В этой статье описывается волновая функция и ее физический смысл. Также рассматривается применение этого понятия в рамках уравнения Шредингера.
Наука на пороге открытия квантовой физики
В конце девятнадцатого века молодых людей, которые хотели связать свою жизнь с наукой, отговаривали становиться физиками. Бытовало мнение, что все явления уже открыты и великих прорывов в этой области уже не может быть. Сейчас, несмотря на кажущуюся полноту знаний человечества, подобным образом говорить никто не решится. Потому что так бывает часто: явление или эффект предсказаны теоретически, но людям не хватает технической и технологической мощи, чтобы доказать или опровергнуть их. К примеру, Эйнштейн предсказал более ста лет назад, но доказать их существование стало возможным лишь год назад. Это касается и мира (а именно к ним применимо такое понятие, как волновая функция): пока ученые не поняли, что строение атома сложное, у них не было необходимости изучать поведение таких маленьких объектов.
Спектры и фотография
Толчком к развитию квантовой физики стало развитие техники фотографии. До начала двадцатого века запечатление изображений было делом громоздким, долгим и дорогостоящим: фотоаппарат весил десятки килограммов, а моделям приходилось стоять по полчаса в одной позе. К тому же малейшая ошибка при обращении с хрупкими стеклянными пластинами, покрытыми светочувствительной эмульсией, приводила к необратимой потере информации. Но постепенно аппараты становились все легче, выдержка - все меньше, а получение отпечатков - все совершеннее. И наконец, стало возможно получить спектр разных веществ. Вопросы и несоответствия, которые возникали в первых теориях о природе спектров, и породили целую новую науку. Основой для математического описания поведения микромира стали волновая функция частицы и её уравнение Шредингера.
Корпускулярно-волновой дуализм
После определения строения атома, возник вопрос: почему электрон не падает на ядро? Ведь, согласно уравнениям Максвелла, любая движущаяся заряженная частица излучает, следовательно, теряет энергию. Если бы это было так для электронов в ядре, известная нам вселенная просуществовала бы недолго. Напомним, нашей целью является волновая функция и ее статистический смысл.
На выручку пришла гениальная догадка ученых: элементарные частицы одновременно и волны, и частицы (корпускулы). Их свойствами являются и масса с импульсом, и длина волны с частотой. Кроме того, благодаря наличию двух ранее несовместимых свойств элементарные частицы приобрели новые характеристики.
Одной из них является трудно представимый спин. В мире более мелких частиц, кварков, этих свойств настолько много, что им дают совершенно невероятные названия: аромат, цвет. Если читатель встретит их в книге по квантовой механике, пусть помнит: они совсем не то, чем кажутся на первый взгляд. Однако как же описать поведение такой системы, где все элементы обладают странным набором свойств? Ответ - в следующем разделе.
Уравнение Шредингера
Найти состояние, в котором находится элементарная частица (а в обобщенном виде и квантовая система), позволяет уравнение :
i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.
Обозначения в этом соотношении следующие:
- ħ=h/2 π, где h - постоянная Планка.
- Ĥ - Гамильтониан, оператор полной энергии системы.
Изменяя координаты, в которых решается эта функция, и условия в соответствии с типом частицы и поля, в котором она находится, можно получить закон поведения рассматриваемой системы.
Понятия квантовой физики
Пусть читатель не обольщается кажущейся простотой использованных терминов. Такие слова и выражения, как «оператор», «полная энергия», «элементарная ячейка», - это физические термины. Их значения стоит уточнять отдельно, причем лучше использовать учебники. Далее мы дадим описание и вид волновой функции, но эта статья носит обзорный характер. Для более глубокого понимания этого понятия необходимо изучить математический аппарат на определенном уровне.
Волновая функция
Ее математическое выражение имеет вид
|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
Волновая функция электрона или любой другой элементарной частицы всегда описывается греческой буквой Ψ, поэтому иногда ее еще называют пси-функцией.
