мы сможем найти из треугольника SAH , в котором ∠SAH = 60°
(угол между боковым ребром и основанием) и ∠ASH = 30°, а значит, АS = 2·AН .

Найти длину отрезка АН , зная сторону основания, можно разными способами.
Лучше обойтись без формул и рассмотреть прямоугольный треугольник АНF .

Вернёмся к треугольнику SAH и найдём боковое ребро пирамиды:

Осталось перемножить найденные стороны и получить площадь сечения.