Таблица производных элементарных функций
Определение 1
Вычисление производной называют дифференцированием .
Обозначают производную $y"$ или $\frac{dy}{dx}$.
Замечание 1
Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.
Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.
Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.
Правила дифференцирования производной
Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.
1. Постоянная выносится за знак производной
$C$ – постоянная (константа).
Пример 1
Продифференцировать функцию $y=7x^4$.
Решение.
Находим $y"=(7x^4)"$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:
$=7 \cdot 4x^3=$
Преобразуем результат к принятому в математике виду:
Ответ: $28x^3$.
2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Пример 2
Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.
Решение.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)"=$
применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt{x^2})"+(\frac{4}{x^4})"-(11\cot x)"=$
отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;
вынесем все постоянные за знак производной:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^{\frac{2}{5}})"+(4x^{-4})"-(11\cot x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^{\frac{2}{5}})"+4(x^{-4})"-11(\cot x)"=$
разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;
мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$
преобразуем к виду, принятому в математике:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$
Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.
Ответ : $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.
3. Формула производной произведения функций:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Пример 3
Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.
Решение.
Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:
$y"=(x^{11} \ln x)"=(x^{11})" \ln x+x^{11} (\lnтx)"=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.
Ответ : $x^{10} (11 \ln x-1)$.
4. Формула производной частной функции:
$(\frac{u}{v})"=\frac{u" v-uv"}{v^2}$.
Пример 4
Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.
Решение.
$y"=(\frac{3x-8}{x^5-7})"=$
по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:
$=\frac{(3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)"}{(x^5-7)^2} =$
применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:
$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .
Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.
Пример 5
Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.
Решение.
Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.
Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:
$y"=(x^6-13+\frac{9}{x})"=(x^6)"+(-13)"+9(x^{-1})"=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$
$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.
Ответ : $6x^5-\frac{9}{x^2}$.
Во всех приведенных ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x : , , а буквами a , c, n - постоянные:
1.
3.
4.
6.
Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:
7.
8.
10.
11.
12.
13.
15.
17.
7а.
10а.
12а.
13а.
14а.
15а.
16а.
17а.
При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5, 7 и 8:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим
Пример 3. Найти производную функции и вычислить ее значение при
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а и 10, имеем
Вычислим значение производной при :
.
Пример 4. Найти производную функции .
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим
Пример 5. Найти производную функции .
Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:
Пример 6.
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов :
Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:
.
Вычислим значение производной при .
Пример 7. Найти производную функции и вычислить ее значение при .
Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:
.
Вычислим значение производной при :
.
Геометрический смысл производной.
Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию .
Если функция дифференцируема в точке х , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (х 0 , у 0), равен значению производной функции при х = х 0 , т.е. .
Уравнение этой касательной имеет вид
Пример 8 . Составить уравнение касательной к графику функции в точке А (3,6).
Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:
.
х = 3:
Уравнение касательной имеет вид
Или , т.е.
Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2 .
Решение. Сначала найдем ординату точки касания . Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.
; .
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:
Уравнение касательной таково:
, , т.е.
Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t ), то за промежуток времени (от момента t до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .
Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения пути к приращению времени , когда приращение времени стремиться к нулю:
.
Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:
.
Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х :
Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой (s - в метрах, t - в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени t :
,
Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.
Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где v 0 - начальная скорость, g - ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v 0 = 40 м/с?
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:
.
В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:
, , , , с.
За 40/g секунд тело поднимается на высоту
, м.
Вторая производная.
Производная функции в общем случае является функцией от х . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .
Второй производной функции называется производная от ее первой производной .
Вторая производная функции обозначается одним из символов - , , . Таким образом, .
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:
или ,
Пример 12. .
Решение. Сначала найдем первую производную
Пример 13. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение при х=2 .
Решение. Сначала найдем первую производную:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
Вычислим значение второй производной при х=2 ; имеем
Физический смысл второй производной.
Если тело движется прямолинейно по закону s = s(t) , то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:
Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная - ускорение того же процесса.
Пример 14. Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения .
Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение - второй производной пути s по времени t . Находим:
; тогда ;
; тогда
Пример 15. Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.
Решение. По закону Ньютона , сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.
Или
Согласно условию, . Дифференцируя это равенство, найдем
Следовательно, действующая сила .
Приложения производной к исследованию функции .
1) Условие возрастания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная больше ноля, т. е. y = f(x) f’(x) > 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением к оси оХ.
2) Условие убывания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная меньше ноля, т. е.
y = f(x)↓ f’(x)Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси оХ)
3) Условие постоянства функции: Дифференцируемая функция y = f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная равна нулю, т. е. y = f(x) - постоянна f’(x) = 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции параллельна оси оХ, т. е. α = 0)
Экстремумы функции.
Определение 1 : Точку х = х 0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x 0)
Определение 2: Точку х = х 0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x) < f(x 0).
Определение 3: Точку минимума или максимума функции называют точкой экстремума . Значение функции в этой точке называют экстремальным.
Замечания : 1. Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением функции;
2. Функция может иметь несколько максимумов или минимумо;
3. Функция, определённая на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.
5) Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода .
6) Достаточные условия существования экстремума функции: Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри этого промежуткак ритическую точку 1 рода х = х 0 , то:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) < 0, а при x> x 0 f’(x) > 0, то х = х 0 является точкой минимума функции y = f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) > 0, а при x> x 0
f’(x) < 0, то х = х 0 является точкой максимума функции y = f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и справа и слева от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.
Промежутки убывания или возрастания функции называются промежутками монотонности.
Определение1: Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение 2: Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз , если f”(x) > 0.
Определение 1: Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода .
