«Физика - 10 класс»

Угловая скорость.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА 1 > ВВ 1 (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.

Угол φ - угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.

Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с.

Угловую скорость можно связать с частотой вращения.

Частота вращения - число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).

Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.

Если φ 0 ≠ 0, то φ - φ 0 = ωt, или φ = φ 0 ± ωt.

Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17"48". В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).

Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью , чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.

Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.

Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как ω = 2πν, то

Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Следовательно,

а цс = ω 2 R.

Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:

Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела - поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.

T, которое тело провело в пути. Найдите линейную скорость, поделив путь на время его прохождения v=S/t.

Чтобы найти линейную скорость тела, которое движется по круговой траектории, измерьте ее радиус R. После этого, с помощью секундомера, измерьте время T, затрачиваемое телом на одно полное обращение. Оно называется периодом вращения. Чтобы найти линейную скорость, с которой тело движется по круговой траектории, поделите ее длину 2∙π∙R (длина окружности), π≈3,14, на период вращения v=2∙π∙R/T.

Определите линейную скорость, используя ее соотношение с угловой. Для этого с помощью секундомера найдите время t, за которое тело описывает дугу, видную из центра, под углом φ. Измерьте этот угол в и радиус окружности R, которая является траекторией движения тела. Если угломер измерение в градусах, переведите его в . Для этого число π умножьте на показания угломера и поделите на 180. Например, если тело описало дугу 30º, то этот угол в радианах равен π∙30/180=π/6. Учитывая, что π≈3,14, то π/6≈0,523 радиана. Центральный угол, упирающийся в дугу, пройденную телом, называется угловым перемещением, а угловая скорость равна отношению углового перемещения к , за которое оно ω=φ/t. Найдите линейную скорость, умножив угловую на радиус траектории v=ω∙R.

Если есть значение центростремительного ускорения a, которое имеет любое тело, которое движется по окружности, найдите линейную скорость. Для этого умножьте линейное ускорение на радиус R окружности, представляющей собой траекторию, а из полученного числа извлеките квадратный корень v=√(a∙R).

Линейной называют скорость , с которой тело движется по произвольной траектории. При известной длине траектории и времени, за которое она была пройдена, найдите линейную скорость по отношению длины ко времени. Линейная скорость движения по окружности равна произведению угловой скорости не ее радиус. Также используйте другие формулы для определения линейной скорости. Ее можно измерить спидометром.

Вам понадобится

• секундомер, угломер, рулетку или дальномер, спидометр

Инструкция

В самом общем случае, для определения линейной скорости тела при равномерном , измерьте длину траектории (линии по которой движется тело) и поделите на , которое понадобилось для того, чтобы преодолеть этот путь v=S/t. При неравномерном движении линейную в данный определите с помощью спидометра или специального радара.

При движении тела по окружности у него имеется угловая и линейная скорости. Для измерения угловой скорости, замерьте центральный угол, который описывает тело по окружности за определенный промежуток . Например, замеряйте время, за которое тело описывает половину окружности, в этом случае центральный π радиан (180º). Поделите этот угол на время, которое понадобилось телу пройти половину окружности, и получите угловую скорость . Если известна угловая скорость тела, то его линейная скорость , равна произведению угловой скорости, на радиус окружности, по которой движется тело, который измерьте рулеткой или дальномером v=ω R.

Еще один способ определения линейной скорости тела, движущегося по окружности. С помощью секундомера измерьте время полного тела по окружности. Это время периодом вращения. Дальномером или рулеткой измерьте радиус круговой траектории, по которой двигалось тело. Рассчитайте линейную скорость , поделив произведение радиуса окружности и 6,28 () на время ее прохождения v=6,28 R/t.

Если известно центростремительное ускорение, которое действует на каждое тело, движущееся по окружности с постоянной скорость ю, измерьте дополнительно ее радиус. В этом случае линейная скорость тела, движущегося по окружности равна корню квадратному из произведения центростремительного ускорения на радиус окружности.

