Коллинеарными являются факторы …
Решение:
Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . В нашей модели только коэффициент парной линейной регрессии между факторами и больше 0,7. 
, значит, факторы и коллинеарны.
4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и …
мультиколлинеарны
независимы
количественно измеримы
Решение:
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если факторы не коррелированы между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной. Поскольку все недиагональные элементы 
были бы равны нулю.
, поскольку = = и = = =0.
Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты парной корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю.
Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):
Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются
…
x (2) и x (3)
x (1) и x (3)
x (1) и x (4)
x (2) и x (4)
Решение:
При построении модели множественной регрессии необходимо исключить возможность существования тесной линейной зависимости между независимыми (объясняющими) переменными, которая ведет к проблеме мультиколлинеарности. При этом осуществляют проверку коэффициентов линейной корреляции для каждой пары независимых (объясняющих) переменных. Эти значения отражены в матрице парных коэффициентов линейной корреляции. Считается, что наличие значений коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными, превышающих по абсолютной величине 0,7, отражает тесную связь между этими переменными (теснота связи с переменной y в данном случае не рассматривается). Такие независимые переменные называются коллинеарными. Если значение коэффициента парной корреляции между объясняющими переменными не превышает по абсолютной величине 0,7, то такие объясняющие переменные не являются коллинеарными. Рассмотрим значения парных коэффициентов межфакторной корреляции: между x (1) и x (2) значение равно 0,45; между x (1) и x (3) – равно 0,82; между x (1) и x (4) – равно 0,94; между x (2) и x (3) – равно 0,3; между x (2) и x (4) – равно 0,7; между x (3) и x (4) – равно 0,12. Таким образом, не превышают 0,7 значения , , . Следовательно, коллинеарными не являются факторы x (1) и x (2) , x (2) и x (3) , x (3) и x (4) . Из последних перечисленных пар в вариантах ответов присутствует пара x (2) и x (3) – это верный вариант ответа. Для остальных пар: x (1 и x (3) , x (1) и x (4) , x (2) и x (4) – значения парных коэффициентов межфакторной корреляции превышают 0,7, и эти факторы являются коллинеарными.
Тема 3: Фиктивные переменные
1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:
Фиктивными переменными не являются
…
стаж работы
производительность труда
уровень образования
уровень квалификации работника
Решение:
При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Для построения указанной в постановке задания модели используются фиктивные переменные: уровень образования и уровень квалификации работника. Остальные переменные не являются фиктивными, из предложенных вариантов это стаж работы и производительность труда.
2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …
использовать фиктивную переменную – пол потребителя
разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола
использовать фиктивную переменную – уровень дохода
исключить из рассмотрения пол потребителя, так как данный фактор нельзя измерить количественным образом
Решение:
При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Они отражают неоднородность исследуемой статистической совокупности и используются для более качественного моделирования зависимостей в таких неоднородных объектах наблюдения. При моделировании отдельных зависимостей по неоднородным данным можно также воспользоваться способом разделения всей совокупности неоднородных данных на несколько отдельных совокупностей, количество которых равно количеству состояний dummy-переменной. Таким образом правильными вариантами ответов являются: «использовать фиктивную переменную – пол потребителя» и «разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола».
3. Изучается зависимость цены квартиры (у
) от ее жилой площади (х
) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где 
, 
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
Решение:
Требуется узнать частное уравнение регрессии для кирпичного и монолитного домов. Для кирпичного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид: или для типа дома кирпичный.
Для монолитного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид
или для типа дома монолитный.
Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().
В то же время
связь между признаками-аргументами
достаточно тесная. Так, существует
практически функциональная связь между
числом колесных тракторов (x
(1))
и числом орудий поверхностной обработки
почвы
.
О наличии
мультиколлинеарности свидетельствуют
также коэффициенты корреляции
и
.
Учитывая тесную взаимосвязь показателейx
(1) , x
(2) и x
(3) ,
в регрессионную модель урожайности
может войти лишь один из них.
Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:
F набл
= 121.
В скобках
указаны значения исправленных оценок
среднеквадратических отклонений оценок
коэффициентов уравнения
.
Под уравнением
регрессии представлены следующие его
параметры адекватности: множественный
коэффициент детерминации
;
исправленная оценка остаточной дисперсии
,
средняя относительная ошибка аппроксимациии расчетное значение-критерия
F набл = 121.
Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблицеF -распределения при=0,05; 1 =6 и 2 =14.
Из этого следует, что 0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.