Для начала надо понять, что функция зависит от всех координат и времени. То есть Ψ(x, t) - это фактически Ψ(x 1 , x 2 … x n , t). Важное замечание, так как от координат зависит решение уравнения Шредингера.
Далее необходимо пояснить, что под |x> подразумевается базисный вектор выбранной системы координат. То есть в зависимости от того, что именно надо получить, импульс или вероятность |x> будет иметь вид | x 1 , x 2 , …, x n >. Очевидно, что n будет также зависеть от минимального векторного базиса выбранной системы. То есть в обычном трехмерном пространстве n=3. Для неискушенного читателя поясним, что все эти значки около показателя x - это не просто прихоть, а конкретное математическое действие. Понять его без сложнейших математических выкладок не удастся, поэтому мы искренне надеемся, что интересующиеся сами выяснят его смысл.
И наконец, необходимо объяснить, что Ψ(x, t)=
Физическая сущность волновой функции
Несмотря на базовое значение этой величины, она сама не имеет в основании явления или понятия. Физический смысл волновой функции заключается в квадрате ее полного модуля. Формула выглядит так:
|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,
где ω имеет значение плотности вероятности. В случае дискретных спектров (а не непрерывных) эта величина приобретает значение просто вероятности.
Следствие физического смысла волновой функции
Такой физический смысл имеет далеко идущие последствия для всего квантового мира. Как становится понятно из значения величины ω, все состояния элементарных частиц приобретают вероятностный оттенок. Самый наглядный пример - это пространственное распределение электронных облаков на орбиталях вокруг атомного ядра.
Возьмем два вида гибридизации электронов в атомах с наиболее простыми формами облаков: s и p. Облака первого типа имеют форму шара. Но если читатель помнит из учебников по физике, эти электронные облака всегда изображаются как некое расплывчатое скопление точек, а не как гладкая сфера. Это означает, что на определенном расстоянии от ядра находится зона с наибольшей вероятностью встретить s-электрон. Однако чуть ближе и чуть дальше эта вероятность не нулевая, просто она меньше. При этом для p-электронов форма электронного облака изображается в виде несколько расплывчатой гантели. То есть существует достаточно сложная поверхность, на которой вероятность найти электрон самая высокая. Но и вблизи от этой «гантели» как дальше, так и ближе к ядру такая вероятность не равна нулю.
Нормировка волновой функции
Из последнего следует необходимость нормировать волновую функцию. Под нормировкой подразумевается такая «подгонка» некоторых параметров, при которой верно некоторое соотношение. Если рассматривать пространственные координаты, то вероятность найти данную частицу (электрон, например) в существующей Вселенной должна быть равна 1. Формула выгладит так:
ʃ V Ψ* Ψ dV=1.
Таким образом, выполняется закон сохранения энергии: если мы ищем конкретный электрон, он должен быть целиком в заданном пространстве. Иначе решать уравнение Шредингера просто не имеет смысла. И неважно, находится эта частица внутри звезды или в гигантском космическом войде, она должна где-то быть.
Чуть выше мы упоминали, что переменными, от которых зависит функция, могут быть и непространственные координаты. В таком случае нормировка проводится по всем параметрам, от которых функция зависит.
Мгновенное передвижение: прием или реальность?
В квантовой механике отделить математику от физического смысла невероятно сложно. Например, квант был введен Планком для удобства математического выражения одного из уравнений. Теперь принцип дискретности многих величин и понятий (энергии, момента импульса, поля) лежит в основе современного подхода к изучению микромира. У Ψ тоже есть такой парадокс. Согласно одному из решений уравнения Шредингера, возможно, что при измерении квантовое состояние системы изменяется мгновенно. Это явление обычно обозначается как редукция или коллапс волновой функции. Если такое возможно в реальности, квантовые системы способны перемещаться с бесконечной скоростью. Но ограничение скоростей для вещественных объектов нашей Вселенной непреложно: ничто не может двигаться быстрее света. Явление это зафиксировано ни разу не было, но и опровергнуть его теоретически пока не удалось. Со временем, возможно, этот парадокс разрешится: либо у человечества появится инструмент, который зафиксирует такое явление, либо найдется математическое ухищрение, которое докажет несостоятельность этого предположения. Есть и третий вариант: люди создадут такой феномен, но при этом Солнечная система свалится в искусственную черную дыру.