Источники:

• линейная скорость в

Для описания движения тел по сложной траектории, в том числе по окружности, в кинематике используются понятия угловая скорость, угловое ускорение . Ускорение характеризует изменение угловой скорости тела во времени. В многочисленных кинематических задачах требуется описать движение тела вокруг подвижных и неподвижных точек по определенной оси. При этом как скорость, так и угловое ускорение могут изменяться во времени.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Помните, что угловое ускорение производной по , взятой от угловой скорости (или ω). Это также , что угловое ускорение представляет собой вторую производную, взятую по времени t от угла поворота. Угловое ускорение можно записать в следующем виде: →β= d →ω / dt. Таким образом, найти среднее угловое ускорение можно из приращения угловой скорости к приращению времени движения: β ср. = Δω/Δt.

Найдите угловую скорость для того, чтобы вычислить угловое ускорение . Предположим, что вращение тела вокруг недвижимой оси описывается уравнением φ=f(t), а φ – угол в конкретный момент времени t. Тогда через промежуток времени Δt с момента t изменение угла составит Δφ. Угловая отношением Δφ и Δt. Определите угловую скорость.

Найдите среднее угловое ускорение по формуле β ср. = Δω/Δt. То есть изменение угловой скорости Δω поделите при помощи калькулятора на известный промежуток времени, за который движение совершалось. Частное от деления является искомой величиной. Запишите найденное значение, выразив его в рад/с.

Обратите внимание, если в задаче требуется найти ускорение точки вращающегося тела. Скорость движения любой точки такого тела равна произведению угловой скорости и расстояния от точки до оси вращения. При этом ускорение данной точки из двух составляющих: касательной и . Касательная сонаправлена по прямой со скоростью при положительном ускорении и обратно направлена при отрицательном ускорении. Пусть расстояние от точки до оси вращения будет обозначено R. А угловая скорость ω будет найдена по формуле: ω=Δv/Δt, где v – линейная скорость движения тела. Чтобы найти угловое ускорение , разделите угловую скорость на расстояние между точкой и осью вращения.

Обратите внимание

Точно определите, подвижна ли ось, вокруг которой движется тело, так как это имеет принципиальное значение для нахождения углового ускорения. Угол поворота φ является скалярной величиной. При этом бесконечно малый поворот, обозначаемый dφ, является векторной величиной. Его направление определяется по правилу правой руки (по правилу буравчика) и непосредственно связано с осью, вокруг которой тело вращается.

Полезный совет

Помните, что вектор углового ускорения направлен вдоль оси, вокруг которой движется тело. При этом его направление совпадает с направлением движения при положительном ускорении и противоположно ему при отрицательном или при замедленном движении.

Скорость автомобиля постоянно меняется во время путешествия. Определением того, какая скорость у машины была в тот или иной момент пути, очень часто занимаются как сами автолюбители, так и компетентные органы. Тем более, что способов узнать скорость автомобиля огромное количество.

Инструкция

Самый простой способ определить скорость автомобиля знаком всем еще со школы. Для этого вам нужно зафиксировать количество километров, которое вы проехали, и время, за которое вы это расстояние преодолели. Рассчитывается скорость авто по : расстояние (км.) разделить на время (ч.). Так вы получите искомое число.

Вариант второй используется тогда, когда автомобиль резко остановился, но базовых замеров, как то время и расстояние, никто не проводил. В этом случае скорость автомобиля рассчитывают по его . Для подобных вычислений есть даже своя . Но использоваться она может только в том случае, если при торможении остался на дороге след.

Итак, формула следующим образом: начальная скорость автомобиля равна 0,5 х время нарастания торможения (м/с) х, установившееся замедление авто при торможении (м/с²) + корень из длины тормозного пути (м) х, установившееся замедление автомобиля при торможении (м/с²). Величина под названием «установившееся замедление авто при торможении» фиксированная и зависит только от того, какой асфальт имел место быть. В случае сухой дороги в формулу подставьте число 6,8 - оно прописано в ГОСТе, используемом для расчетов. Для мокрого асфальта данная величина будет равняться 5.