Для проверки
гипотезы о значимости отдельных
коэффициентов регрессии H0: j =0,
гдеj
=1,2,3,4,5, сравнивают критическое
значениеt
kp = 2,14, найденное по
таблицеt
-распределения при уровне
значимости=2Q
=0,05
и числе степеней свободы=14,
с расчетным значением
.
Из уравнения следует, что статистически
значимым является коэффициент регрессии
только при x
(4) , так какt
4 =2,90
>t
kp =2,14.
Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.
Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.
Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значениеt 1 =0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:
Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости=0,05 и числах степеней свободы 1 =5 и 2 =15 по таблицеF -распределения, т.е. вектор0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии приx (4) . Расчетные значенияt j для остальных коэффициентов меньшеt кр = 2,131, найденного по таблицеt -распределения при=2Q =0,05 и=15.
Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значениеt 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:
(2.9)
В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключивx (5) получим уравнение регрессии:
(2.10)
Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.
Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.
Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайностиy входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции сy , объясняемой переменнойr (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду сx (4) переменныеx (1) илиx (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):
(2.11)
(2.12)
Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).
Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.
По статистическим
критериям наиболее адекватна модель
(2.11). Ей соответствуют минимальные
значения остаточной дисперсии
=2,26
и средней относительной ошибки
аппроксимациии наибольшие значения
и F набл = 273.
Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).
Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) иx (3) . Однако в моделях урожайностей переменнаяx (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменнаяx (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).
В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) ,x (2) илиx (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:
Уравнение
значимо при =0,05,
т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20,
найденного по таблицеF
-распределения
при=Q
=0,05; 1 =3
и 2 =17. Значимы
и все коэффициенты регрессии
и
в уравненииt
j >t
kp (=2Q
=0,05;=17)=2,11. Коэффициент
регрессии 1 следует признать значимым ( 1 0)
из экономических соображений, при этомt
1 =2,09 лишь незначительно меньшеt
kp = 2,11.
Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.
Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 0,068 и э 2 0,161 показывает, что при увеличении показателейx (1) иx (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.
Множественный
коэффициент детерминации
свидетельствует о том, что только 46,9%
вариации урожайности объясняется
вошедшими в модель показателями (x
(1) иx
(4)), то есть насыщенностью
растениеводства тракторами и удобрениями.
Остальная часть вариации обусловлена
действием неучтенных факторов (x
(2) ,x
(3) ,x
(5) , погодные
условия и др.). Средняя относительная
ошибка аппроксимациихарактеризует адекватность модели, так
же как и величина остаточной дисперсии
.
При интерпретации уравнения регрессии
интерес представляют значения
относительных ошибок аппроксимации
.
Напомним, что
-
модельное значение результативного
показателя, характеризует среднее для
совокупности рассматриваемых районов
значение урожайности при условии, что
значения объясняющих переменныхx
(1) иx
(4) зафиксированы на одном
и том же уровне, а именноx
(1) =x
i
(1) иx
(4)
= x
i
(4) . Тогда по значениям i
можно
сопоставлять районы по урожайности.
Районы, которым соответствуют значения i
>0, имеют
урожайность выше среднего, а i
<0
- ниже среднего.
В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует 7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с 20 =27,3%.
Матрица парных коэффициентов корреляции представляет собой матрицу, элементами которой являются парные коэффициенты корреляции. Например, для трех переменных эта матрица имеет вид:| - | y | x 1 | x 2 | x 3 |
| y | 1 | r yx1 | r yx2 | r yx3 |
| x 1 | r x1y | 1 | r x1x2 | r x1x3 |
| x 2 | r x2y | r x2x1 | 1 | r x2x3 |
| x 3 | r x3y | r x3x1 | r x3x2 | 1 |
Вставьте в поле матрицу парных коэффициентов.
Пример . По данным 154 сельскохозяйственных предприятий Кемеровской области 2003 г. изучить эффективность производства зерновых (табл. 13).
- Определите факторы, формирующие рентабельность зерновых в сельскохозяйственных предприятий в 2003 г.
- Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.
- Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость рентабельности зерновых от всех факторов.
- Оцените значимость полученного уравнения регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование рентабельности зерновых в этой модели?
- Оцените значение рентабельности производства зерновых в сельскохозяйственном предприятии № 3.