Волновая функция многочастичной системы (атома водорода)
Как мы утверждали на протяжении всей статьи, пси-функция описывает одну элементарную частицу. Но при ближайшем рассмотрении атом водорода похож на систему из всего лишь двух частиц (одного отрицательного электрона и одного положительного протона). Волновые функции атома водорода могут быть описаны как двухчастичные или оператором типа матрицы плотности. Эти матрицы не совсем точно являются продолжением пси-функции. Они скорее показывают соответствие вероятностей найти частицу в одном и другом состоянии. При этом важно помнить, что задача решена только для двух тел одновременно. Матрицы плотности применимы к парам частиц, но невозможны для более сложных систем, например при взаимодействии трех и более тел. В этом факте прослеживается невероятное подобие между наиболее «грубой» механикой и очень «тонкой» квантовой физикой. Поэтому не стоит думать, что раз существует квантовая механика, в обычной физике новых идей не может возникнуть. Интересное скрывается за любым поворотом математических манипуляций.
Для описания корпускулярно-волновых свойств электрона в квантовой механике используют волновую функцию, которая обозначается греческой буквой пси (Т). Главные свойства волновой функции таковы:
- в любой точке пространства с координатами х, у, z она имеет определенные знак и амплитуду: ЧДд:, у , г);
- квадрат модуля волновой функции | ЧДх, y,z) | 2 равен вероятности нахождения частицы в единице объема, т.е. плотности вероятности.
Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от ядра атома изображают несколькими способами. Часто ее характеризуют числом точек в единице объема (рис. 9.1, а). Точечное изображение плотности вероятности напоминает облако. Говоря об электронном облаке, следует иметь в виду, что электрон - это частица, проявляющая одновременно и корпускулярные, и волновые
Рис. 9.1.
свойства. Область вероятности обнаружения электрона не имеет четких границ. Однако можно выделить пространство, где вероятность его обнаружения велика или даже максимальна.
На рис. 9.1, а штриховой линией обозначена сферическая поверхность, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%. На рис. 9.1, б приведено контурное изображение электронной плотности в атоме водорода. Ближайший к ядру контур охватывает область пространства, в которой вероятность обнаружения электрона 10%, вероятность же обнаружения электрона внутри второго от ядра контура составляет 20%, внутри третьего - 30% и т.д. На рис. 9.1, в электронное облако изображено в виде сферической поверхности, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%.
Наконец, на рис. 9.1, г и б двумя способами показана вероятность обнаружения электрона Is на разных расстояниях г от ядра: вверху показан «разрез» этой вероятности, проходящий через ядро, а внизу - сама функция 4лг 2 |У| 2 .
Уравнение Шрёдингсра. Это фундаментальное уравнение квантовой механики было сформулировано австрийским физиком Э. Шрёдингером в 1926 г. Оно связывает полную энергию частицы Е, равную сумме потенциальной и кинетической энергий, потенциальную энергию?„, массу частицы т и волновую функцию 4*. Для одной частицы, например электрона массой т е, оно имеет следующий вид :
С математической точки зрения это уравнение с тремя неизвестными: У, Е и?„. Решить его, т.е. найти эти неизвестные, можно, если решать его совместно с двумя другими уравнениями (для нахождения трех неизвестных требуется три уравнения). В качестве таких уравнений используют уравнения для потенциальной энергии и граничных условий.
Уравнение потенциальной энергии не содержит волно- вую функцию У. Оно описывает взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона. При взаимодействии одного электрона с ядром, имеющим заряд +z, потенциальная энергия равна
где г = У* 2 + у 2 + z 2 .