Определить скорость по тормозному пути можно и еще по одной формуле. Выглядит она так: S = Кэ x V x V / (254 х Фс). Подставлять в эту формулу нужно следующие значения: тормозной коэффициент (Кэ) - для за это значение обычно берется 1, скорость в начале торможения (V), коэффициент сцепления с дорогой (Фс) - для разных погодных условий определено свое значение: сухой асфальт - 0,7, мокрая - 0,4, укатанный снег - 0,2, обледенелая трасса - 0,1.

Можно определить скорость автомобиля на определенной передаче. Для этого вам следующие значения: количество оборотов коленчатого вала (Nc), динамический радиус колеса (R), передаточное (in), передаточное число главной пары (irn), начальная скорость автомобиля (Va). Рассчитайте скорость по формуле: Va = Nc x 60 x 2Пи x R / (1000 x in x irn).

Рассматривая движение тела, говорят о его координатах, скорости , ускорении. Каждый из этих параметров имеет свою формулу зависимости от времени, если, конечно, речь не о хаотичном движении.

Инструкция

Пусть тело движется прямолинейно и равномерно. Тогда его скорость представлена постоянной величиной, не изменяется со : v = const. Формула скорости имеет вид v=v(const), где v(const) – конкретное значение.

Пусть тело движется равнопеременно (равноускоренно или равнозамедленно). Как правило, говорят лишь о равноускоренном движении, просто в равнозамедленном ускорение отрицательно. Ускорение обычно a. Тогда скорость выражается линейной зависимостью от времени: v=v0+a·t, где v0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

Если рисовать график зависимости скорости от времени, он будет являться прямой линией. Ускорение – тангенсом угла наклона. При положительном ускорении скорость и прямая скорости устремляется ввысь. При отрицательном ускорении скорость и в итоге доходит до нулевой отметки. Дальше, с тем же значением и направлением ускорения, тело может двигаться лишь в обратном направлении.

Пусть тело движется с постоянной по модулю скоростью. В этом случае оно обладает центростремительным ускорением a(c), направленным к центру окружности. Его называют также нормальным ускорением a(n). Линейная скорость и центростремительное ускорение связаны соотношением a=v?/R, где R – , по которой движется тело.

Формула зависимости скорости от времени может иметь произвольный вид. По определению, скорость – это первая производная координаты по времени: v=dx/dt. Поэтому, если задана зависимость координаты от времени x=x(t), формулу для скорости можно найти простым дифференцированием. Например, x(t)=5t?+2t-1. Тогда x"(t)=(5t?+2t-1)". То есть, v(t)=5t+2.

Если дальше дифференцировать формулу скорости, можно получить ускорение, ведь ускорение – первая по времени, и вторая производная координаты: a=dv/dt=d?x/dx?. Но и скорость можно получить обратно из ускорения путем интегрирования. Только понадобятся дополнительные данные. Обычно в задачах сообщают начальные условия.

При загрузке определенного файла из интернета, интересно узнать о скорости, а также о времени, которое придется ждать до завершения всей операции. Это можно сделать при помощи специального ПО.

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один частный случай движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4 ).

В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость . Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О , движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, , поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5 ). Но радиусы окружностей поворачиваются за время на один и тот же угол . Угол - угол между осью ОХ и радиус-вектором , определяющим положение точки А (см. рис.2.5).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью . Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол , а другое - на угол , то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с 1 .
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения , т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T . Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:

Полному обороту тела соответствует угол . Поэтому согласно формуле (2.1)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени угол поворота , то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:

Если , то , или .
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями . Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью , чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R , за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T , то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Твердое тело может участвовать в двух видах движения: поступательном и вращении. При поступательном движении тела все его точки совершают за одинаковые промежутки времени одинаковые перемещения, в результате такого движения скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени одинаковы. Значит, достаточно определить закон движения одной точки тела, для характеристики поступательного движения всего тела.