Определение 2: Точка графика функцииY = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.
точка перегиба
Пример : Дана функция у = х 3 - 2х 2 + 6х - 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.
Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;
2. Найдем первую производную: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;
3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’ , то функция возрастает на всей области определения.
4. Найдем вторую производную:y” = 6x - 4;
5. Решим уравнение: y” = 0, 6x - 4 = 0, х =
Ответ: ( ; - ) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вверх при х
Асимптоты.
1. Определение : Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.
2. Виды асимптот :
1) Вертикальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а
2) Горизонтальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.
Пример 1 : Для функция y = найдите асимптоты.
3) Наклонные асимптоты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k = ; b = .
Решение: , то y = 0 - горизонтальная асимптота;
(т. к. х - 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 - вертикальная асимптота. ,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Пример 2 : Для функции y = найдите асимптоты.
Решение: x 2 - 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;
y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;
k = ; b = , т. е. y = 5x - наклонная асимптота.
Примеры построения графиков функций .
Пример 1 .
Исследовать функцию и построить график функции у = х 3 - 6х 2 + 9х - 3
1. Найдём область определения функции: D(y) = R
у(- х) = (- х) 3 - 6·(- х) 2 + 9·(-х) - 3 = - х 3 - 6х 2 - 9х - 3 = - (х 3 + 6х 2 + 9х + 3), т. е.
(у = х 5 - х 3 - нечетная, у = х 4 + х 2 - четная)
3. Не является периодической.
4. Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3 (0; - 3)
если У = 0, х найти затруднительно.
5. Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;
k = , т. е. наклонных асимптот нет.
6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x 2 - 12x + 9,
y’= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - критические точки 1 рода.
Определим знаки производной: y’(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3 < 0; y’(4) = 9 > 0
y max = y(1) = 1, (1;1) - точка максимума; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - точка минимума, функция у при х и у .
7. Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:
y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критическая точка 1 рода.
Определим знаки второй производной: y”(0) = - 12 < 0; y”(3) = 6 > 0
Y(2) = - 1 (2; - 1) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х .
8. Дополнительные точки:
х | - 1 | |
у | - 19 |
9. Построим график функции:
Исследовать функцию и построить график функции у =
1. Найдём область определения функции: 1 - х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .
2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,
у(- х) ≠ у(х) - не является чётной и у(- х) ≠ - у(х) - не является нечётной
3. Не является периодической.
4. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то , т. е. (0; - 2); ().
5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 - вертикальная асимптота;
Дифференцирование – это вычисление производной.
1. Формулы дифференцирования.
Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.
1) Начнем с формулы (kx
+ m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x
′ = 1 и C′ = 0.
В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.
Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:
(2 х + 4)′ = 2 .
Производная функции у = 9 х + 5 в любой точке равна 9 . И т.д.
А давайте найдем производную функции у = 5х . Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:
(5х )′ = (5х + 0)′ = 5.
Наконец, выясним, чему равна x
′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х
в виде 1х
+ 0. Тогда получим:
x ′ = (1х + 0)′ = 1.
Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:
(0 · x + m)′ = 0.
Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .
Производная обозначается символами
y ¢, f ¢(x o), , .
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ¹ 0, то .
На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
1. (u m)" = m u m - 1 u" (m Î R ).
2. (a u)" = a u lna× u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u× u".
7. (cos u)" = - sin u× u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u v , (u>0), где u
и v
суть функции от х
, имеющие в данной точке производные u"
, v"
.
Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.
Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:
y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+a, где a®0 при Dх® 0; отсюда D y = y" Dх + a x.
Главная часть приращения функции, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" Dх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"Dх = 1×Dх =Dх, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.
Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .
Аналогично определяются и обозначаются:
производная третьего порядка - ,
производная четвертого порядка -
и вообще производная n-го порядка - .
Пример 15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)×sin x.
Решение.
По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.
Пример 16 . Найти y", y = tg x + .
Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .
Пример 17.
Найти производную сложной функции y= ,
u=x 4 +1.
Решение.
По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то
(2 x 4 +2+ .
Пример 18.
Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e u и u = x 2 . Имеем: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Подставляя x 2 вместо u , получим y=2x .
Пример 19. Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y" = (ln u)" u (sin x)" x = .
Пример 20. Найти производную функции y= .
Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:
Пример 21 . Вычислить производную y=ln .
Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
2.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции
В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x , то f "(x) называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x , то g"(x) называют предельными издержками .
Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.
Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x , а предельная - производную .
Нахождение производительности труда.
Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u
за время работы t
. Вычислим количество произведенной продукции за время
Dt = t 1 - t 0: Du = u(t 1) - u(t 0) = u(t 0 +Dt) - u(t 0). Средней производительностью труда
называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= Du/Dt.
Производительностью труда рабочего z(t 0) в момент t 0 называется предел, к которому стремится z ср. при Dt®0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t 0) = u"(t 0).
Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x . Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на Dх . Количеству продукции x+ Dх соответствуют издержки производства K(x + Dх). Следовательно, приращению количества продукции Dх соответствует приращение издержек производства продукции DK = K(x + Dх) - K(x).
Среднее приращение издержек производства есть DK/Dх. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.
Предел называется предельными издержками производства .
Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то и называется предельной выручкой .
С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной ). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢(x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел
Его обозначают E x (y) = x/y f ¢ (x) = .
Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.
Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x о) = 0, либо f ¢(x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция f(x) имеет производную
f ¢ (x) в окрестности точки x о
и вторую производную в самой точке x о
. Если f ¢(x о) = 0, >0 ( <0), то точка x о
является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Пример 23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через x
и y
. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).
Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.