Это случай так называемого одноэлектронного атома. В более сложных системах, когда заряженных частиц много, уравнение потенциальной энергии состоит из суммы таких же кулоновских членов.
Уравнением граничных условий является выражение
Оно означает, что волновая функция электрона стремится к нулю на больших расстояниях от ядра атома.
Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти волновую функцию электрона? = (х, у , z) как функцию координат. Это распределение называется орбиталью.
Орбиталь - это заданная в пространстве волновая функция.
Система уравнений, включающая уравнения Шрёдингера, потенциальной энергии и граничных условий, имеет не одно, а много решений. Каждое из решений одновременно включает 4 х = (х, у , г) и Е , т.е. описывает электронное облако и соответствующую ему полную энергию. Каждое из решений определяется квантовыми числами.
Физический смысл квантовых чисел можно понять, рассмотрев колебания струны, в результате которых образуется стоячая волна (рис. 9.2).
Длина стоячей волны X и длина струны b связаны уравнением
Длина стоячей волны может иметь лишь строго определенные значения, отвечающие числу п, которое принимает только целочисленные неотрицательные значения 1,2,3 и т.д. Как очевидно из рис. 9.2, число максимумов амплитуды колебаний, т.е. форма стоячей волны, однозначно определяется значением п.
Поскольку электронная волна в атоме представляет собой более сложный процесс, чем стоячая волна струны, значения волновой функции электрона определяются не одним, а че-
Рис. 9.2.
тырьмя числами, которые называются квантовыми числами и обозначаются буквами п, /, т и s. Данному набору квантовых чисел п, /, т одновременно отвечают определенная волновая функция Ч"лДл, и полная энергия E„j. Квантовое число т при Е не указывают, так как в отсутствие внешнего поля энергия электрона от т не зависит. Квантовое число s не влияет ни на 4* п хт, ни на E n j.
- , ~ elxv dlxv 62*p
- Символы --, --- означают вторые частные производные от fir1 дуг 8z2 Ч"-функции. Это производные от первых производных. Смысл первой производной совпадает с тангенсом угла наклона функции Ч" от аргумента х, уили z на графиках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).
корпускулярно -- волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow{r},t)$- пси-функция).
Определение 1
Волновая функция -- это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.
Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.
Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow{r},t)$, импульсное представление: $\psi"(\overrightarrow{p},t)$ и т.д.
В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.
Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:
где $\psi^*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:
Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).
Условие нормировки $\psi$- функции
Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:
где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psi\ne 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если ${\left|\psi\right|}^2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.
Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.
Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ -- функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.
Принцип суперпозиции волновой функции
Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ {\rm и}\ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:
где $C_{1\ }и\ C_2$ -- постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.
Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:
где ${\left|C_n\right|}^2$ -- вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:
Стационарные состояния
В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:
где $\omega =\frac{E}{\hbar }$, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:
Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.
Математические требования к волновой функции для стационарных состояний
$\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$- функция должна быть во всех точках:
- непрерывна,
- однозначна,
- конечна.
Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ должна быть равна нулю. Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)=0$. Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac{\partial \psi}{\partial x},\ \frac{\partial \psi}{\partial y},\frac{\partial \psi}{\partial z}$).
Пример 1
Задание: Для некоторой частицы задана волновая функция вида: $\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}$, где $r$ -- расстояние от частицы до центра силы (рис.1), $a=const$. Примените условие нормировки, найдите нормировочный коэффициент A.
Рисунок 1.
Решение:
Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:
\[\int{{\left|\psi\right|}^2dV=\int{\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),}}\]
где $dV=4\pi r^2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:
\[\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\to \psi^*=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\left(1.2\right).\]
Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:
\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=1\left(1.3\right).}\]
Проведем интегрирование в левой части:
\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=2\pi A^2a=1\left(1.4\right).}\]
Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:
Ответ: $A=\sqrt{\frac{1}{2\pi a}}.$
Пример 2
Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae^{-{r}/{a}}$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ -- первый Боровский радиус?