Если тело вращается, то все точки твердого тела совершают движения по окружностям с центрами, принадлежащими прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Любое движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Рассмотрим плоское движение. При этом элементарное перемещение некоторой выделенной точки тела ($d\overline{s}$) разложим на два перемещения: $d{\overline{s}}_p$ - поступательное перемещение и $d{\overline{s}}_v$ - вращательное перемещение, при этом:

где $d{\overline{s}}_p$ для всех точек тела одинаково. $d{\overline{s}}_v-$ перемещение, которое осуществляется при повороте тела на один и тот же угол $d\varphi $ но относительно разных осей.

Скорость сложного движения твердого тела

Разделим обе части выражения (1) на отрезок времени, равный $dt$, получим:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{s}}{dt}=\frac{d{\overline{s}}_p}{dt}+\frac{d{\overline{s}}_v}{dt}={\overline{v}}_0+\overline{v"}\left(2\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость поступательного движения точек твердого тела (равна для всех точек); $\overline{v"}$ - скорость вызванная вращением, различается для разных точек тела.

Плоское движение твердого тела можно представить как суму двух движений: поступательного со скоростью ${\overline{v}}_0$ и вращения с угловой скоростью $\overline{\omega }$.

Линейная скорость $\overline{v"}$ точки с радиус-вектором $\overline{r}$, которая возникает в результате вращения тела (линейная скорость вращения точки), равна:

\[\overline{v"}=\left[\overline{\omega }\overline{r}\right]\left(3\right),\]

в выражении (3) имеется в виду векторное произведение. Величина линейной скорости вращения находится как:

где $\alpha $ - угол между направлением вектора угловой скорости и радиус-вектором точки (рис.1).

Скорость этой точки при сложном движении представлена формулой:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\left[\overline{\omega }\overline{r}\right]\left(5\right).\]

В теле могут иметься точки, которые участвуют в поступательном движении и вращении и при этом остаются неподвижными. При известных ${\overline{v}}_0\ $и $\overline{\omega }$ можно найти такой радиус-вектор ($\overline{r}$), что $\overline{v}=0.$

Линейная скорость движения точки по окружности

Перемещение материальной точки по окружности иногда называют вращением точки. Скорость движения материальной точки по окружности называют линейной скоростью для того, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. При равномерном движении точки по окружности, можно записать:

где $R$ - радиус окружности; $s=\Delta \varphi R$ - путь, который проходит точка за время $\Delta t$, равный длине дуги окружности. Выражение:

справедливо для равномерного и неравномерного движения точки по окружности.

При равномерном движении по окружности движение можно характеризовать при помощи периода обращения точки T, тогда:

Примеры задач на линейную скорость вращения

Пример 1

Задание. Какова линейная скорость точек лежащих на поверхности Земли на широте Москвы ($\alpha =56{}^\circ $)?

Решение. Сделаем риснок.

Рассмотрим движение точки A, которая движется по окружности радиуса $r$ на рис.2. Радиус этой окружности связан с радиусом Земли ($R$) и широтой местности, которая обозначена углом $\alpha $:

Радиус Земли примем равным $6,3\cdot {10}^6м.$ Период обращения Земли вокруг своей оси T= 86164 с. Вычислим линейную скорость вращения точек на обозначенной широте:

Ответ. $v=257\ \frac{м}{с}$

Пример 2

Задание. Винт вертолета имеет частоту вращения равную $n$. Скорость поступательного движения вертолета равна $u$. Какова линейная скорость движения одного из концов винта, если его радиус равен $R$?

Решение. Скорость движения точки винта при сложном движении, равна:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{v"}\left(2.1\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость поступательного движения вертолета; $\overline{v"}$ - линейная скорость вращения точки конца винта.

В нашем случае по условию задачи:

\[\left|{\overline{v}}_0\right|=u;;\ {\overline{v}}_0\bot \overline{v"},\]

где $\overline{v"}=\left[\overline{\omega }\overline{R}\right];;\ \left|\overline{v"}\right|=\omega R.$

Величину скорости движения конца винта найдем как:

где $\omega =2\pi n.$

Ответ. $v=\sqrt{u^2+{4{\pi }^2n^2R}^2}\ $