Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.
Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)
Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.
I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).
Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.
Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$
$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$
$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.
Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$
$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.
$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)
Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.
Найдём точки пересечения этих графиков:
По теореме Виета,
$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$
То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:
Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).
$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).
$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).
Подставим найденное в (**) и получим:
$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).
IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения графиков функций:
т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.
Симметрично отобразим область:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.
Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:
$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор
Тип урока : урок-лекция
Цели урока :
- воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
- развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
- образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1 )
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)
Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f
И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3 )
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму
Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)
Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм
= (щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:
Sк.т. =(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S к. т.(щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= (щ.м.)Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в виде:
= = (щ.м.)Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )
Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
- Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
- Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
- Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
- Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .
Решение . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: , откуда , ; следовательно, , .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Рис. 5
Решение . Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); (кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле
. (10)
|
Рис. 12
Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15 . Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .
Решение . Из условия задачи имеем . По формуле (11) получаем:
.
4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и являются конечными;
б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
;г) = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:
] =
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры . Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не .
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений .
В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала и статьи о геометрических преобразованиях графиков .
Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.
Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории .
Начнем с криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение
: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположена под осью
(или, по крайней мере, не выше
данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Внимание! Не следует путать два типа задач :
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение
: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться
.
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке Графики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».
А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен не выше оси , то
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:
Пример 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Решение
: Сначала выполним чертеж:
…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Переходим еще к одному содержательному заданию.
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
,
Действительно, .
Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,
Решение
: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку, простите, не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =)
Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Тема: Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла
Задачи: выучить определение и формулы нахождения площади криволинейной трапеции;
рассмотреть различные случаи нахождения площади криволинейной трапеции;
Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.
План:
Криволинейная трапеция.
Формулы вычисления площади криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке , отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.
Изображения криволинейных трапеций:
Теперь перейдём к возможным вариантам расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.
Первым
будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция
, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a
до b
от функции f(x)
. Найдём интеграл - будем знать и площадь данной трапеции.
Во втором
варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x)
. Поэтому, что бы найти площадь CEFD
, нам надо сначала найти площадь AEFB
(с помощью интеграла от f(x)
), потом найти площадь ACDB
(с помощью интеграла от g(x)
). И искомая площадь фигуры CEFD
, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Третий
очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс
, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x)
взять функцию –f(x)
, то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.
И четвёртый
вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB
, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD
, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC
. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Вопросы для самопроверки:
Какая фигура называется криволинейной трапецией?
Как найти площадь криволинейной трапеции?