Решение:
Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:
где $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно, имеем:
В таком случае, $p=\frac{dP}{dr}$ запишем как:
Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac{dp}{dr}$ приравняетм к нулю:
\[{\left.\frac{dp}{dr}\right|}_{r=r_B}=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}+4\pi r^2A^2e^{-{2r}/{a}}\left(-\frac{2}{a}\right)=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}\left(1-\frac{r}{a}\right)=0(2.4)\]
Так как решение $8\pi rA^2e^{-{2r_B}/{a}}=0\ \ {\rm при}\ \ r_B\to \infty $, нам не подходит, то отсается:
Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.
Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность , а величина , названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:
 |
(4.3.1) |
где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.
Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический , вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx , y и dy , z и dz .
Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых
| . | (4.3.2) |
Величина 
(квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности
, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки
, имеющей
координаты
x
, y
, z
. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля
.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V , согласно теореме о сложении вероятностей, равна:
.
Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:
| (4.3.3) |
где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x , y , z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:
· конечной (вероятность не может быть больше единицы);
· однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);
· непрерывной (вероятность не может меняться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:
где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории , в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов . Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле
,
В простейшем случае это комплексная квадратично интегрируема функция координат и времени, ассоциированная с определенным физическим объектом, например, с элементарными частицами, либо с физическим системой. Описание квантовой системы с помощью функции, которая бы описывала ее волновые свойства предложил Эрвин Шредингер.
Борн Макс интерпретировал волновую функцию, как амплитуду вероятности. В этой интерпретации квадрат модуля волновой функции соответствует плотности вероятности положения частицы. Таким образом, вероятность того, что частица находится в области пространства W в момент времени t определяется как
А – Функция, комплексно сопряженная с
При интегрировании по всему пространству это выражение, как вероятность вполне определенного события, должен давать единицу:
Это условие называется условия нормировки
пси-функции.
Физическая величина, которая может определяться в эксперименте, в квантовой механике задается определенным эрмитовых операторов. Зная волновую функцию можно определить среднее значение такой величины с помощью правила
,
Где – Это квантовомеханический оператор.
Для описания элементарных частиц, которые могут иметь отличный от нуля спин, однокомпонентной, скалярной, волновой функции недостаточно. Движение таких частиц задается совокупностью из нескольких волновых функции, которая имеет широкую название: вектор состояния.
Например, электрон со спином 1 / 2 описывается совокупностью четырех волновых функций.
Несмотря на слово «вектор», вектор состояния не является настоящим вектором в пространстве. Здесь этот термин употребляется скорее в смысле вектора линейной алгебры. По пространственных свойств, то при вращении системы координат, вектор состояния в целом может иметь особые свойства. Например, вектор состояния для электрона Спинор.
Обычно совокупность нескольких волновых функций, входящих в состав вектора состояния, тоже называют волновой функцией.
Волновая функция обозначена с точностью до произвольного множителя в форме e
i
?, где? – любое действительное число. Подстановка функции
Не меняет средних значений наблюдаемых физических величин.
Волновая функция системы многих частиц
Волновая функция квантовой системы, состоящей из нескольких частиц, зависит от координат всех частиц. Например, для двух частиц . При определении средних значений наблюдаемых величин интегрирование проводится по всему конфигурацийноми пространстве. Например, для двух частиц
В случае тождественности частиц, на волновую функцию накладывается дополнительное условие, связанное с инвариантностью относительно перестановок этих частиц, согласно принципу Тождественные. Квантовые частицы делятся на два класса – фермионы и бозоны. Для фермионов
Есть волновая функция меняет знак при перестановке частиц. Такое фунции называют антисимметричной относительно перестановок. Для бозонов
Т.е. при перестановке частиц волновая функция остается неизменной. Такую функцию называют симметричной относительно перестановок.