Решение получаем с помощью калькулятора Уравнение множественной регрессии :
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X
| 1 | 0.43 | 2.02 | 0.29 |
| 1 | 0.87 | 1.29 | 0.55 |
| 1 | 1.01 | 1.09 | 0.7 |
| 1 | 0.63 | 1.68 | 0.41 |
| 1 | 0.52 | 0.3 | 0.37 |
| 1 | 0.44 | 1.98 | 0.3 |
| 1 | 1.52 | 0.87 | 1.03 |
| 1 | 2.19 | 0.8 | 1.3 |
| 1 | 1.8 | 0.81 | 1.17 |
| 1 | 1.57 | 0.84 | 1.06 |
| 1 | 0.94 | 1.16 | 0.64 |
| 1 | 0.72 | 1.52 | 0.44 |
| 1 | 0.73 | 1.47 | 0.46 |
| 1 | 0.77 | 1.41 | 0.49 |
| 1 | 1.21 | 0.97 | 0.88 |
| 1 | 1.25 | 0.93 | 0.91 |
| 1 | 1.31 | 0.91 | 0.94 |
| 1 | 0.38 | 2.08 | 0.27 |
| 1 | 0.41 | 2.05 | 0.28 |
| 1 | 0.48 | 1.9 | 0.32 |
| 1 | 0.58 | 1.73 | 0.38 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Матрица Y
| 0.22 |
| 0.67 |
| 0.79 |
| 0.42 |
| 0.32 |
| 0.24 |
| 0.95 |
| 1.05 |
| 0.99 |
| 0.96 |
| 0.73 |
| 0.52 |
| 2.1 |
| 0.58 |
| 0.87 |
| 0.89 |
| 0.91 |
| 0.14 |
| 0.18 |
| 0.27 |
| 0.37 |
| 0 |
Матрица X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0.43 | 0.87 | 1.01 | 0.63 | 0.52 | 0.44 | 1.52 | 2.19 | 1.8 | 1.57 | 0.94 | 0.72 | 0.73 | 0.77 | 1.21 | 1.25 | 1.31 | 0.38 | 0.41 | 0.48 | 0.58 | 0 |
| 2.02 | 1.29 | 1.09 | 1.68 | 0.3 | 1.98 | 0.87 | 0.8 | 0.81 | 0.84 | 1.16 | 1.52 | 1.47 | 1.41 | 0.97 | 0.93 | 0.91 | 2.08 | 2.05 | 1.9 | 1.73 | 0 |
| 0.29 | 0.55 | 0.7 | 0.41 | 0.37 | 0.3 | 1.03 | 1.3 | 1.17 | 1.06 | 0.64 | 0.44 | 0.46 | 0.49 | 0.88 | 0.91 | 0.94 | 0.27 | 0.28 | 0.32 | 0.38 | 0 |
Умножаем матрицы, (X T X)
Находим определитель det(X T X) T = 34.35
Находим обратную матрицу (X T X) -1
| 0.6821 | 0.3795 | -0.2934 | -1.0118 |
| 0.3795 | 9.4402 | -0.133 | -14.4949 |
| -0.2934 | -0.133 | 0.1746 | 0.3204 |
| -1.0118 | -14.4949 | 0.3204 | 22.7272 |
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (X T X) -1 X T Y =
| 0.1565 |
| 0.3375 |
| 0.0043 |
| 0.2986 |
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
Y = 0.1565 + 0.3375X 1 + 0.0043X 2 + 0.2986X 3
Матрица парных коэффициентов корреляции
Число наблюдений n = 22. Число независимых переменных в модели ровно 3, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 5. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (22 х 5). Матрица Х T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.Матрица составленная из Y и X
| 1 | 0.22 | 0.43 | 2.02 | 0.29 |
| 1 | 0.67 | 0.87 | 1.29 | 0.55 |
| 1 | 0.79 | 1.01 | 1.09 | 0.7 |
| 1 | 0.42 | 0.63 | 1.68 | 0.41 |
| 1 | 0.32 | 0.52 | 0.3 | 0.37 |
| 1 | 0.24 | 0.44 | 1.98 | 0.3 |
| 1 | 0.95 | 1.52 | 0.87 | 1.03 |
| 1 | 1.05 | 2.19 | 0.8 | 1.3 |
| 1 | 0.99 | 1.8 | 0.81 | 1.17 |
| 1 | 0.96 | 1.57 | 0.84 | 1.06 |
| 1 | 0.73 | 0.94 | 1.16 | 0.64 |
| 1 | 0.52 | 0.72 | 1.52 | 0.44 |
| 1 | 2.1 | 0.73 | 1.47 | 0.46 |
| 1 | 0.58 | 0.77 | 1.41 | 0.49 |
| 1 | 0.87 | 1.21 | 0.97 | 0.88 |
| 1 | 0.89 | 1.25 | 0.93 | 0.91 |
| 1 | 0.91 | 1.31 | 0.91 | 0.94 |
| 1 | 0.14 | 0.38 | 2.08 | 0.27 |
| 1 | 0.18 | 0.41 | 2.05 | 0.28 |
| 1 | 0.27 | 0.48 | 1.9 | 0.32 |
| 1 | 0.37 | 0.58 | 1.73 | 0.38 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Транспонированная матрица.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0.22 | 0.67 | 0.79 | 0.42 | 0.32 | 0.24 | 0.95 | 1.05 | 0.99 | 0.96 | 0.73 | 0.52 | 2.1 | 0.58 | 0.87 | 0.89 | 0.91 | 0.14 | 0.18 | 0.27 | 0.37 | 0 |
| 0.43 | 0.87 | 1.01 | 0.63 | 0.52 | 0.44 | 1.52 | 2.19 | 1.8 | 1.57 | 0.94 | 0.72 | 0.73 | 0.77 | 1.21 | 1.25 | 1.31 | 0.38 | 0.41 | 0.48 | 0.58 | 0 |
| 2.02 | 1.29 | 1.09 | 1.68 | 0.3 | 1.98 | 0.87 | 0.8 | 0.81 | 0.84 | 1.16 | 1.52 | 1.47 | 1.41 | 0.97 | 0.93 | 0.91 | 2.08 | 2.05 | 1.9 | 1.73 | 0 |
| 0.29 | 0.55 | 0.7 | 0.41 | 0.37 | 0.3 | 1.03 | 1.3 | 1.17 | 1.06 | 0.64 | 0.44 | 0.46 | 0.49 | 0.88 | 0.91 | 0.94 | 0.27 | 0.28 | 0.32 | 0.38 | 0 |
Матрица A T A.
| 22 | 14.17 | 19.76 | 27.81 | 13.19 |
| 14.17 | 13.55 | 15.91 | 16.58 | 10.56 |
| 19.76 | 15.91 | 23.78 | 22.45 | 15.73 |
| 27.81 | 16.58 | 22.45 | 42.09 | 14.96 |
| 13.19 | 10.56 | 15.73 | 14.96 | 10.45 |
Полученная матрица имеет следующее соответствие:
Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x 1
Средние значения
Дисперсия
Коэффициент корреляции
Для y и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Для y и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Для x 1 и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Для x 1 и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Для x 2 и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Матрица парных коэффициентов корреляции.
| - | y | x 1 | x 2 | x 3 |
| y | 1 | 0.62 | -0.24 | 0.61 |
| x 1 | 0.62 | 1 | -0.39 | 0.99 |
| x 2 | -0.24 | -0.39 | 1 | -0.41 |
| x 3 | 0.61 | 0.99 | -0.41 | 1 |
Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых r yxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(x j y) > r(x k x j) ; r(x k y) > r(x k x j).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x k или x j , связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
| -0.18 |
| 0.05 |
| 0.08 |
| -0.08 |
| -0.12 |
| -0.16 |
| -0.03 |
| -0.24 |
| -0.13 |
| -0.05 |
| 0.06 |
| -0.02 |
| 1.55 |
| 0.01 |
| 0.04 |
| 0.04 |
| 0.03 |
| -0.23 |
| -0.21 |
| -0.15 |
| -0.1 |
| -0.16 |
s e 2 = (Y - X*s) T (Y - X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна
Оценка среднеквадратичного отклонения равна
Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = a*(X T X) -1
| 0.26 | 0.15 | -0.11 | -0.39 |
| 0.15 | 3.66 | -0.05 | -5.61 |
| -0.11 | -0.05 | 0.07 | 0.12 |
| -0.39 | -5.61 | 0.12 | 8.8 |
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 i = K ii , т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности , которые определяются по формуле:
Частные коэффициент эластичности E 1 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Частные коэффициент эластичности E 2 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Частные коэффициент эластичности E 3 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)
Связь между признаком Y факторами X умеренная
Коэффициент детерминации
R 2 = 0.62 2 = 0.38
т.е. в 38.0855 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя
Значимость коэффициента корреляции
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;a) = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)
Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.3882;0.846)
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
1) t-статистика
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 0 не подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 1 не подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 2 не подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 3 не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b i - t i S i ; b i + t i S i)
b 0: (-0.7348;1.0478)
b 1: (-2.9781;3.6531)
b 2: (-0.4466;0.4553)
b 3: (-4.8459;5.4431)
2) F-статистика. Критерий Фишера
Fkp = 2.93
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно.
6. Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X i , а по оси ординат квадраты отклонения e i 2 .
| y | y(x) | e=y-y(x) | e 2 |
| 0.22 | 0.4 | -0.18 | 0.03 |
| 0.67 | 0.62 | 0.05 | 0 |
| 0.79 | 0.71 | 0.08 | 0.01 |
| 0.42 | 0.5 | -0.08 | 0.01 |
| 0.32 | 0.44 | -0.12 | 0.02 |
| 0.24 | 0.4 | -0.16 | 0.03 |
| 0.95 | 0.98 | -0.03 | 0 |
| 1.05 | 1.29 | -0.24 | 0.06 |
| 0.99 | 1.12 | -0.13 | 0.02 |
| 0.96 | 1.01 | -0.05 | 0 |
| 0.73 | 0.67 | 0.06 | 0 |
| 0.52 | 0.54 | -0.02 | 0 |
| 2.1 | 0.55 | 1.55 | 2.41 |
| 0.58 | 0.57 | 0.01 | 0 |
| 0.87 | 0.83 | 0.04 | 0 |
| 0.89 | 0.85 | 0.04 | 0 |
| 0.91 | 0.88 | 0.03 | 0 |
| 0.14 | 0.37 | -0.23 | 0.05 |
| 0.18 | 0.39 | -0.21 | 0.04 |
| 0.27 | 0.42 | -0.15 | 0.02 |
| 0.37 | 0.47 | -0.1 | 0.01 |
| 0.16 | -0.16 | 0.02 |
Коллинеарными являются факторы …
И коллинеарны.
4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и … мультиколлинеарность факторов.
5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):
Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются
…x (2)
и x (3)
1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:
Фиктивными переменными не являются
…
стаж работы
производительность труда
2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …
использовать фиктивную переменную – пол потребителя
разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола
3. Изучается зависимость цены квартиры (у
) от ее жилой площади (х
) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где 
, 
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
4. При анализе промышленных предприятий в трех регионах (Республика Марий Эл, Республика Чувашия, Республика Татарстан) были построены три частных уравнения регрессии:
для Республики Марий Эл;
для Республики Чувашия;
для Республики Татарстан.
Укажите вид фиктивных переменных и уравнение с фиктивными переменными, обобщающее три частных уравнения регрессии.
5. В эконометрике фиктивной переменной принято считать …
переменную, принимающую значения 0 и 1
описывающую количественным образом качественный признак
1. Для регрессионной модели зависимости среднедушевого денежного дохода населения (руб., у ) от объема валового регионального продукта (тыс. р., х 1 ) и уровня безработицы в субъекте (%, х 2 ) получено уравнение . Величина коэффициента регрессии при переменной х 2 свидетельствует о том, что при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход ______ рубля при неизменной величине валового регионального продукта.
изменится на (-1,67)
2. В уравнении линейной множественной регрессии:
, где – стоимость основных фондов (тыс. руб.); – численность занятых (тыс. чел.); y
– объем промышленного производства (тыс. руб.) параметр при переменной х 1
, равный 10,8, означает, что при увеличении объема основных фондов на _____ объем промышленного производства _____ при постоянной численности занятых.
на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8 тыс. руб.
3. Известно, что доля остаточной дисперсии зависимой переменной в ее общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет … 0,8
4. Построена эконометрическая модель для зависимости прибыли от реализации единицы продукции (руб., у ) от величины оборотных средств предприятия (тыс. р., х 1 ): . Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет _____ рубля. 10,75
5. F-статистика рассчитывается как отношение ______ дисперсии к ________ дисперсии, рассчитанных на одну степень свободы. факторной … остаточной
1. Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением. Разность
2. Величина называется … случайной составляющей
3. В эконометрической модели уравнения регрессии величина отклонения фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения характеризует … ошибку модели
4. Известно, что доля объясненной дисперсии в общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет … 0,2
5. При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии 
определяются из условия ______ остатков .
минимизации суммы квадратов
1. Для обнаружения автокорреляции в остатках используется …
статистика Дарбина – Уотсона
2. Известно, что коэффициент автокорреляции остатков первого порядка равен –0,3. Также даны критические значения статистики Дарбина – Уотсона для заданного количества параметров при неизвестном и количестве наблюдений , . По данным характеристикам можно сделать вывод о том, что …автокорреляция остатков отсутствует
Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.
Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.
Расчет коэффициента корреляции в Excel
Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.
Значения показателей x и y:
Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:
Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.
Между переменными определяется сильная прямая связь.
Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:
Покажем значения переменных на графике:
Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.
Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel
Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.
Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».
Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.